第五单元：三角形（期末知识清单）数学人教版四年级下册

人教版四年级数学下册 第五单元：三角形（期末复习讲义） 知识点01：三角形的认识 1、三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2、三角形各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。 3、三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。 4、三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。 （3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。 ①找到题目中要求画高的底边。 ②找到底边对面的顶点。 ③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！） 5、三角形的特性：三角形具有稳定性。 6、三角形的三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）任意两边之差小于第三边。 7、两点间的所有连线中线段最短。 【易错点】 （1）任意一个三角形都有3 条高；钝角三角形有 2 条高在三角形外部。 （2）三角形的稳定性是其特有属性，与边的长短无关。 知识点02：三角形的分类 1、按角分： 类型 核心特征 注意 锐角三角形 3个角都是锐角（小于90°） 三个角的度数都需满足锐角条件 直角三角形 有1个角是直角（等于90°） 另外2个角一定是锐角； 有1条高与直角边重合 钝角三角形 有1个角是钝角（大于90°） 另外2个角一定是锐角； 有2条高在三角形外 2、按边分： 类型 核心特征 注意 不等边三角形 3条边的长度都不相等 无特殊角的要求 等腰三角形 有2条边相等（相等的边叫腰，第三条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角） 两个底角相等； 可能是锐角、直角或钝角三角形 等边三角形（正三角形） 3条边都相等 三个角都相等，且都是60°； 是特殊的等腰三角形； 一定是锐角三角形 【易错点】 （1）按角分类时，关键看最大的角：最大角是锐角→锐角三角形，最大角是直角→直角三角形，最大角是钝角→钝角三角形。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 知识点03：三角形的内角和 1、三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）验证方法 ①拼角法：把三角形的3个内角剪下来，拼成一个平角（180 °）。 ②折角法：把三角形的3个内角折在一起，拼成一个平角。 （3）已知两个角的度数，求第三个角：第三个角=180°－己知两角之和。 （4）直角三角形中，两个锐角之和是90°；等边三角形每个角都是60°。 2、探究多边形的内角和 （1）四边形的内角和是360°。 （2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 考点1：三角形的概念与表示 【典型例题】两个三角形，都是用6厘米、8厘米、10厘米的小棒首尾相连摆成。这两个三角形（     ）。 A．周长相等，面积相等 B．周长相等，形状不同 C．形状相同，面积不同 【答案】A 【分析】三角形的周长就是将三角形三条边的长度相加；三角形的边确定后，形状也就是确定的了，那么图形的面积也就一样。据此解答。 【详解】这两个三角形的周长均为6＋8＋10＝24（厘米），所以周长相等；三角形的边长一定，形状也一定，所以面积相等。 故答案为：A 【练习】爸爸不小心把一块三角形玻璃打碎了（如图所示），现在要去重新配一块同样的玻璃，他只需要带（     ）号玻璃去即可。 A．① B．② C．③ 【答案】C 【分析】要想重新配一块和原来一样的玻璃，需要原三角形的两个内角以及其中一条完整边，以及另外两条边的一部分，据此解答。 【详解】A．第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能配对； B．第②块，仅保留了原三角形的一部分边，不能配对； C．第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，以及另外两条边的一部分，能配对。 故答案为：C 考点2：三角形的高及画法 【典型例题】如图，三角形ABC中底边AB上的高是（     ）。 A．AF B．BD C．BE D．CD 【答案】D 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。要找出三角形ABC中底边AB上的高，就需要找出从C点向底边AB所作的垂线，即CD。据此解答。 【详解】由分析得： 三角形ABC中底边AB上的高是CD。 故答案为：D 【练习】给三角形画高不正确的是（         ）。 A． B． C．D． 【答案】D 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，依此选择。 【详解】A．从三角形的一个顶点向对边作了一条垂直的线段，这条线段符合三角形高的定义，所以A选项画高正确。 B．同样从一个顶点向对边作出了垂直的线段，满足三角形高的定义，所以B选项画高正确。 C．直角三角形的两直角边互相垂直，所以其中一条为底，另一条为高，符合三角形高的定义，所以C选项画高正确。 D．所画的线段不是从顶点向对边作的垂线，不满足三角形高的定义，所以D选项画高不正确。 故答案为：D 考点3：三角形的稳定性及应用 【典型例题】古人的智慧是无穷的，在商周时期建造窗户时，木工师傅都需要在框架上再钉一根木条，使框架更牢固，下面符合木工师傅做法的是（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，不易变形，加一根木条在框架中形成三角形，才能使框架更牢固。而四边形具有不稳定性，容易变形。据此即可解答。 【详解】A．形成两个三角形，具有稳定性，框架最牢固。 B． 形成两个四边形，容易变形。 C．形成两个四边形，容易变形。故答案为：A 【练习】下图是一台升降机，工人站在升降机上放心工作是因为（     ）。 A．升降机上的三角形具有稳定性 B．三角形有三条边 C．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】A 【分析】根据题意，明确三角形是一种稳定的几何图形，受到外力时三角形不易变形，因此用三角形结构能够让升降机更加稳固、安全。据此解答。 【详解】根据分析可知： 下图是一台升降机，工人站在升降机上放心工作是因为升降机上的三角形具有稳定性。 故答案为：A 考点4：三角形三边关系 【典型例题】一根10cm长的小棒，要把它剪成三段（长度都是整cm），围成一个三角形。如果第一刀剪在2cm处，那么第二刀应剪在（ ）cm处。 【答案】6 【分析】第一刀剪在2cm处，那么三角形的一边长为2cm，还剩下的长度＝总长－2cm＝8cm，可以分成两段，当第二刀剪在3cm处时，两条边分别是1cm和7cm；当第二刀剪在4cm处时，两条边分别是2cm和6cm；当第二刀剪在5cm处时，两条边分别是3cm和5cm；当第二刀剪在6cm处时，两条边分别是4cm和4cm，根据三角形任意两边之和大于第三边，据此解答即可。 【详解】10－2＝8（cm） 当第二刀剪在3cm处时，两条边分别是1cm和7cm： 1＋2＝3（cm） 3＜7 所以当第二刀剪在3cm处时，2cm、1cm和7cm不能组成三角形。 当第二刀应剪在4cm处时，两条边分别是2cm和6cm： 2＋2＝4（cm） 4＜6 所以当第二刀剪在4cm处时，2cm、2cm和6cm不能组成三角形。 当第二刀应剪在5cm处，两条边分别是3cm和5cm： 2＋3＝5（cm） 5＝5 所以当第二刀剪在5cm处时，2cm、3cm和5cm不能组成三角形。 当第二刀剪在6cm处，两条边分别是4cm和4cm： 2＋4＝6（cm） 6＞4 所以当第二刀剪在6cm处时，2cm、4cm和4cm能组成三角形。 所以第二刀剪在6cm处。 【练习】下面各组线段中，不能围成三角形的是（     ）。 A．3厘米、4厘米、7厘米 B．5厘米、5厘米、5厘米 C．3厘米、4厘米、5厘米 【答案】A 【分析】要判断三条线段能否围成三角形，需依据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，据此分析选项即可解答。 【详解】A．计算两条较短边的和：3＋4＝7（厘米），因为7厘米＝7厘米，不满足“任意两边之和大于第三边”，所以这三条线段不能围成三角形。 B．计算两条较短边的和：5＋5＝10（厘米），因为10厘米＞5厘米，满足“任意两边之和大于第三边”，所以这三条线段能围成三角形。 C．计算两条较短边的和：3＋4＝7（厘米），因为7厘米＞5厘米，满足“任意两边之和大于第三边”，所以这三条线段能围成三角形。 故答案为：A 考点5：三角形的分类 【典型例题】一个三角形的两条边分别是3cm和5cm，这个三角形一定不是（     ）三角形。 A．等腰 B．直角 C．等边 D．锐角 【答案】C 【分析】只有两条边相等的是等腰三角形；三条边都相等的是等边三角形；三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；据此选择即可。 【详解】A．当第三条边是5cm时，这是一个腰长5cm，底边长为3cm的等腰三角形（当第三条边是3cm时，这是一个腰长3cm，底边长为5cm的等腰三角形）。 B．当3cm长的边和5cm长的边是这个三角形的两条直角边，第三条边是斜边时，这是一个直角三角形。 C．三条边都相等的是等边三角形，已经有两条边不相等了，不可能组成等边三角形。 D．可通过画图，用量角器测量角度验证：当第三条边是5cm时，这是一个腰长5cm，底边长为3cm的等腰三角形是锐角三角形。 故答案为：C 【练习】妈妈在旅游过程中看到被图中遮挡的建筑物，从图中方向看这个建筑物的屋顶一定是（ ）三角形。 【答案】等腰 【分析】根据题意，从正面看，建筑屋顶两侧对称，两侧边相等，因此屋顶呈等腰三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 妈妈在旅游过程中看到被图中遮挡的建筑物，从图中方向看这个建筑物的屋顶一定是等腰三角形。 考点6：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典型例题1】等腰三角形的周长是98厘米，底边长26厘米，这个三角形的腰长是多少厘米？ 【答案】36厘米 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等，周长等于底边加上两腰的长度之和。用总周长减去底边长度，得到两腰的总长度，再除以2即可求出腰长。 【详解】（98－26）÷2 ＝72÷2 ＝36（厘米） 答：这个三角形的腰长是36厘米。 【典型例题2】把一根长24厘米的铁丝围成等边三角形框架，框架的一条底边长（ ）厘米；如果把它围成一条腰长7厘米的等腰三角形，它的底边长（ ）厘米。 【答案】 8 10 【分析】等边三角形的三条边都相等，用铁丝的长度除以3求出一条边的长度即为框架的一条底边长度；等腰三角形两条腰相等，用一条腰的长度乘2求出两条腰的长度，再用铁丝的长度减去两条腰的长度即可求出底边的长度。 【详解】24÷3＝8（厘米） 24－7×2 ＝24－14 ＝10（厘米） 把一根长24厘米的铁丝围成等边三角形框架，框架的一条底边长8厘米；如果把它围成一条腰长7厘米的等腰三角形，它的底边长10厘米。 【练习】如果一个等腰三角形的两边分别长4厘米和8厘米，那么这个等腰三角形的周长是（     ）厘米。 A．20 B．16 C．20或16 D．23或16 【答案】A 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，等腰三角形的两条边分别是4厘米和8厘米，那么可以假设4厘米或8厘米长的边为腰，然后利用三角形三边的关系（任意两边之和大于第三边）来验证假设是否成立。最后用满足题意的三条边算出等腰三角形的周长即可。 【详解】假设4厘米长的边为腰，那么另一条腰的长度也是4厘米。 4＋4＝8（厘米），8厘米＝8厘米，即这三边无法围成三角形，该假设不成立。 假设8厘米长的边为腰，那么另一条腰的长度也是8厘米。 4＋8＝12（厘米），12厘米＞8厘米，即这三边可以围成三角形，该假设成立。 8＋8＋4 ＝16＋4 ＝20（厘米），即这个等腰三角形的周长是20厘米。 故答案为：A 考点7：画三角形 【典型例题】画一个直角三角形和一个底边为4厘米的锐角三角形（1格长度为1厘米），并画出这个锐角三角形底边上的高。 【答案】见详解 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，要让锐角三角形的底边为4厘米，也就是4个方格的长度，然后从顶点出发向底边画垂线，即为三角形的高。 【详解】（答案不唯一） 【练习】以线段AB为一条直角边画三角形ABC，使它既是等腰三角形，又是直角三角形。    【答案】见详解 【分析】等腰直角三角形的特点：有两条边相等且有一个角是直角，以A点作为直角的顶点，线段AC＝线段AB长，∠CAB＝90°，连接CB即可得到三角形ABC；据此作图。（画法不唯一） 【详解】作图如下：  （画法不唯一） 考点8：三角形的内角和 【典型例题1】看图分别求出∠1，∠2，∠3的度数。 【答案】128°；20°；52° 【分析】观察图形，先根据平角定义求出∠2的度数，再在三角形中利用内角和为180°求出∠1的度数，最后根据∠1与∠3组成平角求出∠3的度数。 【详解】 答：∠1的度数是128°，∠2的度数是20°，∠3的度数是52°。 【典型例题2】在直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角度数的2倍，则这个三角形最小的角的度数是（     ）。 A．60° B．30° C．15° 【答案】B 【分析】 直角三角形中两个锐角和为90°，设较小锐角度数为1份，另一个锐角则为2份，用90°除以总份数（1+2）可求出最小角的度数。 【详解】 （度） 故答案为：B 【练习】一张长方形纸沿对线折叠后如下图所示，已知∠1＝40°，∠2＝（ ）°。 【答案】25 【分析】根据题意，如下图，设与∠1相邻的角分别为∠3、∠4，∠1＋∠3＋∠4＝90°，已知∠1＝40°，∠3＝∠4，可以求出∠3＝（90°－40°）÷2＝25°，根据三角形内角和是180°，∠2＝90°－（180°－90°－25°），列式计算即可。 【详解】根据分析可知： ∠3＝（90°－40°）÷2＝25° ∠2＝90°－（180°－90°－25°） ＝90°－（90°－25°） ＝90°－75° ＝25° 考点9：多边形的内角和 【典型例题】如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 【答案】； 【分析】通过观察图形，利用三角形内角和为180°以及四边形内角和为360°的性质，结合已知角的度数逐步计算出∠2和∠7的度数。 【详解】在包含∠2、∠8和∠4的三角形中，已知∠8=90°，∠4=70°，根据三角形内角和为180°， 可得 在包含∠1、∠2和∠3的平角中，已知∠2=20°，∠3=90°，根据平角为180°， 可得 在包含∠7、∠6、∠1和∠5的四边形中，已知∠6=120°，∠1=70°，∠5=90°，根据四边形内角和为360°。 可得 = 答：∠2的度数为20°，∠7的度数为80°。 【练习】下面三角形是一个顶角为40°的等腰三角形，沿虚线剪掉一个三角形后得到一个四边形，在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝（ ）°。 【答案】250 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，因此先用180°减去顶角的度数，再除以2，从而计算出等腰三角形底角的度数；四边形的内角和是360°，因此用四边形的内角和度数减去40°与等腰三角形其中一个底角度数的和，即可得到∠3＋∠4的度数，依此解答。 【详解】（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 360°－（40°＋70°） ＝360°－110° ＝250° ∠3＋∠4＝250°。 一、选择题 1．下面说法正确的是（     ）。 A．一个三角形只有一条高 B．等边三角形一定是锐角三角形 C．一个三角形有一个角是锐角，那么这个三角形是锐角三角形 【答案】B 【分析】从三角形的任意一个顶点向其对边所作的垂线段的长度（顶点至对边垂足间的线段），叫作三角形的高。 由于三角形有三条边，所以每个三角形都可以画出三条高；三个角都锐角的三角形是锐角三角形，等边三角形是三条边和三个角都相等，可根据三角形内角和为180度，算出每个角的度数，再判断是否为锐角三角形；三个角都锐角的三角形是锐角三角形，根据定义判断一个三角形是否为锐角三角形。 【详解】A．三角形有三条边，每条边都对应可画出一条高，所以三角形有3条高，此说法错误； B．等边三角形的三个角都相等，三角形内角和为180度，180÷3＝60（度），三个角都是60度都是锐角，所以等边三角形一定是锐角三角形此说法正确； C．三个角都锐角的三角形才是锐角三角形，只有一个角是锐角无法判断，此说法错误。 故答案为：B 2．如下图所示的三角形ABC中，AB边上的高是（     ）。 A．线段BD B．线段AC C．线段BC 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，来判断AB边上的高。 在三角形 ABC中，AB边为底边时，从C点向AB边所在直线作垂线，垂足为B点，所以AB边上的高是从C点到AB边的垂线段。 【详解】A.线段BD是从B点向AC边作的垂线段，是AC边上的高，故不正确。 B.线段AC是三角形的一条边，不是AB边上的高，故不正确。 C.线段BC是从C点向AB边作的垂线段，是AB边上的高，故正确。 故答案为：C 3．下面的三角形都被信封挡住了一部分，其中一定是锐角三角形的是（ ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】如果三角形露在外面的角中有钝角，可以判定这个三角形是钝角三角形；如果三角形露在外面的角中有直角，可以判定这个三角形是直角三角形；如果三角形露在外面的两个角都是锐角，再判断另一个角是什么角来确定是什么三角形。 【详解】A．露出的角是锐角，但仅根据一个锐角，无法确定另外两个角的情况，这个三角形有可能是直角三角形或钝角三角形，所以不能确定它一定是锐角三角形； B．露出的角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形； C．露出的两个角都是锐角，而且两个角的角度都比较大，根据肉眼观察，两个角加起来超过90°，根据三角形的内角和是180°分析，第三个角一定是锐角，所以三个角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：C 4．有长度分别为6厘米、11厘米的两根小棒，要想围成一个三角形，第三根小棒的长度可以是（     ）。 A．5厘米 B．9厘米 C．17厘米 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，第三边必须大于两边之差且小于两边之和。已知两边为6厘米和11厘米，第三边应满足：11−6 ＜ 第三边 ＜ 11＋6，即5厘米 ＜ 第三边 ＜ 17厘米。 【详解】根据分析，第三根小棒的长度应该大于5厘米，小于17厘米。 A．5厘米＝5厘米，不符合要求； B．5厘米 ＜ 9厘米 ＜ 17厘米，符合要求； C．17厘米＝17厘米，不符合要求。 故答案为：B 5．一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角度数的3倍。这个三角形的顶角和一个底角的度数分别是（     ）。 A．120°，40° B．90°，30° C．108°，36° 【答案】C 【分析】等腰三角形的两个底角相等，设底角的度数为1份，顶角的度数是底角的3倍，则顶角为3份。三角形内角和为180°，用180°除以总份数（1+1+3）可求出1份的度数，即底角的度数，再乘3得到顶角的度数。 【详解】总份数：（份） 底角： 顶角： 这个三角形的顶角是108°，一个底角是36° 故答案为：C 6．为了加固这个巨型魔方墙，需要在它的后面支起一根钢管，具体如下图所示，那么钢管的长度不可能是（     ）。 A．15分米 B．30分米 C．28分米 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，所以可以连接钢管支点和魔方墙的顶端，此时构成三角形，且钢管的长度是斜边，所以大于22分米，然后利用三角形任意两边之和大于第三边，据此解题。 【详解】22＋15＝37（分米） 22分米＜第三边长度＜37分米 15＜22＜28＜30＜37 为了加固这个巨型魔方墙，需要在它的后面支起一根钢管，具体如下图所示，那么钢管的长度不可能是15分米。 故答案为：A 二、填空题 7．一个等腰三角形的周长是60cm，底是28cm，它的一条腰长（ ）cm，在这个三角形中一个底角是70°，顶角是（ ）°。 【答案】 16 40 【分析】已知等腰三角形的周长和底边长度，可用周长减去底边得到两腰总长，再除以2，得每条腰长。根据等腰三角形两底角相等的性质，用三角形内角和180°减去两个底角的度数之和，即可求出顶角。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 60－28＝32（厘米） 32÷2＝16（厘米） 180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 一个等腰三角形的周长是60cm，底是28cm，它的一条腰长16cm，在这个三角形中一个底角是70°，顶角是40°。 8．∠1，∠2，∠3是一个三角形的三个内角，已知∠1＝25°，∠2＝55°，则∠3＝（ ）°，这是一个（ ）三角形。 【答案】 100 钝角 【分析】三角形的内角和为180°，∠3＝180°－∠1－∠2。根据∠3是100°可知∠3是钝角。根据“有一个钝角的三角形叫做钝角三角形”，可知这是一个钝角三角形。据此解答。 【详解】180°－25°－55° ＝155°－55° ＝100° 因为100°＞90°，∠3是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 所以，∠1，∠2，∠3是一个三角形的三个内角，已知∠1＝25°，∠2＝55°，∠3＝100°，这是一个钝角三角形。 9．一个等腰三角形的两条边是2cm和5cm，则它的周长是（ ）。 【答案】12cm 【分析】等腰三角形的特点是两腰相等。三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，当2cm为腰长时，2加2得4，而4小于5，所以2cm不能为腰，5cm为腰长，底边长为2cm，再把三边的长度相加，即可求出周长。 【详解】5＋5＋2 ＝10＋2 ＝12（cm） 一个等腰三角形的两条边是2cm和5cm，则它的周长是12cm。 10．一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是（ ）°；有两根木条，分别是5厘米、10厘米，再用一根长（ ）厘米的木条，就可以围成一个等腰三角形。 【答案】 90 10 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，用三角形的内角和180°减去两个底角的度数即可求出三角形顶角的度数。 等腰三角形有两条边相等，任意三角形的两边之和必须大于第三边，求出两边之和与第三边比较，满足三边关系的即可。 【详解】180°－45°－45° ＝135°－45° ＝90° 当腰长是5厘米时，5＋5＝10（厘米），10＝10，所以5厘米、5厘米、10厘米不能组成等腰三角形。 当腰长是10厘米时，10＋5＝15（厘米），15＞10，所以5厘米、10厘米、10厘米能组成等腰三角形。 一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是90°；有两根木条，分别是5厘米、10厘米，再用一根长10厘米的木条，就可以围成一个等腰三角形。 11．一个三角形，两个内角的和等于第三个内角，按角分，这是（ ）三角形。 【答案】直角 【分析】三角形的内角和是180°，两个内角的度数和等于第三个内角的度数，那么180°里面包括2个第三个内角的度数，用180°除以2即可求出第三个内角的度数； 三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此解答。 【详解】根据分析可知： 180°÷2＝90° 一个三角形，两个内角的和等于第三个内角，按角分，这是直角三角形。 12．在探究六边形的内角和时，可以把六边形分成（ ）个三角形，得出六边形的内角和是（ ）。 【答案】 4 720° 【分析】从六边形的一个顶点向相对的顶点连线，可以将六边形分成4个三角形，如图，每个三角形的内角和是180°，所以计算六边形的内角和就是计算4个三角形的内角和。据此解答。 【详解】6－2＝4（个） 4×180°＝720° 所以在探究六边形的内角和时，可以把六边形分成4个三角形，得出六边形的内角和是720°。 13．一个等腰三角形的两个内角分别是50°、80°，则第三个内角是（ ）°，按角分这个三角形是（ ）三角形。 【答案】 50 锐角 【分析】三角形内角和是180°，用180°减去两个已知角的度数，即可求出第三个内角是多少度；根据三角形按角的分类，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此判断是什么三角形即可。 【详解】180°－50°－80° ＝130°－80° ＝50° 80°、50°、50°都小于90° 一个等腰三角形的两个内角分别是50°、80°，则第三个内角是50°，按角分这个三角形是锐角三角形。 14．建筑工地的塔吊上有许多三角形，这是利用了三角形具有（ ）性。 【答案】稳定 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造。 【详解】由分析知： 建筑工地的塔吊上有许多三角形，这是利用了三角形具有稳定性。 15．一个三角形，其中两个内角分别是35°和55°，第三个内角的度数是（ ）°；按角分，这个三角形是（ ）三角形。 【答案】 90 直角 【分析】根据三角形的内角和是180°可知，第三个内角的度数等于180°减去第一个角，再减去第二个角；根据计算出的第三个角的大小进行分类，等于90°是直角、小于90°是锐角、大于90°是钝角， 【详解】由分析可得： 第三个角： 180°－35°－55° ＝145°－55° ＝90° 第三个角等于90°是直角，这个三角形是直角三角形。 一个三角形，其中两个内角分别是35°和55°，第三个内角的度数是90°；按角分，这个三角形是直角三角形。 16．下面各是什么三角形。    （ ）角三角形  （ ）角三角形  （ ）角三角形 【答案】 钝 直 锐 【分析】三角形的内角和为180°，由题意可知：180°减去两个角的度数可以算出第三个角的大小，如果第三个角等于90°是直角三角形，如果第三个角小于90°是锐角三角形，如果第三个角大于90°是钝角三角形。据此解答。 【详解】180°－40°－30°＝110°，110°＞90°，是钝角三角形。 180°－60°－30°＝90°，是直角三角形。 180°－40°－70°＝70°，70°＜90°，是锐角三角形。 17．一根铁丝恰好围成一个边长为12cm的等边三角形，如果把它改围成有一条边长为8cm的等腰三角形，那么另外两条边长是（ ）cm和（ ）cm。 【答案】 14 14 【分析】等边三角形的三条边都相等，依此计算出这根铁丝的长度，再根据这根铁丝的长度、8cm、以及三角形三边的关系确定出另外两条边的长度即可。 三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此解答。 【详解】12×3＝36（cm） 假设8cm为腰长： 36－8－8＝20（cm） 8＋8＝16（cm），16cm＜20cm，因此8cm不能为腰长。 36－8＝28（cm） 28÷2＝14（cm） 该等腰三角形另两条边是14cm和14cm。 18．如图，一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是（ ）°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是（ ）三角形。 【答案】 40 直角 【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形的特点是两个底角相等，用180°减100°，即可求出两个底角的和是80°，再除以2即可求出底角的度数是40°。若把这个等腰三角形对折，将顶角100°平分成两个50°的角，再根据三角形内角和，用180°减40°再减50°，即可求出三角形的第三个角，再看这个三角形中最大的角属于什么角，这个三角形就属于什么三角形，因为被分成的两个三角形完全一样，所以其中一个属于什么三角形，另一个也属于什么三角形。 【详解】（180°－100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 100°÷2＝50° 180°－40°－50° ＝140°－50° ＝90° 一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是40°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是直角三角形。 三、计算题 19．计算未知角的度数。 【答案】79° 【分析】根据题意，三角形的内角和是180°，减去图中已知的50°和29°，求出第三个角的度数；又已知平角是180°，再用180°减去第三个角的度数，就是要求的角的度数，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 180°－50°－29° ＝130°－29° ＝101° 180°－101°＝79° 未知角的度数是79°。 20．求出下面图中的∠1，∠2和∠3的度数。 【答案】 【分析】因为与86°角组成平角，平角为180°，所以； 四边形内角和为360°，已知其中三个角分别为100°，92°，，所以； 因为与100°角组成平角，平角为180°，所以为80°。 【详解】 四、作图题 21．下图中有一个是等边三角形，请你找出来并画出它AC边上的高。 【答案】第二个三角形为等边三角形；图见详解 【分析】等边三角形是三条边长度都相等，据此找出等边三角形即可。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段，就是三角形的高。首先找到顶点和对应的边，在对应边上放一把三角尺，三角尺和这条边保持垂直，然后移动三角尺，三角尺的另一边和顶点重合时就连接顶点和三角尺直角和对应边的重合点，据此画出等边三角形AC边上的高即可。 【详解】由分析可知，第二个三角形为等边三角形。 画高如下： 五、解答题 22．海海测量了两块三角形土地，并把测量结果画成了两张平面图（如下图）。乐乐看了这两张图说：“你测量有误。”想一想，为什么乐乐没有测量就知道海海的测量有误呢？ 【答案】第一张图：10＋13＝23＜25，而三角形两边之和应大于第三边，所以测量有误。 第二张图：30＋42＝72，而三角形两边之和应大于第三边，所以测量有误。 【分析】三角形的基本性质是任意两边之和大于第三边，以此可判断测量是否有误。 【详解】第一张图：，，不满足三角形两边之和大于第三边的性质。 第二张图：，同样不满足三角形两边之和大于第三边的性质。 所以乐乐知道海海测量有误。 答：因为海海测量的三角形两边之和等于第三边，不符合三角形两边之和大于第三边的性质，所以测量有误。 23．一个等腰三角形的周长是24厘米，已知底边长比腰长多3厘米。这个等腰三角形的腰长和底边长各是多少厘米？ 【答案】腰长是7厘米，底边长是10厘米 【分析】三角形的周长是三条边相加的和，等腰三角形的两条腰相等。底边长比腰长多3厘米，把腰长看作1份，则底边长为1份加上3厘米，三条边一共是3份加上3厘米，即24厘米里面包括3份腰长加上3厘米，用24先减去3厘米，再除以3即可求出腰长，再用腰长加上3厘米即可求出底边长。 【详解】腰长： （厘米） 底边长：（厘米） 答：这个等腰三角形的腰长是7厘米，底边长是10厘米。 24．王叔叔用一根铁丝围成一个等边三角形框架（如下图），这个三角形框架的边长扩大10倍后周长是27米，那么原来框架的边长是多少分米？ 【答案】9分米 【分析】根据1米＝10分米，将27米换算成分米；已知三角形框架的边长扩大10倍后周长是27米，那么扩大前三角形的周长是扩大后的周长除以10；最后根据等边三角形的周长是三条边的长度和求出原来框架的边长。 【详解】27米＝270分米 270÷10＝27（分米） 27÷3＝9（分米） 答：原来框架的边长是9分米。 25．公园里有一个等腰三角形的草坪，它的周长是186米，底边长是76米，这块草坪的腰长是多少米？ 【答案】55米 【分析】等腰三角形特征：两条腰长相等，三角形周长是三条边长之和，用186米减去底边长再除以2即可求出腰长。 【详解】根据分析可得： （186－76）÷2 ＝110÷2 ＝55（米） 答：这块草坪的腰长是55米。 26．挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（     ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（     ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。 【答案】（1）60； （2）360；看剩下部分图形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是剩下部分图形的内角和。（方法不唯一） 【分析】（1）三角形的内角和是180°，直角是90°。根据图示可知，∠B是直角，用180°减去∠C和∠B的度数，即可求出∠A的大小。 （2）根据图示可知，剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形是四边形。从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画线段，看多边形分成了几个三角形，三角形的内角和是180°，用分成的三角形个数乘180°即是多边形的内角和；据此解答。 【详解】（1）180°－30°－90° ＝150°－90° ＝60° 所以∠A＝60°； （2）如图，剩下部分图形分成了2个三角形，也就是四边形可以分割成2个三角形，即四边形的内角和是2个三角形内角和的和，180°×2＝360°，所以剩下部分图形的内角和是360°。（方法不唯一） 27．同学们利用三角形内角和探索四边形的内角和时所采用了四种不同的方法。具体如下图：          （1）请在你认为正确的方法旁边的□里打“√” （2）请根据以上经验选择你喜欢的方法研究五边形的内角和，先在下图中画出示意图，再列式计算。        【答案】（1）见详解 （2）540°；图见详解 【分析】（1）方法1：把四边形的4个角剪下来拼在一起，刚好拼成一个周角，说明四边形的内角和等于360°。 方法2：一个顶点与不相邻的顶点相连，把四边形分成2个三角形，四边形的内角和等于这2个三角形的内角和，三角形的内角和等于180°，所以四边形的内角和等于180°×2＝360°。 方法3：在一边上取一点，这点与其他顶点相连，把四边形分成3个三角形，3个三角形的内角和减去一个平角的度数等于四边形的内角和，所以四边形的内角和等于180°×3－180°＝540°－180°＝360°。 方法4：在四边形内取一点，分别与各个顶点相连，把四边形分成4个三角形，4个三角形的内角和减去一个周角的度数等于四边形的内角和，所以四边形的内角和等于180°×4－360°＝720°－360°＝360°。 （2）一个顶点与不相邻的顶点分别进行连线，把五边形分成5－2＝3（个）三角形，五边形的内角和等于3个三角形的内角和，所以五边形的内角和为（5－2）×180°，据此即可解答。 【详解】（1）根据分析可知，4种方法都正确，如下图： （2） （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以五边形的内角和是540°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版四年级数学下册 第五单元：三角形（期末复习讲义） 知识点01：三角形的认识 1、三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2、三角形各部分的名称：三角形有3条边，3个顶点，3个角。 3、三角形的表示方法：为了表达方便，可以用字母A、B、C分别表示三角形的3个顶点。下面的三角形可以表示成三角形ABC。 4、三角形的高 （1）定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。这条对边叫做三角形的底。 （2）一个三角形有3条高，画哪条边上的高，垂足就在那条边上（或那条边的延长线上），底和高是一一对应的。画高要用虚线表示，标上垂直符号。 （3）高的画法：高有3个要素：边、对面端点、垂线。 ①找到题目中要求画高的底边。 ②找到底边对面的顶点。 ③过已经找到的顶点向底边垂线。（记得标上垂直符号！） 5、三角形的特性：三角形具有稳定性。 6、三角形的三边关系 （1）三角形任意两边之和大于第三边。 （2）任意两边之差小于第三边。 7、两点间的所有连线中线段最短。 【易错点】 （1）任意一个三角形都有3 条高；钝角三角形有 2 条高在三角形外部。 （2）三角形的稳定性是其特有属性，与边的长短无关。 知识点02：三角形的分类 1、按角分： 类型 核心特征 注意 锐角三角形 3个角都是锐角（小于90°） 三个角的度数都需满足锐角条件 直角三角形 有1个角是直角（等于90°） 另外2个角一定是锐角； 有1条高与直角边重合 钝角三角形 有1个角是钝角（大于90°） 另外2个角一定是锐角； 有2条高在三角形外 2、按边分： 类型 核心特征 注意 不等边三角形 3条边的长度都不相等 无特殊角的要求 等腰三角形 有2条边相等（相等的边叫腰，第三条边叫底；两腰的夹角叫顶角，腰与底的夹角叫底角） 两个底角相等； 可能是锐角、直角或钝角三角形 等边三角形（正三角形） 3条边都相等 三个角都相等，且都是60°； 是特殊的等腰三角形； 一定是锐角三角形 【易错点】 （1）按角分类时，关键看最大的角：最大角是锐角→锐角三角形，最大角是直角→直角三角形，最大角是钝角→钝角三角形。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 知识点03：三角形的内角和 1、三角形的内角和 （1）三角形的内角和是180°。 （2）验证方法 ①拼角法：把三角形的3个内角剪下来，拼成一个平角（180 °）。 ②折角法：把三角形的3个内角折在一起，拼成一个平角。 （3）已知两个角的度数，求第三个角：第三个角=180°－己知两角之和。 （4）直角三角形中，两个锐角之和是90°；等边三角形每个角都是60°。 2、探究多边形的内角和 （1）四边形的内角和是360°。 （2）多边形的内角和：多边形的内角和＝（边数－2）×180°。 考点1：三角形的概念与表示 【典型例题】两个三角形，都是用6厘米、8厘米、10厘米的小棒首尾相连摆成。这两个三角形（     ）。 A．周长相等，面积相等 B．周长相等，形状不同 C．形状相同，面积不同 【练习】爸爸不小心把一块三角形玻璃打碎了（如图所示），现在要去重新配一块同样的玻璃，他只需要带（     ）号玻璃去即可。 A．① B．② C．③ 考点2：三角形的高及画法 【典型例题】如图，三角形ABC中底边AB上的高是（     ）。 A．AF B．BD C．BE D．CD 【练习】给三角形画高不正确的是（         ）。 A． B． C．D． 考点3：三角形的稳定性及应用 【典型例题】古人的智慧是无穷的，在商周时期建造窗户时，木工师傅都需要在框架上再钉一根木条，使框架更牢固，下面符合木工师傅做法的是（     ）。 A． B． C． 【练习】下图是一台升降机，工人站在升降机上放心工作是因为（     ）。 A．升降机上的三角形具有稳定性 B．三角形有三条边 C．三角形任意两边之和大于第三边 考点4：三角形三边关系 【典型例题】一根10cm长的小棒，要把它剪成三段（长度都是整cm），围成一个三角形。如果第一刀剪在2cm处，那么第二刀应剪在（ ）cm处。 【练习】下面各组线段中，不能围成三角形的是（     ）。 A．3厘米、4厘米、7厘米 B．5厘米、5厘米、5厘米 C．3厘米、4厘米、5厘米 考点5：三角形的分类 【典型例题】一个三角形的两条边分别是3cm和5cm，这个三角形一定不是（     ）三角形。 A．等腰 B．直角 C．等边 D．锐角 【练习】妈妈在旅游过程中看到被图中遮挡的建筑物，从图中方向看这个建筑物的屋顶一定是（ ）三角形。 考点6：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典型例题1】等腰三角形的周长是98厘米，底边长26厘米，这个三角形的腰长是多少厘米？ 【典型例题2】把一根长24厘米的铁丝围成等边三角形框架，框架的一条底边长（ ）厘米；如果把它围成一条腰长7厘米的等腰三角形，它的底边长（ ）厘米。 【练习】如果一个等腰三角形的两边分别长4厘米和8厘米，那么这个等腰三角形的周长是（     ）厘米。 A．20 B．16 C．20或16 D．23或16 考点7：画三角形 【典型例题】画一个直角三角形和一个底边为4厘米的锐角三角形（1格长度为1厘米），并画出这个锐角三角形底边上的高。 【练习】以线段AB为一条直角边画三角形ABC，使它既是等腰三角形，又是直角三角形。    考点8：三角形的内角和 【典型例题1】看图分别求出∠1，∠2，∠3的度数。 【典型例题2】在直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角度数的2倍，则这个三角形最小的角的度数是（     ）。 A．60° B．30° C．15° 【练习】一张长方形纸沿对线折叠后如下图所示，已知∠1＝40°，∠2＝（ ）°。 考点9：多边形的内角和 【典型例题】如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 【练习】下面三角形是一个顶角为40°的等腰三角形，沿虚线剪掉一个三角形后得到一个四边形，在剩下的四边形中，∠3＋∠4＝（ ）°。 一、选择题 1．下面说法正确的是（     ）。 A．一个三角形只有一条高 B．等边三角形一定是锐角三角形 C．一个三角形有一个角是锐角，那么这个三角形是锐角三角形 2．如下图所示的三角形ABC中，AB边上的高是（     ）。 A．线段BD B．线段AC C．线段BC 3．下面的三角形都被信封挡住了一部分，其中一定是锐角三角形的是（ ）。 A． B． C． 4．有长度分别为6厘米、11厘米的两根小棒，要想围成一个三角形，第三根小棒的长度可以是（     ）。 A．5厘米 B．9厘米 C．17厘米 5．一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角度数的3倍。这个三角形的顶角和一个底角的度数分别是（     ）。 A．120°，40° B．90°，30° C．108°，36° 6．为了加固这个巨型魔方墙，需要在它的后面支起一根钢管，具体如下图所示，那么钢管的长度不可能是（     ）。 A．15分米 B．30分米 C．28分米 二、填空题 7．一个等腰三角形的周长是60cm，底是28cm，它的一条腰长（ ）cm，在这个三角形中一个底角是70°，顶角是（ ）°。 8．∠1，∠2，∠3是一个三角形的三个内角，已知∠1＝25°，∠2＝55°，则∠3＝（ ）°，这是一个（ ）三角形。 9．一个等腰三角形的两条边是2cm和5cm，则它的周长是（ ）。 10．一个等腰三角形的底角是45°，它的顶角是（ ）°；有两根木条，分别是5厘米、10厘米，再用一根长（ ）厘米的木条，就可以围成一个等腰三角形。 11．一个三角形，两个内角的和等于第三个内角，按角分，这是（ ）三角形。 12．在探究六边形的内角和时，可以把六边形分成（ ）个三角形，得出六边形的内角和是（ ）。 13．一个等腰三角形的两个内角分别是50°、80°，则第三个内角是（ ）°，按角分这个三角形是（ ）三角形。 14．建筑工地的塔吊上有许多三角形，这是利用了三角形具有（ ）性。 15．一个三角形，其中两个内角分别是35°和55°，第三个内角的度数是（ ）°；按角分，这个三角形是（ ）三角形。 16．下面各是什么三角形。    （ ）角三角形  （ ）角三角形  （ ）角三角形 17．一根铁丝恰好围成一个边长为12cm的等边三角形，如果把它改围成有一条边长为8cm的等腰三角形，那么另外两条边长是（ ）cm和（ ）cm。 18．如图，一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是（ ）°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是（ ）三角形。 三、计算题 19．计算未知角的度数。 20．求出下面图中的∠1，∠2和∠3的度数。 四、作图题 21．下图中有一个是等边三角形，请你找出来并画出它AC边上的高。 五、解答题 22．海海测量了两块三角形土地，并把测量结果画成了两张平面图（如下图）。乐乐看了这两张图说：“你测量有误。”想一想，为什么乐乐没有测量就知道海海的测量有误呢？ 23．一个等腰三角形的周长是24厘米，已知底边长比腰长多3厘米。这个等腰三角形的腰长和底边长各是多少厘米？ 24．王叔叔用一根铁丝围成一个等边三角形框架（如下图），这个三角形框架的边长扩大10倍后周长是27米，那么原来框架的边长是多少分米？ 25．公园里有一个等腰三角形的草坪，它的周长是186米，底边长是76米，这块草坪的腰长是多少米？ 26．挑战自我。 （1）如图，∠C＝30°，∠A＝（     ）°； （2）现在将这个三角形如图剪去一个锐角∠C后，剩下部分图形的内角和是（     ）°。你是怎么知道的？把自己的方法写下来。 27．同学们利用三角形内角和探索四边形的内角和时所采用了四种不同的方法。具体如下图：          （1）请在你认为正确的方法旁边的□里打“√” （2）请根据以上经验选择你喜欢的方法研究五边形的内角和，先在下图中画出示意图，再列式计算。        2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $