2026年贵州中考数学适应性考试试卷一

**基本信息** 本试卷以《全民阅读促进条例》、绞车、皮影戏等文化与时代情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、几何直观、推理能力等核心素养，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题36分|数轴、科学记数法、内错角等基础概念|结合正方体展开图（2题）考查空间观念，用小麦发芽频率（8题）培养数据意识| |填空题|4题16分|分式方程、矩形动态问题等|以手撕钢生产（15题）设置方程应用，体现科技情境真实性| |解答题|9题98分|函数综合、统计、圆的切线、新定义等|“二次积点函数”（24题）考查创新思维，矩形折叠探究（25题）发展推理能力，山坡测树高（22题）强化应用意识|

保密★启用前 人教版2026年贵州中考数学适应性考试试卷一 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（        ） A． B． C． D． 2．（本题3分）《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行，其旨在促进全民阅读，推进书香社会建设，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高全社会文明程度，推动建设社会主义文化强国．一个正方体的展开图如图所示，则折叠成正方体后与写有“阅”的面相对的面上的字是（    ） A．全 B．条 C．例 D．民 3．（本题3分）2026年宁夏生态农业产值预计突破450亿元，45000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）图为我国古代九大机械发明之一的绞车，它是古代人民用来提升重物的装置．图为其平面示意图，图中的内错角是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知是方程的一个解，则的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（本题3分）如图1，图2，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图为石家庄市区部分景点的大致位置，以解放广场为坐标原点建立平面直角坐标系，已知有一处景点的坐标为，则该景点可能是（    ） A．华北军区烈士陵园 B．长安公园 C．民心广场 D．平安公园 8．（本题3分）在相同条件下，选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如下表所示： 试种数量 200 500 1000 1500 2000 发芽的频率 0.78 0.82 0.79 0.81 0.80 试估计种植一粒该品种的小麦发芽的概率约是（   ） A．0.79 B．0.80 C．0.81 D．0.82 9．（本题3分）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（   ） A． B． C． D． 11．（本题3分）如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（　　） A．3 B．4 C． D． 12．（本题3分）如图，等边三角形的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形的边和运动，最终到达点C，过点D作边的垂线，垂足为点E，用x表示线段的长度，用y表示的面积，则下列结论错误的是（   ） A．自变量x的取值范围为 B．当时，y关于x的函数解析式为 C．当时，y有最大值为 D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）计算_____． 14．（本题4分）如图，______． 15．（本题4分）我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________． 16．（本题4分）如图，在矩形中，，，点P在的延长线上，点Q在直线上，连接，，若，则取最大值时，______． 三、解答题（共98分） 17．（本题12分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据反比例函数与一次函数的图象，请直接写出关于的不等式的解集； (3)求的面积． 19．（本题10分）为了解某校学生每日食用不同种类蔬菜的数量（一种蔬菜无论吃多少，计为1种），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每日食用不同种类蔬菜数量的众数和中位数分别为______和______； (2)求统计的这组学生每日食用不同种类蔬菜数量数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每日食用不同种类蔬菜数量是7种的人数约为多少？ 20．（本题10分）如图，为矩形对角线的交点，，，和相交于点． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积和周长． 21．（本题10分）某学校开设了智能机器人编程的校本课程．学校购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型的数量与用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，问购买型机器人模型至少为多少台？ 22．（本题10分）在一次数学实践活动中，九（1）班数学小组想要测量山坡上一棵松树的高度（如图1）．经测量，数学小组绘制出图2的示意图，其中松树与水平地面垂直，在斜坡O处测得松树顶端B的仰角，并测得斜坡的坡度i（即）为，然后沿着斜坡行走至松树底端A处，测得． (1)求点A到水平地面的距离； (2)求松树的高（精确到）．（参考数据：，，） 23．（本题12分）如图，为⊙O的直径，是的一条弦，点D在上，平分，过点D作，分别交、的延长线于点E、F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 24．（本题12分）【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 (1)一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 (2)猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 25．（本题12分）综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； (2)【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． (3)【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 人教版2026年贵州中考数学适应性考试试卷一答案解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，根据数轴可知该数在和之间，即可得出答案． 【详解】解：观察数轴可得，被盖住的数满足范围：，逐一判断选项： A、，是正数，不符合范围； B、，是正数，不符合范围； C、，不在之间，不符合； D、，满足，符合要求． 2．（本题3分）《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行，其旨在促进全民阅读，推进书香社会建设，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高全社会文明程度，推动建设社会主义文化强国．一个正方体的展开图如图所示，则折叠成正方体后与写有“阅”的面相对的面上的字是（    ） A．全 B．条 C．例 D．民 【答案】C 【详解】解：与写有“阅”字的面相对的面上的字是“例”． 3．（本题3分）2026年宁夏生态农业产值预计突破450亿元，45000000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，满足，为整数． 【详解】解：45000000000用科学记数法表示为． 4．（本题3分）图为我国古代九大机械发明之一的绞车，它是古代人民用来提升重物的装置．图为其平面示意图，图中的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图中的内错角是． 5．（本题3分）已知是方程的一个解，则的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】将已知的方程解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】∵ 是方程 的一个解， ∴ 将，代入方程得 ， 移项得 ， 两边同除以得 ． 6．（本题3分）如图1，图2，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等式的性质将和都用表示，进而比较大小即可． 【详解】解：由图1可知，， ， ∴， 由图2可知，， ， ∴， ∴． 7．（本题3分）如图为石家庄市区部分景点的大致位置，以解放广场为坐标原点建立平面直角坐标系，已知有一处景点的坐标为，则该景点可能是（    ） A．华北军区烈士陵园 B．长安公园 C．民心广场 D．平安公园 【答案】A 【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的坐标特征进行求解即可． 【详解】解：位于第二象限， 该景点为华北军区烈士陵园． 8．（本题3分）在相同条件下，选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如下表所示： 试种数量 200 500 1000 1500 2000 发芽的频率 0.78 0.82 0.79 0.81 0.80 试估计种植一粒该品种的小麦发芽的概率约是（   ） A．0.79 B．0.80 C．0.81 D．0.82 【答案】B 【分析】利用频率估计概率，大量重复试验时，频率会逐渐稳定在某个数值附近，可用稳定后的频率估计概率，掌握该知识点即可解题． 【详解】解：∵观察表格数据可知，随着试种数量不断增大，发芽频率逐渐稳定在0.80附近， ∴根据用频率估计概率的方法，可得种植一粒该品种的小麦发芽的概率约为0.80． 9．（本题3分）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，结合平行四边形对角线互相平分的性质进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 若添加条件， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； 对于A，可判定四边形为菱形； 对于B，可判定四边形为菱形； 对于C，是平行四边形固有的性质，无法判定为矩形． 10．（本题3分）皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为，则道具上的另一点对应到幕布上的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得位似比为，由道具上的点可得对应到幕布上的点的坐标． 【详解】解：∵皮影道具（原图）上的一点对应到幕布（像）上的对应点为， ∴位似比为， ∴道具上的另一点对应到幕布上的点为． 11．（本题3分）如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得，，进而结合已知证明，由等腰三角形的判定和性质得到，，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，． 12．（本题3分）如图，等边三角形的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形的边和运动，最终到达点C，过点D作边的垂线，垂足为点E，用x表示线段的长度，用y表示的面积，则下列结论错误的是（   ） A．自变量x的取值范围为 B．当时，y关于x的函数解析式为 C．当时，y有最大值为 D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据点D的运动轨迹，将运动过程分为两个阶段，分别求出y关于x的函数解析式，再结合函数性质判断选项即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵点D的运动路径为， 如图，当点D与点A重合时， ∴，即垂直平分， ∴， 当点D与点C重合时，则， ∴的取值范围，即自变量x的取值范围是，故A正确，不符合题意； 当时，点D在上， ∴， 在中，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图，当时，点D在上，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 此时y随x的增大而增大， 当时，， 此时y随x的增大而减小，故D错误，符合题意； 当时，，此时y随x的增大而增大， 当时，， 当时，，此时y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y有最大值为，故C正确，不符合题意． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）计算_____． 【答案】3 【详解】解：． 14．（本题4分）如图，______． 【答案】70 【分析】根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据三角形外角的性质得：． 15．（本题4分）我省特种钢技术全国领先，某企业生产A，B两种规格的手撕钢成品．已知生产B规格手撕钢所用的时间是生产A规格手撕钢所用时间的1.5倍，该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多．设该企业生产A规格的手撕钢需要，则根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【分析】设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要，根据该企业用生产A规格手撕钢的数量比用生产B规格手撕钢的数量多，建立分式方程即可． 【详解】解：设该企业生产A规格的手撕钢需要，则生产B规格的手撕钢需要， 根据题意，得． 16．（本题4分）如图，在矩形中，，，点P在的延长线上，点Q在直线上，连接，，若，则取最大值时，______． 【答案】/ 【分析】根据角度关系证明，确定点在以为直径的圆上运动；然后根据点圆模型确定最大时三点共线；过点作于点，证明，，求出，,再求． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动 ∴设的中点为，则为圆心， ∴， 当B，O，Q三点共线，且在延长线上时，取得最大值， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（共98分） 17．（本题12分）（1）计算：． 【答案】 【详解】解： ， ， ． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是熟练掌握分式化简求值的方法. 先分解因式，然后约分，再将的值代入化简后的式子计算即可. 【详解】解：原式． 当时，原式． 18．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据反比例函数与一次函数的图象，请直接写出关于的不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力． （1）把点代入反比例函数求出，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式； （2）由题意得出一次函数的图象总在反比例函数图象上方，即可得出结果； （3）的面积，即可得出结果． 【详解】（1）解：将点的坐标代入中， 得，， 所以，反比例函数的表达式为， 将点的坐标代入中， 得，， 所以，点的坐标为， 将点的坐标和点的坐标为分别代入中， 得， 解得， 所以，一次函数的表达式为； （2）由图象可知，不等式的解集是一次函数图象总在反比例函数图象的上方对应的自变量的取值范围，即：或； （3）如图，一次函数的图象与轴交于点， 点的坐标为， ， ，， ， 的面积为．    19．（本题10分）为了解某校学生每日食用不同种类蔬菜的数量（一种蔬菜无论吃多少，计为1种），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．    请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为______，图①中m的值为______，统计的这组学生每日食用不同种类蔬菜数量的众数和中位数分别为______和______； (2)求统计的这组学生每日食用不同种类蔬菜数量数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每日食用不同种类蔬菜数量是7种的人数约为多少？ 【答案】(1)40，20，5，5 (2)这组数据的平均数是5.7 (3)估计该校学生每日食用不同种类蔬菜数量是7的学生人数约为300人 【分析】本题考查统计的相关图表，统计中的基本概念（中位数，众数，平均数），利用样本估计总体，能够从图表中提取有用的关键信息是解题的关键． （1）根据图表中的数据即可求解； （2）利用平均数的公式即可求解； （3）根据样本中每日食用不同种类蔬菜数量是7种的人数占比即可求解． 【详解】（1）解：根据图中数据可知，每日进食5种蔬菜的学生有16人，占调查人数的，则调查人数为，即a的值为40； 图①中，则m的值为20； 根据图②可知，第20和21个数据为5，5，则中位数为5，数量最多的数据为5，故众数为5； （2）解：观察条形统计图，平均数为； （3）解：在所抽取的样本中，学生每日食用不同种类蔬菜数量是7的学生占， ∴根据样本数据，估计该校1000名学生中，每日食用不同种类蔬菜数量是7种的学生占，有（人）， ∴估计该校学生每日食用不同种类蔬菜数量是7的学生人数约为300人． 20．（本题10分）如图，为矩形对角线的交点，，，和相交于点． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积和周长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)27， 【分析】（1）从菱形的定义入手证明，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到结论； （2）由矩形和菱形的性质可知，的周长等于，的面积等于的面积． 【详解】（1）四边形是菱形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，平分、， 即， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴的周长， ， 设底边上的高为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 21．（本题10分）某学校开设了智能机器人编程的校本课程．学校购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型的数量与用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，问购买型机器人模型至少为多少台？ 【答案】(1)型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元； (2)购买型机器人模型至少为台． 【分析】（1）设型机器人模型的单价为元，则型机器人模型的单价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购买型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人模型的单价为元，则型机器人模型的单价为元， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元． （2）解：设购买型机器人模型台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得， 解得， 又∵为正整数， ∴m的最小值为14， ∴购买型机器人模型至少为台． 22．（本题10分）在一次数学实践活动中，九（1）班数学小组想要测量山坡上一棵松树的高度（如图1）．经测量，数学小组绘制出图2的示意图，其中松树与水平地面垂直，在斜坡O处测得松树顶端B的仰角，并测得斜坡的坡度i（即）为，然后沿着斜坡行走至松树底端A处，测得． (1)求点A到水平地面的距离； (2)求松树的高（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)点A到水平地面的距离为； (2)松树的高为． 【分析】（1）延长交于点H，根据三角函数得到，设，，根据勾股定理求出，即可求出点A到水平地面的距离； （2）根据三角函数得到，求出的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图，延长交于点H， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 设，， 由，得， 解得：， ∴，， 答：点A到水平地面的距离为； （2）解：在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：松树的高为． 23．（本题12分）如图，为⊙O的直径，是的一条弦，点D在上，平分，过点D作，分别交、的延长线于点E、F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角和角平分线的定义，利用内错角相等两直线平行可推出，进而证得，从而证明结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可推出，从而得到，然后根据勾股定理求得和，接着易证，利用相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（本题12分）【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 (1)一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 (2)猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 【答案】(1)①，②，顶点坐标为 (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可； ②根据二次积点函数定义得，配方后可得顶点坐标； （2）求出二次积点函数为，与一次函数联立方程，整理后求得可得结论； （3）求出的二次积点函数为，联立方程，求出交点A，B坐标分别为，，结合得为直角三角形，且，求得，根据题意可得b的取值范围． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， 根据题意得， 解得 ∴y的解析式为． ②二次积点函数为， ． ∴顶点坐标为． （2）解：∵二次积点函数为， 由，整理得， ， ． ∴该方程总有实数根． ∴y与其二次积点函数的图象必有交点． （3）解：的二次积点函数为， 由，解得，， ∴交点A，B坐标分别为，； 又C为， 为直角三角形． ； ∴的长为外接圆的直径d， ， 当时，或， 当时，或， ， ∴抛物线开口向上， 又抛物线的对称轴为， ①当时，随b的增大而增大， ∴当，即时，， ②当时，随b的增大而减小， ∴当，即时，， 综上，或． 25．（本题12分）综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； (2)【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． (3)【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 【答案】(1)30 (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（1）由折叠可知垂直平分，，，连接，易证是等边三角形，所以； （2）①连接，证明，即可得到；②由（1）可求得，则，则，则，设，则，由勾股定理求得的值，即可求出的长度； （3）连接，可得与都是直角三角形，在中，由勾股定理求得，则，过点作，可得四边形是矩形，设，则，，在与中，根据勾股定理列方程，求出的值，即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图①，连接， 由折叠可知垂直平分，，， ∵． ． 是等边三角形． ． ． （2）解：①证明：如图②，连接， 由折叠可知：，， ． ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴． ． ②由（1）得， ． ． ， ． ． 在中，， 设，则， 由勾股定理得：，即，解得， ， ． （3）解：如图③，连接， 由题可得与都是直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ． 过点作，则四边形是矩形， 设，则，， 在与中，由勾股定理得， ， 即，解得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $