11.3一元一次不等式组（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学课件聚焦一元一次不等式组的概念、解集确定及应用，通过工程队抽水的实际问题导入，先回顾一元一次不等式解法，再引出需同时满足的两个不等式，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于运用数形结合（数轴找公共部分）、类比思想（类比方程组定义不等式组）和建模思想（香油购买等实际问题），发展学生抽象能力、推理意识和模型观念。学生通过“分开解、借数轴、集中判”步骤提升运算能力，教师可借助口诀和真题感知高效教学。

11.3 一元一次不等式组 第十一章 不等式与不等式组 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解一元一次不等式组及其解集的概念；掌握利用数轴确定一元一次不等式组解集的方法；能熟练解由两个一元一次不等式组成的不等式组；能根据简单实际问题列出一元一次不等式组并求解. 经历一元一次不等式组概念的形成、解集的探究过程，体会类比、数形结合的数学思想；通过自主探究、合作交流，提升观察、归纳、运算和数学建模能力. 感受一元一次不等式组在实际生活中的应用价值，激发数学学习兴趣；在探究解题过程中，培养严谨的数学思维和规范解题的习惯. 知识回顾 1、什么是一元一次不等式？ 只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，且不等号两边都是整式的不等式称为一元一次不等式 2、如何解一元一次不等式 01 去分母 注意： 两边同时乘除负数时，不等号方向改变 02 去括号 根据乘法分配律 注意： 括号前的符号 03 移项 把含未知数的项移到一边 注意： 移项要变号 04 合并同类项 不等式化为： ax > b 或 ax < b (a ≠ 0) 的形式 05 系数化为 1 两边同除以未知数系数 注意： 不等号方向是否改变 知识回顾 解不等式，并把解集在数轴上表示出来. 解：去分母，得4x ≤ 2-(x-3). 去括号，得4x ≤ 2-x+3. 移项，得4x +x ≤ 2+3. 合并同类项项，得5x ≤ 5. 系数化为1，得x ≤ 1. 解集在数轴上表示如下： 0 1 练一练 方向判定 · 左右分明 不等式符号决定射线方向： 大于 (>) 向右画，小于 (<) 向左画。 端点状态 · 虚实有别 •空心圆圈 (○)： 不含此点，对应 < 或 > 符号。 •实心圆点 (●)： 包含此点，对应 ≤ 或 ≥ 符号。 相信你能行 某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1200 t 而不足 1500 t，求将污水抽完所用时间的范围. 导入新课 你能根据这些信息，列出哪些的数学关系式？ 有不等式吗？ 某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1200 t 而不足 1500 t，求将污水抽完所用时间的范围. >1200 <1500 分析 抽水机抽水总量=抽水机工作效率×抽水时间 积存的污水量=抽水机抽水总量 积存的污水量＞ 1200 t 新知探究 探究点1 探究一元一次不等式组的概念 积存的污水量＜ 1200 t 设需要 x h能将污水抽完，如何表示上述关系？ =30x 30x > 1200 30x < 1500 新知探究 探究点1 探究一元一次不等式组的概念 议一议 x 同时满足这两个不等式. 某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1200 t 而不足 1500 t，求将污水抽完所用时间的范围. （1）设需要 x h能将污水抽完，x需同时满足了什么不等式？ 30x > 1200 ① 30x < 1500 ② 构成不等式组 （3）类比二元一次方程组，你能得到什么是一元一次不等式组吗？ 新知探究 探究点1 探究一元一次不等式组的概念 议一议 （2）二元一次方程组是怎么定义的？ 把两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起构成二元一次方程组，每个方程里含的两个未知数意义相同 两个等量关系 方程组 x + y = 10 2x + y = 16 同一个未知数满足两个不等关系 不等式组 30x > 1200 30x < 1500 ① ② 一元一次不等式组 两个或两个以上含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组 新知探究 探究点1 探究一元一次不等式组的概念 议一议 1、一元一次不等式组 特征 ① 每个不等式都是一元一次不等式； ② 只含有一个未知数； ③ 不等式的个数最少是 2. 新知探究 探究点1 探究一元一次不等式组的概念 议一议 下列各式中，哪些是一元一次不等式组？ （2） 含有两个未知数x,y 每个不等式不都是一元一次不等式，未知数最高次数出现了2次 符合定义：只含一个未知数x，且最高次数为1，由两个不等式组成。 符合定义：只含一个未知数x，且最高次数为1，由三个不等式组成。 新知探究 探究点2 数形结合探究解集 议一议 30x > 1200 ① 30x < 1500 ② 1.分别求出下列两个不等式的解集 x > 40 ① x<50 ② 2. 如何确定x的最终取值范围? 40 50 将不等式①、②的未知数ｘ的解集在数轴上表示为 由数轴图可得：这两个不等式的公共部分为 40<ｘ<50 所以，x 的取值范围为 40 < x < 50. 不等式组的解集. 新知探究 探究点2 数形结合探究解集 议一议 几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集. 解不等式组就是求它的解集. 3.不等式组的解集与解不等式组 4. 如何确定不等式组中各不等式解集的公共部分？ 解不等式组中各不等式，确定每一个不等式中未知数的取值范围 找出每一个不等式中未知数的取值范围的公共部分，用合适的方式表达 新知探究 探究点2 数形结合探究解集 议一议 5. 探究下不等式解集是什么？有什么规律 （1） (2) (3) (4) 0 40 50 ∴ 的解集为： 规律： 大于小数，小于大数 解集在两者之间 口诀： 大小小大中间找 用数轴表示个不等式组的解集 （1）不等式组的公共部分是在40—50之间， 可用不等式表示为： 重叠区域 新知探究 探究点2 数形结合探究解集 议一议 5. 探究下不等式解集是什么？有什么规律 （1） (2) (3) (4) 0 40 50 ∴ 的解集为： 规律： 当不等式组中的两个不等式都是“大于”号时，取较大的数值作为最终解集 口诀： 同大取大 用数轴表示个不等式组的解集 （2）不等式组的公共部分是在大于50， 可用不等式表示为： 重叠区域 新知探究 探究点2 数形结合探究解集 议一议 5. 探究下不等式解集是什么？有什么规律 （1） (2) (3) (4) 0 40 50 ∴ 的解集为： 规律： 当不等式组中的两个不等式都是小于号时，取数值较小的那个作为不等式组的解集 口诀： 同小取小 用数轴表示个不等式组的解集 （3）不等式组的公共部分是比40小， 可用不等式表示为： 重叠区域 新知探究 探究点2 数形结合探究解集 议一议 5. 探究下不等式解集是什么？有什么规律 （1） (2) (3) (4) 0 40 50 ∴ 无解 规律： 大于大数，小于小数，这两个范围没有公共部分，因此不等式组没有解。 口诀： 大大小小无处找 用数轴表示个不等式组的解集 （4）不等式组的公共部分没有， 不等式组无解 无重叠区域 新知探究 探究点2 数形结合探究解集 议一议 6.若 ，不等式组解集的一般形式表达 不等式组的解集 不等式组的解集 不等式组的解集 不等式组的解集无解. b a 大小小大中间找 b＜x＜a b a 同大取大 x＞a b a 同小取小 x＜b b a 大大小小无处找 无解 （1） (2) (3) (4) 新知探究 探究点3 解不等式组 试一试 1.解不等式组，并把解集表示在数轴上． （1）解不等式组，先要怎么办？ 分别求出不等组中两个不等式的解集. （2）求出不等组中两个不等式的解集后可以怎么办？ 借助数轴，在数轴上表示每个不等式的解集. （3）怎样确定不等式组的解集？ 在数轴上找出不等式解集的公共部分，确定不等式组解集，并用不等式的形式表示 新知探究 探究点3 解不等式组 试一试 解： 3 2 4 5 6 7 1 0 －1 －2 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在同一数轴上表示出不等式①②的解集: ∴不等式组的解集为：． 1.解不等式组，并把解集表示在数轴上． 重叠区域 大小小大中间找 新知探究 探究点3 解不等式组 议一议 （2）确定各解集的公共部分 方法一： 利用数轴找几个解集的公共部分: 方法二：利用规律: 大大取大，小小取小；大小小大取中间，大大小小解不了。 （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （3）写出这个不等式组的解集； 不等式组的解法是： 2. 解一元一次不等式组的步骤： 归纳： 分开解，借数轴，集中判 典例分析 例1.解下列不等式组. （1） （2） 解：解不等式①，得 2x -1 > x+1 x > 2 解不等式②，得 x-4x < -1-8 -3x < -9 x > 3 不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为 x > 3. 0 2 3 典例分析 例1.解下列不等式组. （1） （2） （2）解不等式①， 得： x ≥ 8， 解不等式②，得 ：x < . 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来. 从图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，∴不等式组无解. 典例分析 例2．取哪些整数值时，不等式与都成立? 解：由题意得不等式组 解不等式得 解不等式得 ∴ 不等式组的解集为： ∴x可取的整数值是：－2，－1，0，1，2，3，4. 分析：使两个不等式都成立的 x 的值，就是两个不等式的公共解，因此求出由这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是 x 可取的整数值. 典例分析 例3.便利店老板到厂家购进A、B两种香油，A种香油每瓶进价6.5元，B种香油每瓶进价8元，购进140瓶，共花了1000元，且该店A种香油每瓶售价8元，B种香油每瓶售价10元． (1)该店购进A、B两种香油各多少瓶？ (2)老板打算再以原来的进价购进A、B两种香油共200瓶，计划投资不超过1420元，且按原来的售价将这200瓶销售完，获利不低于339元．请问有哪几种购货方案？ （1）设该店购进A种香油x瓶，B种香油y瓶，根据题意购进140瓶，共花了1000元，可列方程求解即可； 分析 解:（1）设该店购进A种香油x瓶，B种香油y瓶，由题意可得 解得： 答：该店购进A种香油80瓶． B种香油60瓶． 典例分析 例3.便利店老板到厂家购进A、B两种香油，A种香油每瓶进价6.5元，B种香油每瓶进价8元，购进140瓶，共花了1000元，且该店A种香油每瓶售价8元，B种香油每瓶售价10元． (1)该店购进A、B两种香油各多少瓶？ (2)老板打算再以原来的进价购进A、B两种香油共200瓶，计划投资不超过1420元，且按原来的售价将这200瓶销售完，获利不低于339元．请问有哪几种购货方案？ 分析 (2) 解题思路 ►设未知数：设购进A种香油a瓶，则B种香油为(200-a)瓶。 ► 列不等式一：根据“总投资 ≤ 1420元”列出成本不等式。 ► 列不等式二：根据“总获利 ≥ 339元”列出利润不等式。 ► 求解集：将两个不等式组成不等式组，求出解集范围。 ► 定方案：结合a为“瓶数”必须是正整数的实际意义，确定最终方案。 典例分析 例3.便利店老板到厂家购进A、B两种香油，A种香油每瓶进价6.5元，B种香油每瓶进价8元，购进140瓶，共花了1000元，且该店A种香油每瓶售价8元，B种香油每瓶售价10元． (1)该店购进A、B两种香油各多少瓶？ (2)老板打算再以原来的进价购进A、B两种香油共200瓶，计划投资不超过1420元，且按原来的售价将这200瓶销售完，获利不低于339元．请问有哪几种购货方案？ （2）设购过A种香油a瓶，则购进B种香油瓶，由题意可得 解得 ∵a为整数 ∴a取120，121，122． 所以相应取80，79，78． 所以有三种方案． ①购进A种香油120瓶、B种香油8瓶； ②购进A种香油121瓶，B种香油79瓶； ③购进A种香油122瓶，B种香油78瓶． 新知巩固 2x > 1-x，① x+2 < 4x-1；② （1） 解不等式得x > 1 x-5 > 1+2x，① 3x+2 ≤ 4x；② （2） ∴不等式组无解 [教材 P140 练习] ∴不等式组的解：x > 1 (2)解不等式得x ＜ -6 解不等式得x ≥ 2 1. 解下列不等式组： （3） ② (1)解不等式得 (3)解不等式得 解不等式得 解: 新知巩固 2. x 取哪些整数值时，不等式 x+3 > 6 与 2x -1<10 都成立？ 解：解不等式 x+3>6 得:x>3， 解不等式 2x-1<10 得x < 5.5. ∴两个不等式的解集的公共部分为：3< x<5.5. ∴x可取整数4，5 时， 答： x取整数4，5 时，不等式 x+3>6与2x-1<10都成立. [教材 P140 练习] 拓展提升 1.已知关于x、y的方程组中，x为非负数、y为负数． (1)试求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为，请写出整数m的值． （1）解：解方程组 用①+②得： ， 解得③， 把③代入②中得： ， 解得：， ∴方程组的解为： ． ∵x为非负数、y为负数，即： ， ∴． 解得：； 拓展提升 1.已知关于x、y的方程组中，x为非负数、y为负数． (1)试求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为，请写出整数m的值． （2）解不等式： 移项得：． ∵不等式的解为， ∴， 解得：． 又∵， ∴m的取值范围是：． 又∵m是整数， ∴m的值为． 真题感知 1．（2025•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 解：， ∴由①得，x＞﹣1； 由②得，x＜2． ∴原不等式组的解集为： ﹣1＜x＜2， 在数轴上表示出解集如下． -1 0 1 2 3 4 5 真题感知 2．（2025•连云港）解不等式组． 解： 解不等式①得x＜2， 解不等式②得x＞﹣4， 所以不等式组的解集为：﹣4＜x＜2． 真题感知 3．（2025•重庆）求不等式组：的所有整数解． 解：， 解不等式①，得x＜2， 解不等式②，得x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2， ∴不等式组的所有整数解为：﹣1，0，1． 真题感知 4．（2025•遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 真题感知 4．（2025•遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？ （任务一）解：设A型号的新型垃圾桶的单价是x元， B型号的新型垃圾桶的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元， B型号的新型垃圾桶的单价是100元； 真题感知 4．（2025•遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务二：有哪几种购买方案？ （任务二）设购买m个A型号的新型垃圾桶， 则购买（200﹣m）个B型号的新型垃圾桶， 根据题意得：， 解得：m≤120， 又∵m为正整数，∴m可以为118，119，120， ∴共3种购买方案， 方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶， 82个B型号的新型垃圾桶； 方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶， 81个B型号的新型垃圾桶； 方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶， 80个B型号的新型垃圾桶； 真题感知 4．（2025•遂宁）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元． 材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ （任务三）选择方案1所需费用为60×118+100×82＝15280（元）； 选择方案2所需费用为60×119+100×81＝15240（元）； 选择方案3所需费用为60×120+100×80＝15200（元）， ∵15280＞15240＞15200，∴方案3更省钱，最低购买费用是15200元． 知 识 总 结 （1）核心概念： 一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集. （2）核心方法： 利用数轴确定不等式组解集，牢记“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”. （3）解题步骤： 解不等式→画数轴→找公共→写解集. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 1.类比思想 在学习过程中，可类比已掌握的方程组知识来理解和解决不等式组问题，触类旁通。 2.数形结合思想 利用数轴直观展示解集范围，它是解决不等式组解集问题最直观、最有力的工具。 3.建模思想 善于从生活中的实际问题提炼数量关系，将其转化为不等式组模型来求解。 易 错 提 醒 课堂小结 （1）判断一元一次不等式组，需满足“同一个未知数、一元一次不等式、至少两个”三个条件. （2）数轴表示解集时，注意空心圈（不包含）、实心点（包含）的正确使用. （3）不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，无公共部分则无解. （4）实际问题中，未知数需满足实际意义（如长度、数量为正数）. 课后练习 1. 解下列不等式组： （1） x - 1 < 3， x + 1 < 3； ① ② （2） x – 1 > 3， x + 1 > 3； ① ② （3） x - 1 < 3， x + 1 > 3； ① ② （4） x – 1 > 3， x + 1 < 3. ① ② 解：（1） 解不等式①得：x < 4， 解不等式②得：x < 2， 所以不等式组的解集为：x < 2. 习题11.3 教材 P141页 （2） 解不等式①得:x > 4， 解不等式②得x > 2， 所以不等式组的解集为x > 4. 同大取大 同小取小 课后练习 1. 解下列不等式组： （1） x - 1 < 3， x + 1 < 3； ① ② （2） x – 1 > 3， x + 1 > 3； ① ② （3） x - 1 < 3， x + 1 > 3； ① ② （4） x – 1 > 3， x + 1 < 3. ① ② 习题11.3 教材 P141页 （3） 解不等式①得x < 4， 解不等式②得x > 2， 所以不等式组的解集为2 < x < 4. （4） 解不等式①得x > 4， 解不等式②得x < 2， 所以不等式组无解. 大小小大中间找 大大小小无处找 课后练习 2. 解下列不等式组： 解：（1） 解不等式①得：x > 解不等式②得：x ≤ 2， 所以不等式组解集为 < x ≤ 2. x - 3(x-2) ≥ 4， （1） 2x - 1 > 0， x + 1 ≤ 3； （2） 3(x–1)+13 < 5x-2(5-x)， 5-(2x+1) > 3-6x； ① ② ① ② （3） ① ② （4） (x + 4) < 2， ① ② 习题11.3 教材 P141页 （2） 解不等式①得：x > 5， 解不等式②得：x > ， ∴ 不等式组解集为：x > 5. 大小小大中间找 同大取大 课后练习 2. 解下列不等式组： x - 3(x-2) ≥ 4， （1） 2x - 1 > 0， x + 1 ≤ 3； （2） 3(x–1)+13 < 5x-2(5-x)， 5-(2x+1) > 3-6x； ① ② ① ② （3） ① ② （4） (x + 4) < 2， ① ② 习题11.3 教材 P141页 （3）解不等式①得：x ≤ 1， 解不等式②得：x < 4， ∴ 不等式组解集为： x ≤ 1. 同小取小 （4）解不等式①得：x<0， 解不等式②得：x > 0， ∴不等式组无解. 大大小小无处找 课后练习 3. x 取哪些整数值时，不等式 4(x-0.3) < 0.5x+5.8 与都成立？ 解：由题意得： x 是不等式组的解 解不等式 得：x < 2. 解不等式得：x > -4. ∴不等式组的解集为 ：-4 < x < 2. x 可取得整数为：-3，-2，-1，0，1. 习题11.3 教材 P141页 课后练习 4. x 取哪些整数值时，2 ≤ 3x-7 < 8 成立？ ∴不等式组的解集为： 3 ≤ x < 5. ∵x 取整数 ∴ x 取3，4时， 2 ≤ 3x-7 < 8 成立. 3x-7 ≥ 2， ① 3x-7 < 8， ② x≥3， x<5. 解不等式组得 习题11.3 教材 P141页 解： 把不等式 2 ≤ 3x-7＜8 转化为： 课后练习 5. 把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么剩余 8 本；如果前面的每名同学分 5 本，那么最后一人分到了书但不到 3 本. 这些书有多少本？共有多名同学？ 习题11.3 教材 P141页 分析：1.题目中的等量关系： （1）书的总数=每人分 3 本×人数+8 本 （2）最后一人分到的书数=书的总数-分掉的书数 2. 题目中的不等关系： 0＜最后一人分到的书数＜3 设共有 x 名同学 书的总数= 3x+8 最后一人分到的书数=(3x+8) - 5(x-1) 0＜ (3x+8) - 5(x-1） ＜3 解这个不等式 课后练习 5. 把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么剩余 8 本；如果前面的每名同学分 5 本，那么最后一人分到了书但不到 3 本. 这些书有多少本？共有多名同学？ 解不等式①，得x<6.5， 解不等式②，得x>5. ∴这个不等式组的解集为：5< x <6.5. ∵x为整数，∴ x=6. ∴3x+8=3×6+8=26（本） (3x+8) - 5(x-1)>0，① (3x+8) - 5(x-1)<3. ② 习题11.3 教材 P141页 解：设共有 x 名同学，则有（3x + 8）本书. 由题意得 答：这些书有26本，共有6名同学. 谢谢聆听 $