精品解析：甘肃兰州亚西亚中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

高二下期中考试数学试题 一､单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是(　　) ①+2+2;②2+2+3+3;③;④. A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 下列求导运算正确的是（ ） A. ，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 在平行六面体中，，．求直线与所成角的余弦值（ ） A. 0 B. C. D. 8. 已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. 设函数，且，则 C. 若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 平行六面体的体积为 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知空间中有三点，则A到直线的距离为__． 13. 已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 14. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，． （1）求的长； （2）求和夹角的余弦值． 16. 已知函数在处的切线与直线平行． （1）求的值： （2）求的极值． 17. 棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 18. 在三棱锥中，，，为中点，平面平面. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 将一个边长为米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒. （1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数； （2）多大时，盒子的容积最大? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下期中考试数学试题 一､单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是(　　) ①+2+2;②2+2+3+3;③;④. A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】无论是平面向量还是空间向量，各向量的和为零向量必定有各向量恰好形成一个回路，即起点与终点重合，也可以运用向量加法法则直接计算． 【详解】①===； ②==； ③=； ④=表示恰好形成一个回路，结果必为； 综上可知答案选C． 【点睛】本题考查了向量的基本运算，关键掌握相应运算的法则，属于基础题． 2. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以切线的斜率为， 故所求切线的方程为，即． 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义，把转化为，利用导数的四则运算求出，代入即可求解. 【详解】由可得，， ． 故选：C 5. 直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论. 【详解】由题意， 选项A，若，共线，，A错误； 选项B，若，垂直，则，B正确； 选项C，若，共线，，C错误； 选项D，若，共线，，D错误. 6. 下列求导运算正确的是（ ） A. ，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据导数的四则运算及复合函数求导法则判断即可． 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 7. 在平行六面体中，，．求直线与所成角的余弦值（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用基底表示，计算. 【详解】设，则，， 因为，， 则， 则，故直线与所成角的余弦值为. 故选：A 8. 已知函数在上的导函数为，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意构造函数，利用导数研究其单调性，根据其解不等式，可得答案. 【详解】令，则，即在上单调递减． 由，得， 则， 得，所以，得， 所以原不等式的解集为. 故选：D. 二､多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. 设函数，且，则 C. 若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的运算规则可判断AC的正误，对于B，求出函数的导数后结合导数值可求自变量的值，对于D，求出函数的导数后利用赋值法可求. 【详解】对于A，，故A错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于B，若，故，故，故B正确； 对于D，，故， 故，故D正确； 故选：BD. 11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 平行六面体的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积． 【详解】因为， 则 ，故，A错误； ，， ，故，B正确； 连接， 则， ， 即，同理，故四边形为矩形， 面积为，C错误； 过作面，在直线上，过作于，连接， 由平面，得平面，平面，得， 故，，， 故平行六面体的体积为，D正确． 故选：BD． 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知空间中有三点，则A到直线的距离为__． 【答案】 【解析】 【分析】应用向量法求点线距离即可. 【详解】由题设，则A到直线的距离. 故答案为： 13. 已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出切线方程，然后利用导数几何的意义求得曲线的切点坐标，即可求解. 【详解】设，则，又，所以， 则切线方程为， 设，则，令，解得， 所以. 故答案为：2 14. 已知函数，若，且，都有，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且，都有， 所以，即， 所以在上单调递增， 又， 所以对所有恒成立， 所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，． （1）求的长； （2）求和夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算，再结合数量积运算，即可求模； （2）利用向量的数量积来求异面直线夹角余弦值即可. 【小问1详解】 由， 因为，，，，， 所以 则， 即； 【小问2详解】 由， 所以, 故和夹角的余弦值为． 16. 已知函数在处的切线与直线平行． （1）求的值： （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值. 【解析】 【分析】（1） 利用导数的几何意义来求参数； （2）利用导数来研究函数单调性，从而求解极值. 【小问1详解】 由题意得：， 因为在处的切线与直线平行， 所以，故. 【小问2详解】 由（1）得：，定义域为， 令，得，则，，的变化情况如下表： 0 单调递增 单调递减 故的极大值为，无极小值. 17. 棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【小问1详解】 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 18. 在三棱锥中，，，为中点，平面平面. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理以及线段垂直平分线的性质证明即可； （2）利用余弦定理、三角形面积公式以及锥体的体积公式计算即可； （3）建立空间直角坐标系，结合几何性质求出相关长度，写出相应点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 因为，点为中点，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又点为中点，所以是线段的垂直平分线，所以. 【小问2详解】 由（1）知，点为中点， 所以，所以. 在中，. 在中，. 又，所以， 所以. 由，，平面，点为中点， 所以三棱锥的体积为： . 【小问3详解】 由平面平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意可知轴所在直线在平面内， 所以， 设，则在平面中，因为，所以为钝角， 过作垂直于的延长线于点，如图所示： 由，所以， 在直角三角形中，， 所以，所以， 设平面的一个法向量为，又， 则， 令，，所以， 设平面的一个法向量为，又， 则， 令，，所以， 设平面与平面所成的夹角为， 所以. 19. 将一个边长为米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒. （1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数； （2）多大时，盒子的容积最大? 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）求出盒子的高与底面积，即可得到盒子的容积； （2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解. 【小问1详解】 如图，易得，，，则盒子的高， 所以盒子的底面积， 所以盒子的容积，. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以，令，解得，（舍去）， 所以当时，则单调递增， 当时，则单调递减， 所以当时取得极大值，即最大值， 所以当米时，盒子的容积最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $