2026年内蒙古中考数学二轮复习限时提升小卷

**基本信息** 聚焦中考核心素养，以几何与函数综合应用为载体，通过真实情境与探究问题构建知识逻辑链，强化空间观念、模型意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|6题|坐标几何、函数应用、几何计算|从平面直角坐标系、抛物线性质到扇形面积，体现几何直观与运算能力的递进| |解答题|2题|实践探究（拱形校门）、综合探究（菱形旋转）|以实际问题为背景，融合函数建模与图形变换，构建概念应用到创新拓展的逻辑链条|

2026年内蒙古中考数学核心素养培优综合卷（四) (时间：60分钟分值：43分) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏.如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形ABCDEF 以及六个等边三角形组成.以点C为坐标原点，CD所在直线为x轴，CA所在直线为y轴 建立平面直角坐标系若点P的横坐标为1，则点E的坐标为( ) A.(2,2V3 B.(3,V3 C.(4,V3) D.(3,2V3 2.如图，足球训练中，小辉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应 的函数解析式为y(米)=a(x-2)+3,已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，能满 足球能射进球门的可能a的值是( A.a=-0.01 B.a=-0.1 C.a=-0.12 D.a=-0.15 3.如图，在扇形AOB中，OA=2,∠AOB=90°，点C为AB的三等分点，连接OC,过 点B作BD⊥OC交OA于点D,连接CD.则阴影部分的面积为( 3 B.in+ 6 C.n+ D.π-9 6 第1题图 第2题图 第3题图 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。 4.如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=2x+8与坐标轴分别交于A,B两点，点C在 x正半轴上，且OC=OB.点P为线段AB(不含端点)上一动点，将线段OP绕点O顺时针 旋转90°得线段OQ,连接CQ,则线段CQ的最小值为 第1页，共4页 5.如图，点A在反比例函数y=区>0)的图象上，ABk轴交反比例函数y=《<0)的 图象于点B,点P在x轴上，若S△ABP=6,则k的值为一· 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE为BC边上的中线，CD平分∠ACB,AE与 CD相交于点F,已知BC=5,AB=3,则线段EF的长为一· D E 第5题图 第6题图 第7题图 三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤。 7.(本小题12分) 学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务. 课题 为新校区设计拱形校门 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而 增强对学校的认同感，提升学校的社会价值数学实践小组设计出一款拱形校门，拱 背景 形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取 “拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念. 效果图 示意图 图示 图 图1为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个 图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图2，是其正面示意图，以O为 实验数据 原点建立平面直角坐标系，抛物线1的跨度OA=24米，最高点P离地面的距离为 8米，两侧矩形门房OBCD、AEFG大小相同且OD=AE=4米，OB=EF=3米， 第2页，共4页 抛物线12与13关于PQ对称且抛物线12、13与11的形状相同，1，经过点C、H、K,13经 过点F、R、L,点H的对称点R,DK=LE=2米 问题解决 (1)求出抛物线11的函数表达式： (2)求点H、R的坐标： (3)若在抛物线1，钢架拱门内壁悬挂一个平行于OA的矩形横幅，M、N为悬挂点，悬挂点 在抛物线上且关于PQ对称，横幅长为6米，宽为0.5米，请你计算横幅最低点离地面的 距离. P M R B 0 Q: LE 图2 第3页，共4页 8.(本小题13分) 综合与探究： 【问题情境】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.将△BCD绕点 B按逆时针方向旋转得到△BCD',C,D两点旋转后的对应点分别为C',D',旋转角为 0(0<<180). (C)A D 图1 图2 图3 (I)【操作验证】如图I,当点D落在对角线AC上时，连接DD',求证：△DBD'是等边 三角形， (2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，CDH/BD时，CD交AD于点E,试判断四边形 BDED的形状，并说明理由. (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当BC与AB重合时，连接CD'.若AB=3, BD=2,请你直接写出线段CD的长. 第4页，共4页2026年内蒙古中考数学核心素养培优综合卷（四) (时间：60分钟分值：43分) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏.如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形ABCDEF以及六个等 边三角形组成.以点C为坐标原点，CD所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系若 点P的横坐标为1，则点E的坐标为( ) A.(2,2W3) B.(3,V3) C.(4V3 D.3,2W3) 【答案】B 【解析】解：如图，过点P作PMIy轴于点M,过点E作EN⊥x轴于点N, V 跳棋的棋盘是由一个正六边形ABCDEF以及六个等边三角形组成. ∴PA=AF=CD=DE=DH,∠PAF=∠EDH=60°，AF/CD, ·∠DEN=90°-∠EDH=30°，∠FAM=∠ACD=90°， ∠PAM=30°， 由题意可得：PM=1, .AP=2PM=2, ∴.CD=DE=2, ..DN=DE=1,EN=VDE2 -DN2=V3, .CN=CD+DN=2+1=3, E3,V3) 故选：B. 过点P作PM1y轴于点M,过点E作ENIx轴于点N,先求出PA=2,得出CD=DE=2,再在等 第1页，共12页 边三角形△DH中求出DN和EN,即可求解. 本题考查正多边形和圆，正确进行计算是解题关键， 2如图，足球训练中，小辉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式 为y(米)=a(x-2)2+3,已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能a的 值是() A.a=-0.01 B.a=-0.1 C.a=-0.12 D.a=-0.15 【答案】D y 【解析】解：球门高OB为2.44米， B ∴当x=0时，y=a(0-2)2+3≤2.44， a≤-0.14， a可能是-0.15. 故选：D 根据球门高OB为2.44米，可得当x=0时，y=a(0-2)2+3≤2.44，即可得解. 本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键 3.如图，在扇形AOB中，OA=2,∠AOB=90°，点C为AB的三等分点，连接OC,过点B作BD1 OC交OA于点D,连接CD.则阴影部分的面积为() An-号 B.π+ 6 c+9 D-9 B 【答案】A 【解析】解：如图： 在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为AB的三等分点， ∴∠C0B=60°，即∠A0C=30°， .BD⊥OC, .∠OBD=30°， 0E=OB=0A=1, ..BE=OB2-OE2=3,EC=OC-OE=1, 第2页，共12页 在Rt△OED中，OE=1,∠AOC=30°， DE=tan∠A0C,OE=9×1=号 六8Se-g-O-RE+cEDD =x1×+x1x号 =5+5 326 =2π3 331 故选：A. 根据弧和圆心角的关系可得LCOB=60°，即LAOC=30°，进而得到LOBD=30°，根据直角三角形的 性质以及勾股定理可得OE=1、BE=√3、进而得到EC=1;在Rt△OED中解直角三角形可得 DE=,最后根据S阴影=S形cee-Sa0BE+S△Dc求解即可。 本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用 相关知识成为解题的关键， 二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。 4.如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=2x+8与坐标轴分别交于A,B两点，点C在x正半轴 上，且OC=OB.点P为线段AB(不含端点)上一动点，将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ, 连接CQ,则线段CQ的最小值为」 【答案】5 【解析】解：直线1：y=2x+8与坐标轴分别交于A,B两点， ∴A(0,8),B(-4,0) ~点P为线段AB(不含端点)上一动点，将线段OP绕点O顺时针旋转 90°得线段0Q, 作PEIx轴于E,QF1y轴于F, 由旋转可知，OP=OQ,∠POQ=∠AOB=90°， ·∠EOP=LFOQ, B EO 在△EOP和△FOQ中， (PEO=LQFO ∠EOP=∠FOQ, OP=OQ 第3页，共12页 △EOP≌△FOQ(AAS), ∴.OE=OF,PE=FQ, 设P(区，2x+8),则Q(2x+8,-8). “Q点是直线y=-x+4上的点， 设直线y=-x+4与x,y轴的交点为N、M点，则M(0,④，N(8,o), .MN=V42+82=4v5 根据垂线段最短可知当CQ1MN时，CQ的长最短， 如图，CQ1MN, ∴.∠CQN=∠MON=90°， .·∠CNQ=∠NO, '.△CNQ∽△MNO, 器器 ..OC=OB=4,ON=8,OM=4, .CN=4, 9= c0=g9 线段CQ的最小值为5， 故答案为15 证明△E0P≌△FOQ,可得OE=OF,PE=FQ,设P(&,2x+8),则Q(2x+8,-x),即可求得Q所在 的直线，根据垂线段最短可知当CQ⊥N时，CQ的长最短，根据三角形相似的性质即可求得线段 CQ的最小值. 本题考查一次函数图象上点的坐标、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正 确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题， 5.如图，点A在反比例函数y=仅>0)的图象上，AB/k轴交反比例函数y= 兰c<0)的图象于点B,点P在x轴上，若都aAB=6,则k的值为一· 第4页，共12页 【答案】-4 【解析】解：如图，连接OA、OB,AB交y轴于点C, AB/x轴， .S△PAB=S△OAB=6, 点A在反比例函数y=x>0)的图象上， ..SAOAC =4, SA0BC=6-4=2, ∴k=2S△oBc=4, 反比例函数图象在第二象限， k=-4. 故答案为：-4. 根据反比例函数k值的几何意义解答即可. 本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键. 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE为BC边上的中线，CD y 平分LACB,AE与CD相交于点F,已知BC=5,AB=3,则线段 D EF的长为. 【答案】吕 E C 【解析】解：如图，CD平分∠ACB,过E作EG//CA交CD是延长线于G, A G ∴.∠BCD=∠ACD,∠G=∠ACD, ..ZBCD=ZG, ∴.EG=CE ∠BAC=90°，AE为BC边上的中线，BC=5, AE=BC=CE- EG= 第5页，共12页 .∠BAC=90°，BC=5,AB=3, AC=4, .EG//CA, .∴△EFG∽△AFC, AF AC' 解得：F=经检验， 26 是分式方程的解，且符合题意)， 故答案为：6 5 过E作EG/CA交CD是延长线于G,根据平行线的性质和角平分线的定义得出 ∠BCD=∠ACD=∠G,根据等角对等边得出EG=CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 求出AE=BC=CE=;,根据勾股定理求出AC=4,证明△EFG∽△AFC,根据相似三角形的对应 边成比例求解即可。 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形斜边上的中 线，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质 三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.(本小题12分) 学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务 课题 为新校区设计拱形校门 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化 品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值数学实践 背景 小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用， 同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其 分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念 效果图 示意图 y M N R 图示 G B LEA 图1 2 第6页，共12页 图1为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组 合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图 2,是其正面示意图，以O为原点建立平面直角坐标系，抛物线1的 实验数据 跨度OA=24米，最高点P离地面的距离为8米，两侧矩形门房 OBCD、AEFG大小相同且OD=AE=4米，OB=EF=3米，抛物线 1,与13关于PQ对称且抛物线12、13与1的形状相同，1，经过点C、H、 K,L3经过点F、R、L,点H的对称点R,DK=LE=2米. 问题解决 (1)求出抛物线11的函数表达式： (2)求点H、R的坐标： (3)若在抛物线L,钢架拱门内壁悬挂一个平行于OA的矩形横幅，M、N为悬挂点，悬挂点在抛物线上 且关于PQ对称，横幅长为6米，宽为0.5米，请你计算横幅最低点离地面的距离. 【答案】y=-低-122+8点H的坐标为(0，号)，点R的坐标为(24,3)横幅最低点离地面的距离为 7米 【解析】解：(1)抛物线11的跨度OA=24米，最高点P离地面的距离为8米， 0Q=12米， 抛物线的顶点P的坐标为(12,8)， 设抛物线l1的函数表达式为y=a(区-12)2+8，将点A(24,0)代入得： 0=a(24-12)2+8, 解得：a=-g 抛物线1，表达式为y=-区-12+8： (2)OD=AE=4米，OB=EF=3米， 点C的坐标为(4,3)， DK=LE=2米， ∴点K的坐标为(6,0)， 抛物线L2、13与引的形状相同， “设抛物线表达式为y=-x+bx+c,将点C,点K的坐标分别代入得： g×62+6+c 0=1 ×4P+4b+c 31 第7页，共12页 b=- 17 解得： 18 c 23 抛物线表达式为y=一方公一品x+号 3 当x=0时，得：y= 点H的坐标为0，得)， 由(1)得抛物线11的顶点P的坐标为(12,8)， 点H的对称点为R, 点R的坐标为(24，)： (3)由(1)得抛物线的顶点P的坐标为(12,8)， 横幅长为6米，M、N为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于PQ对称， ∴点M的横坐标为12-3=9， y=-5区-12)2+8， 当x=9时，得：y=-G×(9-12)2+8=7.5, 横幅宽为0.5米， 7.5-0.5=7(米) ∴横幅最低点离地面的距离为7米 (1)理解题意，先设抛物线l的函数表达式为y=a(x-h)2+k.再把顶点P(12,8),A(24,0)分别代入计 算，得y=--12+8,即可作答； (2)先理解题意，得点C的坐标为(4,3)，点K的坐标为(6,0)，结合抛物线12、13与1的形状相同，故设 抛物线，表达式为y=-×2+bx+c,再运用待定系数法进行解方程，得抛物线l,表达式为y= x一是x+号放点H的坐标为0号)以及点R的坐标为24，学： (3)由(1)得抛物线的顶点P的坐标为(12,8)，再求出点M的横坐标为9，代入函数11解析式求出 y=7.5,结合横幅宽为0.5米，列式计算得横幅最低点离地面的距离为7米，即可作答. 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的平移，二次函数的图 象与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质. 第8页，共12页 8.(本小题15分) 综合与探究： 【问题情境】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.将△BCD绕点B按逆时针方 向旋转得到△BCD',C,D两点旋转后的对应点分别为C',D',旋转角为(0<<180). D 0 B (C')A B 图1 图2 图3 D (I)【操作验证】如图1，当点D落在对角线AC上时，连接DD',求证：△DBD是等边三角形. (2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，CD'//BD时，CD交AD于点E,试判断四边形BDED'的形 状，并说明理由 (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当BC与AB重合时，连接CD.若AB=3,BD=2,请你直 接写出线段CD的长。 【答案】四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O, .AC⊥BD,DO=BO, ∴.BD'=DD 将△BCD绕点B按逆时针方向旋转得到△BCD',C,D两点旋转后的对应点分别为C',D', ·BD'=BD, .BD'=DD=BD. △DBD是等边三角形解：四边形BDED'为菱形；理由如下： 四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD,BD 1 AC, ∴.∠ADB=∠CDB, 将△BCD绕点B按逆时针方向旋转得到△BCD',C,D两点旋转后的对应点分别为C',D', ·BD=BD,∠D'=∠CDB, ∴.∠D'=∠ADB, .CD//BD. .∠D'+∠DBD'=180°， 第9页，共12页 ·∠ADB+∠DBD'=180°， ..BD'//AD. CD//BD :四边形BDD为平行四边形， .BD=BD 四边形BDED为菱形线段CD的长为丽 3 【解析】(1)证明：四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O, .AC⊥BD,DO=BO, ∴.BD'=DD 将△BCD绕点B按逆时针方向旋转得到△BCD',C,D两点旋转后的对应点分别为C',D', .BD=BD, ∴BD'=DD=BD, △DBD是等边三角形； (2)解：四边形BDED为菱形；理由如下： 四边形ABCD是菱形， AD=CD,BD⊥AC, ∴.∠ADB=∠CDB 将△BCD绕点B按逆时针方向旋转得到△BCD',C,D两点旋转后的对应点分别为C',D', ∴.BD=BD',∠D'=∠CDB ∴.∠D'=∠ADB, .CD//BD, .∠D'+∠DBD'=180°， .∠ADB+∠DBD'=180°， .BD'//AD CD//BD 四边形BDED为平行四边形， .·BD=BD 四边形BDED为菱形； 3)解：线段CD的长为西理由如下： 3 第10页，共12页 如图3，连接DD交AB于点E, D (C)A E B D 由题意知AD=AD',BD=BD', ·AB垂直平分线段DD', DE=D'E,∠BED=90°， ·∠BDE+∠DBE=90°， 由菱形知，AB/CD,AB=CD=3, ·∠CDB=∠DBE, ∴.∠CDB+∠BDE=90°， ∠CDD'=90°， 设AE=x,则BE=3-X, 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE2=AD2-AE2=32-x2=9-x2, 在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2=BD2-BE2=22-(3-X)2, 即9-x2=22-(3-x)2, 解得：X=子 六A亚=子 DE=9-(2=器 解得：DE=4(负值己舍去)， 3 4DD=2DE 在Rt△CDD中，由勾股定理得：CD=√32+(P-四 (I)结合菱形的性质，得AC 1 BD,DO=BO,运用旋转的性质得BD'=DD=BD,故△DBD'是等边 三角形： (2)根据四边形ABCD是菱形，得LADB=∠CDB,由旋转的性质得BD=BD',∠D'=∠CDB,再证明 第11页，共12页 四边形BDED为平行四边形，又因为BD=BD',故四边形BDED'为菱形， (3)运用菱形的性质以及旋转的性质得AB垂直平分线段DD,然后结合勾股定理列式得9-x2=22- (3-x)?,解得x,即可求得DE,然后在Rt△CDD中，运用勾股定理列式计算，得CD' 本题是四边形综合题，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、勾股定 理、等边三角形的判定，熟练掌握菱形的性质和旋转的性质是解题的关键. 第12页，共12页 2026年内蒙古中考数学核心素养培优综合卷（四） （时间:60分钟 分值：43分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系若点的横坐标为，则点的坐标为(     ) A. B. C. D. 2.如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为米，已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是(     ) A. B. C. D. 3.如图，在扇形中，，，点为的三等分点，连接，过点作交于点，连接则阴影部分的面积为(     ) A. B. C. D. 第1题图 第2题图 第3题图 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。 4.如图，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别交于，两点，点在正半轴上，且点为线段不含端点上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值为______． 5.如图，点在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点，点在轴上，若，则的值为        ． 6.如图，在中，，为边上的中线，平分，与相交于点，已知，，则线段的长为        ． 第5题图 第6题图 第7题图 三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 为新校区设计拱形校门 背景 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值数学实践小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念． 图示 效果图 示意图 实验数据 图为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图，是其正面示意图，以为原点建立平面直角坐标系，抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为米，两侧矩形门房、大小相同且米，米，抛物线与关于对称且抛物线、与的形状相同，经过点、、，经过点、、，点的对称点，米． 问题解决 求出抛物线的函数表达式； 求点、的坐标； 若在抛物线钢架拱门内壁悬挂一个平行于的矩形横幅，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称，横幅长为米，宽为米，请你计算横幅最低点离地面的距离． 8.本小题分 综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． 【操作验证】如图，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． 【猜想探究】如图，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】如图，在旋转过程中，当与重合时，连接若，，请你直接写出线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古中考数学核心素养培优综合卷（四） （时间:60分钟 分值：43分） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系若点的横坐标为，则点的坐标为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成． ，，， ，， ， 由题意可得：， ， ， ，， ， ． 故选：． 过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，得出，再在等边三角形中求出和，即可求解． 本题考查正多边形和圆，正确进行计算是解题关键． 2.如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为米，已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：球门高为米， 当时，， ， 可能是． 故选：． 根据球门高为米，可得当时，，即可得解． 本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键． 3.如图，在扇形中，，，点为的三等分点，连接，过点作交于点，连接则阴影部分的面积为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图：   在扇形中，，点为的三等分点，  ，即，  ，  ，  ，  ，，  在中，，，  ，        ，  故选：． 根据弧和圆心角的关系可得，即，进而得到，根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、进而得到；在中解直角三角形可得，最后根据求解即可． 本题主要考查了圆心角和弧的关系、扇形的面积公式、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。 4.如图，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别交于，两点，点在正半轴上，且点为线段不含端点上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，则线段的最小值为______． 【答案】  【解析】解：直线：与坐标轴分别交于，两点， ，， 点为线段不含端点上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段， 作轴于，轴于， 由旋转可知，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 设，则． 点是直线上的点， 设直线与，轴的交点为、点，则，， 根据垂线段最短可知当时，的长最短， 如图，， ， ， ∽， ， ，，， ， ， ， 线段的最小值为， 故答案为． 证明≌，可得，，设，则，即可求得所在的直线，根据垂线段最短可知当时，的长最短，根据三角形相似的性质即可求得线段的最小值． 本题考查一次函数图象上点的坐标、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题． 5.如图，点在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点，点在轴上，若，则的值为        ． 【答案】  【解析】解：如图，连接、，交轴于点， 轴， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 故答案为：． 根据反比例函数值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 6.如图，在中，，为边上的中线，平分，与相交于点，已知，，则线段的长为        ． 【答案】  【解析】解：如图，平分，过作交是延长线于， ，， ， ， ，为边上的中线，， ， ， ，，， ， ， ∽， ，即， 解得：经检验，是分式方程的解，且符合题意， 故答案为：． 过作交是延长线于，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 为新校区设计拱形校门 背景 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值数学实践小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念． 图示 效果图 示意图 实验数据 图为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图，是其正面示意图，以为原点建立平面直角坐标系，抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为米，两侧矩形门房、大小相同且米，米，抛物线与关于对称且抛物线、与的形状相同，经过点、、，经过点、、，点的对称点，米． 问题解决 求出抛物线的函数表达式； 求点、的坐标； 若在抛物线钢架拱门内壁悬挂一个平行于的矩形横幅，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称，横幅长为米，宽为米，请你计算横幅最低点离地面的距离． 【答案】  点的坐标为，点的坐标为  横幅最低点离地面的距离为米  【解析】解：抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为米， 米， 抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为，将点代入得： ， 解得：， 抛物线表达式为； 米，米， 点的坐标为， 米， 点的坐标为， 抛物线、与的形状相同， 设抛物线表达式为，将点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线表达式为， 当时，得：， 点的坐标为， 由得抛物线的顶点的坐标为， 点的对称点为， 点的坐标为； 由得抛物线的顶点的坐标为， 横幅长为米，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称， 点的横坐标为， ， 当时，得：， 横幅宽为米， 米， 横幅最低点离地面的距离为米． 理解题意，先设抛物线的函数表达式为再把顶点，分别代入计算，得，即可作答； 先理解题意，得点的坐标为，点的坐标为，结合抛物线、与的形状相同，故设抛物线表达式为，再运用待定系数法进行解方程，得抛物线表达式为，故点的坐标为以及点的坐标为； 由得抛物线的顶点的坐标为，再求出点的横坐标为，代入函数解析式求出，结合横幅宽为米，列式计算得横幅最低点离地面的距离为米，即可作答． 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的平移，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 8.本小题分 综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． 【操作验证】如图，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． 【猜想探究】如图，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】如图，在旋转过程中，当与重合时，连接若，，请你直接写出线段的长． 【答案】四边形是菱形，对角线、相交于点，   ，，   ，   将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，   ，   ，   是等边三角形  解：四边形为菱形；理由如下：   四边形是菱形，   ，，   ，   将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，   ，，   ，   ，   ，   ，         四边形为平行四边形，      四边形为菱形  线段的长为  【解析】证明：四边形是菱形，对角线、相交于点，  ，，  ，  将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，  ，  ，  是等边三角形；  解：四边形为菱形；理由如下：  四边形是菱形，  ，，  ，  将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，  ，，  ，  ，  ，  ，      四边形为平行四边形，    四边形为菱形；  解：线段的长为理由如下：  如图，连接交于点，    由题意知，，  垂直平分线段，  ，，  ，  由菱形知，，，  ，  ，  ，  设，则，  在中，由勾股定理得：，  在中，由勾股定理得：，  即，  解得：，  ，  ，  解得：负值已舍去，  ，  在中，由勾股定理得：． 结合菱形的性质，得，，运用旋转的性质得，故是等边三角形；  根据四边形是菱形，得，由旋转的性质得，，再证明四边形为平行四边形，又因为，故四边形为菱形，  运用菱形的性质以及旋转的性质得垂直平分线段，然后结合勾股定理列式得，解得，即可求得，然后在中，运用勾股定理 列式计算，得． 本题是四边形综合题，考查了菱 形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等边三角形的判定，熟练掌握菱形的性质和旋转的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $