精品解析：安徽淮南市大通区多校2025--2026学年4月九年级数学学科专项作业

九年级数学学科专项作业 （2026.4） 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 2026的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 天地正清明，最美四月天．2026年清明假期，全国文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．经文化和旅游部数据中心h核算，三天假期，全国国内出游亿人次，同比增长；国内出游总花费亿元，同比增长．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，将一直角三角板如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 从“大美经开”4个字中任选2个字，则选出“经、开”两字的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数（）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数，，，满足，，，则下列判断错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt中，，，，点，分别是上的动点，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 计算： _____ 12. 因式分解：______． 13. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________． 14. 新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为． （1）二次函数的对称轴为直线____； （2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知，求代数式的值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，， （1）以原点为位似中心，将放大得到，使与的相似比为2，请在网格图中作出（点，，分别为点，，的对应点）； （2）若绕原点逆时针旋转，得到，请在网格图中作出（点，，分别为点，，的对应点）；旋转过程中，点经过的路径长为_____． 17. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 19. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：___________________________________； （2）写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明． 20. 小红和小华想测量一竖直放置在山坡上的防火警示杆的高度，小红在坡面上的点处安装测角仪，测得警示杆顶端的仰角为，小华测得警示杆与坡面的夹角为，且警示杆底端与测角仪底端之间的距离为，已知测角仪的高度为，，均与水平线垂直，求警示杆的高．（参考数据：，，，，，） 21. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动．下面是该校对活动中小发明模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 小发明模型设计水平调查报告 调查主题：“逐梦科技强国”活动中小发明模型设计水平 调查目的：通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识 调查对象：某校学生小发明模型设计成绩 调查方式：抽样调查 数据收集与表示：随机抽取全校部分学生的小发明设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：A：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 数据分析与应用： 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了___________名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是_________分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为_________； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）现从表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 22. 如图，在中，是直径，延长至点，切于点，且点是的中点，连接，为上一点，连接，延长，交于点． （1）求的度数； （2）若，，求的半径． 23. 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过两个不同点、． ①当时，若，求的值； ②当，时，总有，求满足条件的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科专项作业 （2026.4） 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 2026的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可得． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2. 天地正清明，最美四月天．2026年清明假期，全国文化和旅游市场热度延续、高潮迭起．经文化和旅游部数据中心h核算，三天假期，全国国内出游亿人次，同比增长；国内出游总花费亿元，同比增长．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题思路是先转换单位，再按照科学记数法规则整理，科学记数法的标准形式为，要求，为整数． 【详解】解：亿， 亿， 整理为科学记数法标准形式： ． 3. 下列算式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项运算法则，同底数幂的乘法运算法则和积的乘方运算法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，无法得到，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意． 4. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主视图是从前往后看到的图形． 【详解】解：该几何体的主视图是： ． 5. 已知，将一直角三角板如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形外角的性质可得的度数，再由平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴． 6. 从“大美经开”4个字中任选2个字，则选出“经、开”两字的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题为古典概型概率计算问题，利用列举法得到所有等可能结果，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】将“大美经开”四个字记为：大，美，经，开， ∵从4个字中任选2个字，所有等可能的结果共有6种，分别为：(大，美)，(大，经)，(大，开)，(美，经),(美，开)，(经，开)． 其中选出“经、开”两字的结果只有1种 ∴所求概率． 7. 已知反比例函数（）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数和一次函数的图象确定的符号以及的值，再根据二次函数解析式的系数符号，进行判断即可. 【详解】解：由图可知，反比例函数的图象过第一象限，一次函数的图象过一，三象限且过原点， ∴， ∴，，， ∴抛物线的开口向下，对称轴在轴的左侧，抛物线与轴交于正半轴， 故符合要求的只有选项B的图象. 8. 如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知实数，，，满足，，，则下列判断错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，方程组的解法，不等式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由，，整理得，，然后通过整式的加减，方程组的解法，不等式解法逐一排除即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 、得：， ∴，原选项正确，不符合题意； 、得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、得，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 10. 如图，在Rt中，，，，点，分别是上的动点，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为6 【答案】C 【解析】 【分析】先求解，，，结合垂线段最短可得当时，最小，证明，作的外接圆，连接，记的交点为，再进一步分析即可. 【详解】解：如图，∵，，， ∴，，， 当时，最小， ∴，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，记的交点为， 当的面积最大，则， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴的最大面积为，故A正确，不符合题意； 如图，当共线时，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：；故B正确，不符合题意； ∵的运动轨迹是， ∴当重合时，最大，最大值为，故C错误，符合题意. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 计算： _____ 【答案】3 【解析】 【分析】先利用乘方的定义计算，再利用零指数幂的运算法则计算，最后进行减法运算即可． 【详解】根据乘方的定义，， 根据零指数幂的运算法则，任何非零数的0次幂都等于1，即， ∴， ∴原式． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 13. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，再根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 14. 新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为． （1）二次函数的对称轴为直线____； （2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】（1）根据“相关函数”定义写出的解析式，利用二次函数对称轴公式求解； （2）利用二次函数与x轴交点距离公式，结合列方程求出a的值，再计算两个对称轴的距离． 【详解】解：（1）由“相关函数”的定义，得的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线； （2）对于二次函数，设其与x轴两交点横坐标为，，由根与系数的关系得：，， ∴， ∴两交点距离， 对于，判别式，则，由得且， 对于，判别式，则，由且得， 综上，a的取值范围为， 由，得， 因为，两边同乘得， 两边平方得：， 解得，符合取值范围， 的对称轴为直线， 的对称轴为直线，则两对称轴之间的距离为． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，， （1）以原点为位似中心，将放大得到，使与的相似比为2，请在网格图中作出（点，，分别为点，，的对应点）； （2）若绕原点逆时针旋转，得到，请在网格图中作出（点，，分别为点，，的对应点）；旋转过程中，点经过的路径长为_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）利用网格和位似的性质找出各个对应点，连线即可解答； （2）利用网格和旋转的性质即可画出所求作的三角形，利用勾股定理算出的长度，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，即为所求． 根据题意得：， ∴旋转过程中，点经过的路径长为． 17. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 【答案】人数为人，买鸡的钱为钱 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键．设人数为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设人数为，根据题意得， 解得：， ∴买鸡的钱数为：， 答：人数为人，买鸡的钱为钱． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求出，然后代入求解即可； （2）将代入求出，然后求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：在一次函数的图象上， ，即 在反比例函数的图象上 ，解得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在反比例函数的图象上 ∴， 解得，即 轴 点的横坐标与点的横坐标相等， 将代入，得，即 ． 19. 观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：___________________________________； （2）写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2）；见解析 【解析】 【分析】（1）根据前4个等式即可写出第5个等式； （2）由（1）中规律得：第个等式：，根据分式的加减运算分别计算左右两边，即可． 【小问1详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： 【小问2详解】 解：由（1）中规律得：第个等式：，证明如下： 左边 右边 ， ∴左边右边． 20. 小红和小华想测量一竖直放置在山坡上的防火警示杆的高度，小红在坡面上的点处安装测角仪，测得警示杆顶端的仰角为，小华测得警示杆与坡面的夹角为，且警示杆底端与测角仪底端之间的距离为，已知测角仪的高度为，，均与水平线垂直，求警示杆的高．（参考数据：，，，，，） 【答案】警示杆的高约为 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点．根据进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． 由题意可得四边形是矩形 ， 在中， 在中， 答：警示杆的高约为 21. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国”为主题的实践活动．下面是该校对活动中小发明模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 小发明模型设计水平调查报告 调查主题：“逐梦科技强国”活动中小发明模型设计水平 调查目的：通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识 调查对象：某校学生小发明模型设计成绩 调查方式：抽样调查 数据收集与表示：随机抽取全校部分学生的小发明设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：A：． 下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 数据分析与应用： 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了___________名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是_________分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为_________； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）现从表现优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学做经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3）720人 （4） 【解析】 【分析】（1）由D组的人数除以所占的比例求出抽取的人数，根据中位数的确定方法求出中位数，利用360度乘以C组所占的比例，求出圆心角的度数即可； （2）求出B组的人数，补全直方图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：（名）； 将数据从大到小排序，第25个和第26个数据分别为84，83， ∴中位数为， ； 【小问2详解】 解：B组的人数为； 补全频数分布直方图如下： 模型设计成绩的频数分布直方图 【小问3详解】 解：， 估计全校1200名学生的小发明模型设计成绩不低于80分的人数为720人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 22. 如图，在中，是直径，延长至点，切于点，且点是的中点，连接，为上一点，连接，延长，交于点． （1）求的度数； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接交于点，根据切于点，得出，根据点是的中点，利用垂径定理得出，则，根据是的直径，得出，即可得． （2）设半径为，则，证明四边形是矩形，得出，垂径定理得出，结合，得出是的中位线，即可得，则．证明，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，分别连接、交于点， ∵切于点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设半径为，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 23. 已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过两个不同点、． ①当时，若，求的值； ②当，时，总有，求满足条件的的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②当时，；当时，或 【解析】 【分析】（1）根据解答即可； （2）①将原关系式整理为，再代入可得，进而得出，然后根据，可得，即可求出a； ； ②先求出抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当时和当时，根据抛物线增减性得出答案． 【小问1详解】 解：该抛物线的对称轴是直线； 【小问2详解】 解：①抛物线经过点和点 ， 把上式代入中，得：， ， ． 又， ， ； ②由（1）可知抛物线的对称轴为直线， ， 点在对称轴右侧， 当时， 函数图象在对称轴右侧随增大而增大，在对称轴左侧随增大而减小， 对于，时，有， 当不在对称轴左侧时，则有； 当在对称轴左侧时，则有， 所以； 当时， 函数图象在对称轴右侧随增大而减小，在对称轴左侧随增大而增大， 对于，时，有， 当不在对称轴左侧时，则有； 当在对称轴左侧时，则有； 综上所述，当时，． 当时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $