专题08 圆的综合（8大考点45题）（上海专用）2026年中考数学二模分类汇编

专题08 圆的综合（8大考点45题） 8大考点概览 考点01圆的基本认识 考点02点、直线和圆的位置关系 考点03垂径定理的推论 考点04圆心角 考点05垂径定理 考点06正多边形和圆 考点07圆周角 考点08点、直线和圆的位置关系 圆的基本认识 考点1 1．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 2．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、和．将绕点B逆时针旋转后得到，其中点的对应点是，点的对应点是．下列说法中错误的是（    ） A．是直角三角形 B．点的坐标是 C．点C与点关于y轴对称 D．点在以点为圆心，为半径的圆上 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理可判断A选项；过点作轴于点D，根据旋转的性质可得，，，可判断D；再证明，可得点，可判断B选项；同理点，可判断C选项． 【详解】解：∵点、和， ∴，，，， ∴， ∴是直角三角形，且，故A选项正确，不符合题意； 如图，过点作轴于点D， 由旋转的性质得：，，，故D选项正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点，故B选项错误，符合题意； 同理点， ∴点C与点关于y轴对称，故C选项正确，不符合题意． 点、直线和圆的位置关系 考点2 一、单选题 3．（2026·上海闵行·二模）如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t，表示出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t， ∴ 当扇面张开的角度为时，扇面面积 ∴ ∴与成正比例关系， ∴与关系的大致图像是： ． 二、填空题 4．（2026·上海虹口·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 【答案】 【分析】根据正多边形内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为， 设正六边形的边长为， ∴ ， 解得． 则正六边形的边长为3． 三、解答题 5．（2026·上海普陀·二模）扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． (1)已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； (2)连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】本题是圆和三角形综合题，考查了扇形面积和弧长公式，勾股定理应用，解三角形，等腰三角形性质，平行线分线段成比例等知识点． （1）根据的长与的长相等和扇形弧长公式，求出，再利用扇形面积公式求解． （2）①记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接，关键是表示出各边的长，再利用勾股定理求解；②记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H，这样就构造出等腰直角三角形和直角三角形，解三角形可求得，再利用等腰三角形求出，根据平行线分线段成比例知． 【详解】（1）解：由题可知， ， ， ， ， ， 解得，故， ∴ ． （2）①如图，记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接， 由对称性可知P是中点，由是等腰直角三角形，， 且， 再由对称性可知， 同样是等腰直角三角形，，， ， ， Q是中点也是中点， 由已知得， ， ， 且， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得或， 由题可知， 故 ． ②如图，记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H， 由于所在的圆与所在的圆内切于点F， ， 由①知， ， ， ， ， ， ，再由知是等腰直角三角形， ， ， ， ， 由是等腰三角形， ， ． 垂径定理的推论 考点3 一、单选题 6．（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【答案】A 【分析】根据垂径定理及其推论求解即可． 【详解】解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题； 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题， 综上，①是真命题，②是假命题． 二、解答题 7．（2026·上海松江·二模）已知是半圆的直径，弦、交于点，与交于点，满足． (1)求证：； (2)如图2，是的中点，与交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，得到，继而可证明，再由垂径定理的推论即可证明； （2）先证明，则，故，那么得到，由（1）知，，则，那么，即可得到四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明菱形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵经过圆心， ∴； （2）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形． 8．（2026·上海金山·二模）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、． (1)求证：； (2)联结、，若四边形为梯形，求四边形的面积； (3)直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由垂径定理的推论得到，再由，即可证明； （2）可证明当四边形为梯形时，只能是，可证明是等边三角形，是等边三角形；根据，只需要求出和的面积即可； （3）分两种情况：点F在点E右侧和点F在点E左侧，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，且与都有交点， ∴与都有交点， 又∵与有交点， ∴当四边形为梯形时，只能是， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，， 又∵， ∴是等边三角形； 如图所示，过点C作于点K， ∵，且是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （3）解：如图所示，当点F在点E右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时只存在这种情况， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点F在点E左侧时，∵， ∴， ∴， ∴此时只存在这种情况， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，在上取一点M，连接使得，过点D作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 综上所述，的长为或． 9．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）已知：如图，是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），点D是弧的中点，过点D作，垂足为点F，连接与交于点E． (1)求证：； (2)连接并延长与弦的延长线交于点G，联结．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先由垂径定理的推论结合三角形中位线定理得到，然后证明即可； （2）连接，先由三角形的中位线定理证明，然后证明，得到，即可证明四边形是平行四边形，再由证明即可． 【详解】（1）证明：∵点D是弧的中点，是半径， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴； （2）证明：连接 ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴， ∴四边形是矩形． 圆心角 考点4 一、单选题 10．（2026·上海松江·二模）如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点分别作，，垂足为点，延长交于点F，则，那么平分，再由等腰三角形的性质得到，而由勾股定理可得，那么，再找到外切和内切时的临界位置，根据勾股定理建立方程求解即可得到的取值范围． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点，延长交于点F， ∵在边、上截得的弦长相等， ∴， ∴平分 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 当与外切时，连接，设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； 当与内切时，连接， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； ∴与相交时，， ∴B符合题意． 二、解答题 11．（2026·上海徐汇·二模）如图，已知、为的两条弦，，连接、并延长交弦于点、，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，先证明，则，然后根据等边对等角以及三角形内角和定理证明，即可证明平行； （2）先证明，再证明即可． 【详解】（1）证明：连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴． 12．（2026·上海闵行·二模）已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，连接交弦于点、交弦于点，且，连接、． (1)如图①，求证：四边形是等腰梯形； (2)点在直径上（不与、重合），连接交于点． Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值； Ⅱ．连接，半圆的半径为1，．当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)Ⅰ．；Ⅱ． 【分析】（1）根据，证明，则点为的中点，再根据点为的中点，可得，则，，，即可得证； （2）Ⅰ．设，则，．，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可求解；Ⅱ．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求出的长． 【详解】（1）解：为半圆的直径， ． ． ， ． ． ． 点为的中点， ． ． ，，． ，． 四边形是等腰梯形． （2）解：Ⅰ．设， 为的中点， ． ． ． ，， ． ， ∴四边形是平行四边形． ． ， ． ． ． Ⅱ．如图，当时， 设，则， 由（1）可得四边形是平行四边形， ，． ，， ． , ． ． ， ，． ． ． ． ． ． ，解得（舍），． ． 如图，当时， ，， ． ， ． 此时点与点重合，此种情况不存在． 当时， ， ∴此种情况不存在． 综上所述，． 13．（2026·上海黄浦·二模）如图，圆心O是一处激光光源，照射在圆O的弦所在的挡板上，且，现在弦上两个位置M、N处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧上的两个亮点C、D恰好能将弧三等分． (1)求证：； (2)试说明：点M、N不是弦的两个三等分点； (3)假设弦上的开缝位置P、Q恰好是弦的两个三等分点，试画出新的激光光源S的位置，使得激光束通过缝隙P、Q后最终照射在弧上的两个亮点恰好是C、D，并求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先说明，如图：取的中点E，连接，进而说明平分，利用等腰三角形的性质可得，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证明结论； （2）先根据已知条件说明，如图：过点M作于点F， 过点M作于点I，则四边形是矩形，，，，，进而得到；设，则，，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得，，则，易得，即点M不是的三等分点；同理：点N不是的三等分点，从而证明结论； （3）如图：连接，运用等腰三角形的性质以及相关已知条件可得，即；设，则，利用可得；如图：取的中点E，则，易得，，；如图：连接并延长交于S，由对称性可知点S在的垂直平分线上，同时也在的垂直平分线上，连接延长交、于G，H，然后求得、；连接，过C作，则，，设，则，证明，可求得，利用三角函数可得，即，进而完成解答． 【详解】（1）证明： ∵点C、D恰好将三等分， ∴， ∴， 如图：取的中点E，连接， ∵， ∴，, ∵， ∴, ∴ ∴平分． 在中，，平分． ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵点C、D恰好将三等分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，同理可得：， ∴， 如图：过点M作于点F， 过点M作于点I，则四边形是矩形，，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即点M不是的三等分点， 同理：点N不是的三等分点， ∴点M、N不是弦的两个三等分点． （3）解：如图：连接， ∵点C、D恰好将三等分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，同理可得：， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 设，则， 由（2）解答过程可知：， ∴，解得：， 如图：取的中点E，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即； 如图：连接并延长交于S，由对称性可知点S在的垂直平分线上，同时也在的垂直平分线上，连接延长交、于G，H， ∴，， ∵P、Q恰好是弦的两个三等分点，， ∴， ∴， 如图：连接，过C作，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2026·上海徐汇·二模）如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”．垂径定理 考点5 (1)如图1，是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； (2)如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点作于点，设，则，根据正切的定义，得出，进而求得，在中，勾股定理建立方程，即可求解； （2）作的垂直平分线交于点，在的垂直平分线上截取，过点作交于点，则是以为“半底”的“半高底”三角形． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 依题意 设，则 ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ （2）解：如图所示，作的垂直平分线交于点，在的垂直平分线上截取，过点作交于点，则点，即为所求 15．（2026·上海崇明·二模）如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案； （2）证明，得到，求出，，即可求得答案． 【详解】（1）解：点为的中点， ，， 设，则， ， ， 解得， 的半径为； （2）解：如图，由（1）得，，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中，， , ． 16．（2026·上海金山·二模）如图，在中，弦的长为，，令． (1)用含和的代数式表示的半径； (2)过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过圆心作弦的垂线，平分弦且构造直角三角形，结合三角函数把半径用弦长d和的三角函数表示； （2）先由得出,的比，再利用直角三角形边角关系设边长、求线段比，最终得到值． 【详解】（1）解：如图，作于， 则， ， ， 的半径为； （2）解：如图： ， ， ∴设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．（2026·上海静安·二模）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． (1)求该弓形所在圆的半径； (2)求的长． 【答案】(1)25m (2)13m 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，找出圆心正确作出辅助线是解题关键． （1）取圆心，连接，，由垂径定理得，设半径为，在中利用勾股定理列方程即可； （2）连接，设，则，由垂径定理得，再由矩形性质得，，，最后在中利用勾股定理列方程即可． 【详解】（1）解：取圆心，连接，， ∵是弓形的高， ∴是的中点，且，圆心在直线上． ∴（米）， 设， 则， 在中， ， ∴， ∴， ∴该弓形所在圆的半径为25m． （2）解：连接， 由（1）得，， 设， 则， ∵是弓形的高， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ， （舍去），， ∴ ． 正多边形和圆 考点6 一、单选题 18．（2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（   ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】C 【分析】先根据正多边形中心角和为求出正多边形边数，再结合正多边形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵该正多边形的中心角为， ∴边数， ∴该多边形为正六边形． A、边数为，结论正确，故选项不符合题意； B、正六边形每个外角为，结论正确，故选项不符合题意； C、∵正六边形可被中心与顶点的连线分为个全等的等边三角形，正多边形的半径为等边三角形的边长， ∴正六边形的边长等于半径，边长与半径的比为，结论错误，故选项符合题意； D、正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，结论正确，故选项不符合题意． 19．（2026·上海奉贤·二模）如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（  ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】设正多边形的边数为，计算出正多边形内角和中心角，根据数量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵正边形的中心角总和为， ∴每个中心角为， ∵正边形的内角和为， ∴每个内角为， 根据题意得， 解得， ∴这个正多边形是正八边形． 二、填空题 20．（2026·上海浦东新·二模）如图，已知弦、在圆心的同侧，且是内接正三角形的一条边，是内接正六边形的一条边，．如果也是的内接正边形的一条边，那么的值为________． 【答案】12 【分析】连接，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正六边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接，如图， ∵，分别为⊙O的内接正六边形与内接正三角形的一边， ∴，， ∴， ∴， 即恰好是同圆内接一个正十二边形的一边． 故答案为：12． 21．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知正八边形的中心是点，连接，，，点是的重心，如果，那么线段的长等于________． 【答案】 【分析】利用正八边形的性质，确定顶点共圆与各点位置关系，确定为等腰直角三角形，再结合勾股定理以及三角形重心的性质计算的长度． 【详解】解：如图所示， ∵正八边形的中心为点， ∴正八边形所有顶点都在以为圆心的同一个圆上， 正八边形的中心角为，顶点之间各间隔1条边，相邻两点对的中心角为，且三点共线，是中点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴． 22．（2026·上海黄浦·二模）已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是______． 【答案】 【分析】设公共弦，半径为，半径为，根据是内接正方形的边，得出是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据是内接正六边形的边，得出是等边三角形，则，即可求解； 【详解】解：设公共弦，半径为，半径为， ∵是内接正方形的边，正方形中心角为， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ，即，解得， ∵是内接正六边形的边，正六边形中心角为， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 23．（2026·上海青浦·二模）定义：如果一个圆的圆心与一个正多边形的中心重合，那么称该正多边形为这个圆的同心正多边形．已知一个圆的半径为1，该圆的同心正六边形的边长为．设点在圆上，点在正六边形的边上，那么、两点之间的最小距离为__________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，先解求出，再由求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点 由题意得，正六边形的中心角为 ∵ ∴为等边三角形， ∴, ∴， ∴， ∴的最小值为，当点 在线段上，且点Q与点R重合时，取得最小值， ∴、两点之间的最小距离为． 24．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是正______边形． 【答案】五 【分析】利用正多边形所有中心角的和为，且各中心角相等，计算得到多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴这个多边形的边数为， 故这个多边形是正五边形． 25．（2026·上海闵行·二模）已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 【答案】 【分析】先根据正多边形内角和与外角和的关系求出边数，再将正多边形分解为若干个全等的等腰三角形，通过计算单个等腰三角形面积，求和得到正多边形的面积． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意得， 解得， ∴该正多边形为正八边形，如图正八边形，连接，，，交于点O，过点A作于I， ∵半径为2 ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴正八边形的面积． 26．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，已知的直径为，翻折劣弧使其与直径交于点，如果，那么折痕的长为______．圆周角 考点7 【答案】 【分析】作交于点，连接延长交的延长线于点，连接，与交于点，根据对称的性质分别证明，，推出，再根据四点共圆推出，证明，进而可得，由对称性质再得，解得，最后由勾股定理求即可． 【详解】解：如图所示，作交于点，连接延长交的延长线于点，连接，与交于点， ∵折叠，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵为直径， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵由圆内接四边形性质可知， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∵在中，，， ∴根据勾股定理：BC． 27．（2026·上海虹口·二模）如图，在矩形中，，，经过点、和边上的点，如果的半径是5，那么的长是______． 【答案】5 【分析】根据矩形的性质得出，，利用的圆周角所对的弦是直径可得为直径，在中利用勾股定理求出的长，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， 如图：连接， ∵， ∴是的直径，即， ∴， ∴． 28．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中直径最小的覆盖圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，线段的覆盖圆有无数个，其中以为直径的是其最小覆盖圆．已知在矩形中，，，那么矩形的最小覆盖圆的半径为______． 【答案】/ 【分析】由题意可得能够覆盖矩形且直径最小的圆，其直径等于矩形对角线的长度，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵直径最小的覆盖圆称为该平面图形的最小覆盖圆，且矩形中距离最远的两个点是对角线的两个端点， ∴能够覆盖矩形且直径最小的圆，其直径等于矩形对角线的长度， ∵矩形对角线的长度为， ∴矩形的最小覆盖圆的半径为． 点、直线和圆的位置关系 考点8 一、单选题 29．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 30．（2026·上海徐汇·二模）如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先证点O在的角平分线上，再求出与外切时的半径，进而可得半径的取值范围． 【详解】解：标记与边、的切点为E，H， 则，， 在与中，， ， ， 即点O在的角平分线上， 作，与外切，切点为M，N，且与边、均相切，与的切点为点D，与的切点为点F， 同理可得，点与在的角平分线上， 设的半径为r， ， ，， ， ， 解得， 同理可得的半径为3， 与相交， ， 当时，与重合，不合题意， 观察四个选项可知，的半径长可以是2． 故选B． 31．（2026·上海金山·二模）已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】本题先根据半径比设参数，利用两圆内切的性质求出两圆半径，再比较圆心距与两圆半径和、差的大小，判断两圆位置关系，用到两圆位置关系与圆心距、半径的关系知识点． 【详解】解：由于两圆的半径长之比为， 设两圆半径分别为 厘米， 厘米，其中 ， 当两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差，且内切时圆心距为 9 厘米， ， 解得， 厘米、厘米， 厘米、厘米， 圆心距为厘米，满足， 此时两圆位置关系为相交． 32．（2026·上海青浦·二模）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用矩形性质和勾股定理求出对角线的长度，再通过相似三角形得到圆心O到的距离与的关系，结合圆与线段有两个公共点的条件，推导得到的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴ 过点作于 ∵， ∴ ∴ ∴， 即， 整理得 ∵半径为，且与边（线段）有两个公共点 ∴需满足两个条件：①直线与相交，②端点在外（或圆上）． ①直线与相交，即圆心到的距离小于半径则， ∴， 解得 ②端点在外（或圆上），则 综上，． 33．（2026·上海崇明·二模）在中，，，，点是边上一点，若以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的相交，且点在的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由勾股定理求出斜边的长度，设，分别根据点在内部、与相交的条件列出不等式，联立求解得到的取值范围． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得 ． 设，则 ，半径为，半径为． 由点在内部得 ，以点C为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，在上，作于点， ∵，， ∴ ∴，即 ∴ 化简整理得 ， 解得． 由与相交，根据两圆相交的条件得 ， 即 ， 解不等式 得； 当时，，解得， 此时的取值范围为， 即此时， 当时，，即， 此时无解， 综上可知，， 即． 34．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离， ∴且，即， 观察选项，只有满足该范围，因此选B． 35．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 二、填空题 36．（2026·上海普陀·二模）在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 【答案】 【分析】画出图形，连接，设与交于点，证明，求出的取值范围即可． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 如果与外切，则的长为的半径长， 在中，， ∴， ，，， 四边形为矩形， ， ， 当时，最短， 根据三角形面积公式可得，此时， ， 当点无限接近点时，此时， ， 即的半径长r的取值范围是． 37．（2026·上海浦东新·二模）如图，在中，，，．点、分别在边、上，且的值为．以为圆心，为半径作圆，如果与的三边有三个公共点，那么的值为_________． 【答案】4或 【分析】设，则，根据勾股定理，可得，，再根据与的三边有三个公共点，分类讨论：①当与相切时，根据切线的性质和相似三角形的判定方法，易得，从而，进而，计算即可求解；②当时，易求，计算即可求解． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，，， 如图1，当与相切时，切点为，则与的三边有三个公共点， 与相切， ，， ， ，， ， ，即，则， ， ， ，解得， ； 如图2，当时，则与的三边有三个公共点， ， ， ，解得， ； 综上所述：的值为4或． 38．（2026·上海徐汇·二模）如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当与相切于点时，则，设，则 根据列出比例式，求得的值；当与相切于点时，则，过点作于点，证明，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 当与相切于点时，则 ∵ ∴ ∴ 设，则 ∵， ∴，即 ∴ 当与相切于点时，则，过点作于点， ∵ ∴ ∴ 设，则，， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 综上所述，的长是或 39．（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，，垂足为点，点是的重心，，，点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】如图，过点O作于点E，交于点F，首先利用三线合一求出，利用勾股定理求出，利用等面积法求出，然后由重心的性质求出，然后根据题意分与外切和与内切两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E，交于点F， ∵在中，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，点是的重心， ∴ ∵以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切 当与外切时，如图，当点D在点E处时， ∴， ∴的半径取得最小值，即的长度； 如图，当点D在点A处时， ∴， ∴的半径取得最大值，即的长度8； ∴； 当与内切时，如图，当点D在点E处时，与的延长线交于点H， ∴， ∴的半径取得最小值，即的长度； 如图，当点D在点A处时，与的延长线交于点I， ∴， ∴的半径取得最大值，即的长度16； ∴． 综上所述，的半径的取值范围是或． 40．（2026·上海宝山·二模）定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况，画出图形，进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆的半径只能与等腰三角形的底边相等， 当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，是等腰的外接圆， ，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 当为钝角时，如图，连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 综上：的面积与的面积比为或． 三、解答题 41．（2026·上海青浦·二模）已知中，，，点是射线上一点，连接，圆经过、、三点． (1)如图1，当点在线段上时， ①记圆交于点，求证：； ②设，用表示圆的半径； (2)如图2，在线段的右侧，以为底边作等腰，且始终满足．若以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，请直接写出线段的取值范围． 【答案】(1)①见详解；② (2) 【分析】（1）①根据同弧所对的圆周角相等即可求解； ②由外接圆的圆心是中垂线的交点可知在中垂线上，进而可知，根据正切值可得，进而根据勾股定理即可求解； （2）证明，可得点的运动轨迹为直线，根据相似三角形的性质可知， ，当，为半径的圆与圆有公共点，列不等式即可求解． 【详解】（1）①证明：连接，     中，， ∴， ∵在圆O中，， 根据圆周角定理可知，， ∴， ∴； ②解：∵圆是的外接圆， 所以是三边中垂线的交点， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 则圆的半径为：； （2）解：由题意可得， 当点在线段上时， ∵中，， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为直线， ∴， 设， ∴由（1）可知，， ， ∴， ， 由（1）可知， 当，以为半径的圆与圆有公共点， ， 解得：． 42．（2026·上海浦东新·二模）已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作，垂足为，根据垂径定理可得，，，从而得到，可得到四边形是梯形，即可求证； （2）联结交于，根据题意可得垂直平分，从而得到，，再有，可得，从而得到，可得到四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】（1）证明：作，垂足为． ∵过圆心，， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴，即点是中点． ∵过圆心，， ∴． ∴， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是梯形． ∵点是线段的中点，点是中点， ∴， ∴， ∴． （2）证明：联结交于． ∵与相交于点、， ∴垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 43．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，已知的直径，射线与相切于点A，半径为1，圆心P在射线上运动（点不与点重合），连接，交于点D，过点B作的平行线，交于点，交射线于点． (1)求证：； (2)令，请求出关于的函数解析式（不用写出定义域）； (3)连接并延长，交于点G，当时，求与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)与相离 【分析】（1）连接，根据，可得，再结合，可得，即可求证； （2）过点O作于点Q，则，可得，再由切线的性质可得，从而得到，可得，，根据，即可求解； （3）连接，证明，可得，结合，可得到，从而得到，可证明四边形是正方形，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点O作于点Q，则， 连接， （3） ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的半径为3，半径为1，且， ∴与相离． 44．（2026·上海崇明·二模）如图1，是半圆的直径，点是半圆上一点，过点的直线交的延长线于点，点是线段上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)设与的交点为，连接，交于点，若以为圆心，长为半径的圆与以为圆心，为半径的圆外切，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，先推导出得到则继而证明得到，即可解答； （2）连接，设， 则，推导出得到求出或(舍去)，得到解得，求出，即可解答； （3）设，推导出得到，由（2）可知 ，，得到，求出，再根据勾股定理，得到，求出或(舍去)，得到，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， ， 是的直径， ； （2）解：连接，如图， 设， 则，， ， ，， ，， ， 由（1）可知 解得或(舍去)， 解得， ， （3）解：如图， 设， ， ， ， 切于以为半径的于点， ， ， 由（2）可知 ， ， ， 即 ， ，即， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ， ． 45．（2026·上海宝山·二模）如图1，是的直径，C是延长线上一点，是的切线，P为切点，连接、． (1)求证：； (2)如图2，过点B作交于D， ①如果，，求的长； ②连接、，如果是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）①作于点，作于点，垂径定理得到，证明四边形为矩形，得到，，设的半径为，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，进而得到，求出的值，证明，列出比例式进行求解即可；②分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线，P为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，延长交于点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，连接，交于点，则， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆的综合（8大考点45题） 8大考点概览 考点01圆的基本认识 考点02点、直线和圆的位置关系 考点03垂径定理的推论 考点04圆心角 考点05垂径定理 考点06正多边形和圆 考点07圆周角 考点08点、直线和圆的位置关系 圆的基本认识 考点1 1．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、和．将绕点B逆时针旋转后得到，其中点的对应点是，点的对应点是．下列说法中错误的是（    ） A．是直角三角形 B．点的坐标是 C．点C与点关于y轴对称 D．点在以点为圆心，为半径的圆上 点、直线和圆的位置关系 考点2 一、单选题 3．（2026·上海闵行·二模）如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·上海虹口·二模）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为，那么该正六边形的边长是______． 三、解答题 5．（2026·上海普陀·二模）扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． (1)已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； (2)连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 垂径定理的推论 考点3 一、单选题 6．（2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 二、解答题 7．（2026·上海松江·二模）已知是半圆的直径，弦、交于点，与交于点，满足． (1)求证：； (2)如图2，是的中点，与交于点，求证：四边形是菱形． 8．（2026·上海金山·二模）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、． (1)求证：； (2)联结、，若四边形为梯形，求四边形的面积； (3)直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 9．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）已知：如图，是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），点D是弧的中点，过点D作，垂足为点F，连接与交于点E． (1)求证：； (2)连接并延长与弦的延长线交于点G，联结．求证：四边形是矩形． 圆心角 考点4 一、单选题 10．（2026·上海松江·二模）如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 11．（2026·上海徐汇·二模）如图，已知、为的两条弦，，连接、并延长交弦于点、，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 12．（2026·上海闵行·二模）已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，连接交弦于点、交弦于点，且，连接、． (1)如图①，求证：四边形是等腰梯形； (2)点在直径上（不与、重合），连接交于点． Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值； Ⅱ．连接，半圆的半径为1，．当为直角三角形时，求的长． 13．（2026·上海黄浦·二模）如图，圆心O是一处激光光源，照射在圆O的弦所在的挡板上，且，现在弦上两个位置M、N处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧上的两个亮点C、D恰好能将弧三等分． (1)求证：； (2)试说明：点M、N不是弦的两个三等分点； (3)假设弦上的开缝位置P、Q恰好是弦的两个三等分点，试画出新的激光光源S的位置，使得激光束通过缝隙P、Q后最终照射在弧上的两个亮点恰好是C、D，并求的大小． 14．（2026·上海徐汇·二模）如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”．垂径定理 考点5 (1)如图1，是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； (2)如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）． 15．（2026·上海崇明·二模）如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 16．（2026·上海金山·二模）如图，在中，弦的长为，，令． (1)用含和的代数式表示的半径； (2)过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值． 17．（2026·上海静安·二模）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． (1)求该弓形所在圆的半径； (2)求的长． 正多边形和圆 考点6 一、单选题 18．（2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（   ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 19．（2026·上海奉贤·二模）如果一个正多边形的内角等于中心角的3倍，那么这个正多边形是（  ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 二、填空题 20．（2026·上海浦东新·二模）如图，已知弦、在圆心的同侧，且是内接正三角形的一条边，是内接正六边形的一条边，．如果也是的内接正边形的一条边，那么的值为________． 21．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知正八边形的中心是点，连接，，，点是的重心，如果，那么线段的长等于________． 22．（2026·上海黄浦·二模）已知是圆和的公共弦，如果弦是圆的内接正方形的一边，也是圆的内接正六边形的一边，那么圆与的半径之比是______． 23．（2026·上海青浦·二模）定义：如果一个圆的圆心与一个正多边形的中心重合，那么称该正多边形为这个圆的同心正多边形．已知一个圆的半径为1，该圆的同心正六边形的边长为．设点在圆上，点在正六边形的边上，那么、两点之间的最小距离为__________． 24．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是正______边形． 25．（2026·上海闵行·二模）已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____． 26．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，已知的直径为，翻折劣弧使其与直径交于点，如果，那么折痕的长为______．圆周角 考点7 27．（2026·上海虹口·二模）如图，在矩形中，，，经过点、和边上的点，如果的半径是5，那么的长是______． 28．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中直径最小的覆盖圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，线段的覆盖圆有无数个，其中以为直径的是其最小覆盖圆．已知在矩形中，，，那么矩形的最小覆盖圆的半径为______． 点、直线和圆的位置关系 考点8 一、单选题 29．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 30．（2026·上海徐汇·二模）如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．（2026·上海金山·二模）已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 32．（2026·上海青浦·二模）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2026·上海崇明·二模）在中，，，，点是边上一点，若以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的相交，且点在的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 35．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 二、填空题 36．（2026·上海普陀·二模）在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 37．（2026·上海浦东新·二模）如图，在中，，，．点、分别在边、上，且的值为．以为圆心，为半径作圆，如果与的三边有三个公共点，那么的值为_________． 38．（2026·上海徐汇·二模）如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 39．（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，，垂足为点，点是的重心，，，点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是_____． 40．（2026·上海宝山·二模）定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 三、解答题 41．（2026·上海青浦·二模）已知中，，，点是射线上一点，连接，圆经过、、三点． (1)如图1，当点在线段上时， ①记圆交于点，求证：； ②设，用表示圆的半径； (2)如图2，在线段的右侧，以为底边作等腰，且始终满足．若以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，请直接写出线段的取值范围． 42．（2026·上海浦东新·二模）已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 43．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，已知的直径，射线与相切于点A，半径为1，圆心P在射线上运动（点不与点重合），连接，交于点D，过点B作的平行线，交于点，交射线于点． (1)求证：； (2)令，请求出关于的函数解析式（不用写出定义域）； (3)连接并延长，交于点G，当时，求与的位置关系． 44．（2026·上海崇明·二模）如图1，是半圆的直径，点是半圆上一点，过点的直线交的延长线于点，点是线段上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)设与的交点为，连接，交于点，若以为圆心，长为半径的圆与以为圆心，为半径的圆外切，求的值． 45．（2026·上海宝山·二模）如图1，是的直径，C是延长线上一点，是的切线，P为切点，连接、． (1)求证：； (2)如图2，过点B作交于D， ①如果，，求的长； ②连接、，如果是以为腰的等腰三角形，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $