精品解析：2026年山东济宁市金乡县中考二模考试数学试题

九年级数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2的相反数是（　　） A. 2 B. C. D. 2. 围棋起源于中国，是拥有4000多年历史的二人策略棋类，被誉为“棋之鼻祖”，是琴棋书画四艺之一．下列用棋子摆出的图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用三个大小不等的正方体拼成了一个如图所示的几何体，若该几何体的主视图、左视图和俯视图的面积分别表示为、、，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（）的图象在第一、三、四象限内，点和都在函数上．若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班，甲、乙两位新生不在同一个班的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，，，动点P沿折线从B点开始以每秒的速度向D点运动．设的面积为S，点P运动时间为t，则S与t之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的部分图象与x轴、y轴分别交于点A，B．若抛物线的对称轴，点A的坐标为，则下列结论：①；②；③；④（m为实数），其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 10. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数的自变量的取值范围是______． 12. 把多项式分解因式的结果是_________________________. 13. 如图，将矩形纸片沿折叠，两点分别与，对应．若，则的度数为______． 14. 如图，中，，在x轴正半轴上，，分别与反比例函数（，）的图象相交于点C，D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为______． 15. 如图，点在平面直角坐标系的原点上，点在轴上，点，点都在抛物线上，四边形都是菱形．若，则菱形的周长是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，P是下方的一点．连接交于点E，连接． （1）尺规作图：过点A作的平行线，分别交于点B，F；（要求：保留作图痕迹，不写做法．） （2）在（1）的条件下，若F是的中点，，．求的长． 18. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 19. 图①是一款专为提升阅读舒适度与效率而精心设计的产品——铝合金阅读支架．图②是从侧面看到的平面图形，表示底座，表示支架杆，表示面板．通过测量得到：，，底座的厚度为，未调节支架各部分前支架杆与底座的夹角，支架杆与面板的夹角． （1）求未调节支架前上方边缘D到桌面的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） （2）如图③，某同学根据自身需要，不断调整支架的各部分角度，确定了最舒适的情形，测量发现此时支架杆与面板的夹角并未发生变化，支架杆与底座的夹角为，则调节后支架上方边缘D距离桌面的高度发生了怎样的变化（结果精确到）？（参考数据：，，） 20. 如图，四边形内接于，为直径，，过点C作于点E，交的延长线于点H，连接交于点G． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 某水果店经营一种水果以“当日水果当日清”为宗旨，深受顾客喜爱．店内销售该种水果两类，分别记作：A类、B类，请根据以下素材，完成相应任务． 该种水果销售方案 素材1 B类水果比A类水果的进价每千克多6元．若水果店两类水果都购进，则共需费用1300元． 素材2 该水果店平均每天可销售B类水果90千克、其中白天（7：00—19：00）可销售60千克，剩余30千克在晚上分5个时段打折销售，折扣比例如右图所示．（每个时间段包含后面时间，不包含前面时间．） 素材3 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售． 问题解决 （1）任务1：两种水果每千克的进价各是多少元？ （2）任务2：若期望销售B类水果利润不低于2205元，则其标价（白天的售价）最低价是多少元/千克？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） （3）任务3：若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售B类水果都是），则每天进货多少千克时利润最大？ 22. 已知函数，是常数． （1）若，，求的值； （2）已知点，是函数的图象与轴的两个交点，且，求的值； （3）当，，时，比较与的大小． 23. 如图，中，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点F落在内部，的延长线交（或的延长线）于点G，交（或的延长线）于点P，的延长线交边于点Q． （1）如图1，点G在线段上，点P在的延长线上．求证：； （2）如图2，点G在线段上，点P在的延长线上．若，，，求的长； （3）如图3，点G在线段延长线上，点P在边上．若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2的相反数是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 2. 围棋起源于中国，是拥有4000多年历史的二人策略棋类，被誉为“棋之鼻祖”，是琴棋书画四艺之一．下列用棋子摆出的图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 3. 用三个大小不等的正方体拼成了一个如图所示的几何体，若该几何体的主视图、左视图和俯视图的面积分别表示为、、，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图）的定义与面积计算；核心技巧是按观察方向判断可见面，避免漏算或重复计算． 先设三个正方体的面面积，再分别分析主视图、左视图、俯视图的可见面，计算出、、的表达式，最后比较大小得出结论． 【详解】解：设三个正方体棱长为，单个面面积为、、． 主视图（）：从正方向看，能看到大正方体的正面、中正方体的正面，小正方体的正面，因此 左视图（​）：从左侧看，能看到大正方体的左侧面、中正方体的左侧面，小正方体被中正方体遮挡，因此 俯视图（）：从上方看，能看到大正方体的顶面、中正方体的顶面、小正方体的顶面，三者无遮挡，但是中正方体和小正方体均会遮挡大正方体一部分，而大正方体被遮挡的这一部分刚好被中正方体与小正方体补齐，因此 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 5. 已知函数（）的图象在第一、三、四象限内，点和都在函数上．若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断，，可得，可得函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x值的增大而增大，再进一步可得答案. 【详解】解：∵函数（）的图象在第一、三、四象限内， ∴，， ∴， ∴函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x值的增大而增大， ∴当时，， ∴． 6. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班，甲、乙两位新生不在同一个班的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列表得到所有等可能性的结果，再找到甲、乙两位新生不在同一个班的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 甲 乙 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两位新生不在同一个班的结果数有6种， ∴甲、乙两位新生不在同一个班的概率为． 7. 如图，矩形中，，，动点P沿折线从B点开始以每秒的速度向D点运动．设的面积为S，点P运动时间为t，则S与t之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是矩形背景下的动点问题，核心考查分段函数的建立与函数图像的识别，解题思路是根据点的运动路径分两段讨论，分别求出的面积与时间的函数关系，再匹配对应的图像． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 当点在上运动时，即时，， 当点在上运动时，即时， ， ， ， 结合函数解析式可知，函数图像在时水平，在时下降． 8. 如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，求特殊图形的面积，掌握扇形面积公式是解题关键． 连接，过点作于点，先求出、扇形的面积、扇形的面积，再利用面积的和差进行计算即可． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴的面积为：， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， ∴图形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：．   故选：A． 9. 如图，二次函数的部分图象与x轴、y轴分别交于点A，B．若抛物线的对称轴，点A的坐标为，则下列结论：①；②；③；④（m为实数），其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】①抛物线开口向下，对称轴为直线，即可得出、、，进而可得出，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为，进而可得出，即可证明结论②正确；③抛物线与轴交于两点，可得结论③错误；④时，函数取得最大值，可得结论④正确，综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，结论①错误； ②∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴， ∴，即； 结论②正确； ③∵抛物线与轴交于两点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，函数取得最大值， ∴当m为实数时， 即， 结论④正确． 综上所述，正确的结论有：②④． 10. 如图，边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点，连接将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，则在点E运动过程中，的最小值是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键，连接，证明，进而得到，得到点在以为顶点，一边为的30度角的另一边上运动，根据垂线段最短，得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可得，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵边长为8的等边三角形中，E是对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 即点F的运动轨迹为直线， ∴当时，最短， 此时，， ∴的最小值是2， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是_________________________. 【答案】 【解析】 【详解】原式=，故填. 13. 如图，将矩形纸片沿折叠，两点分别与，对应．若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先由平行线的性质得到相关角度关系，设，则，，结合折叠性质及平角定义列方程求出，代入即可． 【详解】解：如图所示： ， ，， ， ， 设，则，， 将矩形纸片沿折叠，两点分别与，对应， ， 则，解得， ． 14. 如图，中，，在x轴正半轴上，，分别与反比例函数（，）的图象相交于点C，D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】设，根据为的中点得到，然后表示出，，然后利用的面积为求解即可． 【详解】解：设， ∵为的中点， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴将代入得， ∴，即 ∵的面积为 ∴ ∴． 15. 如图，点在平面直角坐标系的原点上，点在轴上，点，点都在抛物线上，四边形都是菱形．若，则菱形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形性质、含直角三角形性质、二次函数图象与性质、解一元二次方程等知识求出坐标，进而求出菱形的边长，同理求出菱形、菱形和菱形的边长，从而归纳出规律：菱形的边长为，当时，由规律求出菱形的边长即可得到答案． 【详解】解：设菱形的边长为，过点作轴，如图所示： ， ， 则， ， 在中，，，则，， ， 点在抛物线上， ，解得或（不符合题意，舍去）， 即菱形的边长为， 连接，交轴于点，如图所示： 则由菱形性质可知， ， 设菱形的边长为，过点作轴，连接，交轴于点，如图所示： ， 在中，，，则，， ， 点在抛物线上， ，解得或（负值，舍去）， 即菱形的边长为， 由菱形性质可知， ， 设菱形的边长为，过点作轴，连接，交轴于点，如图所示： 同理可得，即菱形的边长为，， 设菱形的边长为，过点作轴，连接，交轴于点， 同理可得，即菱形的边长为， 根据以上规律可知，菱形的边长为， 菱形的边长为， 则菱形的周长是． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据算术平方根、绝对值、零指数幂的定义，分别化简各项后再进行加减运算； 先对括号内通分计算，再因式分解、约分，最后代入数值计算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当时， 原式 ． 17. 如图，P是下方的一点．连接交于点E，连接． （1）尺规作图：过点A作的平行线，分别交于点B，F；（要求：保留作图痕迹，不写做法．） （2）在（1）的条件下，若F是的中点，，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）可证明，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，则；证明，即可推出． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 19. 图①是一款专为提升阅读舒适度与效率而精心设计的产品——铝合金阅读支架．图②是从侧面看到的平面图形，表示底座，表示支架杆，表示面板．通过测量得到：，，底座的厚度为，未调节支架各部分前支架杆与底座的夹角，支架杆与面板的夹角． （1）求未调节支架前上方边缘D到桌面的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） （2）如图③，某同学根据自身需要，不断调整支架的各部分角度，确定了最舒适的情形，测量发现此时支架杆与面板的夹角并未发生变化，支架杆与底座的夹角为，则调节后支架上方边缘D距离桌面的高度发生了怎样的变化（结果精确到）？（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）支架上方边缘距离桌面的高度下降了约 【解析】 【分析】（1）过点作于点H，过点作交的延长线于点G，在与中，解直角三角形分别求出，，再加上的厚度即可解答； （2）同（1）求出调节后支架上方边缘D距离桌面的高度即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点H，过点作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ， 答：支架上方边缘距离桌面的高度约为； 【小问2详解】 解：过点作于点H，过点作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ， ， 答：支架上方边缘距离桌面的高度下降了约． 20. 如图，四边形内接于，为直径，，过点C作于点E，交的延长线于点H，连接交于点G． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）32 【解析】 【分析】（1）连接，先证，可得，则，即可证明； （2）延长交于点，得出，根据解，易求，再运用勾股定理求出，然后证明，可得，易求，的长，再解即可求的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， ∵， ∴ 是的直径，， ， ∴ ， ， 在中，，即， ， ， ， ∵， 又∵， ∴， ，即， ， ， 在中，， ． 21. 某水果店经营一种水果以“当日水果当日清”为宗旨，深受顾客喜爱．店内销售该种水果两类，分别记作：A类、B类，请根据以下素材，完成相应任务． 该种水果销售方案 素材1 B类水果比A类水果的进价每千克多6元．若水果店两类水果都购进，则共需费用1300元． 素材2 该水果店平均每天可销售B类水果90千克、其中白天（7：00—19：00）可销售60千克，剩余30千克在晚上分5个时段打折销售，折扣比例如右图所示．（每个时间段包含后面时间，不包含前面时间．） 素材3 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售． 问题解决 （1）任务1：两种水果每千克的进价各是多少元？ （2）任务2：若期望销售B类水果利润不低于2205元，则其标价（白天的售价）最低价是多少元/千克？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） （3）任务3：若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售B类水果都是），则每天进货多少千克时利润最大？ 【答案】（1）A类水果每千克的进价为10元，B类水果每千克的进价为16元 （2）其标价（白天的售价）最低价是45元/千克 （3）每天进货90千克时利润最大 【解析】 【分析】（1）设A类水果每千克的进价为x元，B类水果每千克的进价为y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设其标价（白天的售价）是m元/千克，根据总利润不低于2205元建立不等式求解即可； （3）设每天进货n千克，利润为W元，列出W关于n的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A类水果每千克的进价为x元，B类水果每千克的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A类水果每千克的进价为10元，B类水果每千克的进价为16元； 【小问2详解】 解：设其标价（白天的售价）是m元/千克， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为45， 答：其标价（白天的售价）最低价是45元/千克； 【小问3详解】 解：设每天进货n千克，利润为W元， 元， 元 元， 元 元 由题意得， ， ∵， ∴W随n的增大而增大， ∴当时，W有最大值， 答：每天进货90千克时利润最大． 22. 已知函数，是常数． （1）若，，求的值； （2）已知点，是函数的图象与轴的两个交点，且，求的值； （3）当，，时，比较与的大小． 【答案】（1） （2）或 （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）将，代入函数 计算即可； （2）由二次函数图象对称轴的两种表示形式列方程求解即可； （3）将，代入函数 ，求出值，分三种情况计算值，最后比较与的大小即可． 【小问1详解】 解：将，代入函数 ， 则 ； 【小问2详解】 解：， 二次函数图象的对称轴为； 点，是函数 的图象与轴的两个交点，且， 二次函数图象的对称轴为； 则， ，即 ， 解得或； 【小问3详解】 解：当，时， ， ， 则或， 解得或， 当时，，此时 ； 当时，，此时； 当时，，此时． 23. 如图，中，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点F落在内部，的延长线交（或的延长线）于点G，交（或的延长线）于点P，的延长线交边于点Q． （1）如图1，点G在线段上，点P在的延长线上．求证：； （2）如图2，点G在线段上，点P在的延长线上．若，，，求的长； （3）如图3，点G在线段延长线上，点P在边上．若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形相邻的两个内角互补，结合折叠的性质对应角相等和邻补角的定义，可推出 ，从而根据两角对应相等的三角形相似证得结论； （2）同（1）证得 ，即可根据证得 ，得到，，从而利用证得 ，得到，，然后由，可知，得到比例式，结合线段的和差可求得的长度，进而可求解； （3）延长、交于点，设，，则 ，同（1）证明，得到，接着易证 ， ，结合比例式和线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵沿折叠，点B的对应点为F， ∴， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ∵沿折叠，点B的对应点为F， ∴，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， 在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴， 解得， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图3，延长、交于点， ∵， ∴设，，则 ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，， ∴ ， ∵沿折叠，点B的对应点为F， ∴，， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ，， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $