2026届中职重点数学基础知识回顾

中职重点数学基础知识回顾 （内部资料） 预备知识： 1. 完全平方和（差）公式： a b2 a2 2ab b2 , a b2 a2 2ab b2 2. 平方差公式： a2 b2 a ba b 3. ( — — ) 学科网（北京）股份有限公司 一、集合 1. 元素与集合 （1） 集合:一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集．集合常用大写英文字母表示．如A，B，C，… （2） 元素:组成这个集合的对象称为这个集合的元素．常用小写英文字母表示．如a，b，c… 元素与集合关系 定义 记法 读法 属于 a 是集合 A 的元素 aA “a 属于 A” 不属于 a 不是集合 A 的元素 aA “a 不属于 A” 2. 常用数集： 常用数集 实数集 有理数集 整数集 正整数集 自然数集 符号 R Q Z N *N N 3. 空集：不含任何元素的集合称为空集,记作,空集也是有限集. 4. 有限集与无限集：含有有限个元素的集合称为有限集.含有无限个元素的集合称为无限集. 5. 集合的表示法： (1)列举法； (2)描述法. 6. 7. 集合之间的关系： (1) 子集； (2)真子集； (3)相等. 集合与集合关系 定义 记法 读法 子集 如果集合A的每一个元素都是集合B的元素, 则称集合A是集合B的子集. A ⊆ B (或B ⊇ A) “A包含于B” (或“B包含A”) 真子集 如果集合A是集合B的子集, 并且集合B中至少有一个元素不属于集合A, 则称集合A是集合B的真子集. A B （或B A） “A真包含于B” （或“B真包含A”） 相等 如果集合A的元素与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合 B相等. 当A⊆B且B⊇A时, A＝B “A等于B” 注：（1）任何一个集合都是它本身的子集，即 Ａ⊆Ａ. （2） 规定：空集是任何集合的子集.⊆Ａ（包括⊆） （3） 空集是任何非空集合的真子集. （4） 一个集合含有n 个元素，则它的子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个， （5） 0，0，三者关系：0是集合，只含有一个0元素的集合；0是元素；是集合，不含任何元素的集合.它们的关系： 0 0,0 ， 0， 0. 8. 集合的运算： 运算 定义 表示 注 交集 由既属于集合A又属于集 合B的所有元素组成的集合 A B x | x A且x B “取A与B的公共元素” 并集 由集合A与集合B的所有元素组成的集合 A B x | x A或x B “取A与B的所有元素”相同元素只写一次. 补集 由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合 CU A x | x U且x A “取全集U去掉A的元素剩下的元素” 运算 Venn 图（文氏图） 交集 并集 补集 注：交集符号“ ”，并集符号“ ”，图形记忆： 二、不等式 1. 比较两个实数（或代数式）的大小：作差比较法. 2. 不等式的基本性质： 性质1（加法法则）：如果a b ，那么a c b c . 性质2（乘法法则）：如果a b ， c 0 ，那么ac bc ． 如果a b ， c 0 ，那么ac bc ．性质3（传递性）： 如果a b ， b c ，那么a c ． 性质4（同向不等式的可加性）： 如果a b ， c d ，那么a c b d .（记忆：大 大 小 小） 3. 区间：由数轴上两点间的所有实数所组成的集合，这两个点称为区间端点. 集合表示 数轴表示 区间表示 x | a x b a, b x | a x b a, b x | a x b a, b x | a x b a, b x | x b , b x | b , b x | x a a, x | x a a, R 整条数轴 , 4. 一元二次不等式解法: (ax + b)(cx + d) > 0(a > 0, c > 0)的解法步骤： ①求出两根；②大于取两边；小于取中间；③ 写成集合的形式. 5. 含绝对值不等式解法： （1） 不等式|x|>a (a>0)和不等式|x|<a (a>0)的解法. x a x a或x a x a a x a （口诀：大于取两边；小于取中间） （2） 形如|ax+b|>c或|ax+b|<c (c>0)的不等式可以通过“换元”的方法，把ax+b看成一个整体，化成|x|<a，|x|>a (a>0)形式的不等式来求解. （3） 三、函数 1.函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 定义域的求法：（结果要写成集合或区间） (1) f x 1 分式型 分母ax b 0 ax b (2) ( ax b )f x 二次根式型 ax b 0 (3) ( ax b ) ( ax b 0 )f x 1 分式、二次根式结合型 ax b 0 ax b 0 (4) f x loga x, a 0且a 1对数型 x 0 f x loga ax b, a 0且a 1对数型 ax b 0 (5) f x ax2 bx c, x A dx2 ex f , x B 分段函数型 A B (6) f x x0 零指数幂型 x 0 f x ax b0 零指数幂型 ax b 0 (7) f x ax2 bx c 整式型 x R 2. 函数的性质 （1） 函数的单调性 设函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D． 如果对于区间I上的任意两点 x1 , x2 ，当 x1 x2 时， 都有 f x1 f x2 ，那么称函数y=f(x)在区间I上是 增函数，区间I称为函数y=f(x)的增区间． 如果对于区间I上的任意两点 x1 , x2 ，当 x1 x2 时， 都有 f x1 f x2 ，那么称函数y=f(x)在区间I上是 减函数，区间I称为函数y=f(x)的减区间． 几个常见函数 函数的单调性 正比例函数 y kxk 0 k 0 在 ， 上是增函数 k 0 在 ， 上是减函数 一次函数 y kx bk 0 k 0 在 ， 上是增函数 k 0 在 ， 上是减函数 反比例函数 y k k 0 x k 0 在 ，0和0， 上是减函数 k 0 在 ，0和0， 上是增函数 二次函数 y ax2 bx ca 0 a 0 在 ， b 上减函数，在 b ， 上增函数 2a 2a a 0 在 ， b 上增函数，在 b ， 上减函数 2a 2a （2） 函数的奇偶性 判断步骤： ①定义域关于原点对称 ②若 f x f x 奇函数，若 f x f x 偶函数. 根据图像判断：①图像关于原点对称 奇函数，②图像关于y轴对称 偶函数.注：（1）常值函数 f x aa 0 为偶函数，（2） f x 0 既是奇函数又是偶函数. 3. 二次函数性质 2 b 4ac b2 b 二次函数一般式 f x ax bx ca 0，顶点坐标 , 2a ，对称轴 x 4a 2a （1） a 0 开口向上有最小值 当 x b 时， y 2a 最小 4ac b2 4a （2） a 0 开口向下有最大值 当 x b 时， y 2a 最大 4ac b2 4a 高频考点：函数的性质 几个常见函数 图像 单调性 奇偶性 y x2 y ax2 (a 0) ，0减函数 0， 增函数 偶函数 y x2 y ax2 (a 0) ，0增函数 0， 减函数 偶函数 y x3 ， 增函数 奇函数 y x 0， 增函数 非奇非偶函数 y 1 x y k (k 0) x ，0和0， 减函数 奇函数 y 1 x y k (k 0) x ，0和0， 增函数 奇函数 几个常见函数 图像 单调性 奇偶性 y 2x y kx(k 0) ， 增函数 k 0 奇函数 y 2x y kx(k 0) ， 减函数 k 0 奇函数 y 2x 1 y kx b(k 0, b 0) ， 增函数 k 0 非奇非偶函数 y 2x 1 y kx b(k 0, b 0) ， 减函数 k 0 非奇非偶函数 几个常见函数 图像 单调性 奇偶性 y 2x y ax (a 1) ， 增函数 a 1 非奇非偶函数 1 x y 2 y ax (0 a 1) ， 减函数 0 a 1 非奇非偶函数 y log2 x y loga x, (a 1) 0， 增函数 a 1 非奇非偶函数 y log 1 x 2 y loga x, (0 a 1) 0， 减函数 0 a 1 非奇非偶函数 y sin 奇函数 y cos 偶函数 y sin 偶函数 y cos 偶函数 四、三角函数 1. 任意角 （1） 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角.负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角.零角：一条射线没有做任何旋转. （2） 终边相同的角 与角α终边相同的所有角构成的集合为S={β|β=α+ k 360°，k∈Z} 2. 弧度制 （1） 规定，弧长等于半径(即 l r 1 )的圆弧所对的圆心角称为１弧度的角. 记作“1rad” (读作“1 弧度”). （2） l r （3） 弧长公式l r （4） 扇形面积公式S a r 2 1 ar 2 1 r ar 1 rl 2 2 2 2 （5） 特殊角的角度值和弧度值的对应关系： 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 3. 任意角的三角函数 （1） 在 RtABC 中 sin A 角A的对边 BC 斜边 AB cos A 角A的邻边 AC 斜边 AB tan A 角A的对边 BC 角A的邻边 AB （2） 已知角的终边经过点Px, y，那么： r x2 y2 （3） sin a y , cos a x , tan a y r r x （4） 特殊角的三角函数值 30 45 60 120 135 150 sin a 1 2 3 3 2 1 2 2 2 2 2 2 cos a 3 2 1 - 1 - 2 - 3 2 2 2 2 2 2 tan a 3 1 3 - 3 -1 - 3 3 3 0 2 3 2 2 sin a 0 1 0 -1 0 cos a 1 0 -1 0 1 tan a 0 不存在 0 不存在 0 4. 三角函数值符号与象限的关系：一全二正三切四余. 5. 同角三角函数基本关系（可用于化简证明） （1） tan sin cos （2） sin 2 cos2 1，变形sin 2 a 1 cos2 sin cos2 a 1 sin 2 cos 6. 诱导公式：函数名不变，符号看象限 1 cos2 1 sin 2 公式一 sin2k a sin a cos2k a cos a tan2k a tan a 公式二 sin a sin a cos a cos a tan a tan a 公式三 sin a sin a cos a cos a tan a tan a 公式四 sin a sin a cos a cos a tan a tan a 诱导公式：终边关于坐标轴对称的角的三角函数关系. (1) 终边关于x轴对称的角的余弦值相等，正弦、正切值互为相反数. 公式二 sin a sin a cos a cos a tan a tan a (2) 终边关于原点对称的角的正切值相等，正弦、余弦值互为相反数. 公式三 sin a sin a cos a cos a tan a tan a (3) 终边关于y轴对称的角的正弦值相等，余弦、正切值互为相反数. 公式四 sin a sin a cos a cos a tan a tan a 7. 函数y= Asin( x ) 或y= A cos( x ) 的性质： ( 2 ) ( 2 x 的系数 )周期T= （T= ） ymax A ， ymin A 值域 y A , A 8. 正弦函数 y sin x 在[0, 2]上的图像和特征 （1）值域 y 1,1 （2） 了解作正弦函数在[0, 2]上简图的“五点法” （3） 增区间0,和3 2 ，（注：两个区间用“和”，不能用“ ”） 2 2 ， （4） 减区间, 3 ，（注：有连贯的区间需要写出最大区间，不能写成两个或多个） 2 2 9. 余弦函数 y cos x 在[0, 2]上的图像和特征 （1）值域 y 1,1 （2） 了解作余弦函数在[0, 2]上简图的“五点法” （3） 增区间,2 （4） 减区间0, 10. 正、余弦函数 y cos x 的图像和性质 正弦函数 余弦函数 解析式 y sin x y cos x 图像 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 2 2 单调性 k Z 在 2k, 2k 上是增函数 2 2 在 2k,2k上是增函数 在 2k, 3 2k 上是减函数 2 2 在2k, 2k上是减函数 五、指数函数与对数函数 1. 有理数指数幂 （1） a 0 a0 1 ( n a m )m an 1 an m 1 （2） a 0, m, n N *, 且n 1 a n a n n am （3） a p aq a pq a p q a pq abp a p b p 2. 指数函数：形如 y ax a 0且a 1的函数. 特点 a 1 0 a 1 图像 性质 定义域： ， ；值域0， 图像过点（0,1） 非奇非偶函数 在 ， 上是增函数 在 ， 上是减函数 当 x 0 时， 0 y 1 ； 当 x 0 时， y 1 当 x 0 时， y 1； 当 x 0 时， 0 y 1 3. ( a )对数式与对数函数的互化： log N b ab N a 0且a 1 4. 常用对数: log10 N lg N ; 自然对数： loge N ln N e 2.71828 5. 对数的两个重要性质： logaa 1, loga 1 0 6. 对数的基本运算：若a >0, a ≠1，M>0，N>0 loga MN loga M loga N M loga N loga M loga N loga M n nloga M 7. 对数函数：形如 y loga xa 0且a 1的函数. 特点 a 1 0 a 1 图像 性质 定义域： 0， ；值域 ， 图像过点（1，0） 非奇非偶函数 在0， 上是增函数 在0， 上是减函数 六、直线和圆的方程 1. 两点间距离公式和线段的中点坐标公式 （1） ( x x y 2 y 2 2 1 2 1 )两点间距离公式 AB （2） 中点坐标公式：中点M x0 , y0 ,则有 x0 x1 x2 , y 2 0 y1 y2 2 2. 直线的方程 （1） 倾斜角：直线l 向上的方向与x轴正方向所成的最小正角.倾斜角范围是0， （2） 斜率： k tan a ， k y2 y1 ，（注：倾斜角a 90，k不存在） x2 x1 倾斜角a 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 斜率k 0 3 3 1 3 不存在 - 3 -1 - 3 3 （3） 点斜式方程：已知过点 P0 x0 , y0 ，斜率k y y0 k x x0 斜截式方程斜率k及直线在y轴上的截距b y kx b 一般式方程： Ax By C 0 （4） 两条直线的位置关系 l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2 l1与l2重合 k1 k2且b1 b2 l1 // l2 k1 k2且b1 b2 l1与l2相交 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 注： Ax By C 0 ，A=0或B=0的情况可画图像来判定. （5） 点到直线的距离公式 点M x0 , y0 到直线Ax+By+C=0的距离为 ( A 2 B 2 Ax 0 By 0 C )d *（6）两平行线间的距离公式(可适当增加） ( A 2 B 2 C 2 C 1 )l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 ， l1 // l2 d 3. 圆的方程 （1） 标准方程 以C(a,b)为圆心, r为半径的圆的标准方程x a2 y b2 r 2 圆心在坐标原点O(0,0),半径为r,则圆的标准方程 x2 y2 r 2 （2） 一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0D2 E 2 4F 0 圆心 D , 2 E ，半径r ( D 2 E 2 4 F )2 2 确定圆的条件： D2 E 2 4F 0 （3） 直线和圆的位置关系： 主要用几何法，利用圆心到直线的距离d和半径r比较 d r 相交, d r 相切, d r 相离 （4） 弦长公式（运用勾股定理） 弦长 AB 2 BD BC 2 CD 2 BD 2 r 2 d 2 BD 2 ( r 2 d 2 )弦长公式 AB 2 4. 过圆上一点的切线方程（代一半） （1） ( 0 0 )过圆 x2 y2 r 2 上的一点 P（x , y ) 的切线方程是： ( 0 0 )x x y y r 2 （2） 过圆x a2 y b2 r 2 上的一点 P（x0 , y0 ) 的切线方程是： x ax0 a y by0 b r 2 七、平面向量 1. 向量的概念 （1） 定义：既有大小又有方向的量. （2） 向量的表示：书写时一定要加箭头,如a, AB （A为起点，B为终点） （3） ( AB )向量的模： a , （向量的大小） （4） 单位向量：模为1的向量． 零向量0 ：模为零的向量， 0 0 （零向量的方向是任意的）相等向量：模相等且方向相同的两个向量. 相反向量：与非零向量a 的模相等、方向相反的向量称为a 的相反向量,记作 a . （规定：零向量的相反向量仍是零向量.） 2.向量的运算： （1） 加法 AB BC AC ，减法 AB AC AB CA CA AB CB （2） 数乘向量：a ，模 a a . 0 ，a 方向与a 相同； 0 ，a 方向与a 相反 （3） 设 x , y a x1 , y1 , b 2 2 ( x ) x , y y a b 1 2 1 2 a x1 , y1 x1 ,y1 ( （注：出错率比较高的公式之一 ） ) a b x1 x2 y1 y2 ( a ) ( x 2 y 2 1 1 ) （4） 设A、B点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， （5） 则 AB x2 x1 , y2 y1 .（注：终点-起点） 3. 向量平行、垂直的充要条件 （1） 两个非零向量 a, b 平行（共线）的充要条件 ① a// b a b 或者b a （ 0 说明方向相同 0 说明方向相反） ② x , y ，则 x y x y 0 x y x y a x1 , y1 , b 2 2 a// b 1 2 2 1 1 2 2 1 ( （ 注： x 1 y 2 x 2 y 1 可以这样记忆“中间相乘=两端相乘” ） ) （2） 两个非零向量 a, b 垂直的充要条件 a b a b 0 设 x , y ，则 x x y y 0 a x1 , y1 , b 2 2 a b 1 2 1 2 4. 向量的内积（数量积） （1） ( a )向量的夹角 a, b ,范围是0， （2） 内积公式： a b b cos a, b 5. 向量内积的性质 （1） cos a, b a b ( a b )（夹角公式） （2） a b 0 a b ( a a )2 （3） a a a 或a （ a a a 2 x 2 y 2 ）（注：出错率比较高的公式之一） 1 1 八、数列 等差数列 等比数列 定义 如果一个数列从第二项起，每一项与 它前一项的差都等于同一个常数 如果一个数列从第二项起,每一项与它 前一项的比都等于同一个非零常数 a2 a1 a3 a2 ... an an1 d a2 a3 ... an qq 0 a1 a2 an1 注：当d 0 时，数列为常数列 注：等比数列的各项及公比均不等于 0. 当公比为1时，数列为常数列 通项 公式 an a1 n 1d a a qn1 n 1 拓展提升 an am n md 例：a9 a4 5d a a qnm n m 例：a9 a4 q 5 若m n p q 则am an ap aq 若m n p q 则am an ap aq 中项 三个数a, b, c 成等差数列，则 a2 a1 a3 a2 2a2 a1 a3 2b a c b a c 2 三个数a, b, c 成等比数列，则 a2 a3 a 2 a a a a 2 1 3 1 2 b c b2 a c b ac a b 公式 S1 a1 S2 a1 a2 S3 a1 a2 a3 S1 a1 S2 a1 a2 S3 a1 a2 a3 前n项 和公 ... Sn a1 a2 ... an ... Sn a1 a2 ... an 式 S na1 an n 2 q 1时, Sn na1 S na nn 1 d n 1 2 a 1 qn a a q q 1时，Sn 1 1 n 1 q 1 q 问题情境 如果三个数成等差数列, 且已知三个数的和 可设三个数分别为a d , a, a d 如果三个数成等比数列, 且已知三个数的乘积 可设三个数分别为 a , q, aq q 拓展提升 已知前n项和公式Sn 的解析式，求通项公式an S1, n 1 an S S , n 2 n n1 九、概率与统计初步 1. 计数原理 （1） 分类计数原理：一般地，如果完成一件事有n类方式. 第1类方式有k1 种方法，第2类方式有k2 种方法...，第n类方式有kn 种方法，那么完成这件事的方法共有 （2） N k1 k2 ... kn (种). 上面的计数原理称为分类计数原理.分类计数原理又称加法原理. （3） 分步计数原理：一般地，如果完成一件事有n个步骤. 完成第一个步骤有k1 种方法，完成第2个步骤有k2 种方法...，完成第n个步骤有kn 种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有 N k1 k2 ... kn (种). 上面的计数原理称为分步计数原理.分类计数原理又称乘法原理. 2. 随机事件 （1） 随机事件、必然事件 ，不可能事件 （2） 古典概型：有限性，等可能性. PA m 事件A包含的基本事件数 m n n 基本事件总数 （3）互斥事件： PA B PA PB 3. 样本的均值和标准差 （1） 样本均值： x x1 x2 ... xn n （2） 样本方差公式： s2 1 x x2 x x2 ... x x2 n 1 1 （总体方差公式：2 1 x x2 x 2 n x2 ... x x2 ） （3） 样本标准差公式： s n 1 1 n 1 x1 2 ( 2 ) x2 x n ( n ) x2 ... x x2 （总体标准差公式： 1 x x2 x x2 ... x x2 ） n 1 2 n ( 乙 )（波动程度：方差、标准差越小，说明波动越小，意味着随机变量的取值越接近均值，因此越稳定；反之，方差、标准差越大，波动就越大，随机变量的取值越分散，表 明越不稳定.比如甲、乙两人射击成绩平均值相同， s甲 2 s 2 ，说明乙成绩比较稳定） 十、立体几何 1. 平面的基本性质 公理1：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.这个公理也可以说成“不共线的三点确定一个平面” 公理2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.有且只有一个平面. 公理3：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过该点的公共直线.推论1：经过一条直线和该直线外的一点有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面. 2. 点线面关系的符号表示 （1） 点A在直线l 上，表示为 A l 点B不在直线l 上，表示为 B l （2） 点A在平面内，表示为 A 点B不在平面内，表示为 B （3） 直线l 与平面相交于点A，表示为 l A 直线l 在平面内，表示为 l 直线l 与平面平行，表示为 l // （4） 平面与平面平行，表示为 // 平面与平面相交于直线l ，表示为 l 3. 两条直线的位置关系：平行、相交、异面. （1） 一般地,把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线；相交或平行的两条直线称为共面直线. （2） 异面直线所成的角的取值范围是 0 ， 2 4. 简单几何体 序 名称 公式 要求 （1） 直棱柱侧面积公式 S直棱柱侧 ch 掌握 正棱锥侧面积公式 S 1 ch' 正棱锥侧 2 掌握 （2） 圆柱侧面积公式 S圆柱侧 c h 2rh 掌握 圆锥侧面积公式 S 1 cl rl 圆锥侧 2 掌握 （3） 球表面积公式 S球 4R 2 了解 （4） 直棱柱体积公式 V直棱柱 S底h 理解 正棱锥公式 V 1 S h 正棱锥 3 底 理解 圆柱体积公式 V S h r 2h 圆柱 底 理解 圆锥公式 V 1 S h 1r 2h 圆锥 3 底 3 理解 球的体积公式 V 4R3 球 3 了解 5. 实物或空间图形的正视图、俯视图、左视图. 6. 直棱柱、正棱锥的侧面展开图 7. 圆柱、圆锥的侧面展开图 $