专题03 数列求和5大题型分类专训（期末真题汇编，四川专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦数列求和专题，汇编四川多地高二期末真题，覆盖5大高频考点，突出方法应用与综合能力训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|40余道|错位相减、裂项相消、分组求和、不等式恒成立、绝对值问题|融合等差等比证明（如考点01结合等比数列证明），关联不等式证明（如考点04恒成立问题），体现高考真题命题趋势|

专题03 数列求和 5大高频考点概览 考点01 数列求和之错位相减求和（重点题型） 考点04数列求和之不等式恒成立问题（重点题型） 考点02数列求和之裂项相消求和（重点题型） 考点05数列求和之有绝对值问题（重点题型） 考点03数列求和之分组求和（重点题型） 地 城 考点01 数列求和之错位相减求和 1．（24-25高二下·四川遂宁·期末）设数列满足：，. (1)证明：数列为等比数列 (2)若，求数列的前项和. 2．（24-25高二下·四川资阳·期末）已知数列中，，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 3．（24-25高二下·四川南充·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 4．（24-25高二下·四川达州·期末）已知数列的前项和为，，等比数列满足：，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和为. 5．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的前项和为，其中为常数，且． (1)求的值，并求； (2)，数列的前项和为，若，都有恒成立，求实数的最小值． 6．（24-25高二下·四川自贡·期末）已知数列，为其前n项和，. (1)求数列 的通项公式； (2)若 求数列的前n项和. 7．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有. (1)求数列， 的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 地 城 考点02 数列求和之裂项相消求和 1．（24-25高二下·四川达州·期末）已知等比数列的首项为，公比为，前项和为. (1)证明： (2)若，，设，，求数列的前n项和. 2．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知正项等比数列，，且，，构成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）记，其中，数列满足． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)求数列的前项和． 4．（24-25高二下·四川成都·期末）已知各项均不为零的等差数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且满足，求证：成等比数列． 5．（23-24高二下·四川凉山·期末）各项均为正数的等差数列首项为1，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 6．（23-24高二下·四川南充·期末）已知数列是等差数列，且是数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和，求证：. 地 城 考点03 数列求和之分组求和 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（24-25高二下·四川南充·期末）已知数列满足，且. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 4．（24-25高二下·四川成都·期末）已知等差数列满足：，等比数列满足：． (1)求数列和数列的通项公式； (2)在区间内，求数列有多少项； (3)将数列和数列中的所有项按照从小到大的顺序组成一个新的数列，设数列的前n项和为，求． 5．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前20项和． 6．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知数列为各项均为正数的等比数列，． (1)求的通项公式． (2)若，求的前项和． 7．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知数列满足：，点在直线上． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 8．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知数列的前n项和为，， (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 9．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 10．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 11．（23-24高二下·四川泸州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且． (1)求； (2)若，求数列的前n项和． 地 城 考点04 数列求和之不等式恒成立问题 1．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等比中项． (1)求数列，的通项公式； (2)若为数列的前n项和，求证：． (3)是数列的前n项和，若，证明． 2．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知等差数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围. 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知：． (1)设，求数列的通项公式： (2)在（1）的条件下，数列满足． ①设数列，求数列的前项和； ②是否存在，对于任意满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 4．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知函数，数列满足：，，数列的前n项和为，且． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列，，前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，求m的最小值； (3)设数列的前n项和为，证明：． 5．（24-25高二下·四川成都·期末）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求； (3)证明： 6．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 7．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 8．（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列满足. (1)求并证明数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数. 9．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围. 10．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，的前n项和为，，设，数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数λ的最大值． 11．（23-24高二下·四川内江·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)数列是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由； (2)设，数列的前项和为，证明：. 12．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足． （1）分别求数列、的通项公式； （2）若数列满足，是数列的前n项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由． 地 城 考点05 数列求和之有绝对值问题 1．（23-24高二下·江苏无锡·月考）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 2．（24-25高二下·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 3．（23-24高二下·四川南充·期末）已知等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列求和 5大高频考点概览 考点01 数列求和之错位相减求和（重点题型） 考点04数列求和之不等式恒成立问题（重点题型） 考点02数列求和之裂项相消求和（重点题型） 考点05数列求和之有绝对值问题（重点题型） 考点03数列求和之分组求和（重点题型） 地 城 考点01 数列求和之错位相减求和 1．（24-25高二下·四川遂宁·期末）设数列满足：，. (1)证明：数列为等比数列 (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过定义法证明为等比数列. （2）首先表示数列，然后求出的通项公式，最后用错位相减求和. 【详解】（1）由，即， 又， 所以， 即数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以. ∴，① ，② ①-②得，， 所以. 2．（24-25高二下·四川资阳·期末）已知数列中，，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推关系式可得，根据等差数列定义判断即可； （2）根据（1）求得，然后利用错位相减法求和. 【详解】（1）由，所以，又，则， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知：， ① 则② 则①-②得：， 所以. 3．（24-25高二下·四川南充·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据数列前项和为与数列通项公式的关系，求出数列的通项公式； （2）根据对数的运算公式，求出数列的通项公式，根据错位相消法求出数列的前项和； （3）根据数列的函数性质，和等差数列的函数性质，说明不存在三个不同的项构成等差数列. 【详解】（1）由题意得， 当时，， 作差得，化简得， 可知数列为等比数列，当时，，解得， 所以. （2）可知， 则， 则， 作差得，化简得. （3）已知，可知在函数上， 设等差数列，是一个首项为，公差为的等差数列， 则在函数上， 可知是指数函数，是一次函数， 易知指数函数与一次函数至多只有两个交点，所以不存在三个点即在上，又在上， 即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 4．（24-25高二下·四川达州·期末）已知数列的前项和为，，等比数列满足：，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和为. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用时，求出；设的公比为，则求出可得； （2）利用错位相减求和可得. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以； 设的公比为，则， 解得，； （2）由（1），， ， ， 两式相减得 ， 所以. 5．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的前项和为，其中为常数，且． (1)求的值，并求； (2)，数列的前项和为，若，都有恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据公式，代入数值，即可求解，再根据公式，即可求通项公式； （2）根据（1）得，再根据错位相减法求和，结合数列的单调性求数列的最值，根据不等式恒成立，求得到范围. 【详解】（1）由已知，，， 所以，则，所以， ， （）， 且也成立， 所以． （2）由（1）可知，，则， 则， ， 两式作差得， ， 则， ，， 所以数列为递增数列， 因，则，即， 又，都有恒成立，则，则实数的最小值为． 6．（24-25高二下·四川自贡·期末）已知数列，为其前n项和，. (1)求数列 的通项公式； (2)若 求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当 时，根据求解，再检验时是否满足； （2）由根据错位相减法求和即可. 【详解】（1）∵数列 ，为其前n项和， ， ， 当 时， ， 当时，上式成立， ∴数列 的通项公式为 （2）∵ ∴数列的前n项和： ① ② ①-②得： ， 7．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有. (1)求数列， 的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）利用递推式可得，利用“累加法”可得； （2）利用“错位相减法”，结合等比数列前项和公式即可求解. 【详解】（1）由，可知当时，；     当时，因为， 所以， 两式相减得，， 即， 因为也满足上式， 所以 ； 又数列满足，且， 当时，可得 ， 当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为 ； （2）由（1）知，，     所以，     所以，      两式相减得： ， 所以 ． 地 城 考点02 数列求和之裂项相消求和 1．（24-25高二下·四川达州·期末）已知等比数列的首项为，公比为，前项和为. (1)证明： (2)若，，设，，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时直接证明，当时，利用错位相减法即可证明. （2）首先利用等比数列前项和公式求出，然后求出，最后利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）当时，为常数列，所以； 当时，，等式两边同乘以可得 ，两式相减得，所以. 综上所述，. （2）若，，则，所以，，所以. 2．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知正项等比数列，，且，，构成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公比为，，由题列出的方程运算得解； （2）由（1）求出，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设数列的公比为，由，则， 由，得，解得或（舍）. 因为，，成等差数列，所以. ，即，解得或（舍）. 所以. （2）由（1）知，. 则. 所以. 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）记，其中，数列满足． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题目中的整理与的等量关系，可得的递推公式，根据等差数列的概念，可得答案； （2）由题意整理数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1）证明：因为，所以，则，所以． 因为，所以当时，， 所以，代入，得， 两边同时除以并整理得，（）， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即， 所以，即． （2）由（1）得，， 所以， 所以 ， 即． 4．（24-25高二下·四川成都·期末）已知各项均不为零的等差数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且满足，求证：成等比数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式可得答案； （2）利用裂项相消求和求出，再由可得答案． 【详解】（1）是各项均不为0的等差数列， ， ； （2）由已知得：， ， ， ， 成等比数列． 5．（23-24高二下·四川凉山·期末）各项均为正数的等差数列首项为1，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项可得，结合等差数列通项公式求得，即可得通项公式； （2）利用累乘法求的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以数列的通项公式. （2）因为，即， 此时 ， 即， 且满足上式，所以. 可得； 所以. 6．（23-24高二下·四川南充·期末）已知数列是等差数列，且是数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可； （2）先求出，再求出，后裂项相消，求出，结合不等式性质证明即可. 【详解】（1）由于则， 则，因此， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 则，即. ， 由于，则，故成立. 地 城 考点03 数列求和之分组求和 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知条件列出方程，求出公差，即可得解； （2）利用分组求和法，根据等差数列与等比数列的求和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题可得，，得， 又因为， 故. （2）由（1）可知，， 则， 则. 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)。 【分析】（1）应用的关系得，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）应用分组求和，并结合等差、等比数列前n项和公式求. 【详解】（1）由题设且，则，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以. 3．（24-25高二下·四川南充·期末）已知数列满足，且. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据递推公式，定义法证明数列为等差数列，根据数列首项和公差，写出通项公式，进而求出数列的通项公式； （2）写出数列的通项公式，根据分组求和法，求出数列的前项和. 【详解】（1）由，可得，化简得， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以； （2）由可得， 则， 根据分组求和可得. 4．（24-25高二下·四川成都·期末）已知等差数列满足：，等比数列满足：． (1)求数列和数列的通项公式； (2)在区间内，求数列有多少项； (3)将数列和数列中的所有项按照从小到大的顺序组成一个新的数列，设数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2)8项 (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据已知列出方程即可求解； （2）由已知列出不等式，即可求解； （3）由通项公式得，再分别用等差和等比数列求和公式计算即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由已知可得， 所以，，解得， ，， ． （2）由已知可得，， ， 又， ， ∴在区间内，数列有8项． （3）， ∴数列的前20项中数列有15项，数列有5项， ． 5．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前20项和． 【答案】(1) (2)1150 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列前n项和公式列出方程组求出即可. （2）由（1）的信息，利用分组求和法，及等差数列前n项和公式求和. 【详解】（1）设数列的公差为d，依题意，， 即，又，联立解得， 所以的通项公式. （2）记的前20项和为，， 所以 . 6．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知数列为各项均为正数的等比数列，． (1)求的通项公式． (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等比数列的基本量求出，可得的通项公式； （2）由（1）知，代入得数列的通项公式，直接分组求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 又数列是各项均为正数的等比数列，， 所以，解得(负值舍去)， 所以. （2）由（1）知， 因为，所以 ， 则 . 7．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知数列满足：，点在直线上． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列定义求通项公式； （2）分组求和法求前项和． 【详解】（1）因为点在直线，所以，即． 所以是等差数列，且首项为，公差为3． 于是，． （2）因为． 所以 8．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知数列的前n项和为，， (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等比数列定义证明数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. （2）利用分组求和的方法求数列的前n项和. 【详解】（1）当时，，又，∴； 当时，，，两式相减得 又∵， ∴数列是首项为3，公比为2的等比数列， ∴. （2） ∴ 9．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，求解即可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法可求. 【详解】（1）设数列的公差为，则， 又是和的等比中项，所以， 解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以，所以 10．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，数列是常数列，即，列式运算得解； （2）求出数列的通项，利用裂项相消法以及等比数列求和可得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为， 由题得，即， 解得，， 所以，； （2）， 则， . 故. 11．（23-24高二下·四川泸州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且． (1)求； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，可求出，再列方程组可求出，从而可求出； （2）由（1）可得，则，然后利用裂项相消法求和可得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为（）， 因为，，成等差数列，所以， 因为，所以，得， 所以，得， 所以， 所以，，整理得， 解得或（舍去），得， 所以； （2）因为， 所以， 所以 . 地 城 考点04 数列求和之不等式恒成立问题 1．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等比中项． (1)求数列，的通项公式； (2)若为数列的前n项和，求证：． (3)是数列的前n项和，若，证明． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）分别求出两数列的公差和公比即可求解； （2）由错位相减法即可计算求证； （2）求出，由裂项相消法即可计算求证. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则由题意可得即， 所以 （舍去）或， 所以； （2）证明：由（1）可得， 所以 所以， 所以 ， 所以 ， （3）证明：由（1）得， 所以时， 时 . 2．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知等差数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据指数幂的运算性质、对数运算的性质，结合等差数列前项和公式、通项公式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据等比数列的通项公式，结合错位相减法进行求解即可； （ⅱ）用比较法判断数列的单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ， 所以数列的通项公式. （2）（ⅰ）因为是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. ， ， 两式相减，得 ； （ⅱ）， 因为 所以，所以数列是单调递增数列， 所以数列的最小项为， 要想对恒成立， 只需， 所以参数的取值范围为. 3．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知：． (1)设，求数列的通项公式： (2)在（1）的条件下，数列满足． ①设数列，求数列的前项和； ②是否存在，对于任意满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据向量模的计算公式以及已知条件推导出数列的递推关系，进而求出通项公式； （2）①先求出的表达式，再得到的表达式，然后利用错位相减法求出数列的前项和；②通过分析的单调性来判断是否存在满足条件的. 【详解】（1）当时，由已知可得： ． 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，则： （2）由（1）可得，则． ①由题设可得 ∵      ． ∴以上两式相减得： ， 化简得：． ②因为， 所以， 易得， 当时，，则； 当时，， 又随的增大而增大， 所以当时，，即； 则数列的最小值为，则存在，使得对于任意满足． 4．（24-25高二下·四川宜宾·期末）已知函数，数列满足：，，数列的前n项和为，且． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列，，前n项和为，若对一切正整数n，恒成立，求m的最小值； (3)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)3 (3)证明见详解 【分析】（1）分析可知数列是等差数列，进而可得数列的通项公式，根据前n项和与通项之间的分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法可得，结合恒成立问题分析求解； （3）分和两种情况，放缩可得，结合裂项相消法分析证明. 【详解】（1）因为函数，则，即， 可知数列是以首项，公差为2的等差数列， 所以； 又因为， 当时，则，解得； 当时，则，两式相减得，即， 可知数列是以首项，公比为2的等比数列， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 因为，则， 若对一切正整数n，恒成立，则， 且，所以m的最小值为3. （3）由（1）可知：，则， 当时，； 当时，则， 可得； 综上所述：. 5．（24-25高二下·四川成都·期末）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求； (3)证明： 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出公差，进而求出通项公式. （2）利用等差数列的前项和公式求解. （3）利用裂项相消法求和，结合放缩法推理得证. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以的通项公式为. （2）由（1）得. （3）由（1）得， 所以 . 6．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求数列的前项和，再根据数列的单调性证明. 【详解】（1）由题意. 当时， . 当时，，， 两式相减，得 所以， 又因为，所以. 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 所以. （2）因为 ， 所以 ， 因为为单调递增数列，且, 所以. 7．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项； （2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得. 【详解】（1）因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； （2）由（1）知， 故， 因，，故得. 8．（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列满足. (1)求并证明数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数. 【答案】(1)，证明见解析 (2)2025. 【分析】（1）对递推式两边取倒数变形可得，然后根据等比数列定义证明即可； （2）利用分组求和可得，可得，即可得解. 【详解】（1）因为，所以，所以. 又因为， 所以是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可知所以. 所以 ， 要使， 则，由可知，所以， 即的最大值为2025. 9．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且. (1)求； (2)求的通项公式； (3)已知数列的通项公式为，且对任意的都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）法1，根据给定条件，利用累乘法求出；法2，根据给定的递推公式，利用构造法求出； （2）由（1）的结论，利用前项和与第项的关系求出； （3）由（2）求出，再变形给定不等式分离参数，构造函数并利用导数求出最大值，结合数列特性求解. 【详解】（1）法1：由，得，而，当时， ， 而满足上式，所以. 法2：由，得，则， 因此数列是常数列，则，即， 所以. （2）由（1）得，当时，， 则，而满足上式， 所以的通项公式. （3）由（2）得，依题意，对任意的都成立， 设函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，因此当时，，则， 所以的取值范围是. 10．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，的前n项和为，，设，数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对一切恒成立，求实数λ的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得，即可求解； （2）利用等差数列的求和及乘公比错位相减法求和，根据题意转化为对一切恒成立，令，求得，结合数列的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，且， 可得，即，解得， 所以， 则 （2）由（1）知，， 可得，① 则，② 所以①－②得 ， 所以， 所以， 由（1）得，所以， 因为不等式对一切恒成立， 所以且， 所以对一切恒成立， 即对一切恒成立，所以， 令，则，所以， 当时，，所以单调递减； 当时，，即； 当时，，所以单调递增； 综上可得，的最小值为， 所以，所以λ的最大值为． 11．（23-24高二下·四川内江·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)数列是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)是等比数列，； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用求得且，注意验证，即可判断是否为等比数列，进而写出通项公式； （2）由（1）得，裂项相消法求，即可证结论. 【详解】（1）由题设，即，且， 又时，，可得， 综上，是公比为2的等比数列，通项公式为. （2）由题设，故， 所以 ，又， 所以，得证. 12．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足． （1）分别求数列、的通项公式； （2）若数列满足，是数列的前n项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，． 【分析】（1）利用求得，利用倒序相加法求得. （2）利用错位相减求和法求得，由分离常数，结合基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1），， ， 时满足上式，故（）， ∵，∴， ∵ ① ∴ ② ∴①+②，得，∴. （2）∵，∴， ∴ ① ② 得， 即， 要使得不等式恒成立，恒成立， ∴对于一切的恒成立，即， 令（），则， ， 当且仅当时等号成立，故，所以为所求． 地 城 考点05 数列求和之有绝对值问题 1．（23-24高二下·江苏无锡·月考）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意结合等比数列的性质求出，进而可求出公比，即可得解； （2）分和两种情况讨论，结合等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 因为与的等比中项为2，所以， 则，解得（舍去）， 所以，所以（舍去） 所以； （2）由（1）得， 令，则， 令，则， 当时，， 当时， ， 综上所述，. 2．（24-25高二下·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为， (3) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可根据等差通项的公式求解， （2）根据单调性即可求解， （3）根据的正负，即可分类求解. 【详解】（1）由可得，故，设公差为d，， 由可得，， 故， 由于，所以，因此，因此， 故， （2）， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值，为最小值， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值1，此时无最小值， 综上可得的最大值为1，最小值为， （3）由可得当且时，， 当且时，， 所以当且时，， 当且时， ， 故 3．（23-24高二下·四川南充·期末）已知等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式求出公差，最后写出其通项即可； （2）分和并结合等差数列求和公式即可得到答案. 【详解】（1）数列是等差数列，且， 公差， 因此，. （2）由（1）知， 所以，当时，；当时，;当时，， 因此，当时， ， 当时， ， 综上，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $