上海市杨浦区复旦大学附属中学2026届高三下学期5月数学限时模拟数学试题

2026届复旦大学附属中学高考5月限时模拟 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1. 本试卷的选择题均为单选题 1. 解答题需要写出必要的计算说明过程 1. 试卷共6页，请作答在答题纸上 1. 请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1．已知集合，则A∩B= ． 2．若直线的一个法向量为，则实数的值为 ． 3．若复数Z满足：，则 ． 4．不等式的解集为 ． 5．设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为 ． 6．一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等差数列，则这个正实数是 ． 7．已知函数在上有两个最值点，则的取值范围为 ． 8．已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为 ． 9．已知在中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为 ． 10．学生的考试成绩往往与上一门考试的情况有直接联系，某校分析了学生的考试情况，用频率估计概率，得到：学生第一门考好后，下一门考好与考差的概率都是，从第三门考试起，若前一门考差，则这一门出现考差、考好的概率分别为，若前一门出现考好，则这一门出现考差、考好的概率分别为，记则该校学生某次考试第五门考差的平均概率为__________．（精确到0.001） 11．在以点为圆心，2为半径的圆上任取一点，若的取值与无关，则实数的取值范围为 ． 12．已知函数有两个极值点，则的最小值为 ． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13．对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（ ） A．64 B．128 C．144 D．256 15．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（ ） A．32 B．48 C．64 D．82 16．对于若函数在其定义域内恒成立，则称为，则（ ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性 A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17．（本题共14分，每小问均为7分） 如图，在正三棱台中，，，点为的重心． （1）求证：． （2）求：直线与平面所成角的大小． 18．（本大题共14人，（1）小问3分，（2）小问5分，（3）小问6分） 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大．为了解教师对AI大模型使用情况，现从用分层随机抽样的方法在上海随机抽取了200名教师，对使用元宝、通义千问、豆包、文心一言四种国产AI大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用元宝、通义千问、豆包、文心一言的AI大模型人次如下： 大模型种类 元宝 通义千问 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． （1）已知上海约有20000名教师，则其中男性教师约有________人，其中使用4种AI大模型的种数与人数________近似满足正态分布（选填“是”或“否”），下列最不适合用于分析上述表格数据的是（ ） A．茎叶图 B．散点图 C．频率分布直方图 D．扇形图 （2）从上海教师中随机选取一人，记事件A为选取的为男教师，事件B为选取的教师仅会使用2种模型，求：，并判断事件和事件B是否独立； （3）从上海使用3种AI大模型（元宝、通义千问、豆包、文心一言中的3种）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有X人，求：X的分布，及其数学期望，方差． 19．（本题共14分，每小问均为7分） 如图，在平面上以三边为边分别向外作三个正三角形，记这三个正三角形的中心分别为． （1）求证：为正三角形； （2）若，求：周长的取值范围． 20．（本题共18分，每小问均为6分） 已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． （1）求：椭圆的标准方程； （2）若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； （3）记直线与直线的交点为，求：的最小值． 21．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问6分，（3）小问8分） 定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． （1）试判断是否为“等比函数”并说明理由． （2）求证：任意二次函数都不是“等比函数”． （3）若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 第 1 页 共 2 页 复旦大学附属中学 2026届 高三5月限时模拟 数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2026届复旦大学附属中学高考5月限时模拟 题号 题目满分 知识点 能力水平 得分率 1 4 集合与逻辑 识记 2 4 直线的法向量 识记 3 4 复数 识记 4 4 解不等式 识记 5 4 二项式定理 识记 6 4 等差数列 理解 7 5 三角函数w含参问题 函数的最值 理解 8 5 抛物线 定义法求轨迹方程 理解 9 5 平面向量 应用 10 5 条件概率 全概率公式 等比数列 应用 11 5 直线与圆的位置关系 应用 12 5 导数 韦达定理 函数的极值 应用 13 4 双曲线 对数函数 常用逻辑用语 识记 14 4 导数 常见几何体的体积 理解 15 5 排列组合的应用 染色问题 应用 16 5 导数 函数的奇偶性与周期性 指数函数 综合 17（1） 7 立体几何的证明 理解 17（2） 7 空间向量的应用 理解 18（1） 3 分层随机抽样 正态分布 常见统计图表 理解 18（2） 5 条件概率 事件的独立性 应用 19（3） 6 二项分布的分布 期望 方差 理解 19（1） 7 正弦定理 余弦定理 解三角形 应用 19（2） 7 余弦定理 函数的单调性 应用 20（1） 6 椭圆 排列数，组合数的性质 理解 20（2） 6 椭圆中的最值问题 应用 20（3） 6 定直线问题 应用 21（1） 4 导数，切线方程 理解 21（2） 6 二次函数 等差数列 等比数列 常数列 反证法 应用 21（3） 8 幂函数 函数的定义域 指数的计算 基本不等式 综合 $2026届复旦大学附属中学5月高考限时模拟数学参考答案及评分标准 参考答案： 填空题(112题) 1.[0,3) 2. 23 3.5 4.(o∞，-1]U{1} 5.-20 6. 3 448 7.03u33 (提示：最值点的y值不一定为2) 8. x2=8y (y≥0) x=0 (y<0) 9.、25 4 10.0.474 《是示构造等比藏列P,一吕 11.（-00,-27] 12.-1 选择题(1316题) 13.C 14.D 2 2X2=32 3红一4怀2x=6 2红2 4红/佳 4x(x-xlx2=/6 3孩迹. 32b=8 16X032. 15.D 2b2+8=82 16.A 解答题(17~21题) 17. 山)如图，延长40交8C于点”，取8C的中点，连 HH AH 和 C H H B 点O为△ABC的重心，△ABC为正三角形， ∴点H为BC的中点，BC⊥AH, 又”点H为8G的中点，侧面 BCC B 是等腰梯形， .BC⊥HH :AH∩H,=HAH,孤，C平面4HH,A,BC上平面 AHH A 平面 AOC H,A401BC.(7分) 「平面 (2)法1： ZA A C A B A H M 如图，以点H为坐标原点建立空间直角坐标系. 则35,0.0，B(0,30),c0,-3,0) 在梯 AHH,A中，作 4W上交H于点M,作N上交于点， 由正三角形的性质可将4从一百，H=3N5,由匀股定理得州，5， AA2-AM2 HH2 HIN2,AM HN=AH-AH 由 9-AM2=27-HN 4 AM+HN=3 M=V5,W=,由勾股定理得 可得 2 HN=6 B=(3w5,30,Bc=(0,60, 设平面8CCB的法向量为 i=(x,y,z) -6y=0 h丽6阳9-医-0.令则-25y-0 iBC=0 ∴i=(22,0,-1 设直线1B与平面 BCC B 所成角的大小为8 ..sine=LAB-n6 ABn 3' :.直线AB与平面BCCB所成角的大小为arcsin 6 3 法2： A C H Bi B 如图，过点1作4 作471交于点了，连接B即 :BC上平面 AHH A,BC BCC B 平面 ∴.平面 CCB⊥AHH,A 平面 又平面 BCCB门AHH,=H班，ATC平面 AHH,AAT⊥HH 平面 AT上平面 CCB BCCB ·∠ABT是直线MB与平面C 所成角. 在梯形 ,A中，作4M上MH交于点M,作NL交AH于点N, 由正三角形的性质可得4以弓5，AH=5,由匀股定莲得H,5。 由科-4M=-N,AM+N=h-AH 9-AM2=22-HN2 4 w+w=6 可得 M=V5,Hw=5, 2 1 所以as∠HH-方，所以 2W2 ,sin∠AHH1= 3 .AT=AH.sin∠AHH,=2√6 sin∠ABT=AT=V6 6 在Rt△ABT中， AB3,即直线AB与平面BCCB所成角的正弦值为3， :直线AB与平面BCCB所成角的大小为arcsin VG 3 法3： B A-- B 如图，补形为正三棱锥P-ABC. BCC B 设点A到平面 BCCB 的距离为，直线1B与平面 所成角为 VA-PBC =Vp-ARC 由4B=6,M=A8=3,知5ac=5,d=P0, 由勾股定理得 0=26,即d=26, sino=dv6 6 AB3,即直线AB与平面BCCB所成角的正弦值为3.(7分) :直线AB与平面BCCB所成角的大小为arcsin- 6 3 18.(1)8000(1分)否(1分)（不是连续分布）A(1分) 巴由设可%叫@)--P)-品.P0=+2”6+0号 200 (3分) 23 a小智婴器a分 5 因为P(4P(B)=0P(4),故AB不维立：(1分) 303 (3)从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为404， 由题设X可取0L2.3且X-B6,寻，（2分) Px-0-c日4.Px-=0-c94. P(X=2-c-品.Px==c9器， 0 12 3 X 故的分布如下： 1 9 27 27 (2分) 64 6464 64 故E[X]=3×3=9 44 1分，DX=3×径x1--0 41 1分) OB,OC,O2A,OC,OA,O;B BC=a,AC=b,AB=c 19.(1)连接 ，设 0,02,03 A,BC,△AB,C,AABC 分别是正三角形 的中心， ∴.∠O,BA=∠O3AB=∠O,BC=∠O,CB=∠O2AC=∠0，CB=30° 在△0，B0中，lo0=0,+l0,-2l08l0,cos(60+B) 3 3a. 32 302+c 1 3 3ac.cosB+3 3 ac-sin B. =2accos B.accosB 2 aa-e+e.t“g）25raa )2. 同理，o0f=oof-名e2+8+c)+号5s. 00,=0,0=00,即00,0为正三角形.(7分) (2)在0c0中，l00,°=oc+o,c-2l0C-lo,ccos∠0，c0 c-200=.又：8a4=5lo0=2. 由余弦理得：女+甘-2。号6加-4 33 °3，即a2+b2+ab=12,① 在△4CB中，由余弦定理得：a2+b-ab=c2,② 由①得： 2,故0+b=Vab+12 (a+b)2-ab=12 由①，②得 c=12-2ab,故0=12-2a6 ..1=a+b+c=ab+12+12-2ab (a-b)2+3ab=12,0<ab≤4 又由②得： 设=ab,则/-f0=f+12+i2-2z,0<t≤4 =f0在0，利上单调递减.任取 ,62∈(0,4]，4<52 下面证明 f(%)-f(6,)=V+12+V12-24-V+12-V12-24, “正ti阳 4>02-24<2+4<22+4,同理，2-26<22+6】 2 V12+4+V12+42V12-24+V12-22 (0∴f(G)》f(6) 故6≤1<45.即△M8C的周长取值范国为6,45).(7分) 20. (1) x2 +y=1(4分) 2)t2号 (6分) 3) 是(8分) 提示：M在定直线y=之上 21.(1)是，存在x1=1,X2=2,X3=4满足条件(4分) (2)提示：推出X1,X2,X3既等差又等比，即常数列，但X1,X2,X3互不相等的矛盾(6分) (3)a=1,提示：幂函数，定义域为R且可导；算术-平均不等式(8分) (第三问易发生的思维漏洞：若a为[0,1]范围内的分数，会使得x0处不可导)2026届复旦大学附属中学5月高考限时模拟 数 学·答题卡 姓名： 学校： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20． （18分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21． （18分） （1） （2） （3） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $