2.8 指、对、幂的大小比较讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦指、对、幂函数值大小比较核心考点，按直接法（函数性质、中间值、特殊值）和运算性质化简比较（作差、作商、乘方）构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题讲解及分层训练，帮助学生系统掌握解题策略，突破高考高频难点。 讲义突出高考命题趋势，设计多样化数值比较情境，如通过中间值法分析log32与log53大小，培养学生数学思维与逻辑推理能力。限时训练结合选择、多选、填空分层设题，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第二章 函 数 §2.8　指、对、幂的大小比较 【高考考向预测】 近三年高考指数、对数、幂函数值大小比较考查频次极高，多为选择填空高频小题，常结合函数单调性、中间值法、作差法解题，题型灵活且区分度适中；预测2027 年仍会持续重点考查，命题趋向数值形式多样化，侧重构造函数、放缩估算及多类型式子混合比较，愈发注重解题方法灵活选用，强化数形结合与逻辑推理能力考查。 【核心梳理●明考点】 重点解读　函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐.每年高考基本都会出现，难度逐年上升.高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答. 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 例1　(2026·湘东教学联盟高三联考)若a=log7，b=70.1，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a 命题点2　找中间值 例2　(2020·全国Ⅲ卷)设a=log32，b=log53，c=，则(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 命题点3　特殊值法 例3　已知a>b>1，0<c<，则下列结论正确的是(　　) A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 【跟踪训练】1　(1)已知a=，b=，c=log2e，则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a (2)设a=0.20.5，b=log53，c=50.2，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 命题点1　作差法 例4　已知a=log62，b=log404，c=log455，则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 命题点2　作商法 例5　(2025·成都模拟)若a=，b=，c=lo，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 命题点3　乘方法 例6　已知a=log35，b=log57，c=，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 【跟踪训练】2　(1)(2025·天津河西区模拟)设a=，b=20.4，c=ln，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a (2)(2025·柳州模拟)已知137<216，346<217，设a=log3421，b=log2113，c=log138，则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·保定模拟)设a=50.4，b=，c=log32，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 2.(2025·海南省直辖县级单位模拟)已知a=log23，b=，c=log53，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 3.(2025·天津北辰区模拟)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b 4.已知a=log32，b=log43，c=tan，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 5.(2026·德州模拟)设2 024a=2 025，b=log2 0232 026，2 022c=2 026，则(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.c>b>a 6.(2025·广州模拟)已知57>310，410>77.设a=log47，b=2log72+log73，c=log925，则(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·保定模拟)下列不等式成立的有(　　) A.log0.30.2>log0.20.3 B.0.30.2>0.20.3 C.log30.2<log20.2 D.30.2<20.3 8.(2025·萍乡模拟)已知实数a，b，c满足0<c<1<b<a，则(　　) A.ca<cb B.> C.lob< D.tan c<tan b 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2026·天津模拟)已知a=log3，b=lo3，c=，则a，b，c的大小关系为　　　　　.(用“>”连接)  10.(2025·沈阳模拟)设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系为　　　　　　.(用“>”连接)  第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函 数 §2.8　指、对、幂的大小比较 【高考考向预测】 近三年高考指数、对数、幂函数值大小比较考查频次极高，多为选择填空高频小题，常结合函数单调性、中间值法、作差法解题，题型灵活且区分度适中；预测2027 年仍会持续重点考查，命题趋向数值形式多样化，侧重构造函数、放缩估算及多类型式子混合比较，愈发注重解题方法灵活选用，强化数形结合与逻辑推理能力考查。 【核心梳理●明考点】 重点解读　函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐.每年高考基本都会出现，难度逐年上升.高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答. 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 例1　(2026·湘东教学联盟高三联考)若a=log7，b=70.1，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a 【答案】C 【解析】因为函数y=log7x在(0，+∞)上单调递增，所以log71<log7<log77，即0<a<1， 因为b=70.1，c==， 函数y=x0.1在(0，+∞)上单调递增， 所以70.1>>，即b>c>1， 故b>c>a. 命题点2　找中间值 例2　(2020·全国Ⅲ卷)设a=log32，b=log53，c=，则(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A 【解析】∵3log32=log38<2， ∴log32<，即a<c. ∵3log53=log527>2， ∴log53>，即b>c. ∴a<c<b. 命题点3　特殊值法 例3　已知a>b>1，0<c<，则下列结论正确的是(　　) A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 【答案】C 【解析】取特殊值，令a=4，b=2，c=， 则ac=，bc=，∴ac>bc，故A错误； abc=4×=，bac=2×=， ∴abc>bac，故B错误； logac=log4=-1，logbc=log2=-2， alogbc=-8，blogac=-2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误. 【思维升华】利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“-1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1=log22<log23<log24=2，进而可估计log23是一个1~2之间的小数，从而便于比较. 【跟踪训练】1　(1)已知a=，b=，c=log2e，则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a 【答案】D 【解析】∵y=在R上单调递减，且<， ∴>， 又y=在(0，+∞)上单调递增，且<， ∴<， ∴<<1， 又log2e>1，∴a<b<c. (2)设a=0.20.5，b=log53，c=50.2，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 【答案】A 【解析】0<a=0.20.5=<=， 1>b=log53>log5=， c=50.2>50=1，所以a<b<c. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 命题点1　作差法 例4　已知a=log62，b=log404，c=log455，则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 【答案】C 【解析】=log26=1+log23=1+， =log440=1+log410=1+=1+， =log545=1+log59=1+， ∵-=<0， ∴<， ∵-=- ==>0， ∴>， 综上有>>>0， ∴c>a>b. 命题点2　作商法 例5　(2025·成都模拟)若a=，b=，c=lo，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 【答案】D 【解析】因为0<a=<30=1， 0<b=<=1， 令==×=×， 而=×()12 =3×2-4=<1， 即×<1，所以a<b， 又因为c=lo=lo>lo=lo=1，所以c>b>a. 命题点3　乘方法 例6　已知a=log35，b=log57，c=，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 【答案】D 【解析】因为53=125>=81，所以5>， 所以log35>log3=，即a>c. 因为73=343<=625，所以7<， 所以log57<log5=，即b<c.所以a>c>b. 【思维升华】求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数的公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式. 【跟踪训练】2　(1)(2025·天津河西区模拟)设a=，b=20.4，c=ln，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 【答案】D 【解析】a==30.3>1，b=20.4>1， a10=33=27，b10=24=16，故a10>b10，所以a>b>1， 又c=ln<ln e=1，所以c<b<a. (2)(2025·柳州模拟)已知137<216，346<217，设a=log3421，b=log2113，c=log138，则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 【答案】D 【解析】由137<216，得log21137<log21216， 即7log2113<6，则log2113<， 由346<217，得log34346<log34217，即6<7log3421，则log3421>，则log2113<log3421，即b<a. 又log2113>0，log138>0，则=log138×log1321<=(log13)2<1， 因此log138<log2113，即c<b，所以c<b<a. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·保定模拟)设a=50.4，b=，c=log32，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 【答案】B 【解析】由指数函数y=5x的单调性可知，b==50.6>a=50.4>1， 又c=log32<log33=1，所以c<a<b. 2.(2025·海南省直辖县级单位模拟)已知a=log23，b=，c=log53，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 【答案】A 【解析】因为a=log23=log2<，c=log53>log5=，所以a<b<c. 3.(2025·天津北辰区模拟)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b 【答案】D 【解析】因为0<<，则0<a<1，而b===>1，则a<b， 又0<<30，即0<c<1， a==>=c， 故c<a<b. 4.已知a=log32，b=log43，c=tan，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 【答案】D 【解析】c=tan=>1，a=log32<log33=1， b=log43<log44=1. 方法一　a-b=-=， 因为ln 2>0，ln 4>0，则ln 2+ln 4>2⇒ln 2×ln 4<×(ln 8)2<×(ln 9)2=(ln 3)2， 又ln 3>0，ln 4>0，则a-b<0，故a<b. 方法二　因为3a=3log32=log38<log39=2， 所以a<， 同理3b=3log43=log427>log416=2， 则b>，故a<b. 综上，c>b>a. 5.(2026·德州模拟)设2 024a=2 025，b=log2 0232 026，2 022c=2 026，则(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.c>b>a 【答案】D 【解析】依题意，c=log2 0222 026，b=<=log2 0222 026=c， a=log2 0242 025=<=log2 0232 025<log2 0232 026=b， 所以c>b>a. 6.(2025·广州模拟)已知57>310，410>77.设a=log47，b=2log72+log73，c=log925，则(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 【答案】D 【解析】由题意可得b=log712，c=log35， 因为57>310，410>77，所以两边取对数并整理得log35>，log47<，所以a<c. 又a=log47=>1，b=log712=>1，=， 且<=<=ln 7，即ln 4×ln 12<(ln 7)2， 所以>1，即a>b，所以b<a<c. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2025·保定模拟)下列不等式成立的有(　　) A.log0.30.2>log0.20.3 B.0.30.2>0.20.3 C.log30.2<log20.2 D.30.2<20.3 【答案】AB 【解析】对于A，log0.30.2>log0.30.3=1，log0.20.3<log0.20.2=1，故log0.30.2>log0.20.3，A正确； 对于B，0.30.2>>0.20.3，故0.30.2>0.20.3，B正确； 对于C，由于log30.2<0，log20.2<0，故===log23>1，故log30.2>log20.2，C错误； 对于D，因为(30.2)10=32=9，(20.3)10=23=8，所以(30.2)10>(20.3)10，故30.2>20.3，D错误. 8.(2025·萍乡模拟)已知实数a，b，c满足0<c<1<b<a，则(　　) A.ca<cb B.> C.lob< D.tan c<tan b 【答案】AC 【解析】对于A，因为0<c<1，所以y=cx在R上单调递减，又a>b， 所以ca<cb，故A正确； 对于B，令a=4，b=2，c=，所以==，=，所以=，故B错误； 对于C，因为b>1，所以lob<0，>1， 所以lob<，故C正确； 对于D，取c=，b=，可得tan c=1，tan b=-1， 则tan c>tan b，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2026·天津模拟)已知a=log3，b=lo3，c=，则a，b，c的大小关系为　　　　　.(用“>”连接)  【答案】b>c>a 【解析】a=log3=log3=-， b=lo3=2log53=log59>log55=1， 0<c=<=1， 所以b>c>a. 10.(2025·沈阳模拟)设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系为　　　　　　.(用“>”连接)  【答案】a>b>c 【解析】a=>e0=1，b=ln <1，c=<1， 故a>b，a>c，要比较ln 与的大小， 即比较ln与ln 2.2的大小， 等价于比较1.110与2.2的大小，等价于比较1.19与2的大小， 又1.19=1.1×1.18=1.1×1.214>1.1×1.24=1.1×1.442>1.1×1.42=1.1×1.96>2， 故1.19>2，即ln >，即b>c， 故a>b>c. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $