第二章 必刷小题2 函数的概念与性质-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数的概念与性质核心考点，涵盖定义域、单调性、奇偶性、周期性及对称性等基础性质，按“基础性质-多性质融合-综合应用”逻辑架构知识，通过核心梳理、真题训练等环节帮助学生突破含参函数探究、抽象函数推导等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于结合高考考向预测设计分层练习，单选、多选、填空题覆盖不同能力层级，通过抽象函数性质推导题培养学生数学思维与逻辑推理能力，设置即时反馈机制，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生综合应用与应考能力。

第二章 函 数 必刷小题2　函数的概念与性质 [分值：73分] 【高考考向预测】 近三年高考函数的概念与性质考查频率极高，属于数学核心主干考点，题型覆盖选择填空与解答题，重点考查定义域值域求解、单调性、奇偶性、周期性及对称性等基础性质，常多性质融合综合命题，广泛关联不等式、方程等知识；预测2027 年高考仍将作为重中之重持续考查，命题更加注重知识点融会贯通，侧重含参函数性质探究、抽象函数性质推导以及性质在求值、比较大小、求解范围中的灵活运用，深度渗透数形结合与分类讨论思想，稳中求变，着重考查学生逻辑推理与综合应用能力。 【核心梳理●明考点】 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·黔西模拟)已知函数f(x)=+log2(2-x)，则f(x)的定义域为(　　) A.(-3，2) B.[-3，2) C.(-3，2] D.[-3，2] 【答案】A 【解析】对于函数f(x)=+log2(2-x)，有解得-3<x<2， 所以函数f(x)的定义域为(-3，2). 2.下列函数中，其图象与函数f(x)=2x的图象关于原点对称的是(　　) A.y=-2x B.y= C.y=log2x D.y=- 【答案】D 【解析】与函数f(x)=2x的图象关于原点对称的是y=-f(-x)=-2-x的图象. 3.已知f(2x+1)=4x2，则f(-3)等于(　　) A.36 B.16 C.4 D.-16 【答案】B 【解析】方法一　令2x+1=-3，解得x=-2. ∴f(-3)=4×(-2)2=16. 方法二　∵f(2x+1)=4x2=(2x+1)2-2(2x+1)+1， ∴f(x)=x2-2x+1. ∴f(-3)=(-3)2-2×(-3)+1=16. 4.(2025·北京模拟)已知奇函数y=f(x)在R上单调递增，则“f(x1)+f(x2)>0”是“x1+x2>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当f(x1)+f(x2)>0时，因为函数f(x)是奇函数，可得f(x1)>-f(x2)=f(-x2)， 又因为y=f(x)在R上单调递增， 所以x1>-x2，即x1+x2>0； 当x1+x2>0时，x1>-x2，因为y=f(x)在R上单调递增，所以f(x1)>f(-x2)， 因为函数f(x)是奇函数，可得f(x1)>-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)>0， 则“f(x1)+f(x2)>0”是“x1+x2>0”的充要条件. 5.(2026·泉州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当0<x≤1时，f(x)=-x2+x，则f等于 (　　) A. B.- C. D.- 【答案】D 【解析】因为f(x)为奇函数，f(x+2)=f(x)，知f(x)=-f(-x)，f(x)的一个周期为2， 所以f=f=f=-f， 又当0<x≤1时，f(x)=-x2+x，所以f=-+=，则f=-. 6.四参数方程的拟合函数表达式为y=+d(x>0)，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个类似递增(或递减)的指数或对数曲线，或双曲线(如y=x-1)，还可以是一条S形曲线，当a=4，b=-1，c=1，d=1时，该拟合函数的图象是(　　) A.类似递增的双曲线 B.类似递增的对数曲线 C.类似递减的指数曲线 D.一条S形曲线 【答案】A 【解析】依题意可得拟合函数为y=+1(x>0)， 即y=+1=+1=+4(x>0)， 将y=(x>1)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到y=+4(x>0)的图象， 因为y=在(1，+∞)上单调递增， 所以拟合函数的图象是类似递增的双曲线. 7.已知函数f(x)=-，则关于t的不等式f(ln t)+2f>0的解集为(　　) A.(0，+∞) B. C.(0，1) D.(1，+∞) 【答案】D 【解析】f(-x)=-=-， 则f(-x)+f(x)=-+-=1-1=0，由ln t+ln =ln t-ln t=0， 故f(ln t)+f=0， 故f(ln t)+2f=f， 易知f(x)在R上单调递减， 又f(0)=-=0， 故f(ln t)+2f>0可转化为f>f(0)，则有ln <0，即0<<1， 即t>1，故t∈(1，+∞). 8.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则f(k)等于(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 【答案】A 【解析】方法一　因为f(1)=1， 所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中， 令y=1， 得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)， 所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)， ① 所以f(x+2)+f(x)=f(x+1). ② 由①②相加，得f(x+2)+f(x-1)=0， 故f(x+3)+f(x)=0， 所以f(x+3)=-f(x)， 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)， 所以函数f(x)的一个周期为6. 在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中， 令y=0，得f(x)+f(x)=f(x)f(0)， 所以f(0)=2. 令x=y=1，得f(2)+f(0)=f(1)f(1)， 所以f(2)=-1. 由f(x+3)=-f(x)， 得f(3)=-f(0)=-2，f(4)=-f(1)=-1， f(5)=-f(2)=1，f(6)=-f(3)=2， 所以f(1)+f(2)+…+f(6)=1-1-2-1+1+2=0， 根据函数的周期性知，f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3，故选A. 方法二　(构造特殊函数) 由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，联想到余弦函数和差化积公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cos xcos y， 可设f(x)=acos ωx，则由方法一中f(0)=2，f(1)=1知a=2，acos ω=1， 解得cos ω=，取ω=， 所以f(x)=2cosx， 则f(x+y)+f(x-y)=2cos+2cos=4cosxcosy=f(x)f(y)，所以f(x)=2cosx符合条件，因此f(x)的最小正周期T==6，f(0)=2，f(1)=1，且f(2)=-1，f(3)=-2，f(4)=-1，f(5)=1，f(6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0， 由于22除以6余4， 所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2025·合肥期末)下列函数中符合在定义域上是单调递增的奇函数的是(　　) A.f(x)=10x-10-x B.f(x)=ln x C.f(x)=ln(2+x)-ln(2-x) D.f(x)=x- 【答案】AC 【解析】对于A，f(x)的定义域为R，f(-x)=10-x-10-(-x)=-10x+10-x=-f(x)，所以f(x)为奇函数，又y=10x与y=-10-x均在R上单调递增，故f(x)在R上单调递增，故A正确； 对于B，显然f(x)=ln x在定义域(0，+∞)上单调递增，且是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，对函数f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)，由得函数的定义域为(-2，2)，关于原点对称， f(-x)=ln(2-x)-ln(2+x)=-[ln(2+x)-ln(2-x)]=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数， 因为y=ln(2+x)在(-2，2)上单调递增，y=ln(2-x)在(-2，2)上单调递减，所以f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)在(-2，2)上单调递增，故C正确； 对于D，因为函数f(x)=x-的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，该函数在其定义域上不具有单调性，故D错误. 10.(2026·南京模拟)已知函数f(x)=，则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)为奇函数 C.不等式f(x)>x无解 D.f(x)的图象关于点(π，0)对称 【答案】BD 【解析】对于选项A，f(π+x)==≠f(x)，∴π不是f(x)的一个周期，故A错误； 对于选项B，f(x)的定义域为R，f(-x)==-=-f(x)，∴f(x)为奇函数，故B正确； 对于选项C，f(-π)=0>-π，∴f(x)>x有解，故C错误； 对于选项D，f(2π-x)===-f(x)，∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确. 11.已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(2，1)中心对称，若f(x)-f(2-x)=4-4x，则下列结论正确的是(　　) A.f(4-x)+f(x)=2 B.f(0)=4 C.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=8 D.f(2 026)=-4 047 【答案】ACD 【解析】对于A，函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(2，1)中心对称， 则f(4-x)+f(x)=2，A正确； 对于B，f(2)=1，又f(x)-f(2-x)=4-4x，取x=0，则f(0)-f(2)=4，解得f(0)=5，B错误； 对于C，在f(4-x)+f(x)=2中，取x=1，得f(1)+f(3)=2，因此f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=8，C正确； 对于D，由f(x)-f(2-x)=4-4x， 得f(-x)-f(2+x)=4+4x， 两式相加得f(x)+f(-x)-[f(2-x)+f(2+x)]=8，而f(2-x)+f(2+x)=2， 则f(-x)+f(x)=10，即f(-2-x)+f(2+x)=10，因此f(2-x)-f(-2-x)=-8， 即f(x+4)-f(x)=-8，而2 026=4×506+2，所以f(2 026)=f(2)+506×(-8)=-4 047，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.已知函数f(x)=若f(m)=2，则m=　　　　.  【答案】8 【解析】当0<x≤1时，0<f(x)=x≤1<2，所以若f(m)=2，只能m>1，即log3(m+1)=2，所以m+1=32=9，所以m=8>1，满足题意. 13.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)=在R上单调递增，则实数m的取值范围是　　　　.  【答案】[3，+∞) 【解析】因为y=x2-2x=(x-1)2-1在[1，+∞)上单调递增，y=x在R上单调递增， 又f(x)=在R上单调递增， 所以解得m≥3. 14.(2025·梅州模拟)设f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都满足>0，且f(2)=4，则不等式f(x)->0的解集为　　　　　　　　.  【答案】(-2，0)∪(2，+∞) 【解析】令F(x)=xf(x)，x≠0， ∵对任意的x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都有>0， ∴F(x)=xf(x)在(0，+∞)上单调递增， 又F(-x)=-xf(-x)=xf(x)=F(x)， ∴F(x)为偶函数， ∴F(x)在(-∞，0)上单调递减， 又f(2)=4，则F(2)=2f(2)=8， ∴f(x)-==>0， 当x>0时，F(x)-F(2)>0， 即F(x)>F(2)，∴x>2， 当x<0时，F(x)-F(2)<0， 即F(x)<F(2)=F(-2)，∴-2<x<0， 综上所述，f(x)->0的解集为(-2，0)∪(2，+∞). 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函 数 必刷小题2　函数的概念与性质 [分值：73分] 【高考考向预测】 近三年高考函数的概念与性质考查频率极高，属于数学核心主干考点，题型覆盖选择填空与解答题，重点考查定义域值域求解、单调性、奇偶性、周期性及对称性等基础性质，常多性质融合综合命题，广泛关联不等式、方程等知识；预测2027 年高考仍将作为重中之重持续考查，命题更加注重知识点融会贯通，侧重含参函数性质探究、抽象函数性质推导以及性质在求值、比较大小、求解范围中的灵活运用，深度渗透数形结合与分类讨论思想，稳中求变，着重考查学生逻辑推理与综合应用能力。 【核心梳理●明考点】 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·黔西模拟)已知函数f(x)=+log2(2-x)，则f(x)的定义域为(　　) A.(-3，2) B.[-3，2) C.(-3，2] D.[-3，2] 2.下列函数中，其图象与函数f(x)=2x的图象关于原点对称的是(　　) A.y=-2x B.y= C.y=log2x D.y=- 3.已知f(2x+1)=4x2，则f(-3)等于(　　) A.36 B.16 C.4 D.-16 4.(2025·北京模拟)已知奇函数y=f(x)在R上单调递增，则“f(x1)+f(x2)>0”是“x1+x2>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2026·泉州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当0<x≤1时，f(x)=-x2+x，则f等于 (　　) A. B.- C. D.- 6.四参数方程的拟合函数表达式为y=+d(x>0)，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个类似递增(或递减)的指数或对数曲线，或双曲线(如y=x-1)，还可以是一条S形曲线，当a=4，b=-1，c=1，d=1时，该拟合函数的图象是(　　) A.类似递增的双曲线 B.类似递增的对数曲线 C.类似递减的指数曲线 D.一条S形曲线 7.已知函数f(x)=-，则关于t的不等式f(ln t)+2f>0的解集为(　　) A.(0，+∞) B. C.(0，1) D.(1，+∞) 8.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则f(k)等于(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2025·合肥期末)下列函数中符合在定义域上是单调递增的奇函数的是(　　) A.f(x)=10x-10-x B.f(x)=ln x C.f(x)=ln(2+x)-ln(2-x) D.f(x)=x- 10.(2026·南京模拟)已知函数f(x)=，则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)为奇函数 C.不等式f(x)>x无解 D.f(x)的图象关于点(π，0)对称 11.已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(2，1)中心对称，若f(x)-f(2-x)=4-4x，则下列结论正确的是(　　) A.f(4-x)+f(x)=2 B.f(0)=4 C.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=8 D.f(2 026)=-4 047 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.已知函数f(x)=若f(m)=2，则m=　　　　.  13.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)=在R上单调递增，则实数m的取值范围是　　　　.  14.(2025·梅州模拟)设f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，x1≠x2，都满足>0，且f(2)=4，则不等式f(x)->0的解集为　　　　　　　　.  第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $