构造法求数列通项公式 课件-2027届高三数学一轮复习

构造法求数列通项公式 1 【例1】　求下列数列的通项公式. (1)a1=,an=4an-1+1(n≥2); 类型一 形如an+1=pan+f(n) 设an+λ=4(an-1+λ),整理得an=4an-1+3λ,由对应项的系数相等,可得λ=,从而原式可变形为an+=4.又a1+=+=,所以数列为首项,4为公比的等比数列,则an+=·4n-1,即an=·4n-1-(n∈N*). 解 (2)a1=,an=4an-1+3n+1(n≥2); 设an+λn+μ=4[an-1+λ(n-1)+μ],整理得an=4an-1+3λn+3μ-4λ.由对应项的系数相等,可得λ=1,μ=,从而原式可变形为an+n+=4.又a1+1+=+1+=,所以数列为首项,4为公比的等比数列,所以an+n+=·4n-1,即an=·4n-1-n-(n∈N*). 解 (3)a1=,an=4an-1+4n(n≥2). 将an=4an-1+4n两边同时除以4n,可得=+1,即-=1,又=,则数列为首项,1为公差的等差数列,所以=+n-1,整理可得an=·4n(n∈N*). 解 形式 构造方法 an+1=pan+q (p≠0,1,q≠0) 引入参数λ,构造新的等比数列{an+λ} an+1=pan+qn+c (p≠0,1,q≠0) 引入参数λ,μ,构造新的等比数列{an+λn+μ} an+1=pan+qn (p≠0,1,q≠0,1) 两边同时除以qn+1,构造新的数列 【训练1】　(1)数列{an}满足an=4+3(n≥2)且a1=0,则a2 026=(　　) A.22 025-1 B.42 025-1 C.22 025+1 D.42 025+1 因为an=4an-1+3(n≥2),所以an+1=4(an-1+1)(n≥2),所以{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列,则an+1=4n-1.所以an=4n-1-1,所以a2 026=42 025 -1. 解析 (2)在数列{an}中,a1=3,且an+1=3an+4n-6(n∈N*),则{an}的通项公式为_____________. 解法一:设an+1+p(n+1)+q=3(an+pn+q),即an+1=3an+2pn+2q-p,与原式相比较,对应项系数相等得首项a1+2-2=3,所以数列{an+2n-2}是首项为3,公比为3的等比数列,故an+2n-2=3×3n-1=3n,故an=3n-2(n-1). 解析 an=3n-2(n-1) 解法二:因为an+1=3an+4n-6(n∈N*),所以an+1+2n=3an+4n-6+2n=3[an+ 2(n-1)],因为a1=3,所以a1+2×(1-1)=3,所以{an+2(n-1)}是首项为3,公比为3的等比数列,则an+2(n-1)=3×3n-1=3n,所以an=3n-2(n-1). 解析 (3)已知数列{an}满足a1=2,an+1-2an=2n+1,则数列{an}的通项公式为_______________. 由an+1-2an=2n+1 得-=1,又=1,故是首项为1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,所以an=n·2n. 解析 an=n·2n 类型二 相邻三项的数列(形如an+1=pan+qan-1)型 【例2】　已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*), 则数列{an}的通项公式an=_____________. 解法一:因为an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),设bn=an+1+an,所以===3,又因为b1=a2+a1=3,所以{bn}是首项为3,公比为3的等比数列.所以bn=an+1+an=3×3n-1=3n,从而+=, 解析 不妨令cn=,即cn+1+cn=,故cn+1-=-,即=-,又因为c1-=-=,所以数列,公比为-的等比数列,故cn-=×=-,从而an=. 解法二:因为方程x2=2x+3的两根为-1,3,可设an=c1·(-1)n-1+c2·3n-1,由a1=1,a2=2,解得c1=,c2=,所以an=. 解析 形如an+1=pan+qan-1(其中p,q为常数,且pq≠0,n≥2). 第❶步:将递推公式改写成an+1+san=t(an+san-1). 第❷步:利用待定系数法,求出s,t的值. 第❸步:求数列{an+1+san}的通项公式. 第❹步:根据数列{an+1+san}的通项公式,求出数列{an}的通项公式. 【训练2】　在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an=__________. 由题意,知an+2-an+1=2(an+1-an),因为a2-a1=2,所以{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,an+1-an=2n,当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+ (a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.显然n=1时满足上式,所以an=2n-1. 解析 2n-1 类型三 倒数为特殊数列(形如an+1=)型 【例3】　在数列{bn}中,b1=-1,bn+1=,n∈N*,则通项公式bn=(　　) A. B. C. D. 递推式bn+1=两边同时取倒数,得=,即=2·+3,因此+3=2,又+3=2,故是以2为首项,2为公比的等比数列,所以+3=2n,可得bn=. 解析 形如an+1=(其中p,q,r均不为0). 第❶步:将递推公式两边取倒数,得=+. 第❷步:利用待定系数法,求出数列的通项公式. 第❸步:求出数列{an}的通项公式. 【训练3】　已知在数列{an}中,a1=1且an+1=(n∈N*),则a13=(　　) A. B. C. D. 由题意得an>0,由an+1=,得==+,又=1,所以数列是以1为首项,为公差的等差数列,所以=1+(n-1)=,所以an=,n∈N*,所以a13==. 解析 $