回归基础篇导数第一问专题讲义-2026届高三数学三轮冲刺（天津市）

该高中数学高考复习讲义聚焦天津卷导数解答题第一问，系统覆盖切线方程（占比95%）、单调性与极值（占比5%）等核心考点，按“命题规律-题型分类-真题训练-预测拓展”逻辑架构知识点，通过考点梳理、求导方法指导、近5年真题精讲等环节，帮助学生构建基础问题解题框架。 资料突出高考命题“稳中有变”特征，设计梯度化练习（基础送分题到切线面积、公切线等创新题），通过对比指数、对数、三角函数载体的求导过程培养数学思维，设置切线方程参数求解等情境题发展数学语言表达能力，确保学生高效掌握必拿分点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

高考冲刺训练---回归基础篇 导数第一问专题训练 一、考点分析 （一）命题规律 天津卷导数解答题固定为第20题（16分），采用三问梯度设置，第一问属于必拿分的基础送分题，近五年考情呈现“高固定性、低难度、重基础”的特征： 核心规律总结： 1. 100%高频考点：连续5年第一问均考查导数的几何意义（切线方程），是天津卷导数题的标志性考法，从未出现例外； 1. 难度极低：主要考查基本求导公式、点斜式方程应用，90%以上的考生可以拿到满分； 1. 载体固定：以指数函数、对数函数、多项式函数的混合形式为主，定义域多为，贴合天津命题偏好； 1. 梯度明确：第一问为后续第二问（含参单调性/恒成立）、第三问（不等式证明/零点分析）做铺垫，设问关联性强。 （2） 解答题第一问高频题型（第20题第1小问，3-5分） 类型一：求“在某点处”的切线方程（占比95%，核心重点） 设问形式：已知函数，求曲线在点处的切线方程；或已知切线斜率/切线平行/垂直条件，求函数中的参数值。 类型二：简单单调性/极值、最值基础问题（占比5%，次重点） 设问形式：求不含参函数的单调区间、极值点；或已知函数在某点取极值，求参数值。 （三）2026年命题预测 结合天津卷命题稳定性及2026年最新考向，导数第一问将延续“稳中有小变”的特点： 1. 核心考点不变：90%概率仍考查“在确定点处的切线方程”，形式与近五年真题高度一致，考生可完全参照往年真题备考； 1. 微小创新可能性： 1. 可能加入“切线与坐标轴围成三角形的面积”衍生设问（如已知切线求面积、或已知面积反求参数）； 1. 函数载体可能引入分式函数、三角函数与指数/对数的简单复合，但求导难度不会提升； 1. 极小概率考查“公切线”的基础形式（如两条曲线在公共点处的切线重合，求参数），但仍属于导数几何意义的直接应用。 1. 难度保持稳定：第一问仍为全卷基础送分题，不会出现偏难怪设置，核心目的是让多数考生拿到基础分。 2、 类型应用 类型一 求在某点处切线方程或由切线方程求参数值 （1） 求简单函数的切线方程 1．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； 3．（2026·天津·一模）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 4．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； 5．（2026·天津·一模）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； （三）求复合函数的切线方程 6．（2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； 7．（2026·天津红桥·一模）已知为正实数，函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； 8．（2026·天津南开·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； 9．（2026·天津·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 10．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； 11．（2026·天津和平·二模）已知，函数（a，），. (1)当，时，求曲线在点处的切线方程； （三）求含有三角函数的函数的切线方程 12．（25-26高三上·湖南湘西·阶段检测）已知函数，其中． (1)若，求曲线在点处的切线方程； 13．（2026·天津南开·二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； 14．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； 15．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； （四）由切线方程求参数 16．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数a的值； 17．（2026·河北·二模）已知函数． (1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值； 18．已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； 类型二 函数的单调性、极值、最值等 （1） 函数的单调性 19.（2026·河北石家庄·一模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； 20．（2026·天津北辰·二模）已知函数，，其中，，e是自然对数的底数 (1)若函数，求的单调递增区间； 21．（2019·天津·高考真题）设函数为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； 22．（2026·天津和平·一模）已知函数 (1)若函数为增函数，求的取值范围； （2） 函数的极值最值等 23．（2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； 24．（2026·天津河东·一模）已知函数（）. (1)函数在定义域内无极值，求a的取值范围； 25．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数． (1)证明：； 三、2026年命题预测： 1．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； 2．已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； 3．已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； 4．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 5．已知函数． (1)讨论的单调性； 6．已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； 7．已知函数的导函数为. (1)求函数的单调区间； 8．已知函数的反函数为，． (1)在点处作曲线的切线，求切线的方程． 9．设函数（）. (1)当时，求证：直线是曲线的切线； 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考冲刺训练---回归基础篇 导数第一问专题训练 一、考点分析 （一）命题规律 天津卷导数解答题固定为第20题（16分），采用三问梯度设置，第一问属于必拿分的基础送分题，近五年考情呈现“高固定性、低难度、重基础”的特征： 核心规律总结： 1. 100%高频考点：连续5年第一问均考查导数的几何意义（切线方程），是天津卷导数题的标志性考法，从未出现例外； 1. 难度极低：主要考查基本求导公式、点斜式方程应用，90%以上的考生可以拿到满分； 1. 载体固定：以指数函数、对数函数、多项式函数的混合形式为主，定义域多为，贴合天津命题偏好； 1. 梯度明确：第一问为后续第二问（含参单调性/恒成立）、第三问（不等式证明/零点分析）做铺垫，设问关联性强。 （2） 解答题第一问高频题型（第20题第1小问，3-5分） 类型一：求“在某点处”的切线方程（占比95%，核心重点） 设问形式：已知函数，求曲线在点处的切线方程；或已知切线斜率/切线平行/垂直条件，求函数中的参数值。 类型二：简单单调性/极值、最值基础问题（占比5%，次重点） 设问形式：求不含参函数的单调区间、极值点；或已知函数在某点取极值，求参数值。 （三）2026年命题预测 结合天津卷命题稳定性及2026年最新考向，导数第一问将延续“稳中有小变”的特点： 1. 核心考点不变：90%概率仍考查“在确定点处的切线方程”，形式与近五年真题高度一致，考生可完全参照往年真题备考； 1. 微小创新可能性： 1. 可能加入“切线与坐标轴围成三角形的面积”衍生设问（如已知切线求面积、或已知面积反求参数）； 1. 函数载体可能引入分式函数、三角函数与指数/对数的简单复合，但求导难度不会提升； 1. 极小概率考查“公切线”的基础形式（如两条曲线在公共点处的切线重合，求参数），但仍属于导数几何意义的直接应用。 1. 难度保持稳定：第一问仍为全卷基础送分题，不会出现偏难怪设置，核心目的是让多数考生拿到基础分。 2、 类型应用 类型一 求在某点处切线方程或由切线方程求参数值 （1） 求简单函数的切线方程 1．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）直接使用导数的几何意义； 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； 【答案】(1)2x＋y－2＝0 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、根据极值点求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据直线的点斜式方程求解； 【详解】（1）当时，， ，且， 故在处的切线方程为，即2x＋y－2＝0， 3．（2026·天津·一模）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先代入，求与，再算切点与斜率，最后用点斜式写出切线方程. 【详解】（1）当时，. 因为，所以，. 曲线在点处的切线方程. 即. 4．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. 5．（2026·天津·一模）设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数求切线方程； 【详解】（1）函数，有， ，有， 所以切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为. （2） 求复合函数的切线方程 6．（2026·天津河北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； 【答案】(1)； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为. 7．（2026·天津红桥·一模）已知为正实数，函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）对函数求导代入，计算出斜率和点坐标即可求得切线方程； 【详解】（1）易知， 当时，，此时， 又， 所以切线方程为，即； 8．（2026·天津南开·一模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）根据斜率求解，即可根据点斜式求解直线方程， 【详解】（1），则切线的斜率为，所以. 从而，所以处的切线方程为 ，即. 9．（2026·天津·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； 【详解】（1）由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； 10．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； 11．（2026·天津和平·二模）已知，函数（a，），. (1)当，时，求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求得到切线斜率，再求得到切点坐标，最后用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】（1）当，时，， 则，，， 所以， 故切线方程为. （三）求含有三角函数的函数的切线方程 12．（25-26高三上·湖南湘西·阶段检测）已知函数，其中． (1)若，求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求导，利用导数的几何意义得出斜率，从而求出切线方程； 【详解】（1）若，则，求导得， ， 又， 所求的切线方程为． 13．（2026·天津南开·二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出曲线在处的导数值，再根据切线方程求解即可. 【详解】（1）， 可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 14．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出可求切线方程； 【详解】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. 15．（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程， 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （四）由切线方程求参数 16．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数a的值； 【答案】(1)； 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）求定义域，求导，根据切线斜率得到方程，求出实数a的值； 【详解】（1）的定义域为， ， 直线与曲线相切，设切点为， 则，故，， 又，将代入可得， 解得； 17．（2026·河北·二模）已知函数． (1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值； 【答案】(1) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， 【详解】（1）， 则，则 18．已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； 【答案】(1) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义依次得到关于的方程，解之即可得解； 【详解】（1）因为，所以， 又在点处的切线方程为， ，解得，则， 由切点在直线上，得，解得， 所以. 类型二 函数的单调性、极值、最值等 （1） 函数的单调性 19.（2026·河北石家庄·一模）已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； 【答案】(1)减区间为；增区间为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、集合新定义、求已知函数的极值点 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性即可； 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 当时，，故函数单调递减； 当时，，故函数单调递增. 所以函数的减区间为；增区间为； 20．（2026·天津北辰·二模）已知函数，，其中，，e是自然对数的底数 (1)若函数，求的单调递增区间； 【答案】(1)当时，单调递增区间为、；当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为、 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导后因式分解，再分、与进行讨论即可得； 【详解】（1），则， 当时，令，得或， 故在和上单调递增， 当时，可得恒成立，故在上单调递增； 当时，令，得或，故在和上单增； 综上可得：当时，单调递增区间为、； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为、； 21．（2019·天津·高考真题）设函数为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为的单调递减区间为. 【分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间； 【详解】(Ⅰ)由已知，有. 当时，有，得，则单调递减; 当时，有，得，则单调递增. 所以，的单调递增区间为， 的单调递减区间为. 22．（2026·天津和平·一模）已知函数 (1)若函数为增函数，求的取值范围； 【答案】(1) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）由题设可得对于任意恒成立，可得对任意恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可； 【详解】（1）由，得， 由为增函数，有对于任意恒成立， 整理有对任意恒成立． 设，则， 令，得；令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则， 所以的取值范围为. （2） 函数的极值最值等 23．（2026·天津河东·二模）已知函数． (1)函数有两个零点，求的取值范围； 【答案】(1) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）分类讨论，当时不合题意，当时，由导数求得极小值，列出不等式求解即可； 【详解】（1）， ①当时，，则单调递增，最多有一个零点，不合题意，舍去； ②当时，令，设， 在上，，在单调递减， 在上，，在单调递增， 所以的极小值为， 由已知，时，时，只须， 所以，即， 解得． 24．（2026·天津河东·一模）已知函数（）. (1)函数在定义域内无极值，求a的取值范围； 【答案】(1) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）转化为无变号零点，利用导数求解即可； 【详解】（1）（），令（）， 因为函数在定义域内无极值， 所以函数无变号零点，即函数在上无变号零点. 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 由上可知，，∴. 25．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、裂项相消法求和、判断零点所在的区间 【分析】（1）直接利用导数证明即可； 【详解】（1）证明：，， ，，， 所以在区间上单调递增， . 三、2026年命题预测： 1．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； 【详解】（1）， 则． 因为， 所以，得． 又， 所以的方程为，即． 2．已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数几何意义，切线平行于轴即斜率为零，通过解导数为零的方程并结合函数表达式确定点坐标； 【详解】（1）当时，，求导得， 切线与轴平行，即切线斜率为0，故． 由，得，又， 故点的坐标为． 3．已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； 【答案】(1) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，确定切线方程，进而可求解. 【详解】（1）因为， 所以，，即切点为，又， 所以切线方程为， 当时，，当时，， 切线与坐标轴围成的三角形面积为. 4．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】(1)求导后计算切点坐标和切线斜率即可求解 【小题1】根据题意，，， ，，， 所以所求切线方程为. 5．已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)在上单调递增 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导得，再构造函数，研究其性质得，进而得即可判断单调性； 【详解】（1）解：因为，定义域为， 所以， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以在上单调递增． 6．已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； 【答案】(1)极大值，无极小值 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． 7．已知函数的导函数为. (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、求已知函数的极值点 【分析】（1）求导后，根据的正负即可确定的单调区间； 【详解】（1）由题意知：， 当时，；当时，； 的单调递增区间为；单调递减区间为. 8．已知函数的反函数为，． (1)在点处作曲线的切线，求切线的方程． 【答案】(1) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）利用导数几何意义，对求导，代入切点横坐标得切线斜率，再由点斜式写出曲线在处的切线方程. 【详解】（1）易知点在曲线上.对求导得. 将代入得，由点斜式得切线方程为. 9．设函数（）. (1)当时，求证：直线是曲线的切线； 【答案】(1)证明见详解 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）代入求导，分析可知当且仅当时，，且，结合导数的几何意义分析证明； 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，可得，解得或（舍去）， 且，则在处的切线方程为， 所以直线是曲线的切线. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $