第22届泛珠三角物理奥林匹克暨中华名校邀请赛力学基础试（2026年2月15日）

第22届泛珠三角物理奥林匹克暨中华名校邀请赛力学基础试试题2026年2月15日09：30-12：30 *第I部分是选择题（共45分，答案唯一），第II部分是简答题（共55分），只把主要步骤写在答题纸上* *若有需要取重力加速度g=9.80s-2及重力常數G=6.67×10-11Nm2kg2(若没有特别注明取所有摩擦力为零)* 第I部分选择题(15×3分) 1.地面上的一门火炮可以以50.0m/s的速度发射炮弹，角度任意。一架无人机正在离地面100米的恒定高度飞行。问在火炮水平 距离多远以外的地方，火炮无法击落无人机？ A. 119m B. 123m 136m D. 141m E. 157m 2.一个声源和一个听者正向着彼此移动。声源的速率为30.0m/s,听者的速率为20.0m/s。同时，有一股速率10.0m/s的强风从听 者吹向声源方向。如果声源发出频率为440Hz的声音波，那么听者测得的频率是多少？取空气中声音的速度为340/s A. 507Hz 509Hz C 511Hz D. 513Hz E 515Hz 3.香港的纬度为北纬22.3°。假设地球是一个完美球体，半径为6400公里，并且自转周期正好是24小时。一个质量为1.00公斤 的物体静止在地面上（即与地球一起旋转）。地面施加于该物体上的摩擦力有多大？ A. 0.0036N B. 0.0058N C 0.0074N D 0.0093N 0.012N 4.一个质量为0.10公斤的粒子连接到弹簧常数k=10N/m的弹簧上，在x轴上做简谐运动，平衡位置在x=0。当t=0时，该粒 子位于x=-0.40m处，并以速度=3.0m/s移动。求其在t=2.0s时的位置。 A. -0.27m -0.11m 0.11m D. 0.25m E. 0.27m 5.一个1.00公斤的物体和一个2.00公斤的物体分别连接在弹簧的两端，弹簧的弹性系数k为20.0N/m。弹簧初始时处于自然长 度，两物体以大小同为3.00/s的初速率朝彼此远离的方向运动。求弹簧的最大伸长量。 A. 0.875m 1.10m C 1.12m D 1.14m 1.16m 6.一条绳子上的横波向右移动。下图显示了在特定时间t下y(x,)与坐标x 的关系，表示那时绳子一部分的波形。点1是局部最大值，点4是局部最小 值。在这个时刻，绳子上哪些标示的粒子的瞬时速度为向上？ A.只1和4 B.只2和6 C.只3和5 D.只1,3和5 E.只2,4和6 7.在xy平面上移动的物体受到的力为F(x,y)=Cy,其中C是一个常数，为x方向的单位向量。考虑一个边长为L的正方形 路径，四个角分别位于(0,0)、(L,0)、(0,L)和(L,L)。物体从原点开始，沿着正方形路径移动，依次到达角点(0,0)→(L,0)→ (L,L)→(0，L)→(0,0)。求该力所做的功。 A CL -CL2 0 2CL2 E -2CL2 问题8和9 一个质量为m内置弹簧的发射物在t=0时以速率u被发射，发射角与水平方向成45°。该物体本该在t=T时再次落地。然 而，在t=T/4时，弹簧释放，物体分裂成两个相等质量的部分，其中一部分将沿着相同的轨迹向后移动，撞击发射器。 8.弹簧释放的能量是多少？ A. mu B. mu C. mu2 D 4 mu2 E 寻mu2 9.当发射器被击中时，两部分之间的距离是多少？ A. 1u2 B. 1u2 C. 3u2 u2 5u2 2g √2g 2 g g 2g 10.一个质量为M、半径为R、围绕其中心轴以角速度ωo旋转的实心圆柱体被放置在一个动摩擦系数为k的水平面上。圆柱体 的初始线速度为零。计算圆柱体从放置的位置移动到开始无滑动滚动的位置之间的距离。 WGR2 B. W3R2 C. W3R2 D WGR2 E ωR2 12ukg 14μk9 16μkg 18ukg 20μk9 11.(此题中之数字皆为精确值)在下图中，质量m1和m2通过一根轻绳A连接在一个轻的无摩擦滑轮B上。滑轮 B的轴通过第二根轻绳C经过第二个轻的无摩擦滑轮D连接到质量m3。滑轮D以一个连接件固定悬挂在天花板 上。系统从静止释放。如果m1=1kg,m2=2kg,m3=3,则m1的加速度是多少？取向上为正。 9 39 品9 D. 69 9 问题12和13 一个物体在倾斜面上以速率被发射，发射角度从沿着倾斜面向上方向测量为日，如下图所示。倾斜面的倾角为 a,其中0°<a<90°且0°<0<90°-a。该物体将在倾斜面上距离为R的位置碰撞倾斜面。 12.如果a固定但0可变，找到R的最大值。 A. (1-sin@) C u2 (1-sin) g g cosa D gcoa1-sina）) 、u2 E. u2 g cosa 13.如果a=20°，则0为何值时R最大？ A. 10 259 C. 35 D 40 45 14.两架梯子，分别长4.00米和3.00米，在A点铰接，并通过一根距地面0.900米的水平绳子 绑在一起，如下图所示。这两架梯子的重量分别为480N和360N,且每架梯子的质心位于其 4.00m 3.00m 中点。假设地面是平滑的。如果一个重8O0N的油漆工站在A点，求水平绳子的张力。 A 937N B 1010N C. 1160N 0.900m D 1250N E 1380N 15.一名宇航员在宇宙飞船内正在以距黑洞中心120公里的圆形轨道绕黑洞飞行。该黑洞的质量为太阳质量的5.00倍（太阳质量= 2.00×100kg)，其史瓦西半径为15.0公里。由于轨道半径远大于史瓦西半径，可以假设牛顿引力定律成立。宇航员的一只质量 为0.030kg的耳朵距离黑洞比飞船的质心远6.0cm,而另一只耳朵则近6.0cm。她耳朵之间的张力是多少？。（由于她的整个身体 以相同的角速度绕黑洞旋转，一只耳朵的运动速率对于其轨道半径来说太慢，而另一只耳朵的运动速率则太快。因此，她的头必 须对她的耳朵施加力以保持它们在各自的轨道上。) A. 700N B 1400N C 2100N D 2800N E 3500N 第川部分简答题(55分) 16.30分]在本题中可能会用到： (1)当0为小角度时，cos0≈sec0≈1和sin0≈tan0≈0 (2)直角三角形的形心位置如图1-1所示。 考虑一个边长为L的空心立方体箱子。箱子的边面厚度可以忽略不计，且具有均匀的质量密度，每单位面积的 b/3 质量为σ。现在，箱子的顶面被去掉，箱子底面朝下放入一流体中（流体的每单位体积质量为p)。注意：我们 a/3 假设流体是理想的，处于静态平衡中，因此流体惯性和粘度等动态效应可以忽略。唯一的流体力为静浮力。 b (@.[]找到边面的临界表面质量密度oc,超过这个值箱子将完全浸入流体中。用p和L表达你的答案。 图1-1 以下均假设o<oc。 (b.[]箱子在流体表面下方的高度h是多少？用σ和p表达你的答案。 (c).[3]箱子在其平衡位置的小幅垂直振荡的频率是多少？用p、σ和引力加速度g表达你的答案。 现在箱子绕一水平轴倾斜了一个角度0，该轴通过其质心，并且垂直于两个悬直边面，見图12。 (d)6]找到箱子对于上述转轴之转动惯量。用σ和L表达你的答案。 当底面中心距离流体表面的深度为时，作用于箱子的净外力为零。 ()[3]找到h以及箱子质心在表面下方的深度。用σ，p和0表达你的答案。并分别写出当0为 小角度时的表达式。 (⑨[6找到流体表面下方盒子体积的几何中心位置。用L,h和0表达你的答案。 假设盒子初始倾斜角度很小，初始高度h在小角度情况下的值为(e)部分的值。然后盒子被释 不 放以自由旋转。 h (g)2在小角度旋转时，通过仅保留到日的一阶项，找出作用在盒子上的水平和垂直合力。 (h)[5通过仅保留到0的一阶项，找到作用在盒子上的扭矩。用o,P,9,L和0表达你的答案。 (①)[]由()可看到盒子将作简谐角振动，找出其频率。 )2]在给定L的情况下，找出频率为最小的条件，并以g和L表达该最小频率。 图1-2 17.25分]基于GW170817的多信使物理 2015年9月14日，IGO千涉仪首次直接探测到了由两个黑洞的旋进(inspiral)与并合(merger)产生的引力波事件。2017年8 月，人类首次探测到了涉及两颗中子星的双中子星并合事件GW170817。与之前涉及黑洞的事件不同，这次并合伴随着全波段的 电磁辐射，包括伽马射线短暴和光学波段的千新星(kilonova)。 在本题中，我们将中子星建模为仅通过相互引力作用的点粒子。假设中子星始终在近似圆轨道上相互绕转。中子星的运动由随时 间变化的位置矢量)描述。位置矢量的时间导数给出的速度：户=荒表示位置随时间的变化率。 本题旨在通过这次多信使观测来提取物理信息。你可以使用以下常数： ·万有引力常数：G=6.67×10-11Nm2kg2；光速：c=3.00×108m/s; 太阳质量：M。=2.00×1030kg (A部分)A.13]考虑一个由质量分别为m1和m2的两颗中子星组成的孤立系统。相对于任意原点0，两颗星及其质心的位置矢量 分别为、2和R。定义从指向的位置矢量为：子=2-。质量为m2的中子星的速度矢量可以表示为：2=+β铲， 请解出和B,其中d是一个守恒矢量，且B可用m1和m2表示。 注意：对于A2-A4部分，所有计算均应在系统质心位于原点的参考系中进行。 A.2[③]做圆周运动的双中子星系统的总轨道角动量可以写为：乙=L(,2,Rws)n，其中元是垂直于轨道平面并指向角动量方向的 单位矢量。RNs表示两颗中子星之间的距离，u是约化质量(reduced mass)：u=mm2,M=m+m2是双星系统的总质量， m1+m2 2是位置矢量子的角速度。试推导L(4,2,Rws)的表达式。 A.3[3)]同样地，做圆周运动的双中子星系统的总机械能可以写为以下形式：E=E(L,u,Rs,M)。试推导E(2,,Rws,M)的表达式 A.4[3]对于一个等质量的中子星双星系统，若其间距为Rws=1200km,且单一中子星质量为m=1.4M。,试估算比值v/c。这 里v表示其中一颗中子星相对于双星系统质心的速率。利用该结果评估系统是否接近牛顿极限（即v/c《1)。 ⑧部分)在A部分使用的牛顿近似中，两颗中子星将永远保持在固定间距Rs的圆轨道 上。然而在现实中，系统会发射引力辐射，这会带走双星系统的能量，导致轨道随时间缓 慢收缩。根据爱因斯坦于1915年提出的广义相对论，随时间变化的质量分布（如绕转的致 密天体)会扰动时空并产生引力波，将能量和角动量带离源头。随着能量通过引力波辐射 流失，双星系统的总机械能减小，迫使中子星在逐渐缩小的近似圆轨道上运动。这种逐渐 向内的螺旋运动被称为“旋进”(inspiral),该过程持续进行直到星体最终并合。GW170817 是一个里程碑式的例子。UT℃时间2017年8月17日12：41：04，费米伽马射线暴监测器探测 (图21：中子星旋进) 到了一个伽马射线短暴。约1.7秒前，LIGO和Virgo干涉仪记录到了一个持续时间较长的引力波“啁啾”(cip)信号。该信号被 确认为两颗中子星的旋进与并合。这标志着科学家首次同时观测到引力波事件及其电磁对应事件：一个高能光短暴，以及随后可 被望远镜观测到的明亮余辉，称为“千新星”。 B.13]根据广义相对论的主项四极辐射公式，总质量为M、约化质量为μ、间距为Rs的圆形轨道双星通过引力波带走能量的速 率为 dE 32G4 u2M3 dt 5c5R瓯s 对于总质量为M、约化质量为u的双星系统，中子星之间距RNs的变化率由下式给出：=F(M,以，Rws)。试求F(M,4,Rws) dt 的表达式。 你可以不加证明地使用以下结果： ·微分链式法则： dE-dE dRNS dt dRns dt ·对于任意常数a和实数n:品(aR)=anR B.2当LIGO或Vgo探测到引力波信号时，它会记录下一个波形：一个显示波的频率和振幅随时间变化的模式。这个模式就像产 生该系统的指纹。当两个致密天体螺旋靠近时，引力波起初频率和振幅均较低，随后频率升高且振幅增大。这种音调升高的信号 称为“啁啾”(chirp)。图2-2展示了Hanford、Livingston和Virgo探测器针对某次双中子星旋进记录的引力波数据： Hanford Livingston Virgo 14 12 10 HNS WW 0.460.480.500.520.540.56 0.460.480.500.520.510.56 0.460.480.500.520.540.56 Time [s] Time [s] Time [s] (图2：双中子星并合波形图。图片来源：LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) ·第一行：这些图显示了每个探测器中引力波信号强度与背景噪声的对比值(Signal-to-Noise Ratio SNR)。三个探测器在几乎相同的 时间出现了一个清晰的峰值，表明它们探测到了同一事件。 ·第二行：这些图显示了引力波强度随时间的变化。 双中子星并合产生的引力波信号周期是双星轨道周期的一半：2Tcw=Tort。随着中子星相互靠近，它们绕转得更快，因此频率 在接近并合时会上升。 在以下部分中，我们将把观测到的GW170817引力波信号与中子星双星的物理参数联系起来。在整个问题中，我们假设两颗相同 的中子星在圆轨道上运动。使用牛顿数量级估算，忽略相对论效应和有限尺寸效应。 B.2(a)[2]利用图2中显示的Livingston探测器数据，估算信号消失前瞬间（接近并合时）的引力波频率。从数据中估算频率，并 选择最接近你估算值的选项： (a)fGw ~32 Hz (b)fGW ~64 Hz (c)fCw ~100 Hz (d)fGw ~200 Hz (e)fGw ~350 Hz 在后续所有部分中，请使用你在(B.2α)部分选择的引力波频率。 B.2(b)[2]利用该频率，估算接近并合时中子星的轨道周期。 B.2(@)3]假设在接近并合时，中子星相互绕转的速率约为≈1×108m/s。这大约是光速的1/3（佃。利用此速率估算轨道半径。 B2@[)对于致密双星，最内稳定圆轨道(SCO)半径近似为：Rc0≈。该表达式严格来说仅适用于测试粒子绕黑洞的轨道 。在此，我们仅将其作为中子星双星的数量级估算。假设你估算的轨道半径对应于ISCO,利用此关系估算双星系统的总质量M。 请用太阳质量M。表示你的答案。注意：由于中子星双星并没有真正的I$CO,且忽略了相对论和有限尺寸效应，此过程将高估 系统的真实总质量。 编号： 姓名： 学校： 年级：得分：/100分 2026年第22届泛珠赛力学基础试答题纸（月日） 第I部分选择题(15×3分) 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第川部分简答题(55分)请写出主要步骤 16(a)[1]o。= (b)[1] (c)[3] (d[6] (e)[3]h= (e)箱子质心在表面下方的深度： 当6为小角度时，h= 当0为小角度时，箱子质心在表面下方的深度： (⑤[6]流体表面下方盒子体积的几何中心位置： (g)[2]盒子上的水平合： (g)盒子上的垂直合力： (h)[]在盒子上的扭矩： 0[1]振动频率： )[2]频率为最小的条件 请写出主要步骤 17A1[31a= A1 B= A2[3]L(4,2,Rws)= A3[3]E(2,,RNs,M)= A4I318≈ B1[3]F(M,4,RNs)= B2(a)[2]圈出正确答案 B2(b)[2]中子星的轨道周期： (a)fcw ~32 Hz (b)fGw~64 Hz (c)fGw ~100 Hz (d)fGw~200 Hz (e)fcw~350 Hz B2(c)[3]轨道半径： B2(d)[3]双星系统的总质量M 第I部分选择题(15×3分) 2 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A B B & E D 0 C C Question 1: You may find the following useful in this question: 在本题中可能会用到： (1) For small angle 0, 当θ为小角度时， cos0≈sec0≈1 sin0≈tan0≈0 (2) The centroid of a right triangle is located as shown below: 直角三角形的形心位置如下所示： a b/3 a/3 6 Consider a hollow cubic box with side length L.The walls of the box have negligible thickness and uniform mass density,with mass per unit area o.Now the top wall of the box is removed and the box is put with its bottom wall facing downwards into a fluid (with mass per unit volume p) Note:We assume the fluid is ideal and in static equilibrium,such that dynamic effects like fluid inertia and viscosity are negligible.The only fluid force is the hydrostatic buoyant force. 考虑一个边长为L的空心立方体箱子。箱子的边面厚度可以忽略不计，且具有均 匀的质量密度，每单位面积的质量为σ。现在，箱子的顶面被去掉，箱子底面朝下 放入一流体中（流体的每单位体积质量为ρ）。 注意：我们假设流体是理想的，处于静态平衡中，因此流体惯性和粘度等动态效应 可以忽略。唯一的流体力为静浮力。 (a) Find the critical surface mass density of the walls oc above which the box will immerse completely into the fluid.Express your answer in terms of p and L. 找到边面的临界表面质量密度c。，超过这个值箱子将完全浸入流体中。用p 和L表达你的答案。 Hereafter,we assume o <oc. 以下均假设σ<G。· (b) What is the height of the box,h,that will be beneath the fluid surface?Express your answer in terms of o and p. 箱子在流体表面下方的高度h是多少？用σ和p表达你的答案。 (c) What is the frequency of small vertical oscillations of the box at its equilibrium position?Express your answer in terms of p,o and g. 箱子在其平衡位置的小幅垂直振荡的频率是多少？用p、σ和引力加速度g 表达你的答案· Now the box is tilted by an angle of about a horizontal axis,which passes through its center of mass(CM)and is perpendicular to two vertical faces. 现在箱子绕一水平轴倾斜了一个角度日，该轴通过其质心，并且垂直于两个悬直边 面。 h 一一一一一一一 (d) Find the moment of inertia of the box about the axis described above.Express your answer in terms of o and L. 找到箱子对于上述转轴之转动惯量。用σ和L表达你的答案。 When the center of the bottom surface is at a distance h below the fluid surface,the net external force acting on the box is zero. 当底面中心距离流体表面的深度为h时，作用于箱子的净外力为零。 (e) Find h and the depth of the CM of the box beneath the surface.Express your answers in terms of o,p,and 0.What are the two respective expressions for small angle 0 找到h以及箱子质心在表面下方的深度。用σ、p和θ表达你的答案。并分 别写出当为小角度时的表达式。 () Find the location of the geometric center of the volume of the box below the fluid surface.Express you answer in terms of L,h,and 0. 找到流体表面下方盒子体积的几何中心位置。用L、h和θ表达你的答案· Assume that the initial angle the box is tilted is small and the initial h has the value in part (e)for small angle.The box is then released to rotate freely. 假设盒子初始倾斜角度很小，初始高度h在小角度情况下的值为()部分的值。然后 盒子被释放以自由旋转· (g) Find the horizontal and vertical net force acting on the box under small angle rotation by keeping terms up to first order in 6. 在小角度旋转时，通过仅保留到的一阶项，找出作用在盒子上的水平和垂 直合力。 h) Find the torque acting on the box for small by keeping only terms up to first order in 6.Express your answer in terms of o,p,g,L,and e. 通过仅保留到θ的一阶项，找到作用在盒子上的扭矩。用σ、p、g、L和θ表 达你的答案· ①) Show that the box will undergo simple harmonic angular oscillations and find the frequency. 证明盒子将作简谐角振动，并找出其频率。 (0) For fixed L,find the condition under which the frequency is minimum.What is this minimum frequency in terms ofg and I? 在给定L的情况下，找出频率为最小的条件，并以g和L表达该最小频率。 Solution (a) 0c512=pL3 (b) 0512 pl2h h= 50 p ( F=-pgL2△h pgL2 1 pg f= 2元Jo5L2 2元V5G (d) The moment of inertia of the box about the rotational axis passing through CM is (位×+x学》）+位x+(伯+传)》 +2(位x22+a台-）-品 (e) pgL x Lh sec0=pgL2h sec0 og5L2=pgL2hsec日 50 h=cos p The depth of the CM of the box is hsc0-2）s0=(g-29）s0 For small e, 50 h= and the depth of the CM is 502 p 5 () h Solve for l: L h-sin+lcos0 1=hsece-ztan0 The center of mass of the right angle triangle is at (-台+与l+5no)-(-名he-名amo） The area of the right angle triangle is L2 tan0 2 The center of mass of the rectangle is at ()-(oeco-tn) h The area of the rectangle is 2 Ll =Lhsece-2tane The total area is Lh secθa The center of mass of the part below the fluid surface is g(-台Aam9-ano+(aacg-分no)(a含ma-全moa0 名ae,am9(hsee0-名an0)+(thsc0-号tam9)Gec0-amo)） 62,2 Lh sec0 Ltane tan20Lhsec20 12,24 2 Lh sec0 12hsin24 n20cos0+号ec0） L2 (g) In horizontal direction there is no net force.In the vertical direction, F=og5L2-pgL2hsec日≈og5L2-pgL2h=0 ) The center of mass of the box is at( The horizontal position of the CM in (f)w.r.t.the CM of the box (right= positive)is P L2 2L sine cose- 12h htan㎡acos+sec-9）sn0 -(你品+) (+ =g+150品-z0 The torque(counterclockwise=positive)is =-95%g+150品-240 =gg+150品-249 ① Since PL,150 pL/o 24=V150 + V150 24≥2V150-24=10W6-24>0 hence it will undergo simple harmonic angular oscillations. The frequency is 1 1 -24） g(+150品 1 2π 77 2元， (%+150品-24月 60oL4 G) Frequency is minimum when pL/a V150 pl 150 pL/o =5V6 0 The minimum frequency is 1 10 2元 66-12)是 77 MC 1. A cannon on the ground can fire cannon balls with a speed of 50.0 m/s at any angle.A drone is flying at a constant height of 100 m above ground.What is the horizontal distance from the cannon beyond which the cannon cannot take down the drone? 地面上的一门火炮可以以50.0m/s的速度发射炮弹，角度任意。一架无人 机正在离地面100米的恒定高度飞行。问在火炮水平距离多远以外的地 方，火炮无法击落无人机？ A. 1191m B. 123m C 136m D 141m E. 157m Solution y=xtan0- 2vzsec20=x tang-gx2 9x2 2o2(1+tan28) tan28、2z2 gx tang+1+ 2v2y 9x20 No solution of tan 0 if v4 2v2y 92 <x2 4 2v2y xl> V93 =119m 2. A sound source and a listener are moving towards each other.The speeds of the source and the listener are 30.0 m/s and 20.0 m/s,respectively.There is also a strong wind blowing at a speed of 10.0 m/s in the direction from the listener to the source.If the source emits sound waves with a frequency of 440 Hz,what is the frequency measured by the listener?Take the speed of sound in air to be 340 m/s. 一个声源和一个听者正向着彼此移动。声源的速率为30.0/s，听者的速 率为20.0m/s。同时，有一股速率10.0m/s的强风从听者吹向声源方向。 如果声源发出频率为440Hz的声音波，那么听者测得的频率是多少？取空 气中声音的速度为340m/s。 A 507Hz B. 509Hz C. 511Hz D 513Hz E 515Hz Solution In the air frame,the listener is moving with speed 10.0 m/s towards the source and the source is moving with speed 40.0 m/s towards the listener.Hence 340+10.0.7 无=340-40.05=6×440=513Hz 3. The latitude of Hong Kong is 22.3N.Assume that the Earth is perfectly spherical with a radius of 6400 km,and has a self-rotational period of 24 hours exactly.A 1.00-kg object on the ground is at rest (i.e.,rotating together with the Earth).What is the magnitude of friction exerted by the ground on it? 香港的纬度为北纬22.3°。假设地球是一个完美球体，半径为6400公里， 并且自转周期正好是24小时。一个质量为1.00公斤的物体静止在地面上 (即与地球一起旋转)。地面施加于该物体上的摩擦力有多大？ A. 0.0036N B. 0.0058N C. 0.0074N D 0.0093N E 0.012N Solution Wsin22.3°+fcos22.3°=mg sin22.3 (mg -N)sin 22.3=f cos 22.3 fsin22.3°+mg cos22.3°-Ncos22.3°=mw2Rcos22.3 fsin22.3°+fcot22.3°cos22.3°=mω2Rcos22.3° f mw2R cos 22.3'sin 22.3 =o2Rcos22.3sin2.3'=0.012N m 4.A 0.10-kg particle is attached to a spring with spring constant k=10 N/m to undergo simple harmonic motion on the x-axis with equilibrium position atx=0. At t=0,the particle is at xo=-0.40 m moving with velocity vo=3.0 m/s.Find its position at t=2.0 s. 一个质量为0.10公斤的粒子连接到弹簧常数k=10N/m的弹簧上’在x 轴上做简谐运动，平衡位置在x=0。当t=0时，该粒子位于x0=-0.40m 处，并以速度vo=3.0ms移动。求其在t=2.0s时的位置。 A. -0.27m B -0.111m C. 0.11m D 0.25m E 0.27m Solution 10 V0.10 10 Ac0sφ=-0.40 -ωAsin中=3.0 AsinΦ=-0.30 tan中=0.75 φ=tan-10.75+π=3.785 A=√0.402+0.302=0.50 x(2.0)=0.50cos(10×2.0+3.785)=0.11m 5.A 1.00-kg mass and a 2.00-kg mass are attached to the two ends of a spring with spring constant k=20.0 N/m.The spring is initially at its natural length and the two masses are given the same initial speed of 3.00 m/s moving away from each other.Find the maximum extension of the spring. 一个1.00公斤的物体和一个2.00公斤的物体分别连接在弹簧的两端，弹簧 的弹性系数k为20.0N。弹簧初始时处于自然长度，两物体以大小同为 3.00/s的初速率朝彼此远离的方向运动。求弹簧的最大伸长量。 A. 0.875m B. 1.10m C. 1.12m D 1.14m E. 1.16m Solution 3.00v=2.00×3.00-1.00×3.00=3.00→v=1.00 1 1 2×3.00×1.002+7ke2=2×3.00×3.02 10.0e2=12.0→e=V1.20=1.10m 6. A transverse wave on a string is moving to the right.The graph below of vx,t) versus coordinatex for a specific time t shows the shape of part of the string at that time.Point 1 is a local maximum and point 4 is a local minimum.At this time,the instantaneous velocity of a particle on the string is upward at 一条绳子上的横波向右移动。下图显示了在特定时间t下(x,)与坐标x的 矣系’表示那时绳子一部分的波形。点1是局部最大值’点4是局部最小 值。在这个时刻，绳子上哪些标示的粒子的瞬时速度为向上？ A. 只1和4 B 只2和6 9 只3和5 D 只1,3和5 E 只2,4和6 7.An object moving on the xy plane is under a force given by F(x,y)=Cyi where C is a constant and i is the unit vector in the positive x directions Consider the square path with side length L and the four corners at(0,0),(L,0). (0,L),and (L,L).The object starts from the origin and moves along a square path to reach the corne1 s in the order(0,0)→(L,0)→(L,L)→(0，L)→(0,0).Find the work done by the force. 在y平面上移动的物体受到的力为 F(x,y)=Cyi 其中C是一个常数，正x方向的单位向量。 考虑一个边长为L的正方形路径，四个角分别位于(0,0)、(L,0)、(0,)和 (L,)。物体从原点开始，沿着正方形路径移动，依次到达角点(0，O)→ (亿，0)→(L,)→(0，L)→(0,0)·求该力所做的功· CL B -CL C 0 D 2CD E -2CL2 Questions 8 and 9 A spring-loaded object of mass m is launched at t=0 with speed u at an angle that makes an angle of 45'with the horizontal.The object would hit the ground again at t=T. However,at t-7/4,the spring releases and the object breaks into two equal-mass pieces, in such a way that one piece will travel backwards along the same trajectory to hit the launcher. 问题8和9 一个质量为m内置弹簧的发射物在t=0时以速率u被发射，发射角与水平方向成 45°。该物体本该在t=T时再次落地。然而，在t=T14时，弹簧释放，物体分裂成 两个相等质量的部分，其中一部分将沿着相同的轨迹向后移动，撞击发射器。 8. What is the energy released by the spring? 弹簧释放的能量是多少？ A. mu2 B 1 u2 c mu2 4 D mu2 E mu2 Solution T usin 45 4 2g 2v2g u =uc0s45°= √2 u 7, usin 45- 5-922g 2V2 u2u2 v5 0 4 2+8= vu 12+22 1m 1 5 5 U二22 3v)2-2mv2=2mv2=2mg42=4mu2 9. What is the distance between the two pieces when the launcher is hit? 当发射器被击中时，两部分之间的距离是多少？ A. 1u2 29 B 1u2 √2g C. V3u2 2g D E 5u2 2g Solution: ①) Direct method T u2 =u40s45= 4g uzsin4sg u2u2 3u2 16g16g u2 u T u2 u u u2,3u2u2 +3 Ag 24=4g + 3V222g4g+4g 2v22v2g 29( 2V2g 3u2,3u2u2u2 =16g+8g-16g2g u2\ V5u2 2g 2g (i) CM method T usin45°u 2 9 ew(=uas45 入 u2 2g =n45-9 T u2u2 u2 2g 4g=4g +》 5u2 d=2 49) -2g (ii) Relative motion method The relative speed is 4v with no relative acceleration. Hence T v5 u v5u2 d=4"4=42V2V2g-29 =2L 10.A solid cylinder with mass M and radius R,rotating with angular speed @o about an axis through its center,is set on a horizontal surface of which the kinetic friction coefficient is u.The initial linear velocity of the cylinder zero.Calculate the distance the cylinder rolls as it moves from where it was set down to where it begins to roll without slipping. 一个质量为M、半径为R、围绕其中心轴以角速度旋转的实心圆柱体被 放置在一个动摩擦系数为：的水平面上。圆柱体的初始线速度为零。计算 圆柱体从放置的位置移动到开始无滑动滚动的位置之间的距离。 A. ωR2 12μk9 B ω6R2 14μk9 C. ωR2 16ukg D ω6R2 18μk9 E ω6R2 204kg Solution f=Ma la=-fR t=(-)R f后+）=wA M t=I+MR2F oR d-a-(+na-（+ WoR2 1M/1Y =2Mg1+2ω5R2= ωR2 18μkg 11.The numbers in this question are exact. In the figure below,masses n and n are connected by a light string 4 over a light,frictionless pulley B.The axle of pulley B is connected by a second light string C over a second light,frictionless pulley D to a mass n3.Pulley D is suspended from the ceiling by an attachment to its axle.The system is released from rest.If m=1 kg,m2=2 kg,m3=3 kg,what is the acceleration of block n? Choose the positive direction to be upward. 此题中之数字皆为精确值。 在下图中，质量和2通过一根轻绳A连接在一个轻的无摩擦滑轮B 上。滑轮B的轴通过第二根轻绳C经过第二个轻的无摩擦滑轮D连接到质 量3。滑轮D以一个连接件固定悬挂在天花板上·系统从静止释放。如果 =1kg’2=2kg’3=3kg,则1的加速度是多少？取向上为正。 D 3 A 1m1 A. g B ag c. 品9 D 品9 Rg T-m2.g m2(a-A) T -g=a-A m2 T -g=-a-A mi T+T-2g=-2A mi m2 T=2 m2(g-A） m1+m2 2T-m3.g m3A 4mim2 (g-A)-mag =maA m1+m2 m3+ 4m1m2 A= m1+m2 4mim2-m3)g m1+m2 (m1+m2)m3+4m1m2)A=(4m1m2-(m1+m2)m3)g 4= 4m1m2-(m1+m2)m3 4m1m2+(m1+m2)m3 T -g=A+2 mi a=A+- m2 (g-A)-9 m1+m2 =(1 2m1 )(A-9) m1+m2 =(1- 2m1_ 4m1m2-(m1+m2)m3 m1+m2/ 4m1m2+(m1+m2)m3 \9 m1-m2 2(m1+m2)m3 m1+m24mm2+(m1+m2)m9 2(m1-m2)m3 =4mm2+(m+m2)m -g 2(m1-m2)m3 Amma (mma)msg -a-A=-4mm2+(om1+m)m9-4m,m2+0m1+m2)m =-2(m1-m2)m3-4m1m2+(0m1+mz)m3 4m1m2+(m1+m2)m3 -4m1m2-m1m3+3m2m3 4m1m2+m1m3+m2m3 Questions 12 and 13 An object on an inclined plane is launched with a speed a and at an angle 0 measured from the upward direction along the plane,as shown in the figure below.The inclination angle of the plane is a,where0°<a<90°and0°<θ<90°-ax.The object will hit the inclined plane at a point located a distance R up the plane. 问题12和13 一个物体在倾斜面上以速率被发射，发射角度从沿着倾斜面向上方向测量为θ， 如下图所示。倾斜面的倾角为，其中0°<<90°且0°<θ<90°-。该物体将 在倾斜面上距离为R的位置碰撞倾斜面· u 12. Find the maximum value of R if a is fixed but 0may vary. 如果固定但θ可变，找到R的最大值。 A. g B (1-sina网 C. u2 -(1-sin a) g cosa D u2 gcosza(1-sina) u2 g cosa 13. Ifa=20°，what is the angleθthat will lead to maximum R? 如果=20°，则θ为何值时R最大？ A. 10 飞=0+9Z uIs -I] 2S036 =uy zn [DuIs-(力+0Z)uIs]- 刀zS006 22 (0+0)s030uIs- 刀zS006 anz (0 s-6s00刀s0)9ums2”zs006 znz 力uIS 力zS036 刀s036 0zuisznz 0 s05 0uisznz 0s03B\ 0S006 刀uIS 62-9s0m -n=& 0uis nz 0 uis nz 力s036 =L 0uis nt 力s00z62-9us.lm=0 0s0z362-0uns1n=6 L Dus7162-0somn=x DS006-=D 力uIS6-=xD uounJoS St I Or q SE ,st a πx 日=42 14.Two ladders,4.00 m and 3.00 m long,are hinged at point A and tied together by a horizontal rope 0.900 m above the floor,as shown in the figure below.The ladders weigh 480 N and 360 N,respectively,and the center of mass of each is at its center.Assume that the floor is frictionless.If an 800-N painter stands at point 4,find the tension in the horizontal rope. 两架梯子，分别长4.00米和3.00米，在A点铰接，并通过一根距地面 0.900米的水平绳子绑在一起，如下图所示。这两架梯子的重量分别为480 N和360N,且每架梯子的质心位于其中点。假设地面是平滑的。如果一个 重800N的油漆工站在A点，求水平绳子的张力。 4.00m 3.00m 0.900m A. 937N B. 1010N c. 1160N D 1250N E 1380N Solution Zero torque on the whole system about the left contact point with the ground: 50Nw=20×am=(am289×480+(600-150sn(am28)》 ×360 4.00 3.00 +4.00×cos (tan-1 ×800 4.00/ =2.00×号×480+(500-150×)×360+400××800 4 =768+1476+2560 NR=960.8N Zero torque on the right ladder about A: 3.00×sin tan-1 .00 4.00 X NR =1.50×sintan1 3.00 4.00 x360+(30xcos(a09)-090jr 300×号×960.8=150×2×360+(300×号-090）T 3 3 3 T=2.00×亏×960.8-5×360=936.96 15. An astronaut inside a spacecraft is orbiting a black hole in circular path at a distance of 120 km from the blackhole.The black hole is 5.00 times the mass of the sun(solar mass=2.00 x 1030 kg)and has a Schwarzschild radius of 15.0 km Since the orbital radius is significantly larger than the Schwarzschild radius,one may assume that Newton's law of gravitation holds.The astronaut is positioned inside the spaceship such that one of her 0.030 kg ears is 6.0 cm farther from the black hole than the center of mass of the spacecraft and the other ear is 6.0 cm closer.What is the tension between her ears?Assume that orbits are circular. (Since her whole body orbits with the same angular velocity,one ear is moving too slowly for the radius of its orbit and the other is moving too fast.Hence her head must exert forces on her ears to keep them in their orbits.) 一名宇航员在宇宙飞船内正在以距黑洞中心120公里的圆形轨道绕黑洞飞 行。该黑洞的质量为太阳质量的5.00倍（太阳质量=2.00×1030kg)，其 史瓦西半径怪为15.0公里。由于轨道半径远大于史瓦西半径，可以假设牛顿 引力定律成立。宇航员的一只质量为0.030kg的耳朵距离黑洞比飞船的质 心远6.0cm,而另一只耳朵则近6.0c。她耳朵之间的张力是多少？。（由 于她的整个身体以相同的角速度绕黑洞旋转，一只耳朵的运动速率对于其轨 道半怪来说太慢，而另一只耳朵的运动速率则太快。因此’她的头必须对她 的耳朵施加力以保持它们在各自的轨道上。) A. 700N B. 1400N C. 2100N D. 2800N E. 3500N Solution GMm m02r= r2 GMm ma26+0）=G+0+7 GMm mw2(-6)=0--T GMm T=ma2(r+6)-+δ2 =marr+6 GMm T(r+6)2 GMmr+8 GMm 727r+62=2084.374N -+月-(-25+…）- =2084.375N