陕西延安市黄陵县黄陵中学2026届高考二模数学拟题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知全集U=AUB={0,1,2,3},A={0,1,2},则集合B可能为 A.0 B.{-1,3} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3 弥 2已知复数：=则。 A.-6i B.6i C.-6+6i D.6-6i 3.已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)+2+1,则f(1)= A.0 B.1 C.2 D.-1 4.2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛.某人形机器人行走 时，踝关节摆动高度y(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化满足y=5sin(wt十6π)(aw>0),已 知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为1.2$，则w= A哥 B号 c D.5 3 ) 5.已知数列{an}的前n项和Sn=2026n,则a227= A.2025 B.2026 C.2027 D.2026X2027 出：. 6.已知a,B均为锐角，则“sina=sinB”是“sin2a=sin2g”的 A充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 7.已知双曲线C:a一=1(a>0,b>0)的右焦点为F,0为坐标原点，直线x=a与双曲线C 的一条渐近线交于点A,若|AF|=|OF|,则C的离心率为 23 A.2 B.3 C.3 D 3 &在△ABC中，∠A=石，若x∈R,xAC+A≥BC,则∠B c D. 2π 【高三数学②第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆C若+6=1的左，右焦点分别为F1,F,点P在C上且位于第一象限，PF, 1P,=则 A.△PF1F2的周长为16 &1P,-9 C.IPF.! D直线PF,的斜率为号 10.已知函数f(x)=√Sinx十x,则 A.f(x)的定义域为{x|2kπ≤x≤π十2kπ，k∈Z B.f(x)的值域为R C.f(x)在(0，)上单调递增 D,存在a∈（π，3），使得函数y-f(x)-Q恰有两个零点 2百m子， d 11,已知数列{a,}的通项公式为a.=dm+2(d>1),数列b.)的通项公式为6，=b1g-1.若Vt ∈N+,当d-1≤n≤d-1时，b,<an<b+1,则 A.6>0 a-号<d+号 c6=号 D.q=d 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某市开展餐饮消费调查，比较预制菜餐厅与传统现炒餐厅的翻台率（每天每桌接待顾客批 次)，得到预制菜餐厅的平均翻台率为3.2次/（桌·天），传统现炒餐厅的平均翻台率为 2.4次/（桌·天）.已知该市餐饮协会数据显示，全市营业餐厅中，预制菜餐厅约占40%，其 余的都是传统现炒餐厅，据此估计，全市餐厅的平均翻台率约为▲次/（桌·天）. 13.已知函数f(x)=(x-1)(x一a)(x-b)没有极值点，则f(2)= ▲· 14.如图，在三棱锥D-ABC中，AB=AD=2,AC=CD=3,BD=√6， BC=√7，则该三棱锥的体积为△ 【高三数学②第2页（共4页）】 ·SX 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚众： 15.(13分) 父优语野静就裤公员游成宝容全 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,bc,sinA=2sinC,a一b=2,cosC= 8 (1)求c; 9v15 (②)点D在边BC上，若△ACD的面积为94，求AD. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E,F,G分别是PD,AB,CD的中点，点 O在线段FG上，P0⊥平面ABCD,PO=2,AB=2,OF=1,OGF2. (1)证明：OE平面PBC. (2)求直线OE与平面PAB所成角的正弦值. 17.(15分) 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛.已知第一局比赛 甲、乙获胜的概率分别为0.6,0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分 别为0.7,0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5,0.5. (1)求甲赢得本次比赛的概率； (2)用X表示甲获胜的局数，求X的分布列与期望。 18.(17分) 岩，三高 已知函数fz)-a一2》-ln(x-1 x （1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)若yz∈[2，+∞)，f(x)≤0，求a的取值范围； ,显水分8本：带新 微要二 @还明：va2aeN,2(分十号++)n” 2 =1f-1)其4与. .f.0}0 0在。】 附t人桌赛交人器所会金0汇示，的日下@平产 19.(17分) 已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于P,Q 两点，当|FP|=|FQ1时，|PQ1=4. (1)求C的方程. (2)记过点P且与C相切的直线为L,过点P作直线L的垂线交C于另一点H,求|PH|的 最小值， (3)是否存在定圆M,使得以PQ为直径的圆始终与圆M相切？若存在，求圆M的方程；若 不存在，说明理由. 00G1 料希食资本这年 宋线个 判老不出代分小湖d 发您小杀 、销标 高三数学参考答案 题序 1 2 3 8 9 10 11 12 13 14 答案 D y D D B A B AC ACD ABD 2.72 1 95 6 【评分细则】 【1第18题，凡与答案不符的均不得分 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分. 【3】第12,13,14题，凡与答案不符的均不得分. 1.D【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养 集合B可能为{0,1,2,3) 2.A【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养 -6+6i-6(1-i)2 之= 1+i(1+i0(1-D=6i,z=-6i. 3.D【解析】本题考查函数，考查数学运算的核心素养， f(-1)=1,f(1)=-f(-1)=-1. 4.D【解析】本题考查三角函数，考查应用意识。 由题意可得。=一子 5.B【解析】本题考查数列，考查数学运算的核心素养 因为Sn=2026n,所以Sm-1=2026(n-1),两式相减可得am=2026,所以a227=2026. 6.C【解析】本题考查充分条件与必要条件、三角恒等变换，考查逻辑推理的核心素养。 因为sina=sinB,a,B均为锐角，所以a=B. 因为sin2a=sin2p,a,8均为锐角，所以2a=28或2a+28=元，即a=p或a+8= 故“sina=sinB”是“sin2a=sin2R”的充分不必要条件. 7.A【解析】本题考查双曲线，考查直观想象、数学运算的核心素养. 记直线x=a与x轴的交点为B,则|OB|=a,|AB|=b,|OA|=c.因为|AF|=|OF|=c, 所以△OAF是等边三角形，∠AOB=号，e=日-】 a cos3 8.B 【解析】本题考查平面向量，考查逻辑推理、直观想象的核心素养。 设xAC+AB=A户，则点P在过点B且平行于AC的直线上，所以|xAC+AB|的最小值为 【高三数学·参考答案回第1页（共7页）】 ·SX· △ABC中AC边上的商，即△ABC中AC边上的高为B,所以∠C=受，∠B=号 9.AC【解析】本题考查椭圆，考查直观想象、数学运算的核心素养， 18 △PF1F2的周长为2a十2c=16,A正确.由 PF:1-IPF:= 5'解得|PF= IPF|+|PF2|=10, B错误，C正确.PE=PF,P+F,F2P,∠PFF,=90°，直线PF,的 a乙PF,E=-是D错误 10.ACD【解析】本题考查函数，考查逻辑推理、数学运算的核心素养. 令sinx≥>0，解得x∈[2kπ，π十2kπ](k∈Z),所以f(x)的定义 域为(x2k≤x≤π+2k元，k∈Z),A正确.当x∈(0，)时，函 数y=√sinz,y=x单调递增，所以f(x)在(o,)上单调递 增，C正确.记f(x)=√inz+x=t,则sinx=(z-t)2(x≤).当1=-2时，函数y= sinx与y=(x-)(x≤)的图象显然没有交点，即f(x)的值域中一定不含受， B错误 当t=π时，函数y=sinx与y=(x一π)2(x≤π)的图象如图所示，若将函数y=(x一π)2(x ≤)的图象往右移一点，两个函数的图象有两个交点，所以存在α∈（π，3），使得函数y= f(x)一a恰有两个零点，D正确. 11.ABD【解析】本题考查数列，考查逻辑推理的核心素养. 因为a,=dn+号>0,6+1>a,>0,所以61>09>0,6，>0，A正确. 6,<a,s-=ag=d+号4>a,m=ay-=d1-号即6，>d-号所以d-号 ,<d+号，B正确 d'+1d 2<61<dr1+g, d*1 d+1+ 2所以2+ 2 d2+d d+2 b, d'-g ,即d-2dr+a<g<d+ 2 d'+d d2+d 2·d'-d 因为当一十©时.2：d+dd千2十d都趋近于d,所以g=d,D正确 【宫=数学·参考答案⑤第2页（共7而1】 SX. 因为d-号b,<d+ ，所以a-号<b,a<d+号，即d-2 d-2<b1<d+、1 1 2d2.因 为当t十o时，d一2d+2动都趋近于d,所以6，=4，C错误 12.2.72【解析】本题考查平均数，考查数学运算的核心素养. 全市餐厅的平均翻台率约为3.2×40%+2.4×60%=2.72次/（桌·天）. 13.1【解析】本题考查函数，考查逻辑推理的核心素养， 因为f(x)没有极值点，所以f(x)是单调函数，所以f(x)最多只有1个零点，显然x=1是 f(x)的零点，所以a=b=1,f(x)=(x-1)3,f(2)=1. 14.95 【解析】本题考查立体几何，考查直观想象、数学运算的核心素养 过D作DE⊥AC,垂足为E,设点D在平面ABC内的投影为F,连 接EF,作BG⊥AC,垂足为G,作FH⊥BG,垂足为H.在△ACD 中，AD边上的高为2E,DE=2Xg2-AE=AD-DE 3 E =子在△DEF中，DE=EF+DF:-号O.在△ABC中， COS/ABC-AB+BC-AC:_1 2AB·BC-27=,sin∠ABC-35-3V2L 2714,S△Ac2AB BC·sin∠ABC=2AC·BG-3 2,解得BG=3,AG=√AB2-BG=1.EFHG为矩 形，FH=EG=AG-AE=号，GH=EF,在△BFH中，BF=FH+BH=号+(BG- GH)=号+(5-EF)2.在△BDF中，BD2=DF+BF,所以6=DF2+号+8- EP只，结合①.潮得EF-怎DF-所以该三棱箱的体积为5om·DF-专× 3√3 3 2 x95V95 336 15.【解析】本题考查解三角形，考查直观想象、数学运算的核心素养. 解：(1)因为sinA=2sinC,所以a=2c.…2分 因为a一b=2,所以b=a一2=2c一2，… 3分 cos C=ait62-c27 5分 2ab 82 即4c2+(2c-2)2-c27 2X2c(2c-2)广=8，解得c=4.… …7分 (2)由(1)可得a=8,b=6. 【高三数学·参考答案②第3页（共7页）】 ·SX· 因为cosC-名，所以snC= 8 9分 △ACD的面积为2AC·CDsin C=9西 5,解得CD=6. 11分 AD=V√AC2+CD2-2AC·CDcos C=3.… 16.【解析】本题考查空间向量与立体几何，考查直观想象、数学运算的核心素养 …13分 (1)证明：因为F,G分别是AB,CD的中点，所以BF=CG,BF∥CG,四边形BCGF为平行 四边形，所以FGBC. …1分 因为FG吐平面PBC,BCC平面PBC,所以FG平面PBC.… 2分 在△PCD中，EG∥PC.连接EG.因为EG￠平面PBC,PCC平面PBC,所以EG∥平面 PBC.… …3分 因为FG∩EG=G,所以平面OEG平面PBC.… 4分 因为OEC平面OEG,所以OE平面PBC.… 6分 (2)解：以OG,OP所在直线分别为y,之轴，建立如图所示的空间 直角坐标系。 O(0,0,0),A(-1,-1,0),P(0,0,2),B(1,-1,0),D(-1,2, 0,E(-2,1,1, 8分 B 0i=(-号，1,1，A=(11,2,B2=（-1,1,2. 10分 设平面PAB的法向量为n=(x,y,之)， BP·n=-x+y+2z=0, 则 A2.n=x十y+2z=0, 取y=-2,得n=(0,-2,1).…12分 cos(n,OE)=_ n. -2+1_2√5 o是5× 3 15 14分 25 所以直线OE与平面PAB所成角的正弦值为15： 15分 17.【解析】本题考查随机变量及其分布，考查逻辑推理、数学运算的核心素养 解：(1)甲赢得本次比赛的情况共3种： 第1种情况，甲连胜2局，其概率P1=0.6X0.7=0.42; 2分 第2种情况，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，其概率P2=0.6×0.3X0.5=0.09；… …3分 第3种情况，甲第1局负、第2局胜、第3局胜，其概率P3=0.4×0.5X0.7=0.14.… …4分 SX. 故甲赢得本次比赛的概率为P1十P2十P3=0.65.… …5分 (2)依题可知，X的所有可能取值为0,1,2,3.… 6分 P(X=0)=0.4×0.5×0.5=0.1.… 7分 甲赢2局的情况共3种，分别为甲第1局胜、第2局胜、第3局负，甲第1局胜、第2局负、第 3局胜，甲第1局负、第2局胜、第3局胜. P(X=2)=0.6X0.7X0.3十P2+P3=0.356,… 9分 P(X=3)=0.6×0.7×0.7=0.294, 10分 P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X=3)=0.25. 12分 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.25 0.356 0.294 E(X)=0×0.1+1×0.25+2×0.356+3×0.294=1.844. 15分 18.【解析】本题考查导数，考查逻辑推理的核心素养 (1)解：当a=1时，f()=x2-1n(x-1),f'(x)= x2x-1 2分 f(2)=0,'(2)=-1 2 …3分 故所求切线方程为y=一2(x一2)，即x十2y一2=0. 4分 (2)解：因为f(2)=0,Hx∈[2，十∞)，f(x)≤0，所以f'(2)≤0.…6分 f(x)2z之则f2)=号-10，解得a≤2 …7分 下面证明当a≤2时，Hx∈[2，十o∞)，f(x)≤0. 当a≤2时，f(x)≤2x-2)-1h(x-1D.… 8分 令函数gx)=2x,2》-1n(x-1)=2(1-2）-1n(x-1D,x≥2， g'(x)=4-1=-z2+4x-4-(x-2) x2x-1x2(x-1)-x2(x-1) ≤0， 9分 所以g(x)在[2，十∞)上单调递减，所以g(x)≤g(2)=0,即当a≤2时，Hx∈[2，十∞)， f(x)≤0. 10分 综上，a的取值范围是（一∞，2].… …11分 (3)证明：由(2)知Vx∈[2，十o0),2x一2)》-1n(z-1≤0，当且仅当z=2时，等号成立， 所以当x>2时，2(x-2) <1n(x-1). 12分 7 SX. 当n≥2nN时n2>2,令x= 得22) 2n 2(2n 2n 21-1),即<1n In n-1 n-1 14分 h+n号+h号+h+n+ln,”2+ln n-1 =Inn(n+1) 2 …16分 所以2（分+号++）<nm2士D 17分 19.【解析】本题考查抛物线，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 解：(1)当|FP|=|FQ时，PQ⊥x轴，… …1分 此时P(2,士p）,PQ=2p=4,解得p=2,… 2分 所以抛物线C的方程为y2=4x.… …3分 (2)根据对称性，不妨设点P在第一象限，直线1的方程为y=kx十b(>0), y=kx+b, 由 y2=4x, 得k2x2+(2kb-4)x十b2=0. 由4=(26一02-4桃62=0，得6=1，则x=是y-是所以P(尽会)】 设过点P且与直线1垂直的直线的方程为y=一名(x-)+号，…5分 与y2=4x联立可得y2+4,y一-8=0. 4 设P1,Hx:,则十y=-=是-8 1PH=V1+√，+2)-4yg-4+1WA2 24 (k2+1)3 2 …7分 令k=zx>0,fx)=z+1D,则f'c)=z+12红-》 当x∈(o,2)时，f'(x)<0,当x∈(2，十∞)时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，)上单调递 减，在（分+o∞）上单调递增，所以f(x)≥f()-2,… 8分 |PH|=4 (k2+1) ≥6区，当且仅当-号时，等号成立，所以1PH1的最小值为6v5 9分 (3)设直线PQ:x=my+1,P(x1,y1),Q(x3y3). 由/区=my+1, y2=4x, 得y2-4y-4=0,△=16m2+16>0,y1+y3=4m,y1y3=-4, 十z=m(y1士y)+2=2m2+1,y2=2m,则PQ的中点N(2m2+1,2m).… 2 2 …11分 |PQ|=vm2+1·√(y1+y3)2-4y1y3=√m2+1·√16m2+16=4m2+4, 则以PQ为直径的圆的圆心为N(2m2+1,2m),半径R=2m2+2.…12分 假设存在符合题意的定圆M,设M(s,t),半径为r,则有|MN|=|R士r|, 即(2m2+1-s)2+(2m-t)2=(2m2+2-r)2恒成立， 或(2m2十1-s)2+(2m-t)2=(2m2十2十r)2恒成立.…13分 若(2m2+1-s)2+(2m-t)2=(2m2+2-r)2, 化简得4m2(r-s)一4tm+s2十t2一r2+4r一2s一3=0， 3 r-s=0, 则-4t=0, 解得t=0, s2十t2-r2+4r-2s-3=0, r=2 故存在定圆M:(x-)》+y-是符合题意 …15分 若(2m2+1-s)2+(2m-t)2=(2m2+2+r)2, 化简得4m2(r+s)+4tm-s2-t2+r2+4r+2s+3=0, 3 s= r十s=0, 2’ 则4t=0, 解得t=0, 舍去 16分 -52-t2+x2+4r+2s+3=0, 3 r三一 2 综上，存在定圆M:(x-)+y2=号，使得以PQ为直径的圆始终与圆M相切。 17分