两个计数原理、排列与组合 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦两个计数原理、排列与组合及分组分配问题，依据高考评价体系梳理知识要点，通过表格呈现原理公式及性质，分析排列组合在高考中的高频考点权重，归纳四大常考题型，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2024全国Ⅱ卷I方格表选数问题为例，解析分步乘法原理的应用，培养学生的数学思维。针对分组分配问题，总结“先分组后排列”策略，帮助学生掌握解题技巧，提升得分率，教师可据此高效指导复习。

两个计数原理、排列与组合 N＝m＋n N＝m×n 一定的顺序 所有不同排列 所有不同组合 C B B 16 55 B 24 112 C C AC D C A A BD 1 680 A 15 72 [知识梳理] 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理 名称 完成一件事的策略 完成这件事 共有的方法 分类加法 计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 种不同的方法 分步乘法 计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法 种不同的方法 2.排列与组合 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 3.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示． A C 4．排列数、组合数的公式及性质 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝＝ 性质 0！＝1，A＝n！ [热身训练] 1．一排6个座位坐了两个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ). A．12　　　 B．36 C．72　　　 D．720 2．从5名大学毕业生中选派4名到甲、乙、丙三个地区支援，要求甲地区2名，乙、丙地区各1名，则不同的选派方法种数为( ). A．40　　　 B．60 C．100　　　 D．120 3．将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有( ). A．72种　　　 B．36种 C．64种　　　 D．81种 4．周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为 ． 5．某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“省园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有 种． 【解析】若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有C－C＝55(种). 题型1　两个计数原理的应用 【例1】(1)(2025·广州模拟)为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有( ). A．48种　　　 B．36种 C．24种　　　 D．12种 【解析】由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种，有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种，有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种，有6种选法．根据分步乘法计数原理，共有2×3×6＝36(种)不同的选取方法． (2)(2024·全国Ⅱ卷)在如图10.1­1的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法．在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 图10.1­1 【解析】观察方格中的数可知，选中的四个数的十位数字之和一定是1＋2＋3＋4＝10.若使方格中选中的四个数之和最大，只需个位数字之和最大，最大为5＋3＋3＋1＝12，所以最大值是100＋12＝112. 两个计数原理相关问题的解题思路：(1)弄清完成一件事是做什么；(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3)弄清分步、分类的标准是什么；(4)利用两个计数原理求解． 【变式】(1)(2025·潍坊模拟)从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数的个数是( ). A．30　　　 B．42 C．36　　　 D．35 【解析】因为a＋bi为虚数，所以b≠0，所以b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36(个)虚数． (2)(2025·郑州模拟)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图10.1­2所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有( ). A．1 050种　　　 B．1 260种 C．1 302种　　　 D．1 512种 【解析】由题意可得，只需确定区域1，2，3，4的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择；当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择；当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋1×6)＝1 302(种). 题型2　排列问题 【例2】(1)(多选)若3名男生，4名女生排成一排，则下列说法正确的是( ). A．女生甲、乙相邻的排法共有1 440种 B．男生不能站在一起的排法共有576种 C．男生必须站一起的排法共有720种 D．男生站一起，女生站一起的排法共有144种 (2)某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科).根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课指导一个学科．语文、数学、英语只排在第二节，物理、政治排在同一天，化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为( ). A．36　　　 B．48 C．144　　　 D．288 【解析】先将语文、数学、英语排在第二节，有A＝6(种)排法，将物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有AAA＝8(种)排法，将捆绑后的三个元素排在三天，有A＝6(种)排法，则不同的排课方案的种数为6×8×6＝288. (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)常见排列问题的求法：①相邻问题采用“捆绑法”．②不相邻问题采用“插空法”．③有限制元素采用“优先法”．④特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后用全排列数除以有限制元素的全排列数． 【变式】(1)用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有( )个． A．128　　　 B．256 C．576　　　 D．684 【解析】1与2，3与4，5与6分别捆绑在一起，看作三个元素进行排列，7与8利用插空法，可得AAAAA＝576(个). (2)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有( ). A．1 440种　　　 B．1 360种； C．720种　　　 D．960种 【解析】把甲、乙捆绑在一起，再与剩下的五人一起全排列，所以不同的安排方案共有A×A＝2×1×6×5×4×3×2×1＝1 440(种). 题型3　组合问题 【例3】某校进行体育测试，甲与乙两位同学都要在100 m跑、立定跳远、铅球、引体向上、三级跳远这5项运动中，选出3项进行测试．假定他们对这五项运动没有偏好，则他们选择的结果中至少有两项运动相同的选法种数为( ). A．70　　　 B．50 C．30　　　 D．20 【解析】仅有两项相同的选法有CCC＝60(种)，三项都相同的选法有C＝10(种)，所以至少有两项运动相同的选法种数为60＋10＝70. 组合问题中常见的两类题型 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含有”，则先将这些元素取出，再用另外的元素补足；“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与遗漏．用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类复杂时，考虑用间接法处理． 【变式】(多选)在新高考方案中，选择性考试科目有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门科目中选3门作为选考科目，下列说法正确的有( ). A．若任意选科，则选法总数为C B．若化学必选，则选法总数为CC C．若政治和地理至少选一门，则选法总数为CCC D．若物理必选，化学、生物至少选1门，则选法总数为CC＋1 【解析】若任意选科，则选法总数为CC，故A错误；若化学必选，则选法总数为CC，故B正确；若政治和地理至少选一门，则选法总数为C(CC＋1)，故C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，则选法总数为CC＋1，故D正确． 分组分配问题 计数问题中的分组分配问题一直是排列、组合中的一个重点与难点，是计数原理中的典型问题之一，也是排列、组合综合应用的充分体现．由于分组分配问题的种类繁多、条件各异，涉及完全非均匀分组、整体均匀分组、部分均匀分组以及编号分组等情况，同时又涉及分组后的元素是否有序等问题，因此在解答相应问题时非常容易混淆，导致错误． 角度1　完全非均匀分组 【例1】7人参加志愿者活动，按下列不同方法分组各有多少种不同的分法？ (1)分成3组，各组人数分别为1人、2人、4人； (2)选出5个人分成2组，其中一组2人，另一组3人． 【解析】(1)先从7人中选出1人，有C种，再从剩下的6人中选出2人，有C种，最后剩下的4人为一组，有C种．由分步乘法计数原理得分组方法共有CCC＝105(种). (2)可“选分同步”：先从7人中选出2人，有C种，再从剩下的5人中选出3人，有C种，分组方法共有CC＝210(种).也可“先选后分”：先选出5人，再分为两组，由分步乘法计数原理得分组方法共有CCC＝210(种). 角度2　整体均匀分组 【例2】将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有 种．(用数字作答) 角度3　部分均分组 【例3】(2025·武汉质检)为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为( ). A．1 176　　　 B．2 352 C．1 722　　　 D．1 302 【解析】由题意可知，7名工作人员的分组方式有(1，1，5)，(2，2，3)，(3，3，1)三种情况．把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有·A＝126(种)；把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排方式共有·A＝630(种)；把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式有·A＝420(种).综上，不同的安排方式种数为126＋630＋420＝1 176. 分组分配问题的三种类型及求解策略 类型 求解策略 整体均 分组 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数 部分均 分组 若有m组元素个数相等，则分组时应除以A，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 完全非 均匀分组 先分组后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 【变式】(2024·赤峰高三期中)某单位有4名男员工和3名女员工参加乡村振兴工作，这7人将被派到A，B，C三个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派1人).若只考虑3个乡村的名额分配，则有 种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1名男员工和1名女员工，且男员工甲必须派驻到A乡村，则有 种不同的派驻方式．(用数字填写答案) 【解析】隔板法，将7个名额排成一排，在除去两端的6个空位中选择2个空位插入隔板，共有C＝15(种)分配方式；先将3名女员工分配到3个乡村，有A＝6(种)分法，再将4名男员工分成3组，有＝6(种)分法，将有男性甲的一组分配到A乡村有1种分法，然后将剩余两组分配到其他两个乡村，有A＝2(种)分法，所以共有6×6×1×2＝72(种)分配方式． $