精品解析：云南曲靖市宣威市第七中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学卷

宣威七中高二年级2026年5月月考试卷 数 学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足（﹣i）z＝2（i为虚数单位），则＝（ ） A. B. C. D. 3. 若正数满足，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 7 4. 在中，点D在BC上，且，过D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，记，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲､乙两企业每年缴纳的地税逐年增加，并且甲企业的年增长数相同，乙企业的年增长率相同．若这两家企业在2003年和2009年所缴地税分别相同，则它们在2015年企业缴纳地税的情况是（ ） A. 甲多 B. 乙多 C. 一样多 D. 不能确定 6. 已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. C. 样本数据的下四分位数为1.8 D. 当时，的预测值为4.1万元 10. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 2是函数的极小值点 C. 若方程有三个不同的实数根，的取值范围为 D. 不等式的解集为 11. 下列说法中错误的是（ ） A. 三个点可以确定一个平面 B. 若直线a在平面外，则a与无公共点 C. 用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D. 斜棱柱的侧面不可能是矩形 三、填空题 12. 已知多项式，则__________；__________． 13. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则点的横坐标为___________． 14. 设为圆上的两动点，且，为直线上一动点，则的最小值为______. 四、解答题 15. 已知函数 （1）当时，求证:； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围 16. 在中，角的对边分别为，若， （1）求角的大小； （2）若为中点，，求边. 17. 已知椭圆过点，且焦距为4 （1）求椭圆的标准方程： （2）设为直线上一点，为椭圆上一点.以为直径的圆恒过坐标原点. (i)求的取值范围 (ii)是否存在圆心在原点的定圆恒与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由. 18. 据文化和旅游部5月6日公布2025年“五一”假期全国国内出游人次为3.14亿，总花费为1802.69亿元.在假期出游的人群中，有跟团游，也有自由行等不同的旅游方式.为了解年龄因素是否影响旅游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于17岁，小于45岁）和中老年组（大于或等于45岁）.现从市随机抽取200名成年人进行调查，得到数据如下表: 青壮年 中老年 合计 跟团游 30 60 90 自由行 65 45 110 合计 95 105 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析年龄与选择旅游方式是否有关联； （2）用分层随机抽样的方法从跟团游中抽取9人，再从9人中随机抽取5人，用随机变量表示5人中青壮年人数与中老年人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 附:. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在四棱锥中，平面，且．过点A作平面与棱交于点，其中，且点G为的中点． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威七中高二年级2026年5月月考试卷 数 学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集运算可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 设复数z满足（﹣i）z＝2（i为虚数单位），则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出z，再求出. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故选：B． 3. 若正数满足，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】将原等式变形后代入化简，利用基本不等式求解出最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 故选：A. 4. 在中，点D在BC上，且，过D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，记，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平面向量线性运算法则得到，从而得到，再根据、、三点共线及平面向量共线定理的推论得到方程，解得即可； 【详解】解：依题意， 又，即，即， 所以，因为、、三点共线，所以，解得； 故选：C 5. 甲､乙两企业每年缴纳的地税逐年增加，并且甲企业的年增长数相同，乙企业的年增长率相同．若这两家企业在2003年和2009年所缴地税分别相同，则它们在2015年企业缴纳地税的情况是（ ） A. 甲多 B. 乙多 C. 一样多 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知甲､乙两企业每年缴纳的地税分别构成等差数列和等比数列,不妨设两家企业都从2001年开始缴税,则有,,再以此判断的大小关系即可. 【详解】记甲､乙两企业每年缴纳的地税分别构成数列, 则为等差数列,其公差,为等比数列,其公比, 不妨设两家企业都从2001年开始缴税, 则根据题意有:,, 即, 所以, 所以 即, 故选:B. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列在实际问题中的应用,解题关键是识别题中的数列模型,需要学生具备一定的计算和分析能力. 6. 已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，根据对称轴可求得；根据在上有最大值可确定，得到，进而可确定最小值. 【详解】； ，关于直线对称， ，结合，解得：； 当时，， 在上有最大值，，解得：； 当时，取得最小值. 故选：C. 7. 如图，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为P，连接OP，，求出，，即得解. 【详解】设的中点为P，连接OP，，得，， 所以，， 在中， 由余弦定理得 ， 所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：B. 8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为在上恒成立，由此可求结论. 【详解】函数求导得， 已知在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则是极小值点， ，， 在的上确界为3， ． 二、多选题 9. 某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与正相关 B. C. 样本数据的下四分位数为1.8 D. 当时，的预测值为4.1万元 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归系数，可判定A正确；根据回归直线方程经过样本中心，列出方程，求得的值，可判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确. 【详解】对于A，由回归直线方程，可得， 所以变量与正相关，所以A正确； 对于B，因为回归直线方程经过样本中心， 因为，所以， 又由，解得，所以B正确； 对于C，将样本数据的数据排序为：， 由，则样本数据的下四分位数为第个数据，所以C不正确； 对于D，当时，，所以的预测值为万元，所以D正确. 10. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 2是函数的极小值点 C. 若方程有三个不同的实数根，的取值范围为 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出即可判断A，求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，即可判断B、C、D. 【详解】函数的定义域为， 对于A：因为， 所以关于点对称，故A正确； 对于B：因为， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，故B正确； 对于C：因为，， 若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为，故C错误； 对于D：令 ，即 ，整理得 。 因式分解：易得 是根，使用综合除法：, 再因式分解 ， 故,因此. 其中 恒成立，且当  时严格大于 0. 符号分析： 当 （即 )，，，故 ，即 。 当 ，（仅在  和  处等于 0），故 . 因此  当且仅当 ，解集为 ，故D正确. 故选：ABD 11. 下列说法中错误的是（ ） A. 三个点可以确定一个平面 B. 若直线a在平面外，则a与无公共点 C. 用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D. 斜棱柱的侧面不可能是矩形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三点共线判断A；由线面关系有a与可能相交或平行判断B；由正棱锥的结构特征及正棱台的定义判断C；注意两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边情况判断D. 【详解】A：三点共线时平面不止一个，错误； B：若直线a在平面外，则a与可能相交或平行，错误； C：用平行与底面的平面截正棱锥所得的棱台，必有上下底面均为正多边形且侧面是全等的等腰梯形，即为正棱台，正确； D：斜棱柱侧棱不垂直于底面，但可能存在两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边，此时这两条侧棱和上下底面的边所成侧面为矩形，错误. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知多项式，则__________；__________． 【答案】 ①. 1. ②. 21. 【解析】 【详解】分析：题设中给出的等式是恒等式，可令得到．另外，我们可利用二项式定理求出的展开式中的系数和常数项，再利用多项式的乘法得到． 详解：令，则． 又， 而的展开式中的系数为，常数项为，故的展开式中的系数为即． 综上，填，． 点睛：二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求． 13. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则点的横坐标为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题知，再设点的横坐标，进而根据焦半径公式求解即可. 【详解】解：∵抛物线的焦点为，双曲线的焦点为， ， ∵两曲线的一个交点为，设点的横坐标，， . 故答案为： 14. 设为圆上的两动点，且，为直线上一动点，则的最小值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得. 【详解】设是中点，因为，所以， 即在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以，所以， 又，所以，所以. 故答案为：5 四、解答题 15. 已知函数 （1）当时，求证:； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数单调性，进而求解证明最值； （2）求导，对参数进行分类讨论，进而结合函数单调性和极值确定的取值范围； （3）将方程解的问题转化为函数零点问题，构造函数，结合导数和零点存在定理求解. 【小问1详解】 证明：当时，，求导得：， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此的最大值为，故，得证. 【小问2详解】 对求导并因式分解得：， 若：恒成立，时，时， 处取极大值，符合要求； 若：，时，时， 处取极大值，符合要求； 若：，单调递增，无极值，不符合； 若：，时，时， 处取极小值，不符合. 综上，的取值范围为： 【小问3详解】 整理方程，代入化简得：. 设，则有两个不同零点，， 若：，单调递增，最多1个零点，不符合； 若：令得，在递增，递减， 最大值为. 要存在两个零点，需最大值大于，即，得， 即，且和时，故有两个零点， 综上，的取值范围为：. 16. 在中，角的对边分别为，若， （1）求角的大小； （2）若为中点，，求边. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理对把边转换为三角函数，变形化简计算出角的三角函数值，计算角的大小； （2）利用向量加法的法则可知，再利用余弦定理，计算边a. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 在中，， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以 ， 又，所以,所以， 又因为，所以. 17. 已知椭圆过点，且焦距为4 （1）求椭圆的标准方程： （2）设为直线上一点，为椭圆上一点.以为直径的圆恒过坐标原点. (i)求的取值范围 (ii)是否存在圆心在原点的定圆恒与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）(i)；(ii)存在；定圆的方程. 【解析】 【分析】（1）将已知点坐标代入椭圆方程，并结合可解得，得椭圆方程； （2）(i)设.由以为直径的圆恒过点，利用，得，又有，，，计算并由基本不等式是最小值，从而得取值范围； (ii)假设存在满足题意的定圆，则点到直线的距离为定值.，由两点坐标得直线方程，求出原点到直线的距离，化简后可得． 【详解】（1）将点的坐标代入椭圆的方程得， 解得, 所以椭圆C的方程为. （2）设. 因为以为直径的圆恒过点， 所以，即， 因为点在椭圆上，所以； (i)将代入上式，得，， 于是，， 因为， 当且仅当，即时，取等号. 所以的取值范围为； (ii)存在.定圆的方程为. 假设存在满足题意的定圆，则点到直线的距离为定值. 因为，所以直线方程为 ， 整理可得 所以到直线的距离， 由(i)知，，得，，， 注意到，知 所以， 又 ， 所以，， 因此，直线与圆恒相切． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的范围问题，定值问题．解题关键是设出点的坐标，利用已知条件求出用表示的表达式，然后直接计算线段长的平方，求圆心到直线的距离．考查了学生的运算求解能力，分析解决问题的能力．属于难题． 18. 据文化和旅游部5月6日公布2025年“五一”假期全国国内出游人次为3.14亿，总花费为1802.69亿元.在假期出游的人群中，有跟团游，也有自由行等不同的旅游方式.为了解年龄因素是否影响旅游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于17岁，小于45岁）和中老年组（大于或等于45岁）.现从市随机抽取200名成年人进行调查，得到数据如下表: 青壮年 中老年 合计 跟团游 30 60 90 自由行 65 45 110 合计 95 105 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析年龄与选择旅游方式是否有关联； （2）用分层随机抽样的方法从跟团游中抽取9人，再从9人中随机抽取5人，用随机变量表示5人中青壮年人数与中老年人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 附:. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为年龄与选择旅游方式有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由卡方公式计算再比较即可； （2）先用分层抽样确定青壮年和中老年人数，确定随机变量的可能取值为1，3，5，用古典概率计算出相应的概率，求出的分布列，再利用数学期望公式求出期望即可. 【小问1详解】 零假设:年龄与选择旅游方式无关联. 根据列联表，得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即认为年龄与选择旅游方式有关联. 【小问2详解】 用分层随机抽样的方法在青壮年组抽取人数为，在中老年组抽取的人数为， 随机变量的可能取值为1，3，5， ， ， ， 故的分布列为: 1 3 5 所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面，且．过点A作平面与棱交于点，其中，且点G为的中点． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）证明线面平行转化为线线平行，设的中点为M，证明；（2）证明， 根据平行线分线段成比例可得；（3）二面角用向量法求解. 【小问1详解】 证明：如图，设的中点为M，连接． 在中，点G为中点，M为中点， ，且． 根据条件可得，且， 且， 四边形为平行四边形， ． 又平面平面平面． 【小问2详解】 解：平面，平面，平面平面， ． 又， ， ． 又， ． 【小问3详解】 解：如图，以点A为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 可得． 设平面的法向量为，则 即令，可得． 易得平面的一个法向量为， 故平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $