2026年浙江中考数学高阶能力拓展专题 几何轨迹

**基本信息** 以“作图工具+轨迹原理”为双主线，系统整合尺规、网格、直尺作图方法与几何轨迹模型，强化从直观操作到逻辑推理的思维进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |尺规作图|7题|垂直平分线作法、等弧截取、定长画弧|以等腰三角形、圆性质为基础，通过“作图痕迹→几何原理→计算应用”构建操作与推理链| |网格作图|5题|格点图形性质应用、角平分线判定|结合网格特性，运用平行四边形、位似变换性质实现图形精准构造| |直尺作图|6题|圆周角定理应用、中心对称性质|依托无刻度直尺限制，强化对圆、菱形等图形基本性质的深度迁移| |几何轨迹|6题|定弦定角模型、折叠轨迹“定点定长”|从点动成线概念出发，通过正方形、矩形折叠等情境，构建轨迹判定的直观认知与逻辑表达|

几何轨迹—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题 一、尺规作图 1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AD 是斜边 BC上的中线，过点A作射线AE∥BC. （1）尺规作图：在射线AE上找一点 F，连结CF，使得CF=BC(不写作法，保留作图痕迹). （2） 根据(1) 的作法， 若AD=1， 求AF的长. 2．如图，AB是圆的一条弦(不是直径).仅用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，并保留作图痕迹，不写作法. （1）作圆心O和 的中点 M. （2）连结OM，交AB于点 N，若AB=4， ON=3，求⊙O的半径. 3．在等腰中，，点是的中点，要求用尺规作图的方法在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下： （1）①做法正确的同学有___________； ②请选择你认为正确的一种做法给出证明； （2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法． 4．如图，是矩形的对角线． （1）用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交，于点，； （2）在（1）条件下，若，求的长． 5．如图，点P是平分线上的一点，点M是射线上的一点（异于点B），连结MP， 在射线BA上用尺规作图的方法找一点N，使．下面有两种作图方法． 方法1：以B为圆心，为半径作弧，交射线于N，连结，则． 方法2：以P为圆心，为半径作弧，交射线于N，连结，则． （1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明； （2）直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确． 6．“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． （1）若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“　 　 连弧纹镜”； （2）请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 7．某公园有一座古塔（如图 1)，数学兴趣小组借助皮尺和测角仪测量该古塔的高度.图 2是该小组根据测量方案绘制的部分几何图形. 步骤一：在点 A 处，测得塔尖 C的仰角为37°； 步骤二：从点 A 出发，向前走 15m到达点 B 处.此时在 B处测得塔尖 C的仰角为45°.点 D是塔尖 C在地平线AB上的正投影. （1）尺规作图：作出表示古塔高度的线段CD，并说明作图原理；（保留作图痕迹，不要求写作法) （2）根据测量数据，计算古塔的高度.（参考数据： 二、网格作图 8．如图，边长为1的小正方形组成的网格中，已知点A，B在网格的格点上。 （1）在图1中，画一个以AB为边，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形ABCD： （2）在图2中，画一个以AB为对角线，顶点都在格点上，面积为6的平行四边形AEBF。 9．如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC.画法1：在AD边上找到格点P，使AP=AB. 画法2：在BC边上找到格点E，使BE=AB，连结AE，找到格点P. （1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点P，连结BP. 图1 （2）从两种画法中选择一种证明BP平分∠ABC. 图2 10．图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）． （1）在图1中作一个以为腰的等腰． （2）在图2中以为边画一个平行四边形． 11．图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，0），C（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出△ABC的位似图形△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为1：2． （1）请画出△A'B'C'； （2）若点M（a，b）为AC边上一点，则点M的对应点M'的坐标是　 　 ； （3）△A'B'C'的面积为　 　 ． 三、直尺作图 13．只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线． （2）如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F． 14．如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹． （1）请在图中作一个的圆周角，记为． （2）请在图中作一个的圆心角，记为． 15．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边上，且，连结，请仅用无刻度的直尺画出线段的中点O，并说明这样画的理由． 16．作图题：上有三个点，，，，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出符合要求的角． （1）在图1中作一个的角； （2）在图2中作一个的角； （3）在图3中作一个的角． 17．如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作一个以为对角线的平行四边形； （2）在图2中，作出中边上的中线． 18．数学课上，老师提出：仅用无刻度的直尺作图. （1） 如图， 点A、B、C在⊙O上， ①在图①中，画一个与∠B互补的圆周角； ②在图②中，画一个与∠B互余的圆周角. （2） 在图③中， △ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥BC于点 D. 画出 的平分线. 四、几何轨迹 19．2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（　　） A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对 20．综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（　　） A． B． C． D． 21．在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为　 　． 22．如图，在正方形ABCD中，E是正方形内部一动点，∠AEB=90°，请画出点E的运动轨迹. 【思路引导】定弦为 ，定角为 ，画出点 E 的运动轨迹. 23．如图，小球起始时位于 （3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线 l 对称的点.如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹. 24．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一动点，将 沿EF所在直线折叠得到 请你在图中画出点.A'的运动轨迹. 【思路引导】定点(圆心)是 ，定长(半径)是 ，点F从A运动到D的过程中，A'的起点位置是 ，当F在 位置时，A'到达终点，画出点A'的运动轨迹.A' 答案解析部分 1．【答案】（1）解：图1即为所作图形. （2）解：如图2，作CH⊥AF于点 H. ∵△ABC 是等腰直角三角形， AD是中线， AD=1， ∴∠ACB=45°， AD⊥BC， BC=2AD=2. ∵AE∥BC， ∴CH=AD=1. ∵∠FAC=∠ACB=45°， ∴AH=CH=1. ∴AF=FH+AH=. 【解析】【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧交与点F，连接，则CF即为所求． （2）作于点H．根据等腰直角三角形的性质得出， ，．即可得到是等腰直角三角形，求出，再在Rt△CHF中根据勾股定理求出，最后根据线段的和差解答即可． 2．【答案】（1）解：如图，点和点即为所求， （2）解：如图，连接， 由（1）可知，点是的中点， ∴， ∴， 在中，． 【解析】【分析】（1）在圆弧上再取一点，连接，作弦AB，AC的垂直平分线交于点O，点O即为圆心，的垂直平分线与的交点即为中点； （2）连接，根据垂径定理的逆定理可得，，然后在Rt△AON中根据勾股定理求出圆的半径即可． 3．【答案】（1）①甲、丙； ②甲的做法证明如下： 方法一：由图可知平分， ， ， ， 又点为的中点， ； 方法二：由图可知平分， ， 为边上的中线，即点为的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ； 丙的做法证明如下： 方法一：连结由图可知， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， 又点为的中点， ； 方法二：连结由图可知， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，即点为的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ． （2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E， 则． 其他做法酌情给分 【解析】【解答】 解：（1）①做法正确的同学有甲、丙； 【分析】 本题是尺规作图与几何证明的综合题，融合了等腰三角形的性质、直接三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等多个核心知识点. （1）需结合作图痕迹，分析甲乙丙三位同学的做法是否符合的要求，再选择正确做法，利用等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理或中位线定理完成证明； （2）需根据几何原理，设计不同于三位同学的尺规作图方案，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，能将作图痕迹与几何性质对应起来. （1）解：①做法正确的同学有甲、丙； ②甲的做法证明如下： 方法一：由图可知平分， ， ， ， 又点为的中点， ； 方法二：由图可知平分， ， 为边上的中线，即点为的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ； 丙的做法证明如下： 方法一：连结由图可知， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， 又点为的中点， ； 方法二：连结由图可知， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，即点为的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ． （2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E， 则． 其他做法酌情给分 4．【答案】（1）解：即为所求. （2）解：∵四边形ABCD为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，∠AOF=90°， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧交点形成的直线，即为所求； （2）根据勾股定理先求出的长，再根据余弦值求出的长，进而得出答案． （1）解：如图，即为所求； （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 5．【答案】（1）解：方法一正确，画图如图所示 证明：∵平分， ∴， 在和中 ∵， ∴. （2）或 【解析】【解答】（2）解：当或时，两种方法都正确，理由如下： 当时， 则， ∴的长即为点P到的距离； 按照方法2作图，的长即为点P到的距离，， 射线上有且只有一个点N符合，则； 当时，， 此时按照方法2作图，， 射线上有且只有一个点N符合， 则． 【分析】（1）方法一正确，根据即可证明全等； （2）当以P为圆心，为半径作弧，与射线的交点N只有一个，即当或时，两种方法都正确. （1）解：方法一正确， 画图如图所示 证明：由作图可得， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：当或时，两种方法都正确． 理由：当时， ，的长即为点P到的距离， 按照方法2作图，的长即为点P到的距离，， 射线上有且只有一个点N符合，则； 当时，， 此时按照方法2作图，， 射线上有且只有一个点N符合， 则． 6．【答案】（1）七 （2）解：如图 【解析】【解答】解：（1）将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“七连弧纹镜” 故答案为：七. 【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系，连接一段等弧的两个端点构成弦，再在圆上截取相同长度的弦即可. （2）利用垂径定理，先确定出两个同心圆的圆心，再依次找出等弧的圆心即可. 7．【答案】（1）解：如图所示： 线段CD即为所求 （2）解：设古塔的高度CD= xm（x>0)， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90°. 由题意可知， ∠CBD=45°， ∠CAD=37°， AB=15m， ∴∠CBD=∠BCD=45°， ∴CD=BD= xm， AD=AB+BD=（15+x)m， ∴在Rt△ACD中， 解得，x=45，（经检验，x=45是分式方程的解，且符合题意)，即CD=45m. 答：古塔的高度为45m. 【解析】【解答】解：（1）作图原理： 如图，连接CE， CF， NE， NF， 由作图可知， CE=CF， NE=NF， ∴CN垂直平分EF， 即CD⊥AB，满足正投影的定义. 【分析】（1）根据经过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可完成作图； （2）通过解直角三角形ACD，即可求得古塔的高度CD的值。 8．【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）作底边为2，高为3，且为边的平行四边形； （2）作一个底边为2，高为3，且为对角线的平行四边形． 9．【答案】（1）解：如图1，点P即为所求作；如图2所示，点P即为所求作； （2）解：①如图1， 由题意可知， ∴∠ABP=∠APB， ∵AD//BC， ∴∠APB=∠CBP， ∴∠ABP=∠CBP， 则点P即为所求； ②如图2， 由题意可知， 点P为AE的中点， 由三线合一定理可得BP平分∠ABC， 则点P即为所求. 【解析】【分析】(1)如图1中，在AD上取点P，使得AB=AP，连接BP，点P即为所求.如图2中，作等腰△ABE， AB=AE，取AE的中点P，作射线BP，点P即为所求； (2)①由画图可知，推出∠ABP=∠APB，再根据AD//BC，证明∠APB=∠PBC，可得∠ABP=∠PBC，则点P即为所求； ②由画图可知，AB=BE，点P为AE的中点，由三线合一定理可得BP平分∠ABC，则点P即为所求. 10．【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求的三角形； （2）解：如图，四边形ABCD就是所求的平行四边形. 【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点、全等三角形的对应边相等及等腰三角形定义作图即可； （2） 开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点，平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）作图即可. （1）解：如图所示，等腰即为所求； （2）解：如图所示，平行四边形即为所求； 11．【答案】（1）解：如图①中，点D即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图②中，点E即为所求（答案不唯一）． 【解析】【分析】（1）取优弧AC上的格点D，然后连接DA，DB，根据同弧所对的圆周角相等即可解答； （2）取优弧AC上的格点，连接EA，EC，根据圆内接四边形的内角互补即可得到点E即为所作. 12．【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求； （2） （3）1 【解析】【解答】解：（2）∵点M（a，b）为AC边上一点，△A'B'C'与△ABC的相似比为1：2． ∴点M'的坐标为， 故答案为：； （3）△A'B'C'的面积为， 故答案为：1． 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以−2，即可得点M'的横纵坐标； （3）利用长方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到△A'B'C'的面积． 13．【答案】（1）解： （2）解： 14．【答案】（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，则即为所求作； （2）答：如图，连接BO并延长交于点F，则即为所求作. ​ 【解析】【分析】 （1）圆内接四边形对角互补； （2）由圆周角定理得，再利用邻补角的概念延长BO交圆O于点F，则即为所求作． （1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，， 即为所求作； （2）解：延长交于点， 即为所求作． 15．【答案】解：如图：连结交与点O，点O即为所求． 理由：连结． 四边形为平行四边形， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点O是线段的中点 【解析】【分析】连结AC交EF于点O，点O即为所求；连接AF、CE，由平行四边形的对边平行得出AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平分可得结论. 16．【答案】（1）∠AOC （2）∠D （3）∠CAE 【解析】【解答】解：(1)连接OA，OC， 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得：∠AOC=2∠ABC=100°， ∴∠AOC即为所求； 故答案为：∠AOC. (2)在上任取一点D， ∴∠D即为所求； 故答案为：∠D. (3)如图， 延长AO交⊙O于点E，连接CE， ∴∠ACE=90°，∠E=∠B=50°， ∴∠CAE=40°， ∴∠CAE即为所求. 故答案为：∠CAE. 【分析】(1)连接OA，OC，同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可； (2)在上任取一点D，由圆内接四边形性质可得∠D=130°； (3)延长AO交⊙O于点E，连接CE，AC，再根据直角三角形性质即可. 17．【答案】（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求； 可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形； （2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求； 可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求． 【解析】【分析】（1）根据题意，连接交于O，则四边形即为所求； （2）根据题意，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求．​​​​​​ （1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求； 可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形； （2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求； 可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求． 18．【答案】（1）解：①在劣弧上任取一点D，连接DA、DC，∠ADC与∠B互补； ②连接AO并延长交 ⊙O 于点E，连接EC，∠EAC+∠E=90°，∠E=∠B，得∠EAC+∠B=90°，∠EAC即为所求； （2）解：延长OD交 ⊙O 于点F，连接AF即为∠BAC的平分线； 【解析】【分析】(1)①根据圆内接四边形对角互补，在劣弧的任意找一点即满足题意； ②连接AO构造直径，同时构造与∠E互余的角度，∠B=∠E，即知∠EAC即为所求； (2)延长OD知点F为弧的中点，连接AF即为∠BAC的平分线. 19．【答案】C 【解析】【解答】解：卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是点动成线， 故答案为：C． 【分析】将“嫦娥号”飞船看着一个点，根据点动成线，可得答案. 20．【答案】B 21．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵点绕原点O顺时针旋转得到点， ∴点A运动到的轨迹的长度为， 故答案为：． 【分析】先根据点A的坐标得到，再根据旋转结合弧长公式即可求解。 22．【答案】解：AB， ∠AEB. 取AB 中点 O，点E 的运动轨迹如解图所示(不与点A，B重合). 【解析】【解答】【思路引导】解：∵∠AEB=90°， ∴点E在以AB为直径的圆上， 故答案为：AB；∠AEB； 【分析】根据90°的圆周角所对的弦为直径解答即可. 23．【答案】解：小球的运动轨迹是(3，0)→(0，3)→(1，4)→(5，0)→33 →(3，0)→…，其中关于直线l对称的点有（　　）与(7，4)，(0，3)与(8，3)，(3，0)与(5，0).若小球起始时位于(1，0)处，则小球运动的轨迹如图所示. 【解析】【分析】 首先需明确直线l的方程，通常对称轴可能是x=4（根据原轨迹的对称点推测），然后分析轨迹的对称性。对于第二个问题，需考虑起始点变化后轨迹的对称性是否保持，并推导新的轨迹点。 24．【答案】解：点 E，AE(或A'E)，点A，点 D. 如解图，点A'的运动轨迹为AA". 【解析】【解答】【思路引导】解：∵沿EF所在直线折叠得到 ∴EA'=EA， ∴点A'在以点E为圆心，EA长为半径的圆上， 点F从A运动到D的过程中，A'的起点位置是点A，当F在点D位置时，A'到达终点， 故答案为：点 E，AE，点A，点 D. 【分析】根据翻折可得EA=EA'，然后根据到定点的距离等于定长的点在圆上解答即可. 学科网（北京）股份有限公司 $