第六章 平行四边形（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 北师大版八年级平行四边形单元培优卷，24题覆盖性质、判定、中位线等核心知识，通过分层设计与真题情境提升推理能力与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行四边形性质（第1题）、判定（第2题）、中位线（第3题）|融合期末/中考真题（如第6题2025广东中考题），基础巩固与空间观念结合| |填空题|6/18|平移性质（第12题）、动点平行四边形判定（第14题）|设置动态问题（第14题运动时间探究），培养抽象能力与创新意识| |解答题|8/72|角平分线与平行四边形综合（第17题）、中点连线性质（第24题）|分层设计综合题（如第24题三问递进），强化推理能力与模型意识|

第六章 平行四边形·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质．根据三角形的中位线定理，可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴ 故选：D． 4．（2023·吉林·一模）如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（   ）    A．5 B．7 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可． 【详解】解: ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵的平分线交边于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般． 5．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的定义即可求解． 【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、 GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形， 共9个， 故选：C． 【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复． 6．（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 7．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 8．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为，，，，顺次连接、、、四点形成封闭图形，该图形的面积为(        ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质与判定．根据题意，得出四边形是平行四边形，再结合平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为，，，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以该图形的面积为：． 故选：C． 9．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，等边三角形中，，D、E是边上的两点，，P是线段上一动点，过点P分别作的平行线交于点M、N，连接、，交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段扫过的区域面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理．过点A作，垂足为H，先证明四边形是平行四边形，在点P由点D移动到点E的过程中，点G始终是的中点，且到边的距离始终等于，点G的运动轨迹是的中位线，据此求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为H， ∵等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在点P由点D移动到点E的过程中，点G始终是的中点，且到边的距离始终等于， ∴点G的运动轨迹是的中位线， ∴点G的运动距离， ∴线段扫过的区域是底为2，高为的一个三角形， ∴线段扫过的区域面积． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则 ． 【答案】/23度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由平行四边形的性质得，即得，进而根据等腰三角形的性质得，再根据三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，根据平移的性质推出四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴，即平移距离为2； 故答案为：2 13．（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，点、、分别为三边的中点，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，根据三角形中位线定理得、、，继而得到，即可得到答案．解题的关键是掌握中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵点、、分别为三边的中点， ∴、、为的中位线， ∴，，， 即，，， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 14．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4 【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BC-BF=（8-3t）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t=8-3t， 解得：t=2； 当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm， 则CF=BF-BC=（3t-8）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=3t-8， 解得：t=4； 综上可得：当t=2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 15．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）如图，在中，，M，N分别是的中点，延长至点D，使，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，，证明四边形是平行四边形，得到，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可． 【详解】解：连接，如图， ，，， ． 、分别是、的中点， ，， 又， ∴， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ． 故答案为：． 16．如图所示，平行四边形ABCD的面积为10，它的两条对角线交于点，以AB、为邻边作平行四边形,平行四边形的对角线交于点，同样以AB、为邻边作平行四边形,……，依次类推，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到,而，得到，同理易知，以此类推，可以得到结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴， 又∵， ∴， 同理可得 ， ， ， 以此类推有：， 而=10 ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平行四边形的性质，得，故，又因为分别是和的平分线，得，即可作答． （2）先结合平行四边形的性质，得，则的周长，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又分别是和的平分线， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形． ， 的周长． ， 的周长为16． 18．（6分）（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，已知，平分，E为的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是的中点，再根据点E为的中点可得，是的中位线，进而即可求解； （2）根据中位线的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是边上的中线， ∴点D是的中点， 又∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：由（1）可得，是的中位线， ∴． 19．（8分）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． (1)添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； (2)在（1）添加的条件下，写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键． （1）添加一个条件使四边形是平行四边形即可． （2）由平行四边形的性质得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：添加条件：．使四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一） （2）证明∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 20．（8分）（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明 ，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 21．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上． (1)请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）； (2)在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据平行四边形的判定以及数形结合的思想解决问题即可； （2）根据平行四边形的性质以及数形结合的思想解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求． （2）连接交于点，作直线，直线即为所求． 22．（10分）（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据三角形中位线的性质可得，且，，且，进而可知，且，即可证明结论； （2）首先证明，，再在中由勾股定理解得的长度，然后由，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵点D、E分别为的中点， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 23．（12分）（24-25九年级下·福建厦门·月考）如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由． (2)若的面积是4，求四边形的面积． 【答案】(1)图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形，理由见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理，掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等． （1）由为的中点，可得，再由条件可得四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等可得的面积和的面积都等于的面积为4，从而可得四边形的面积为16． 【详解】（1）解：图中的平行四边形有：平行四边形，平行四边形， 理由是：∵E为的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵D为的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）知四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积是16． 24．（12分）（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题． （1）利用三角形中位线定理，分别证明和都平行且等于的一半，从而得到与平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证； （2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，结合是中点的条件，即可推导出； （3）将四边形的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和的面积，把两部分面积合并得证． 【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，且； 又∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，且； ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵是的中点， ∴， ∴； （3）解：猜想，证明如下： 由（1），， ∴，， ∴． ∵与同高， ∴， 同理可得：． 又，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平行四边形·培优卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·吉林·一模）如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（   ）    A．5 B．7 C．3.5 D．3 5．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．11个 6．（2025·广东·中考真题）如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 8．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为，，，，顺次连接、、、四点形成封闭图形，该图形的面积为(        ) A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，等边三角形中，，D、E是边上的两点，，P是线段上一动点，过点P分别作的平行线交于点M、N，连接、，交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段扫过的区域面积为（      ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则 ． 12．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于 ． 13．（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，点、、分别为三边的中点，若的周长为，则的周长为 ． 14．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 15．（24-25八年级下·安徽黄山·期中）如图，在中，，M，N分别是的中点，延长至点D，使，连接，若，，则 ． 16．如图所示，平行四边形ABCD的面积为10，它的两条对角线交于点，以AB、为邻边作平行四边形,平行四边形的对角线交于点，同样以AB、为邻边作平行四边形,……，依次类推，则平行四边形的面积为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，中，分别是和的平分线，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的周长． 18．（6分）（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，已知，平分，E为的中点． (1)求的长； (2)求证：． 19．（8分）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． (1)添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； (2)在（1）添加的条件下，写出证明过程． 20．（8分）（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 21．（10分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上． (1)请在网格中画出，使（点C，D都在正方形网格的格点上）； (2)在（1）中所画出的内部取一点O，连接，使得直线平分的面积（保留必要作图痕迹）． 22．（10分）（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长度． 23．（12分）（24-25九年级下·福建厦门·月考）如图，在中，D、E分别是、的中点，F是延长线上的点，且． (1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由． (2)若的面积是4，求四边形的面积． 24．（12分）（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $