由于磁场方向不确定引起的多解问题 专项训练-2026届高考物理二轮电磁学压轴计算题专题复习

**基本信息** 聚焦磁场方向不确定引发的多解问题，通过13道压轴题构建“公式推导-几何分析-周期匹配-多解讨论”的系统性方法体系，强化科学思维中的模型建构与科学推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |磁场多解问题综合|13道|几何关系分析、周期性分段处理、临界条件讨论|洛伦兹力提供向心力→轨迹半径/周期计算→磁场方向/周期变化引发多解→分类讨论确定合理解|

09 由于磁场方向不确定引起的多解问题-2026年高考物理二轮电磁学压轴计算题专题复习【难点突破】 一、解答题 1．如图甲所示，矩形区域内部有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，、分别为、边中点。现在从点平行方向以某一初速度射入一个质量为，电荷量为的正电粒子，发现该粒子刚好从点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，边长为，，该粒子的比荷，不计粒子重力。 (1)求该粒子射入磁场时的速度大小； (2)若取垂直纸面向外为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从点平行射入，发现粒子恰好能从点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 2．如图1所示，长方体区域的上表面OABC为一正方形，以O点为坐标原点建立图示的空间直角坐标系，yOz平面的左侧存在沿z轴正向的匀强磁场，yOz平面右侧的长方体区域内存在沿y轴正方向的匀强磁场，且随时间的变化规律如图2所示（取沿y轴正向为正），两区域的磁感应强度大小相等。0时刻从空间坐标（，，）的M点（图中未标出）发射一比荷为k的正粒子，粒子的初速度大小为，方向与x轴正方向的夹角，一段时间后粒子恰沿x轴正向从O点进入长方体区域，最后恰从B点沿x轴正向射出，不计粒子的重力，求： (1)磁场的磁感应强度的大小。 (2)正方形OABC边长a满足的条件。 (3)若正方形OABC的边长，长方体区域的高度，当该正粒子经过O点时，立即在长方体区域内加上沿y轴负向的匀强电场，粒子最后恰从点射出，求所加匀强电场的电场强度及粒子经过点时的速度大小。 3．在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子（不计重力）在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。 (1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。 (2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值。 (3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。 4．如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小； （2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 5．真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×10-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103m/s的正点电荷，比荷=1×105C/kg，不计粒子重力。 (1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻； (2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值； (3)若t0=10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和相应的k值。 6．如图所示，在第一、四象限有垂直于纸面向里和向外的磁场区域Ⅰ和Ⅱ，OM 是两磁场区域的交界线，两区域磁场磁感应强度大小相同 B =0.1T，OM 与 x 轴正方向夹角为α。在第二、三象限存在着沿 x 轴正向的匀强电场，电场强度大小E= 1×104V/m。一带正电的粒子,质量m=1.6×10 −24kg、电荷量q=1.6×10−15C，由 x 轴上某点 A 静止释放，经电场加速后从 O 点进入Ⅱ区域磁场（带电粒子的重力不计） （1）若 OA 距离l1=0.2m，求粒子进入磁场后，做圆周运动的轨道半径大小R1； （2）要使经电场加速后，从O 点进入磁场的所有带电粒子仅在第一象限区域内运动，设计两磁场区域大小时，角α最大不能超过多少？ （3）若=30°，OM 上有一点 P（图中未画出），距 O 点距离l2=0.3πm。上述带正电的粒子从 x 轴上某一位置 C 由静止释放，以速度 v 运动到 O 点后能够通过 P 点，v 等于多大时，该粒子由 C 运动到 P 点总时间最短，并求此最短时间。 7．如图甲所示，比荷=k的带正电的粒子(可视为质点)，以速度v0从A点沿AB方向射入长方形磁场区域，长方形的长AB=L，宽AD=L。取粒子刚进入长方形区域的时刻为0时刻，垂直于长方形平面的磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)，粒子仅在洛伦兹力的作用下运动。 （1）若带电粒子在通过A点后的运动过程中不再越过AD边，要使其恰能沿DC方向通过C点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0为多少？ （2）要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足什么关系？ 8．如图所示的平面坐标系xOy，在整个区域内充满了匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强度B随时间变化的关系如图b所示．开始时刻，磁场方向垂直纸面向里(如图)，t＝0时刻有一带正电的粒子(不计重力)从坐标原点O沿x轴正方向进入磁场，初速度为v0＝2×103m/s.已知该带电粒子的比荷为＝1.0×104 C/kg.试求： (1)t1＝×10－4 s时粒子所处位置的坐标(x1，y1)； (2)带电粒子进入磁场运动后第一次到达y轴时离出发点的距离h. 9．在平面直角坐标系x0y中，第I象限内存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，在A（L，0）点有一粒子源，沿y轴正向发射出速率分别为v、5v、9v同种带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q。在B（0，L）、C（0，3L）、D（0，5L）放一个粒子接收器，B点的接收器只能吸收来自y轴右侧到达该点的粒子，C、D两点的接收器可以吸收沿任意方向到达该点的粒子。已知速率为v的粒子恰好到达B点并被吸收，不计粒子重力。 （1）求第I象限内磁场的磁感应强度B1； （2）计算说明速率为5v、9v的粒子能否到达接收器； （3）若在第Ⅱ象限内加上垂直于坐标平面的匀强磁场，使所有粒子均到达接收器，求所加磁场的磁感应强度B2的大小和方向。 10．如图甲所示，xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示，周期均为，y轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．t=0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标原点O开始运动，此时速度大小为，方向为＋x轴方向．已知电场强度大小为，磁感应强度大小，不计粒子所受重力．求： （1）t0时刻粒子的速度大小及对应的位置坐标； （2）为使粒子第一次运动到y轴时速度沿－x方向，B0与应满足的关系； （3）（n为正整数）时刻粒子所在位置的横坐标x． 11．在矩形区域中,存在如图甲所示的磁场区域(包括边界),规定磁场方向垂直纸面向里为正,其中为边界上的一点,且重力可忽略不计的正粒子从点沿方向以初速度射入磁场,已知粒子的比荷为求： (1)如果在0时刻射入磁场的粒子经小于半个周期的时间从边界上的点离开,则磁场的磁感应强度应为多大? (2)如果磁场的磁感应强度欲使在小于半个周期的任意时刻射入磁场的粒子均不能由边离开磁场,则磁场的变化周期应满足什么条件? (3)如果磁场的磁感应强度在边的右侧加一垂直边向左的匀强电场,0时刻射入磁场的粒子刚好经过垂直边离开磁场,再次进入磁场后经过从点离开磁场区域,则电场强度E以及粒子在电场中的路程分别为多大? 12．如图（甲）所示，两带等量异号电荷的平行金属板平行于x轴放置，板长为L，两板间距离为，金属板的右侧宽为L的区域内存在如图（乙）所示周期性变化的磁场，磁场的左右边界与x轴垂直．现有一质量为m，带电荷量为+q的带电粒子，从y轴上的A点以速度沿x轴正方向射入两板之间，飞出电场后从点（L，0）进入磁场区域，进入时速度方向与x轴夹角为30°，把粒子进入磁场的时刻作为零时刻，以垂直于纸面向里作为磁场正方向，粒子最后从x轴上（2L，0）点与x轴正方向成30°夹角飞出磁场，不计粒子重力．试求： （1）求粒子在两板间运动时电场力对它所做的功； （2）计算两板间的电势差并确定A点的位置； （3）写出磁场区域磁感应强度B0的大小、磁场变化周期T应满足的表达式． 13．如图a所示，匀强磁场垂直于xOy平面，磁感应强度B1按图b所示规律变化（垂直于纸面向外为正）．t=0时，一比荷为C/kg的带正电粒子从原点沿y轴正方向射入，速度大小，不计粒子重力． ⑴求带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径． ⑵求时带电粒子的坐标． ⑶保持b中磁场不变，再加一垂直于xOy平面向外的恒定匀强磁场B2，其磁感应强度为0.3T，在t=0时，粒子仍以原来的速度从原点射入，求粒子回到坐标原点的时刻． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《09 由于磁场方向不确定引起的多解问题-2026年高考物理二轮电磁学压轴计算题专题复习【难点突破】》参考答案 1．(1) (2)（、2、3…），（、2、3…） 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图1所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可知 代入数据，解得 由洛伦兹力提供向心力 代入数据，解得粒子射入磁场时的速度大小 （2）因为，而粒子圆周运动周期为 粒子的轨迹如图2所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 由 联立上述方程可解得（、2、3…） 粒子运动时间 由于周期性，粒子转过的角度为（、2、3…） 代入上述公式，可解得（、2、3…） 代入数据解得（、2、3…） 2．(1) (2) (3)， 【详解】（1）带电粒子从M点运动至O点的径迹如图甲所示，则由几何关系 由洛伦兹力提供向心力 解得， （2）带电粒子在磁场中的运动周期 粒子0时刻发出后经过进入磁场，此后每经过，方向改变一次，因而带电粒子在正方形OABC区域内的运动情况如图乙所示 则有（n=1，2，3…） （3）设带电粒子从O点运动至B'点经历的时间为，在xOz平面内有 y轴负方向上有 联立解得 经过点时y轴负向的速度 其速度大小 解得 3．(1) (2) (3)； 【详解】（1）带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 又 联立，解得 （2）如图所示， 若带电粒子不能从Oa边射出，则有 解得 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转150°角，运动时间为 可知磁场使粒子每次变向的最长时间是t，带电粒子不能从Oa边射出，则有 磁感应强度的变化周期的最大值 （3）若要粒子从b点沿着ab方向射出磁场，轨迹如图所示 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的角度为，其中，即 满足这一条件的磁感应强度变化的周期 每一个圆弧对应的弦长OM为 圆弧半径为 又 联立，解得 4．（1）；（2）， 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图甲所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可知 代入数据，解得 由 代入数据，解得 （2）因为，粒子的轨迹如图乙所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 ， 由 联立上述方程可解得 ， 粒子运动时间 由于周期性，粒子转过的角度为 ， 代入上述公式，可解得 ， 代入数据解得 ， 5．(1)0.001m；；(2)；；(3)当取非的正整数时，均可以回到出发点；当时，最小循环周期为 【详解】(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由 解得 当时，因为，粒子第3次经过轴时恰好向上经历两个半圆（如图）则时间 (2)当时，，粒子一个循环周期中运动分别为半圆→整圆→半圆→整圆，因此由几何关系得： 与轴交点坐标的最大值为 与轴交点坐标的最小值为 (3)因为，所以粒子先做圆弧运动，之后对的不同值进行分类讨论： 如图可见1、2、3、4时可能的分段情况． ①，粒子做圆弧交替运动，向右上45°方向无限延伸，不会循环运动 ②，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期 ③，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过2个周期回到出发点，循环周期 ④，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期 当时，运动过程相似，每个周期中均增加（正整数）个圆周，能循环的运动其循环周期均延长． 综上可得： (1)当取非的正整数时，均可以回到出发点． (2)当时，最小循环周期为 ． 6．(1)；(2)；(3). 【详解】(1)设粒子到O点时速度大小为，从P到O点过程，有 ① 得 在磁场中对粒子有 ② 得 (2)设粒子进入磁场后，在Ⅰ和Ⅱ磁场区域做圆周运动的半径相同设为r.当a取最大值时，粒子运动轨迹如图 由几何关系可知 ③ 得 又因为 ④ 得 要使从0点进入磁场的带电粒子仅在y轴右侧区域运动，不能超过. (3)设粒子运动至0点速度大小为v，粒子在电场中运动时间为，加速度大小为a，对粒子有 ⑤ 得 ⑥ 粒子在磁场中做匀速圆周运动轨道半径为r，周期为T对粒子有 ⑦ 得 ⑧ 得 如图由几何关系知 ⑨得 粒子每次在任意磁场中运动圆弧的圆心角均为，弦长 假设粒子在磁场中刚好运动到P点时间为，则有 ⑩ 粒子运动到0点时间为t，则有 代入数据有 当，即：时 此时，将带入 得 假设成立，故粒子运动至P点最短时间为. 7．（1）(n=1，2，3…)，T0=(n=1，2，3…)，（2）B0T0≤。 【详解】（1）带电粒子在长方形区域内做匀速圆周运动，设粒子运动轨迹半径为R，周期为T，则可得 解得 R== 周期 每经过一个磁场的变化周期，粒子的末速度方向和初速度方向相同，如图所示， 要使粒子恰能沿DC方向通过C点，则经历的时间必须是磁场周期的整数倍，AB方向： L=n·2RsinθBC方向： L=n·2R(1－cosθ) 解得 cosθ=1(舍去)，cosθ= 所以 θ=60° 又 R= 即： B0=(n=1、2、3…) T0=(n=1、2、3…)； （2）当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过AD边时运动情形如图所示 由图可知粒子在第一个T0时间内转过的圆心角： θ= 则： T0≤T 即 T0≤·≤ 所以： B0T0≤ 8．(1)　(2)1.6m 【详解】(1)由题意知，粒子进入磁场后在磁场中做圆周运动，设半径为R，周期为T，由洛伦兹力提供向心力，有： qv0B＝① T＝＝② 联立①②并代入数据得： T＝4π×10－4 s③ 比较粒子在磁场中做圆周运动的周期T和磁场变化周期可知，粒子在t1时间内运动了三分之一圆周，其圆心为O1，运动轨迹对应的圆心角为120°，作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示．由图中几何关系有： x1＝Rcos 30°④ y1＝R(1＋sin 30°)＝1.5R⑤ 联立①④⑤并代入数据得： x1＝m y1＝0.6m. 故t1＝π×10－4s时，粒子所处位置的坐标为. (2)根据磁场的变化规律知，粒子在磁场的前半个周期后三分之一内做圆周运动的方向将发生变化，设其圆心为O2；后半个周期前三分之二内做圆周运动的圆心为O3，作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示． 由图中几何关系有： ＝R⑥ ＝4Rsin30°＝2R⑦ ＝R⑧ 联立①⑥⑦⑧⑨并代入数据得： h＝1.6m. 9．（1）；（2）速率为的粒子被吸收，速率为的粒子不能被吸收；（3）见解析 【详解】（1）由几何关系知，速率为的粒子在第Ⅰ象限内运动的半径为 由牛顿运动定律得 解得 （2）粒子在磁场中做圆周运动，有 速率为的粒子在第Ⅰ象限内运动的半径为 可得速率为、的粒子在磁场中的半径分别为、。 设粒子与轴的交点到的距离为，根据几何关系有 将和分别代入得这两种粒子在轴上的交点到的距离分别为、。 故速率为的粒子被吸收，速率为的粒子不能被吸收。 （3）若速度为的粒子能到达点的接收器，则所加磁场应垂直坐标平面向外，如图： 设离子在所加磁场中的运动半径为，由几何关系有 又 解得（或） 若粒子到达点的接收器，所加磁场应垂直于坐标平面向里，同理 又 解得（或） 10．(1) ,( )(2) (3) 【详解】（1）在电场中运动，沿着x轴正方向有： 沿着y轴正方向，有： 由牛顿第二定律，有：qE0=ma 运动的速度大小 联立解得：，粒子的位置坐标为 （2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则： 解得： 则粒子第一次运动到y轴前的轨迹如图所示： 粒子在磁场中做圆周运动时，有： 圆心在y周期上，结合几何关系得到： 且 联立解得： （3）粒子在磁场中做圆周运动的周期为，即在时间内粒子转了半圈，在x方向向左移动，时刻速度大小仍为 ，方向与 时刻速度方向相反，在 时间内粒子做匀变速曲线运动，根据对称性可知，粒子运动轨迹与 时间内相同，时刻速度大小为，方向沿着x轴负方向，在 时间内粒子转动半圈， 时刻速度大小为，方向沿着x正方向，如图所示 则 时间内粒子在x方向向左移动的距离为 由几何关系得： 则粒子的横坐标 【点睛】本题是带电粒子在复合场中运动的问题，分析粒子的在电场和磁场中受力情况，确定其运动情况，从而根据运动的性质列出运动方程，本题中最关键是运用几何知识求解坐标． 11．(1)； (2)；(3)； 【详解】（1）由题意作出粒子的运动轨迹，如图1所示， 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有 由几何关系，有 解得 由于 解得 ； （2）由可知，粒子运动的半径为 临界情况为粒子从t=0时刻射入，并且轨迹恰好与ad边相切，如图2所示 圆周运动的周期为 ； 由几何关系可知，内，粒子转过的圆心角为； 对应运动时间为 应满足 联立可得 （3）根据题意画出粒子的运动轨迹如图3所示 由题意有 得 在电场中有 往返一次用时为 ； 应有，可得 ，（n=0，1，2…）； 运动的路程为 ，（n=0，1，2，3…） 12．（1）；（2） ,；（3） , 【详解】（1）设粒子刚进入磁场时的速度为v，则 电场力对粒子所做的功为： （2）设粒子刚进入磁场时的竖直分速度为，则 水平方向 竖直方向 解得 电场力对粒子所做的功 两板间的电压 解得 （3）由对称性可知，粒子从 点飞出磁场的速度大小不变，方向与x轴夹角为 在磁场变化的半个周期内，粒子的偏转角为 故磁场变化的半个周期内，粒子在x轴上的位移为 粒子到达 处且速度满足上述要求是 由牛顿第二定律，有 解得 粒子在变化磁场的半个周期内恰好转过周期，同时在磁场中运动的时间是变化磁场半个周期的整数倍，可使粒子到达 处且满足速度题设要求 ， 解得 13．（1）1m   （2）[3.41m，﹣1.41m] （3） 【详解】试题分析： （1）带电粒子在匀强磁场中运动，洛伦兹力提供向心力， r =1m （2）带电粒子在磁场中运动的周期，s 在0~s过程中，粒子运动了，圆弧对应的圆心角， 在s ~s过程中，粒子又运动了 ，圆弧对应的圆心角， 轨迹如图a所示，根据几何关系可知， 横坐标：m 纵坐标：m 带电粒子的坐标为（3．41m，-1．41m） （3）施加B2=0．3T的匀强磁场与原磁场叠加后，如图b所示， ①当（n=0,1,2,…）时， s ②当（n=0,1,2,…）时， 粒子运动轨迹如图c所示，则粒子回到原点的时刻为， （n=0,1,2,…） 考点：带电粒子在磁场中的运动 【名师点睛】此题是带电粒子在磁场中的运动问题，解题时要通过磁场的变化情况分析粒子的受力变化情况，画出粒子运动的轨迹图，结合几何关系求解；注意问题的多解情况. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $