浙江台州市书生中学2025-2026学年高一下学期五一假期数学练习

**基本信息** 涵盖函数、概率统计等核心知识，结合GDP增长、沙门氏菌检验等现实情境与切比雪夫数学史素材，注重基础巩固与创新应用，适配高一学生周测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8题|函数性质、概率、排列组合|第6题以GDP增长率考查指数运算，体现数学眼光观察现实| |多选|3题|独立性检验、概率公式、不等式|第9题结合列联表考查统计推断，培养数据观念| |填空|4题|分布列、二项式系数、函数不等式|第13题二项式定理应用，强化运算能力| |解答|6题|线性回归、概率期望、函数零点、数学史|第19题超市抽奖方案设计，第20题切比雪夫偏差问题，综合考查数学思维与建模能力|

五一高一数学练习 1.设，则    A. B. C. D. 2.下列等式恒成立的是(    ) A. B. C. D. 3.四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是(    ) A. B. C. D. 4.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，甲通过测试的概率为(    ) A. B. C. D. 5.函数的图像大致为     A. B. C. D. 6.某地GDP的年平均增长率为，按此增长率，该地GDP翻两番大约需要多少年参考数据：， A. 11年 B. 22年 C. 25年 D. 33年 7.已知是定义在R上的偶函数，，且在上单调递减，若，，则    A. B. C. D. 8.已知函数与函数图象两个交点的坐标为，，其中，当m增大时，的值(    ) A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 9.（多选）某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 150 b 200 常规培养法 c 80 200 合计 270 130 400 参考公式：，其中 下列表述正确的是(    ) A. ， B. 零假设在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C. 依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D. 常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 10. （多选）下列说法正确的是(    ) A. 若A和B是两个独立事件，则 B. 设和B互为对立事件，则 C. 若，则 D. 若，则 11. （多选）已知关于x的不等式组，其中，则下列结论正确的是(    ) A. 当时，不等式组的解集为 B. 当时，不等式组的解集可以为的形式 C. 不等式组的解集恰好为，那么 X 1 2 3 P m D. 不等式组解集恰好为，那么 12.已知随机变量X的分布列为 其中m为常数，则           . 13.的展开式中，含项的系数为           用数字作答 14.已知函数，则使不等式成立的实数t的取值范围是           . 15. 已知的展开式的所有二项式系数之和为64， 求n的值; 求展开式的常数项. 16. 某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 5 高度 由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求出相关系数加以说明； 求y关于x的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度． 参考数据： 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 17.某人进行3场比赛任何一场比赛均分出胜负，规则如下：第1场获胜的概率为若上一场获胜，则本场获胜的概率为若上一场失败，则本场获胜的概率为 分别求第2场、第3场获胜的概率; 设X为3场中获胜的总场数，求X的数学期望 18. 已知函数，其中a为常数，且 若是奇函数，求a的值; 证明：在上有唯一的零点; 设在上的零点为，证明： 19. 2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过500元含500元均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立． 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球其中红球2个，白球3个，黑球5个的抽奖盒中，一次性摸出3个球．其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则消费金额打五折；若摸出1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不打折． 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球其中红球4个，黑球6个的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减100元． 若甲、乙两位顾客均分别消费了500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率； 若某顾客消费恰好满800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 20. 俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为，的“偏差”. 函数，，求，的“偏差”; 函数，，若，的“偏差”为2，求k的值; 函数，，若，的“偏差”取最小值，求a，b的值，并求出“偏差”的最小值. 1.【答案】C  【解析】【详解】由题可知：， 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查基本不等式，考查学生的计算能力，属基础题. 根据题意举反例以及基本不等式即可求解. 【解答】 解：显然当，时，不等式不成立，故A错误； B.，，，故B正确； C.显然当，时，不等式不成立，故C错误； D.显然当，时，不等式不成立，故D错误． 故选 3.【答案】C  【解析】【详解】每个同学报名都有3种情况，共有4个同学，则有种报名方法. 4.【答案】A  【解析】解：由题意得，考生甲答错每一题的概率为， 所以两道题都答错的概率为， 故甲通过测试的概率为 5.【答案】B  【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时，，所以，排除 故选： 6.【答案】B  【解析】解：设该地现在的GDP是a， 由题意知，一年后的GDP是， 两年后的GDP是， 三年后的GDP是，…， 设n年后该地的GDP会翻两番， 则， ， 即，又n为正整数， 到该国GDP翻两番大约需要22年. 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】首先得在上单调递减，进一步通过偶函数性质以及将自变量都转换到区间内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解． 【详解】因为是偶函数，，在上单调递减， 所以在上单调递减． ，， 因为，所以， 所以， 所以，故 8.【答案】B  【解析】解：由题意得函数与的交点满足方程：， 整理得二次方程：， ，由于，则，方程有两个不等实根， 由韦达定理得： 则， 则 令，由于随m增大而减小，故随m增大而减小， 因此随m增大而减小。 9.【答案】ACD  【解析】解：对于A，根据表格数据可知：，，A正确； 对于B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异， 零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误； 对于C，由题意得，所以零假设不成立， 依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确； 对于D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为，D正确． 10.【答案】BCD  【解析】【分析】根据独立事件和对立事件的概念可判断AB；根据条件概率公式即可判断 【详解】A和B是两个独立事件，则， ，故A错误； 和B互为对立事件，则，即，故B正确； 易知，， ，故C正确； ，故D正确． 11.【答案】ABD  【解析】解：对于，即，记为不等式①， 判别式， 对于，即 ，记为不等式②， 判别式 对于选项A：当时， 不等式①：，开口向上，解集为R 不等式②：，开口向上，解集为， 从而不等式组的解集为，故A正确 对于选项B：当时 不等式①：，方程即，解集为R， 不等式②：，若，，解集为闭区间，此时不等式组解集为， 符合形式，故B正确， 对于选项C、D：解集为，且两不等式对应函数的对称轴相同， 需不等式②解集为，不等式①解集为R，因且解集非空，故， 方程的根为，由韦达定理： ，， 从而解得或。 当时，与与矛盾，舍去， 当时，，满足，此时， 故C错误，D正确， 故选 12.【答案】  【解析】由分布列的性质可得：，解得。 则。 所以 13.【答案】119  【解析】【分析】写出含有项的系数，再利用二项式系数的性质化简可得结果． 【详解】解：展开式中含有项的系数为： 14.【答案】  【解析】【分析】由函数解析式知函数的图象关于直线对称，易得函数在上是减函数，在上为增函数，利用对称性和单调性解不等式即可. 【详解】函数定义域为R，  ， ， 关于直线对称， 当时，函数在上递增，在上递增， 所以在上递减， 又关于对称，所以在上递增. 由得，即， 等价于，解得 15.【答案】解：二项展开式中，所有项的二项式系数之和为， 由已知得，得 展开式的通项为， 令， 展开式的常数项为   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：由， 所以， 因为r与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y与x的关系； ，， 所以y关于x的回归直线方程为， 当时，，由此预测第7天这株幼苗的高度为   【解析】略 17.【答案】解：第2 场获胜的概率： 设表示“第i场获胜”，已知，则， 根据全概率公式：， 第3场获胜的概率：已知，则， 根据全概率公式： 设表示第i场胜，表示第i场败，则服从分布， 且， ， 根据数学期望具有线性性质：  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：，易得的定义域为， 若是奇函数，则，恒成立， 即， 化简得，解得，经检验满足题意， 故； 证明：由题意，， ，函数和在上都是连续增函数， 在上是连续增函数，                   又，， 由零点存在定理可知在上有唯一的零点； 证明：由在上的零点为，则， ，即， 由可知， 易知函数在上单调递减， 又， ， ，则   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：选择方案一，若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 选择方案一若消费金额打八折，则需摸出1个红球和2个黑球， 设甲顾客享受到免单优惠为事件A，则， 设乙顾客消费金额打八折为事件B，则， 所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为： 若选择方案一，设实际付款金额为 X，则 X的可能取值为0，400，640， ，， ，， 所以元 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则 由题意知，，故 所以元 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 20.【答案】解：， 因为，所以， 则， 因此与的“偏差”为 令， 因为，所以函数是单调减函数， 所以， 根据题意，函数，，且， 当，即时，， 所以或， 解得舍或； 当，即时， ，解得或，不符合； 综上所述， 函数 ， 则 ， ， 当且仅当，即时取"="， 所以，的“偏差”最小值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第4页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $