2026届高考数学冲刺解答题专训04（全国通用）

**基本信息** 聚焦高考解答题高频考点，以真题为引领、预测题为支撑，系统覆盖函数导数、解析几何、立体几何、概率统计四大模块，注重数学思维与语言的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高考真题再现|5题|函数求导与性质、椭圆方程与面积、立体几何翻折证明与二面角、函数极值点与零点证明、概率递推|从概念应用（求方程）到综合论证（证明单调性/不等关系），形成"基础求解-逻辑推理-综合应用"递进链条| |考前预测A/B/C组|15题|三角函数图像变换、双曲线与抛物线综合、立体几何面面垂直与夹角、函数零点与参数范围、概率统计模型与证明|覆盖导数应用、解析几何运算、空间向量法、概率递推等核心方法，知识点间呈"概念生成-原理推导-变式拓展"逻辑|

2026届高考冲刺解答题专训04 高考真题再现 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 16．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 17．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 18．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 19．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 【答案】(1)， (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【详解】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； （2）由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； （3）设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 考前预测A组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知函数，当时，的最小值为. (1)求函数在区间内的零点个数； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间. 【答案】(1)4； (2)值域为，递增区间为，递减区间为. 【分析】（1）利用余弦函数性质，结合指定区间上最小值列式求出. （2）利用平移变换法则求出，再利用余弦函数的图象性质求出值域及单调区间. 【详解】（1）函数，当时，， 则当，即时，，即， 解得，故， 当时，，由，得， 则，所以， 因此函数在区间内的零点个数为4. （2）依题意，， 因此函数的值域为； 由，解得， 由，解得， 所以函数的递增区间为，递减区间为. 16．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 17．（2026·山东泰安·二模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在梯形中，证明，根据线面垂直的判定定理证明平面，即可得；或建立恰当的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示证明； （2）利用平面与平面所成角的向量求法求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）如图，连接. 易知四边形为梯形，且 ， ， . 平面平面，. 平面. 平面. 平面， . 方法二：在四棱锥中，平面，平面， 所以. 又，且，， 所以以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，得，. . （2）设平面的一个法向量为. 则，即 取，则 设平面的一个法向量为 则，即 取，则 ∴平面与平面夹角的余弦值为 18．（2025·贵州六盘水·一模）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1个 【分析】（1）求导通过，即可求证； （2）由题意可得在有变号的根，再由的单调性，结合零点存在性定理构造不等式求解即可； （3）由切线方程求得，再通过函数的单调性即可求解； 【详解】（1）当时，由，可得， 因，则，又因为，则， 所以函数在单调递增； （2）， 因为函数在有极值，所以在有变号的根， 又因为在单调递增，则， 即，所以，解得， 故实数a的取值范围为； （3）因为函数在点处的切线方程为， 所以，且， 解得． 故则， 当时，，即在单调递增， 因，所以在没有零点； 当时，，即在没有零点． 综上所述，函数的零点个数为1个． 19．（2025·江苏·三模）在空间直角坐标系中，某质点从原点出发，每秒向轴、轴或轴正、负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等. (1)求该质点在第秒末移动到点的概率； (2)设该质点在第秒末移动到点，记随机变量，求的均值； (3)设该质点在第秒末回到原点的概率为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据组合公式得到共有种可能，再计算出所有情况，利用古典概型公式即可得到答案； （2）首先得到的所有可能取值为、、，再按步骤写出其分布列，计算其期望即可； （3）设质点向轴正、负方向移动相同的次数，设为次，向轴正、负方向移动相同的次数，设为次，则，化简比较大小即可. 【详解】（1）在第秒末质点要移动到点，需要沿轴正方向移动次， 沿轴正方向移动次，所以共有种可能. 故该质点在第秒末移动到点的概率为. （2）质点在第秒可能移动到点、、、、、、、 、、、、、、 、、、、、， 所以的所有可能取值为、、. ，，， 所以. （3）质点要在第秒末回到原点， 则必定向轴正、负方向移动相同的次数，设为次， 向轴正、负方向移动相同的次数，设为次， 向轴正、负方向移动相同的次数，为次. 所以， ， 所以. 考前预测B组 15．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，点是图象的一个对称中心. (1)求； (2)设函数，求的最大值和单调递增区间. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据对称中心结合正弦函数性质可得，即可得函数的解析式； （2）利用诱导公式以及倍角公式可得，结合余弦函数性质求最大值和单调递增区间. 【详解】（1）由题意可知：， 且，则， 可得，解得， 所以. （2）因为， 当，即时，函数取到最大值， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 16．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【详解】（1）抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； （2）由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 17．（25-26高三下·广东江门·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，，分别是的中点，为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过证明来证得四点共面. （2）通过证明平面来证得平面平面． （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值即可． 【详解】（1）因为分别是的中点，所以. 因为为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点, 所以，所以，所以四点共面. （2）因为，所以，所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）连接，因为，所以， 由（2）知，平面平面，平面平面， 而平面，所以平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴, 以过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 易得为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．（24-25高三上·安徽·月考）已知函数有两个零点，，函数. (1)解不等式； (2)求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由导函数恒大于等于0可知为上的增函数，得出不等式解集； （2）求导函数，分类讨论参数，当时，函数单调不合题意；当时，函数不单调，需要利用零点存在思想建立不等式，求出实数的取值范围； （3）由（2）知道两根的范围，借助在上小于0，得到，同理得到，两式整理后相加便可得到结论. 【详解】（1）， 故为上的增函数，     由题可知， ，即， 的解集为. （2）， 当时，，为减函数，不符合题意；     时，若，，函数单调递减； 若，，函数单调递增； 又时，；时，.     有两个零点， 故， 所以； （3）由（2）知：，且， ，     由（1）知时，，， ，故， ， 化为  ①，     同理：， ， 可化为  ②，     ②+①得： 化简得：. 19．（24-25高三下·湖南·开学考试）在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设为其分布列与未知参数有关的离散型随机变量，其中的取值范围为．若对已知结果，有，且，有成立，则称为在下的一个极大似然估计． (1)（i）若服从二项分布，求在下的极大似然估计； （ii）若服从二项分布，求在下的极大似然估计． (2)若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品．已知每次点击按钮后，获得1积分的概率为，不获得积分的概率为．小丽参加这个抽奖活动后总共获得了积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数的取值为，证明：，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)（i）；（ii）5或6 (2)证明见解析，等号能成立的条件为． 【分析】（1）（i）根据二项分布的定义写出的表达式，再求其最值即得； （ii）根据二项分布的定义求得，利用数列的单调性，即得在或时取得最大值，即得； (2)先判断服从二项分布，求得，求出，判断的单调性，按照是否为整数分情况讨论推理得到即可. 【详解】（1）（i）由题意可得， 故当时取最大值，其极大似然估计为． （ii）由题得，且， ， 令，则， 其中．当时，，则； 当时，有；当时，，故在或时取得最大值， 则在下的极大似然估计为5或6． （2）显然有，设次点击后获得的积分为随机变量，由题可知服从二项分布， 则， 设， 则． 当，即时，， 当时，，当时，． ① 若为整数，则对的极大似然估计为和，满足，当时等号成立， ② 若不为整数，记为小于的最大整数，则， 当时，；当时，， 则的极大似然估计为，故. 综上可得：，等号能成立的条件为． 考前预测C组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一上·山西太原·期末）已知． (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再结合正弦函数的单调性求解； （2）先由平移变换得到，再利用余弦函数的性质求解. 【详解】（1） 令，则， 故的单调递减区间为； （2）由题意得， 因，有，则， 可得， 故在上的值域为. 16．（2025·四川·一模）已知地物线，直线．当时，与有且仅有一个交点． (1)求的方程； (2)若与交于两个不同的点，设的中点为，过点平行于轴的直线与交于点，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，由交点个数得到判别式的等式，求出，即可得到抛物线方程； （2）利用韦达定理法，由弦长公式及中点坐标公式得到和，从而求得它们的比值. 【详解】（1）当时，联立，得． 因为与有且仅有一个交点，所以，解得． 所以的方程为． （2）联立，得． 因为与交于不同的两点，所以，即． 设，， 因为，所以． ． ，所以． 17．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F． (1)求证：； (2)若，求直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证得平面，然后根据线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 【详解】（1）在矩形ABCD中，， 又平面，平面DCP，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以； （2）由（1）可知，又，所以， 又因为E是PC的中点，所以F是PD的中点， 因为平面ABCD，AD，平面ABCD， 所以，， 因为，，即，故. 又在矩形ABCD中，，所以DA，DC，DP两两垂直. 如图以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面BCF的一个法向量为. 由，得， 令，得， 设直线AP与平面BCF所成角为， 则， 故直线AP与平面BCF所成角的正弦值为. 18．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知函数． (1)若，讨论的零点的个数； (2)若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析； 【分析】（1）利用导函数求出函数的单调性，分析函数的值域及特殊点，再结合的取值讨论零点个数即可. （2）（i）根据零点得到，再利用函数的单调性证明即可. （ii）先对单一项进行放缩证明，再累加求和即可. 【详解】（1）令，即， 设，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，， 又当时，（指数减小快于一次函数）， 所以当时，在上有两个零点； 当或时，有唯一零点； 当时，无零点． （2）证明：（i）由知，当时，有唯一零点，则且， 两边取自然对数，得①， 所以②， ②-①，得 所以． 因为函数在上单调递增，所以， 所以数列是递增数列． （ii）设（），则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即当时，③ 由③式知，， 结合①式可得，即，也即， 所以，所以. 所以 故. 19．（2024·山东济南·二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 【答案】(1)见解析 (2)（i）；；（ii）见解析 【分析】（1）求出求的可能取值及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式求出； （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步，向下移动步，表示出，由组合数公式化简即可得出答案；（ii）利用题目条件可证明，再令可证得，进一步可得，即可得出答案. 【详解】（1）粒子在第秒可能运动到点或或的位置，的可能取值为：， ，，， 所以的分布列为： . （2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故， 粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑： 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形； 于是， 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步， 向下移动步，故 . 故. （ii）利用可知： ， 于是， 令，， 故在上单调递增， 则，于是， 从而有：， 即为不超过的最大整数，则对任意常数，当时， ，于是, 综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的. 【点睛】关键点睛：本题第二问（ii）的关键点在于利用可得，再令可证得，进一步可得，即可得出答案. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考冲刺解答题专训04 高考真题再现 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 16．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 17．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 18．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 19．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 考前预测A组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知函数，当时，的最小值为. (1)求函数在区间内的零点个数； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的值域和单调区间. 16．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 17．（2026·山东泰安·二模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（2025·贵州六盘水·一模）已知函数． (1)当时，证明函数在单调递增； (2)若函数在有极值，求实数a的取值范围； (3)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 19．（2025·江苏·三模）在空间直角坐标系中，某质点从原点出发，每秒向轴、轴或轴正、负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等. (1)求该质点在第秒末移动到点的概率； (2)设该质点在第秒末移动到点，记随机变量，求的均值； (3)设该质点在第秒末回到原点的概率为，证明：. 考前预测B组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，点是图象的一个对称中心. (1)求； (2)设函数，求的最大值和单调递增区间. 16．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 17．（25-26高三下·广东江门·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，，分别是的中点，为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（24-25高三上·安徽·月考）已知函数有两个零点，，函数. (1)解不等式； (2)求实数的取值范围； (3)证明：. 19．（24-25高三下·湖南·开学考试）在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设为其分布列与未知参数有关的离散型随机变量，其中的取值范围为．若对已知结果，有，且，有成立，则称为在下的一个极大似然估计． (1)（i）若服从二项分布，求在下的极大似然估计； （ii）若服从二项分布，求在下的极大似然估计． (2)若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品．已知每次点击按钮后，获得1积分的概率为，不获得积分的概率为．小丽参加这个抽奖活动后总共获得了积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数的取值为，证明：，并指出等号成立的条件． 考前预测C组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一上·山西太原·期末）已知． (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 16．（2025·四川·一模）已知地物线，直线．当时，与有且仅有一个交点． (1)求的方程； (2)若与交于两个不同的点，设的中点为，过点平行于轴的直线与交于点，求． 17．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F． (1)求证：； (2)若，求直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 18．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知函数． (1)若，讨论的零点的个数； (2)若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）. 19．（2024·山东济南·二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为 例如在1秒末，粒子会等可能地出现在四点处. (1)设粒子在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； (2)记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $