命题大赛 广东云浮高一数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版必修第二册第六章

**基本信息** 原创题占比高，融合赵爽弦图、蜂巢结构、实际测量等情境，考查抽象能力、几何直观与应用意识，适配高一年级阶段检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、投影、解三角形|第8题以赵爽弦图为情境，融合文化与向量运算| |多选题|3/18|基底判定、三角形性质、向量应用|第11题结合蜂巢正六边形，考查投影与取值范围| |填空题|3/15|向量平行、圆内接正方形、测量距离|第14题联系实际测量，体现应用意识| |解答题|5/77|向量化简、解三角形、几何综合|第19题定义伴随向量，融合函数与向量创新应用|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A C B D C A BC BCD ACD 1．D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故. 2．B 【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决. 【详解】由题知，， 所以， 设与夹角为， 所以在上的投影向量是. 3．A 【分析】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 4．C 【分析】首先把用表示出来，然后利用共线定理设，，根据即可求解. 【详解】 在平行四边形中，， 由题意： 因为在上，设， 为边上靠近的四等分点，故，； 为边上靠近点的三等分点，故，， 所以，因此， 又因为三点共线，所以， 解得，所以. 5．B 【分析】已知的夹角及模长可求得，由于，从而得出答案. 【详解】因为向量的夹角为，且，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是. 6．D 【分析】根据三角形面积公式可得，再由余弦定理计算可得，根据正弦定理可知，代入计算即可得出结果. 【详解】根据三角形面积公式可得，即； 由余弦定理可知，可得； 由正弦定理可得. 7．C 【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线平分对角可知为菱形. 【详解】，, 所以四边形为平行四边形， 易知,为沿,方向上的单位向量，即,； 令，,所以，且为等腰三角形，，如下图：A B C D E F 由可得，即, 此时为角的平分线， 由此可得平行四边形是菱形. 8．A 【分析】由，利用二倍角公式可得，然后算出小正方形的边长即可算出面积. 【详解】易知，，由二倍角公式，可得， 在中，，可得， 所以小正方形的面积为. 9．BC 【分析】利用平面向量的共线定理及基底的概念一一判定选项即可. 【详解】易知能作为基底的两个平面向量不能共线， 因为，， 则选项A、D中两个向量均不共线，而B项中，C项中,则B、C正确. 10.BCD 【分析】根据是锐角三角形，得，再根据正弦函数的单调性可得，可得A错误；根据余弦定理角化边，可判断B；根据重心的性质结合向量的线性运算可判断C；对于选项D，将两边平方得可得，从而解出，然后由条件可得，判断出C与外心P在AB的异侧，从而判断出来. 【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，即，故A错误； 对于B，由及余弦定理得 化简得，所以等腰三角形，故B正确； 对于C，因为点是的重心，所以，故C正确； 对于D，因为P是的外心，所以， 由题知，两边平方得 即,即， 所以，则， 又由，得， 因为，则C与外心P在AB的异侧，即C在劣弧上，所以C为钝角，即. 11．ACD 【分析】以为坐标原点，为轴，过点作垂直轴所在直线为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A正确，投影向量为，B错误，，C正确，，D正确，得到答案. 【详解】如图所示：以为坐标原点，为轴，过点作垂直轴所在直线为轴建立直角坐标系， A B F D E C O x y 则， 设， 对选项A：，，，正确； 对选项B：，， ，即投影向量为，正确； 对选项C：， ,， 整理得到，故，正确； 对选项D：根据题意及向量减法的三角形法则可得， 易知与反向共线，所以， 同理可得，， 所以=， 在中，易知,所以， 所以的取值范围是. 正确. 【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键. 12．-/-0.5 【详解】由已知得，， 因为两向量共线，所以，解得． 13． 【详解】以为原点建立如图所示坐标系， 则，设，则， 则， 由题意知，圆的半径为． 因为点在弧（包括端点）上，所以， 所以的取值范围是． 14． 【分析】根据题意利用余弦定理可得，过点作，结合直角三角形运算求解. 【详解】设，则， 在中，因为， 由余弦定理可得：，解得：， 则. 过点作， 由题意可得：， 则， ， 可得，， 则， 所以. 故答案为：. 15.（1） （2） 【分析】（1）根据向量的运算法则计算； （2）用解方程组的思想求解. 【详解】（1） 2分 4分 . 6分 （2）由得， 7分 代入得， 所以， 10分 所以. 13分 16．(1) (2)，此时 【分析】（1）先设,根据坐标求模公式，即可求解. (2) 根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以设， 1分 所以， 3分 解得， 5分 因为与方向相反，，所以，. 7分 （2）由，得， 8分 所以， 因为，，可得， 10分 因为，所以， 12分 当且仅当，时取等号. 13分 所以. 设与夹角为，因为， 14分 所以. 15分 17．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，或余弦定理角化边解决即可； （2）根据题意与面积公式求得， ，结合余弦定理得，由正弦定理得，即可解决. 【详解】（1）解法一： 因为， 由正弦定理得： 1分 所以 3分 因为， 4分 所以，即 5分 因为， 6分 所以． 7分 解法二： 因为， 由余弦定理得： 1分 整理得，即 3分 又由余弦定理得， 4分 所以，即 5分 因为， 6分 所以． 7分 （2）由（1）得， 因为的面积， 所以， 8分 所以， 9分 由于， 所以， 10分 又由余弦定理：， 11分 所以． 12分 所以， 13分 所以由正弦定理得， 14分 所以． 15分 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量基本定理可得答案； （2）方法一：为基底，表达出，得到关于的关系式，求出最值；方法二：利用向量的投影进行求解，得到最值； （3）以为基底，表达出，两边平方后可得，求出答案 【详解】（1）因为，所以. 1分 又是的中点，所以， 3分 从而. 5分 （2）（方法一）因为是线段上的点， 所以. 7分 又，所以 8分 . 10分 由，得，故的取值范围为. 11分 （方法二），分别记在上的射影为. 由向量的投影可知，当运动到点处时，取得最小值， 当运动到点处时，取得最大值. 7分 记的交点为，易得， 8分 则， 则， 10分 则，故的取值范围为. 11分 （3）由题可知， 因为，所以. 12分 又，所以， 13分 则，从而， 14分 ， 15分 则， 16分 则. 17分 19．（1） (2) 函数的对称中心是，； 函数的单调减区间为， (3)不存在 【分析】（1）结合题意可得，因此； （2）结合题意可得，因此求出答案； （2）结合题意可得，设，结合可得，根据、，可得、，然而等号不成立，进而得到，从而求解. 【详解】（1） 2分 因此. 3分 （2）依题意 5分 令， 解得， 6分 因此函数的对称中心是，. 7分 令， 解得， 8分 因此函数的单调减区间为，. 9分 （3）由题意，，设， 10分 因为，， 所以,，， 所以， 11分 由，得， 即， 12分 因为， 所以， 所以， 13分 又，所以， 14分 因为时， ，此时， 等号不成立，所以 16分 所以在函数的图象上不存在一点，使得. 17分 【点睛】关键点睛：本题第（3）问关键在于利用、，得到、，然而等号不成立，进而得到，从而求解. 答案第12页，共13页 答案第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 考察知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示 0.85 2 单选题 5 数量积的坐标表示；坐标计算向量的模；求投影向量 0.8 3 单选题 5 平面向量共线定理证明点共线问题；数学运算能力 0.82 4 单选题 5 向量的线性运算的几何运用；向量加法法则的几何应用；用基底表示向量 0.65 5 单选题 5 数量积的运算律 0.6 6 单选题 5 正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形 0.7 7 单选题 5 平面向量共线定理证明线平行问题；用向量证明线段垂直 0.75 8 单选题 5 数量积的运算；二倍角公式；数学运算能力 0.68 9 多选题 6 基底的概念及辨析 0.78 10 多选题 6 正、余弦定理判断三角形形状；根据向量关系判断三角形的心；数量积的运算律 0.55 11 多选题 6 数量积的坐标表示；求投影向量；向量减法的三角形法则 0.5 12 填空题 5 平面向量线性运算的坐标表示；由向量平行（共线）求参数；逻辑推理能力数学运算能力 0.83 13 填空题 5 向量与几何最值；用定义求向量的数量积；逻辑推理能力数学运算能力 0.62 14 填空题 5 余弦定理解三角形；高度测量问题；求15°等特殊角的余弦；求15°等特殊角的正弦 0.58 15 解答题 13 平面向量的混合运算 0.8 16 解答题 15 已知模求数量积；由向量共线（平行）求参数；已知模求参数；数学运算能力 0.65 17 解答题 15 正、余弦定理解三角形；正、余弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用 0.68 18 解答题 17 平面向量数量积的几何意义；用定义求向量的数量积；用基地表示向量；数量积的运算律；逻辑推理能力数学运算能力 0.55 19 解答题 17 函数新定义：用和、差角的余弦公式求值、化简；三角函数综合；数量积的坐标表示；坐标计算向量的模 0.45 $ 广东云浮高一数学下学期阶段测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （原创）1．已知向量，，若，则=（    ） A． B． C． D． （原创）2．已知，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． （原创）3．已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 （原创）4．如图，在平行四边形中，为边上靠近的四等分点，为边上靠近点的三等分点，且线段交于点.若，，则（    ）A B C D E F P A． B． C． D． （原创）5．已知向量的夹角为，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 6．在中，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． （原创）7．若平面四边形满足：，，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （原创）8．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，设，若,，那么小正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. （原创）9．下列各组向量中，不能作为所有平面向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． （原创）10．中的内角的对边分别为，点是所在平面的任意一点，下列四个命题中正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若，则是等腰三角形 C．若点是的重心，则 D．若是的外心，且，则 （原创）11．蜂巢是大自然的杰作，每个蜂室都是完美的正六边形.图1是蜂巢内部结构图，图2是将蜂巢的一个表面近似抽象为正六边形的几何示意图.已知六边形的边长为2，是边任意一点，则下列结论正确的是（    ）A B F D E C O 图1 图2 A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则 D．的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. （原创）12．已知向量，若与平行，则实数 ______． 13．如图，圆内接边长为1的正方形，是弧（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 14．如图所示，为了测量某座山的山顶到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （原创）15.（1）化简： （2）若，其中是已知向量，则用向量和表示向量， （原创）16．已知向量. (1)若，且向量与向量反向共线，求的坐标； (2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值. 17．在中，设角所对的边长分别为，且． (1)求角； (2)若的面积，，求的值． 18．如图，在长方形中，,是的中点，是线段上的点（含端点）. (1)若，用表示； (2)求的取值范围； (3)延长到点，使得，若，求. （原创）19．根据新定义：函数，其中，则称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数. (1)设函数，试求的伴随向量； (2)记向量的伴随函数为，求函数的对称中心和单调减区间； (2)已知，，函数的伴随向量为，请问函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案第18页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $