微专题01 幂的运算8种题型（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

微专题01 幂的运算 题型1 直接应用幂的运算性质 幂的运算的核心公式： 1. 同底数幂相乘：（底数不变，指数相加）； 2. 幂的乘方： （底数不变，指数相乘）； 3. 积的乘方：（每个因式分别乘方，再相乘）； 4. 同底数幂相除：（底数不变，指数相减）。 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）若，则的值（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将原式所有幂统一转化为以3为底的幂，再用幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简，根据同底数幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ 原式可变形为：， 根据幂的乘方法则 化简得： ， 根据同底数幂的乘除法则计算左侧指数： ， ， ∵ 底数相同的幂相等，底数不为1，则指数相等， ∴ ，解得 ． 2．（2026·河南平顶山·一模）计算 的结果是___________． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型2 幂的运算法则逆用 逆向运用幂的运算公式，将高次幂转化为低次幂，或拆分指数以简化计算： 1. 观察指数关系； 2. 逆向拆分高次幂，转化为已知的低次幂或易计算的形式； 3. 结合乘法分配律等简化计算。 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知，则的结果是（    ） A．38 B．39 C．40 D．42 【答案】B 【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方运算法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知，则_____． 【答案】 【详解】解：， ． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）若，，则_________． 【答案】24 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 4．（25-26七年级下·浙江台州·期中）计算：_____． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则的值是_______． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）若，，则_______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 题型3 幂的混合运算 综合运用多种幂运算规则（如同底数幂乘除+幂的乘方+积的乘方），需注意运算顺序（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内）： 1. 遵循“先乘方、再乘除、后加减”的顺序； 2. 同类项合并； 3. 符号与系数单独处理。 1．（25-26九年级下·江西南昌·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用负整数指数幂，以及幂的运算法则，计算求解，即可解题． 【详解】解：． 2．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则分别计算两部分，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是关键．先计算积的乘方，幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（21-22七年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后从左到右进行计算即可； （2）先计算幂的乘方，然后再根据同底数幂相乘的法则计算乘法，即可得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 5．（25-26六年级下·全国·课后作业）若与为同类项，求代数式的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了幂的运算，同类项的定义，解题的关键是掌握各运算法则． 先进行幂的运算，再根据同类项的定义得出，然后代入求值即可． 【详解】解：． 因为与为同类项， 所以， 所以． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、整数指数幂的运算，关键是熟练应用运算法则计算； （1）可把正负数分别相加，然后再求和即可； （2）先算乘方、绝对值及括号内的，再算乘除，最后算加减； （3）先算乘方、乘除、最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型4 幂的大小比较 通过同底数化或同指数化比较幂的大小： 1. 同底数化：将不同底数的幂转化为同底数； 2. 同指数化：将不同指数的幂转化为同指数； 3. 中间值法：引入中间数（如0、1）比较。 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小：_（填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【详解】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， 又， ， 即． 故答案为：． 2．（25-26七年级下·北京延庆·期中）阅读下面材料： 材料一：比较和的大小 材料二：比较和的大小 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，， 且， ， 即； （2）解：，，， 且， ， 即． 3．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小． 我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小题： (1)试比较和的大小； (2)若，，试比较a，b的大小； (3)若，且，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）可以将指数都化为2再进行比较； （2）可以将指数都化为15再进行比较． （3）根据整式的混合运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）解： ∵，， ∴ ∴ 4．（24-25七年级下·河南周口·月考）我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方以及幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则解答即可； （2）根据幂的乘方的逆用解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 又， ， ． 5．（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)；，，之间存在等量关系，证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． ，，之间存在等量关系． 证明：，，，， ， ， ， ． 6．（24-25七年级下·江苏南京·月考）我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知，，比较M和N的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．解决下列问题： (1)已知，，比较A与B的大小； (2)已知，，比较A与B的大小； (3)已知，，比较A与B大小． 【答案】(1) (2)当时，此时；当时，此时；当时，此时 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握基本运算是解题关键； （1）根据作差法列出式子直接进行计算即可； （2）根据作差法列出式子直接进行计算即可； （3）根据作差法列出式子直接进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴ （2）解：， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时； （3）解：， ∵， ∴， ∴ 题型5 求字母或式子的值 通过已知条件，求关于a的高次幂或代数式的值： 1. 逆向运用幂的运算公式； 2. 将未知式子转化为已知条件的组合； 3. 代入已知值计算。 1．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）求值： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)75 (2)8 【详解】（1） （2）由已知，， 2．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）根据已知条件求值： (1)已知，，求的值． (2)已知，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据逆用同底数幂的除法和幂的乘方逆运算，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方逆运算与同底数幂乘法运算法则，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以， 解得． 3．（25-26七年级下·四川达州·期中）求值 (1)已知，，求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：原式． （2）解： 解得． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）按要求求值： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方的逆用计算，即可求出的值． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， ， ， ， ， ∴，解得：． 5．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）根据已知，求值 (1)已知，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)10 【分析】（1）根据幂的乘方法则和同底数幂相乘法则把变形为，然后把整体代入计算即可； （2）根据积的乘方法则和同底数幂相乘法则得出，则可求出、的值，然后代入计算即可. 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解： ， ， ，解得， ，解得， . 6．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）代入求值 (1)已知，． ①求的值； ②求的值． (2)已知，，求的值． 【答案】(1)①6；②12 (2)1 【分析】（1）①把，代入，再计算即可；②把，代入，再计算即可. （2）由条件可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：①∵，， ； ②. （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 题型6 幂的等式求解 根据幂的运算等式，求未知指数或底数： 1. 利用幂的运算性质化简等式两边； 2. 等式两边底数相同，则指数相等； 3. 解关于未知数的方程。 1．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）计算求值 (1)若，，求 (2)若，求x (3)，求m (4)若，求x 【答案】(1)256 (2)3 (3)2 (4)2 【分析】（1）先由同底数幂的乘法、除法逆运算变形为，再由幂的乘方逆运算变形为，然后代入求值即可； （2）先将原式变形为，再由幂的乘方得到，据此得到方程求解即可； （3）先将原式变形为，再由幂的乘方运算得到，然后根据同底数幂的乘除法运算法则得到方程求解即可； （4）先根据同底数幂的乘法逆运算得到，再变形解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得； （3）解： ， 解得； （4）解： 解得． 2．（23-24七年级下·内蒙古包头·阶段检测）先化简，再求值 (1)已知 ，求代数式的值． (2)若，则求的值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据，得，化简后，求值计算即可． （2）根据单项式乘以单项式的法则计算求值即可． 本题考查了整式的化简求值，单项式乘以单项式，熟练掌握计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，得， ． （2）解： ． ∴， 解得：， 故． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． (1)类型一：简便计算 _ ； (2)类型二：代数式求值 若，，则①_；②_． (3)类型三：解方程 解关于x的方程：如果，求x的值． 【答案】(1) (2)17；72 (3) 【分析】（1）利用积的乘方逆运算进行简便计算； （2）①先根据同底数幂乘法逆运算法则计算，然后求和；②先利用同底数幂乘法逆运算法则转化后代入计算即可； （3）将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ①； ②； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 4．（23-24八年级上·四川内江·月考）根据已知求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，求m的平方根． 【答案】(1)200 (2) 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方进行计算即可； （2）利用同底数幂的乘法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得：． ∴m的平方根为． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在． 类型一：简便计算 （1）______； 类型二：代数式求值 （2）若，，则______； 类型三：解方程 （3）解关于x的方程：． 【答案】（1）；（2）14；（3） 【分析】本题考查了幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、积的乘方等，解题的关键是熟练运用这些性质对式子进行变形和计算． （1）利用积的乘方逆运算进行简便计算； （2）先根据同底数幂加法法则对等式左边进行合并，再根据指数相等求出a、b的值； （3），将方程中各项化为同底数幂，然后根据同底数幂的乘除运算法则化简方程，最后求解x． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：14． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 6．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】（1）由可得，然后将变形为代入计算即可； （2）由，得出，进而可求出的值． 【详解】（1）解：由可得， 所以 ； （2）解：因为， 所以， 所以． 题型7 新定义运算问题 题目定义新的运算规则，要求根据规则计算： 1. 仔细阅读新定义的运算规则，明确输入与输出的关系； 2. 将具体数值代入规则，按照运算顺序计算； 3. 注意符号与指数处理（如负数的幂）。 1．（2026·河南驻马店·二模）对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（    ） A．1 B．4 C．－1 D．－4 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，同底数幂的除法；根据运算定义结合同底数幂的除法法则，将原等式转化为关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若，则定义新运算：，根据定义新运算计算：________． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据题意可得：，，进而得到，计算求解即可； 【详解】解：根据题意可得：，， ， 即； 故答案为： 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则______． 【答案】100 【分析】 根据规定的新运算可得，从而可得：，根据幂的乘方和积的乘方运算法则整理可得：，然后再整体代入计算可得原式结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 5．（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：=_． (3)若，求的值． 【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算． （1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为16； （2）解：由题意得： ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则， 即． (1)根据上述规定，填空：_____；_____；_____． (2)计算_____． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意正整数都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，即， ∴，即， ∴． 题型8 实际应用问题 将幂的运算应用于实际问题，考查数学建模能力： 1. 分析实际问题中的数量关系； 2. 建立幂运算模型； 3. 代入数值计算。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的氢气质量约为． (1)用科学记数法表示的氢气质量； (2)的氢气质量为多少？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：， 答：的氢气质量为． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知木星的半径大约是，将它近似看成一个球，求出它的体积。（取3） 【答案】立方千米 【分析】本题考查球的体积公式和科学记数法的运算，解题关键是掌握球的体积公式，并能正确进行幂的运算和科学记数法的计算．把代入公式计算即可． 【详解】解：球的体积公式为： ， 把，， 代入公式计算： ， ， ． 答：木星的体积大约是立方千米． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知木星的半径大约是，将它近似看成一个球，求出它的体积．（取3.14，球的体积：，为半径） 【答案】立方千米 【分析】直接根据体积公式计算即可. 【详解】解：（立方千米）， 答：木星的体积大约是立方千米． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）现有某种浓度的葡萄糖溶液，每瓶大约为滴，每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？（结果用科学记数法表示） 【答案】5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子 【分析】每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，每瓶大约为滴，5瓶这样的葡萄糖溶液中，这三个数相乘，结果用科学记数法表示． 【详解】解： 答：5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子． 5．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）通过“数控微雕”技术，技师们在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一．若一根头发丝的直径大约为，且，则金属片上这个孔的直径为多少米？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】先根据题意求出这个孔的直径，再利用科学记数法表示出金属片上这个孔的直径即可． 【详解】解：， ， 答：金属片上这个孔的直径为． 6．（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是，用个这样的细胞排成一排的长度是多少？（用科学记数法表示） 【答案】． 【分析】利用同底数幂的乘法和科学记数法进行解答即可． 【详解】解： 即用个这样的细胞排成一排的长度是． / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01幂的运算 直接应用幂的运算性质 幂的运算法则逆用 幂的混合运算 幂的大小比较 幂的运算 求字母或式子的值 幂的等式求解 新定义运算问题 实际应用问题 微点量戒 题型1直接应用幂的运算性质 啸方法 幂的运算的核心公式： 同底数幂相乘：a”·a”=am+”(底数不变，指数相加)； 幂的乘方：(a")”=am(底数不变，指数相乘)： 积的乘方：(ab)”=ab”(每个因式分别乘方，再相乘)： 同底数幂相除： a=a-(a≠0)（底数不变，指数相减）。 a 1,(25-26七年级下黑龙江大庆月考)若32×9a1÷271=81,则a的值() 1/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.6 c.9 D.3 2.(2026河南平顶山一模)计算-m+m2m 的结果是 3.(25-26七年级下·陕西西安·期中)计算： 0-6-或+2周。 (2a2.a+(-2a2）3+a÷a2 4.(25-26七年级下河北秦皇岛·期中)计算： 4x-”-（+(a-34 2(-a°a2+(-3a2}-a2÷a 5.(25-26七年级下江苏扬州期中)计算： w-产+(e-2026+9, a-aja2+(2ay÷a(a≠0) 6.(25-26七年级下·江苏无锡期中)计算： w-+2-（207-: ②m÷m+mm-(m2 题型2幂的运算法则逆用 ©妹方法 逆向运用幂的运算公式，将高次幂转化为低次幂，或拆分指数以简化计算： 观察指数关系； 2/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 逆向拆分高次幂，转化为己知的低次幂或易计算的形式： 结合乘法分配律等简化计算。 m=6,x”=2 1.(25-26七年级下·浙江台州期中)已知 则”+2a 的结果是() A.38 B.39 C.40 D.42 2.(25-26七年级下广东深圳期中)已知a+b=2,则320.9=一. 3.(25-26七年级下重庆期中)若a”=2,a”=6,则a2m"= 1）2025 4.(25-26七年级下浙江台州期中)计算： 2× 5.(25-26七年级下福建宁德期中)若a2m1=a2-”=2,则am3”的值是 6.(23-24八年级上湖南衡阳·期中)若x"=6,x”=2,则xm-"= 题型3幂的混合运算 啸方法 综合运用多种幂运算规则（如同底数幂乘除+幂的乘方+积的乘方），需注意运算顺序（先乘方，再乘 除，后加减，有括号先算括号内)： 遵循“先乘方、再乘除、后加减”的顺序； 同类项合并： 符号与系数单独处理。 1,2526九年级下江西商昌月考)若0≠0，则)0=() A.-a B.a c.-1 a D. 2。(25-26九年级下辽宁葫芦岛阶段检测)计算m,m+(m÷m 的结果是() A.2m8 B.m+m C.2m5 D.m8+m5 3/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25七年级下全国课后作业)计算y(的结果是 4.(21-22七年级下浙江温州期中)计算： 0(-1)+2-(2022-2； aa(-a-(a2月 .(255大年级下全国课后作业若ryr3ry与为同类项，求代数式4-10b+6 的值 6.(25-26七年级上江苏盐城期末)计算： (①)-10+11-3-21； ar0-a计周 ③aa'+(←a2-ao÷a2 题型4幂的大小比较 城方法 通过同底数化或同指数化比较幂的大小： 同底数化：将不同底数的幂转化为同底数： 同指数化：将不同指数的幂转化为同指数： 中间值法：引入中间数（如0、1）比较。 1.(25-26八年级上河南南阳·期末)某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了 交流，请你仔细阅读并完成任务. 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较3”和4的大小时， 先转换4=(2”=2”，因为3>2，所以3>2，即3”>4， 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较2和8的大小时，先 4/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转换8=(2=2因为8>6，所以2>2，即2>g 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习. 任务： ()比较4和52的大小： 2=2,b3=3, (2)已知 且a,b均为正数，比较a、b的大小： (3③)比较大小：32×5030×52（填“>”“<”或“=”） 2. (25-26七年级下·北京延庆·期中)阅读下面材料： 材料一：比较2和8的大小 材料二：比较32和4的大小 解：因为=(2-2，且8>6，所以2>2， 解：因为4"=()"=2出，且3>2，所3>2 即28>82. 即32>4. 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小， 小，来确定两个幂的大小 来确定两个幂的大小. 解决下列问题： ()比较20,40,826的大小； (2比较32”，45,50的大小. 3.(23-24八年级上·辽宁大连期末)“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题. 七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的 大”进而得出“正数大于零大于一切负数”·本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两 个代数式作差和0比较或者作商和1比较.更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了 大小比较，例如：比较2”和3”的大小。 我们是这么做的“2”=()”=4，：4>3：4">3：2>3"”间宽得以解法，诗铜学们完成下 面3个小题： 5/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)试比较2和8的大小： (2)若a3=2,b=3,试比较a,b的大小； (3)若a>0,b>0且a≠b,试比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 4.(24-25七年级下河南周口月考)我们知道：对于正整数a,b,c,若b>c,a≠1，则a>a:若a>c, 则°>c°.因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成 次数相同的数，比较底数的大小.请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：220 8；(填“>”“<”或“=”) a=233,b=322,c=4 (2)已 ,试比较，b,C的大小 5.(25-26八年级上福建泉州月考)阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题. 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小. 例如：若a3=2,b=3,则a,b的大小关系是ab.(填“<”或“>”) 解：a5=(0=2=32,65(6)=3=27,且32>27， .a5>b5, ∴.a>b 方法二：化同底数幂比较指数大小. 例如：比较81的，27,9的大小. 解：81=(3=3”，27=(=34,9=(3”=3，且24>22>20， .278>91>815 ()上述求解过程中，逆用幂的运算性质是一·（填选项） A.同底数幂的乘法B.同底数幂的除法C,幂的乘方D.积的乘方 、①2100375 (②)比较与的大小. 6/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②已知5”=324,5=4,5=9.则a,b,c之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存 在，请说明理由 6.(24-25七年级下江苏南京·月考)我们通常用作差法比较代数式大小.例如：已知M=2x+3, N=2x+1,比较M和N的大小.先求M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N<0,则M<N;若 M-N=0,则M=N,反之亦成立.本题中因为 M-N=2x+3-(2x+1)=2>0 0,所以M>N.解决下 列问题： 0已知4=g2-6a+1,B=aa-6)-2,比较4与B的大小 (2)已知A=a2+3a-1,B=a2+2a+1,比较A与B的大小： (3)已知A=2a2-6a+1,B=a2-4a-1,比较A与B大小. 题型5求字母或式子的值 嫦方法 通过已知条件，求关于α的高次幂或代数式的值： 逆向运用幂的运算公式： 将未知式子转化为已知条件的组合： 代入已知值计算。 1.(25-26七年级下·江苏徐州期中)求值： (1)已知a"=5,a=3,求a2m+"的值. (2)已知5m+4n-3=0,求32"×16"的值. 2.(25-26七年级下·甘肃白银期中)根据已知条件求值： (1已知a=2,a=3,求a2-"的值. (2)已知2×4”×8”=22，求m的值. 3.25-26七年级下·四川达州期中)求值 7/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)已知a”=2,a=3,求am-2"的值： (2)已知2x1=16,求x的值. 4.(25-26七年级下·江苏无锡期中)按要求求值： (I)已知a=2,a=3,求代数式am"的值； (2)已知2×81×16=26，求x的值. 5.(25-26七年级下·湖南岳阳·期中)根据已知，求值 (1)已知2x+5y-3=0,求4.32'的值. (②若(abb)}'=a6 ,求m~n的值. 6.(25-26七年级下河南平顶山期中)代入求值 0已知”=2y=3 ①求的值， ②求o-(yヅ的值. ②已知15°=600.40=600.求a-106-1 的值。 题型6幂的等式求解 城方法 根据幂的运算等式，求未知指数或底数： 利用幂的运算性质化简等式两边： 等式两边底数相同，则指数相等： 解关于未知数的方程。 1.(25-26七年级下·江苏泰州月考)计算求值 (1)若2"=8,2”=32，求22m+m-3 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若9=3，求x m+3×8m+1÷24m+7=16 3) 求m (④若32-3=54，求x 2.(23-24七年级下·内蒙古包头阶段检测)先化简，再求值 ①已知2-4-1=0，求代数式2x-3-(x+x-)y的值. (2若（a6(a2-b2）=a ”,则求m+n的值. 3.(25-26七年级下·江苏镇江期中)在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵 活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在。 (1)类型一：简便计算 12025 2026 (2)类型二：代数式求值 若10°=3,10=2，则01020+106=-；②1020+30=- (3)类型三：解方程 解关于x的方程：如果2×16÷8”=32，求x的值. 4.(23-24八年级上·四川内江：月考)根据已知求值： (1)已知a"=2,a”=5,求am+2的值； (2)已知3×9×27”=321，求m的平方根. 5.(2425七年级下·江苏南京·期中)在数学领域，幂运算和整式乘法构建起了代数运算的重要基石，灵 活运用幂的运算性质，能成为破题的关键所在， 类型一：简便计算 2025 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二：代数式求值 (2)若25+25=2°，3+32+3=3，则a+b=一 类型三：解方程 (3)解关于x的方程：32.92x1÷27+2=243 6.(25-26七年级下湖南岳阳期中)求值： (1)已知2x+5y-4=0,求432'的值： (2)已知2×31=108，求x的值. 题型7新定义运算问题 嫩方法 题目定义新的运算规则，要求根据规则计算： 仔细阅读新定义的运算规则，明确输入与输出的关系： 将具体数值代入规则，按照运算顺序计算； 注意符号与指数处理（如负数的幂）。 1.（2026河南驻马店二模)对于有理数a,6,定义一种新运算：a*h=3”÷.若(+2)=2 ,则x 的值为() A.1 B.4 C.-1 D.-4 2.(24-25八年级上四川眉山期中)若a"=b,则定义新运算：(a,b)=m,根据定义新运算计算： (6,4)+(6,9)= a p m 3.(25-26七年级下江苏无锡期中)我们定义：三角形 ，四边形 、6 9 n=p"·q” 10114 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 81 3 若 2y八=10 4.(2425七年级下江苏淮安·阶段检测)阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔(J·plr,1550-1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之 前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlr,1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系.对数的定 义：一般地，若a=N(a>0且a1) x=log N ),那么x叫做以a为底N的对数，记作 ，比如指数式 24=16 4=1og216 2=10g39 可以转化为对数式 对数式 可以转化为指数式3=9」 。 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： log(MN)=logM+log.Na>0,a≠1，M>0,N>0),理由如下： gM=m,1ogN=n,则M=a,N= 设 sM,N=a".a”=amta m+n=log。(M.W) ,由对数的定义得 m+n=log M+log N 又 log (M.N)=log M +logN 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： 0g232= log,1= (1)填空：① ,② M (2求证：1g.N-og,M-1g.N(a>0:a≠1'M>0,N>0): logs125+l0gs30-l0g,6 (3)拓展运用：计算 5.(22-23八年级上广东东莞期中)我们给出以下两个定义：①三角形 =d×ae; b C 11/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y n ②3×3的方格图 =z×(xm×y”）· m 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空： 2 4 (2)填空： 3 5 3 81 y (3)若 =3,求 2 的值. 2y 9 6.(25-26七年级下山东青岛期中)规定两数4，b之间的一种运算，记作 a,b) ,如果4=b,则 (a,b)=c 我们ma）为“雅对”，例如：因为2=8，所以2,8)=3 我们还可以利用“雅对”定 义说明等式a,)+(35)=(15成立.证明如下 设83)=m,85)=0.则3”=3.3”=5， 故3m.3”=3m+"=3×5=15, 则315)=m+n 83)+(3,5列=(6,15) (①根据上述规定，填空：(2,4)，（5，）=，(3,27)= ②计算65,2+(57) 12114 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)利用“雅对”定义证明： (2”,3”)=(2,3) 对于任意正整数”都成立. 题型8实际应用问题 煤方法 将幂的运算应用于实际问题，考查数学建模能力： 分析实际问题中的数量关系： 建立幂运算模型； 代入数值计算。 1.(25-26七年级下·全国课后作业)已知1cm3的氢气质量约为0.00009g, (1)用科学记数法表示lcm'的氢气质量： (2)8cm的氢气质量为多少8？（结果用科学记数法表示） 2.(25-26七年级下全国课后作业)已知木星的半径大约是7×10km,将它近似看成一个球，求出它的 体积。（元取3） 3.(25-26七年级下·全国课后作业)已知木星的半径大约是7×10km,将它近似看成一个球，求出它的 体积。《x取314，球的体：青知 ，,为半径) 4.(25-26七年级下·陕西宝鸡·月考)现有某种浓度的葡萄糖溶液，每瓶大约为4×10滴，每滴葡萄糖溶 液中大约有6.02×I06个葡萄糖分子，5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？（结果用科 学记数法表示) 5.(25-26七年级下·陕西渭南月考)通过“数控微雕”技术，技师们在一个直径只有一角硬币大小的金 属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一.若一根头发丝的直径大约为90m，且 1m=0.00000lm,则金属片上这个孔的直径为多少米？（结果用科学记数法表示） 13114 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(23-24七年级下·陕西咸阳·月考)在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×108cm,用2×10 个这样的细胞排成一排的长度是多少？（用科学记数法表示） 14/14