数学终极押题猜想（湖北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以考情为骨、密押为翼，构建“基础-中档-压轴”三级突破体系，融合抽象能力与模型观念，实现知识逻辑与解题方法的系统整合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数与式基础|11题|科学记数法三步法、数轴定位技巧|概念→性质→实际应用| |函数综合|28题|待定系数法、数形结合分析|定义→图像→性质→综合应用| |几何压轴|32题|折叠旋转构造法、相似全等转化|静态性质→动态变换→多问递进| |统计与应用|25题|图表信息提取、模型建立策略|数据收集→分析→决策→应用|

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 数与式基础（科学记数法＋正负数/数轴） 2 押题猜想二 整式运算与幂的运算 3 押题猜想三 三视图＋图形对称（轴对称/中心对称） 4 押题猜想四 平行线性质与角度计算 6 押题猜想五 概率与统计基础（事件判断＋简单概率） 8 押题猜想六 分式及分式方程 9 押题猜想七 一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 10 押题猜想八 一次函数、反比例函数综合 11 押题猜想九 圆的基础小题 13 押题猜想十 二次函数（选填压轴） 15 押题猜想十一 几何综合（选填压轴） 17 押题猜想十二 几何动点与函数图象（选填压轴） 21 押题猜想十三 数与式解答综合 25 押题猜想十四 几何基本证明（全等与性质） 26 押题猜想十五 解直角三角形实际应用 28 押题猜想十六 统计综合大题 32 押题猜想十七 方程与不等式实际应用 39 押题猜想十八 圆综合大题（切线证明+线段/角度计算） 42 押题猜想十九 二次函数实际应用 47 押题猜想二十 几何综合压轴（几何变换+相似/全等） 52 押题猜想二十一 二次函数综合压轴 57 押题猜想一 数与式基础（科学记数法＋正负数/数轴） 试题前瞻·能力先查 限时：1min 1．（2026·湖北·模拟预测）国家“十五五”规划纲要中指出：国家安全体系和能力进一步加强，能源综合生产能力达到58亿吨标准煤．其中“58亿”用科学记数法表示是（  ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北咸宁·模拟预测）气温上升记为，则气温下降记为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北黄冈·二模）数字在如图所示的数轴上的大致位置可能是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 分析有理·押题有据 近两年省卷第 1–3 题必考基础题，2024 考正负数意义，2025 考数轴比较，科学记数法连续两年考查，起点低、情境贴近生活，2026 年稳定送分。 终极猜想·精练通关 4．（2026·湖北孝感·一模）年春节假期襄阳盛世唐城景区接待游客万人次，创下开业年来春节档新高，同比增长．将万用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北武汉·一模）“江城年味浓，出行热度高”．武汉地铁2026年春节9天共运送旅客超过1800万人次．将数据万用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北黄石·一模）今年3月12日是我国第个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2025年，我国完成造林万亩．万用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北·模拟预测）2026年是马年，春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，2026的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 8．（2026·湖北孝感·一模）“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．立春为二十四节气之首，2026年立春这天北京、武汉、哈尔滨、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，数轴上的点，，，对应的实数分别是，，，，则这四个实数中最小的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·湖北黄石·一模）如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．0.5 押题猜想二 整式运算与幂的运算 试题前瞻·能力先查 限时：30s 12．（2026·湖北孝感·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 两年均在选择题靠前位置单独考查幂运算、整式化简，侧重基础规范，不设复杂变形，是代数必考点，位置与难度高度固定。 终极猜想·精练通关 13．（2026·湖北咸宁·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·湖北襄阳·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 15．（2026·湖北荆州·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2026·湖北武汉·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·河南商丘·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 押题猜想三 三视图＋图形对称（轴对称/中心对称） 试题前瞻·能力先查 限时：30s 19．（2026·湖北黄石·一模）如图，古代的“斗”，是官仓、粮栈、米行、家庭中必备的粮食度量用具．下列图形是“斗”的主视图的是（    ） A． B． C． D． 20．（2026·湖北·二模）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 2024、2025 连续考查三视图与图形对称性判断，属于几何直观基础题，常结合生活图案、几何体命题，两年题型一致。 终极猜想·精练通关 21．（2026·浙江杭州·一模）榫卯是中国传统木作（建筑、家具）的核心连接技术：凸出为榫（榫头），凹进为卯（卯眼），不用一钉一胶，靠凹凸咬合实现牢固连接.如图，是一个榫卯零件，其主视图为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·安徽合肥·二模）如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 23．（2026·山西忻州·一模）墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·山东临沂·一模）下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 25．（2026·山东青岛·一模）下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 26．（2026·浙江舟山·一模）下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 27．（2026·重庆北碚·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 押题猜想四 平行线性质与角度计算 试题前瞻·能力先查 限时：1min 28．（2026·湖北宜昌·一模）如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 省卷几何入门必考题，以平行线为载体结合三角形内角、对顶角求角度，难度低、推理简单，属于必拿分点。 终极猜想·精练通关 29．（2026·安徽合肥·二模）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 30．（2026·陕西商洛·一模）如图，将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·广东佛山·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·陕西商洛·二模）如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（2026·陕西西安·三模）如图，直线、被直线所截，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 34．（2026·湖北恩施·一模）如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 押题猜想五 概率与统计基础（事件判断＋简单概率） 试题前瞻·能力先查 限时：1min 35．（2026·湖北·一模）“版七年级下册数学课本共页，某同学随手翻开，恰好翻到第页”，这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 36．（2026·湖北孝感·一模）湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择一个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”的概率是________． 分析有理·押题有据 2024 考必然事件，2025 考不可能事件，两年均考查简单古典概型，贴近生活常识，是统计概率板块保底题。 终极猜想·精练通关 37．（2026·广东珠海·二模）某气象台发布天气预报显示，明天某地下雨可能性是，则“明天某地下雨”这一事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 38．（2026·四川眉山·一模）二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材．实验课上小文将一根燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条熄灭是（   ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定 39．（2026·江苏无锡·一模）宜兴气象台发布的天气预报显示，明天宜兴某地下雨的可能性是，则“明天宜兴某地下雨”这一事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 40．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于_____． 41．（2026·安徽合肥·二模）天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、时间等，由十个天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二个地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）依次组合而成．小李从全部的十个天干和十二个地支中各随机选取一个，组成一组天干地支纪年，求该纪年恰好为 2026 年（丙午年）的概率为_______． 42．（2026·山西朔州·一模）以科技赋能生活，智能家电让品质生活触手可及．某智能家电体验馆有4台样机可供体验，分别为智能电视、智能灯具、智能门锁、智能扫地机器人，小李同学从这4台样机中随机选取一台进行体验，小赵同学也从这4台样机中随机选取一台进行体验，则两名同学选取的智能家电不一样的概率是_______． 押题猜想六 分式及分式方程 试题前瞻·能力先查 限时：1min 43．（2026·湖北宜昌·一模）计算的结果是________． 44．（2026·湖北襄阳·一模）方程的解是________． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 45．（2026·江苏常州·一模）计算：______． 46．（2026·湖北宜昌·模拟预测）化简的结果为____． 47．（2026·河北廊坊·一模）化简的结果是______． 48．（2026·北京门头沟·一模）方程的解为_______． 49．（2026·湖北武汉·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 50．（2026·山东济南·二模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 51．（2026·四川成都·一模）关于的分式方程的解为，则的值为_____． 52．（2026·山东东营·一模）若关于的方程无解，则的值为_____． 押题猜想七 一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 试题前瞻·能力先查 限时：2min 53．（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 2025 省卷第 4 题专门考查，属于代数中档高频点，侧重公式直接应用，不考复杂计算，2026 年极可能延续。 终极猜想·精练通关 54．（2026·江苏泰州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则c的值为（   ） A． B．4 C． D．2 55．（2026·北京平谷·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 56．（2026·广西桂林·一模）若方程的两个根是和，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 57．（2026·四川南充·一模）设方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C．10 D．12 58．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 59．（2026·山东济南·二模）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 押题猜想八 一次函数、反比例函数综合 试题前瞻·能力先查 限时：2min 60．（2026·湖北黄冈·二模）已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________． 61．（2026·湖北·模拟预测）在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（  ）    A．18 B．28 C．38 D．48 分析有理·押题有据 两年均考查一次函数实际应用、反比例函数图象与 k 值意义，常结合情境或几何图形，属函数中档必考题。 终极猜想·精练通关 62．（2026·四川乐山·一模）根据物理学中欧姆定律可知，当某电路中电压不变时，该电路中的总电流（单位：A）是该电路中总电阻（单位：）的反比例函数，其图像如图所示．当该电路中总电流大于时，该电路将可能烧坏．为了安全起见，则接入电路的总电阻应不小于（    ） A． B． C． D． 63．（2026·湖北孝感·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 64．（2026·江苏无锡·一模）请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 65．（2026·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____．    66．（2026·天津南开·二模）若一次函数（k为常数，且）经过点，则k的值为______________． 67．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 68．（2026·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，反比例函数的图象同时经过点A，C，则k的值为________． 押题猜想九 圆的基础小题 试题前瞻·能力先查 限时：3min 69．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 分析有理·押题有据 省卷圆小题侧重基础性质，两年均以作图＋角度/线段计算命题，不涉及复杂综合，定位中档、考查稳定。 终极猜想·精练通关 70．（2026·湖北咸宁·模拟预测）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以C为圆心，长为半径画，交于点D；②分别以O，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接交于点E，交于点F，若，，则的长为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 71．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，内接于，是的直径，以点C为圆心，任意长为半径画弧分别交于点F、点G，再分别以点F、点G为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点D，连接射线交于点E，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 72．（2026·湖北襄阳·一模）如图，内接于，且圆心O在上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交，于E，F两点，再以F为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连接并延长交于D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 73．（2026·湖北随州·一模）如图，是的直径，点C是上一点，且，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，连接交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 74．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 75．（2026·湖北十堰·一模）如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 押题猜想十 二次函数（选填压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．（2026·湖北·一模）已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 分析有理·押题有据 湖北省统考选填中常以二次函数图像性质、顶点、对称轴、平移变换为核心命题，考查数形结合理解，属于选填压轴高频方向。 终极猜想·精练通关 2．（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤ 3．（2026·安徽六安·二模）已知二次函数的图象经过和，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 5．（2026·江苏南通·一模）已知抛物线和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山东济南·二模）已知点在抛物线（为常数，）上，点在直线上．若有且仅有一个整数使得成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·四川眉山·一模）已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且．下列结论正确的是（   ） A． B． C．当和时，函数的值相等 D．函数与的图象总有两个不同的交点 9．（2026·山东烟台·一模）已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（   ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．该函数的最大值不小于 D．方程没有实数根 10．（2026·江苏苏州·一模）已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是__________． 押题猜想十一 几何综合（选填压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 11．（2026·湖北荆州·一模）如图，在矩形中，点E为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 12．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点为的边上一动点（点与点，不重合），，，与关于成轴对称，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，． （1）的度数为________； （2）当点运动到的中点时，线段的长为________． 分析有理·押题有据 2025 湖北省统考选择压轴为几何折叠计算，侧重图形变换、线段与角度求解，推理与计算并重，是省卷选填压轴主流考法。 终极猜想·精练通关 13．（2026·重庆·一模）如图，点在正方形的边上，连接交对角线于点，过点作交于点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·安徽六安·二模）如图，在正方形中，，点E为边上的动点，F在边上，，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是5 B． C． D．四边形面积的最大值为 15．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，，且．连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·重庆·模拟预测）如图，正方形中，点为边上一点，四边形为平行四边形；点为对角线边上一点，，连接交于点；已知，，则正方形的边长为（   ） A．8 B． C． D． 17．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在正方形中，点E，F分别是边，上的点且满足，连接对角线．过点D作交的延长线于点G，连接交于点H，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·河南新乡·一模）如图，由八个全等的菱形组成的平行四边形网格中，，其中点A，B，C都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·山东临沂·一模）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为 _________． 20．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在四边形中，，，点在边上，连接，作的平分线，与边交于点，与边的延长线交于点，，，．若，则的长为______，的长为______． 21．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处．当的长度取得最大值时，折痕的长度为_____．（结果保留根号） 22．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，，，，分别在边，，，上（不与、、、重合）．则四边形周长的最小值为________． 23．（2026·黑龙江鸡西·二模）如图在矩形中，，P为矩形内一点，且，E为上一动点，则的最小值为________．    24．（2026·陕西商洛·一模）如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的点，，连接．若，则的长为________． 押题猜想十二 几何动点与函数图象（选填压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 25．（2026·湖北黄石·一模）如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，则_______，图象最低点的横坐标是_______． 26．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图1，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是的面积（）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段），（1）_____cm；（2）当的面积取最大值时，运动时间为_____s． 分析有理·押题有据 这类题是湖北省统考选填压轴的高频考法，以直角三角形为载体，通过双动点运动形成的三角形面积变化，结合函数图象分段呈现运动过程，考查学生数形结合、分段分析与几何计算能力，区分度高。 终极猜想·精练通关 27．（2026·湖北黄冈·二模）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      28．（2026·广东汕头·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 29．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，为边上一点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），的值为．在动点运动的过程中，与的函数图像如图所示．则图像最低点的纵坐标_____． 30．（2026·甘肃天水·一模）如图（1），在等腰三角形中，，动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动，连接，当其中一动点到达终点时，两动点同时停止运动．设动点运动的时间为的面积为，图（2）是与的函数关系的图象，则的长为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）等腰梯形中，，，，连接，动点从点出发沿匀速运动，在上运动时，在上运动时，动点从点出发沿匀速运动，，当动点到达点时，动点也随之停止运动，若两点同时出发，设点的运动时间为（单位：），的面积为（单位：），下列图象中能反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 32．（2026·天津河东·二模）如图，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 33．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图①，在中，，，．动点P、Q均以的速度从点C同时出发，点P沿折线向点A运动，点Q沿边向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）的关系如图②所示，则的值为（       ）    A．18 B．20 C． D． 34．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 35．（2026·甘肃陇南·模拟预测）如图甲，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图乙所示．则，的值为（    ） A．7，10 B．7，12 C．8，12 D．9，10 押题猜想十三 数与式解答综合 试题前瞻·能力先查 限时：2min 1．（2026·湖北宜昌·一模）计算：． 分析有理·押题有据 省卷解答题第1题固定考查此题型，2024、2025年分别考查了实数混合运算，题型结构稳定，强调运算步骤的规范性与严谨性，是全卷最基础、最易拿分的解答题，2026年将延续该考法。 终极猜想·精练通关 2．（2026·广东深圳·二模）计算：． 3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）计算和解不等式组： (1)； (2)解不等式组． 4．（2026·山西运城·一模）计算、化简 (1)； (2)． 5．（2026·江苏泰州·模拟预测）计算：． 6．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）计算或化简求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 7．（2026·云南玉溪·一模）计算：． 8．（2026·江西南昌·一模）计算、解不等式 (1)计算：； (2)解不等式组：． 9．（2026·山东临沂·一模）解决下列问题： (1)计算：； (2)解分式方程：． 押题猜想十四 几何基本证明（全等与性质） 试题前瞻·能力先查 限时：2min 10．（2026·湖北·模拟预测）如图，在四边形中，，．求证：． 分析有理·押题有据 解答题第2题稳定为基础几何证明题，2024、2025年均以三角形、平行四边形为载体，考查全等三角形判定、平行线性质或特殊四边形性质，侧重推理依据的书写规范，难度低、定位稳，是中档生必拿分的关键题。 终极猜想·精练通关 11．（2026·福建宁德·一模）如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 12．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，于，于，相交于点．求证：． 14．（2026·福建泉州·三模）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．求证：． 15．（2026·云南大理·一模）如图，已知，，．求证：． 16．（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 17．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 18．（2026·湖北黄石·一模）如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，．求证：． 押题猜想十五 解直角三角形实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：5min 19．（2026·湖北襄阳·一模）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 分析有理·押题有据 2024、2025年连续考查该题型，以仰角、俯角、测距、测高为实际情境，结合解直角三角形知识解决工程测量类问题，模型固定、情境贴近生活，是省卷中档题的必考内容，2026年大概率延续该命题方向。 终极猜想·精练通关 20．（2026·湖南长沙·一模）2026年4月17日12时10分，搭载“高精度探测卫星”的“长征四号丙”运载火箭在酒泉航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为． (1)求的距离； (2)求火箭从处到处的飞行距离． 21．（2026·陕西咸阳·一模）香积寺塔是陕西省风景名胜区的主要景点之一，在历史上曾有“古塔穿云”、“塔影团圆”等雅称．安安利用周末完成了对香积寺塔高度的测量．如图，安安在地面上的点C处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为；随后，安安从点C处沿方向移动18米到达点D处（即米），在点D处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为．已知，点B、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助安安求出香积寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 22．（2026·河南·一模）如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向.（参考数据：，，，） (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 23．（2026·湖北襄阳·一模）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 实施过程 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 4．测量到地面的高度． 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 4．测量两点间的距离； 5．测量到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 24．（2026·湖北随州·一模）高速公路在促进经济发展、保障交通安全和提升出行便利方面发挥着重要作用，所以修高速公路遇山需开凿隧道．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，，那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：） 25．（2026·山东青岛·一模）在一次无人机搜救演练中，无人机起飞后在处悬停，操作员在处测得的仰角为．随后，无人机保持高度不变水平飞行250米到达搜寻目标的正上方处，此时操作员沿无人机飞行方向水平行走180米到达处（在同一水平地面上），在处测得无人机（处）仰角为，求操作员到搜寻目标的水平距离． （结果精确到1米，参考数据：．） 26．（2026·广东广州·一模）如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 27．（2026·山西运城·一模）2026年1月，运城市盐湖区新建一城市光影地标——“盐湖之眼”摩天轮．博学小组根据某摄影爱好者拍摄的照片（图1所示），绘制出如图2所示的测量方案示意图．已知，，，图中各点都在同一竖直平面内．在点处测得点的仰角，在点处测得点的俯角，米，米，米，图中摩天轮及雕塑主体的宽度均忽略不计．请根据上述数据，计算摩天轮最高点到地面的高度（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）． 押题猜想十六 统计综合大题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 28．（2026·湖北孝感·一模）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A，B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）．下面给出了部分信息： ①抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89； ②抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100； ③抽取的对A，B款设备的评分统计表与抽取的对A款设备的评分扇形统计图： 抽取的对A，B款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 88 96 B 88 87 n 抽取的对A款设备的评分扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ． (2)5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数； (3)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 分析有理·押题有据 省卷统计题固定为条形统计图与扇形统计图结合的形式，2024、2025年均考查了统计图补全、统计量计算、样本估计总体及统计量的实际意义解读，命题重数据解读、轻复杂计算，结构高度稳定，2026年仍将沿用该模式。 终极猜想·精练通关 29．（2026·湖北·一模）某公司生产A，B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地实效，工作人员从生产的这两种型号扫地机器人中各随机抽取台，在完全相同条件下试验，记录下它们除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 台A型扫地机器人的除尘量：，，，，，，，，，． 台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：，，，，． 抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 A B 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)若3月公司可生产B型扫地机器人共5000台，估计该月生产的B型扫地机器人“优秀”等级的台数； (3)如果你父母打算从该公司生产的这两种型号的扫地机器人中选购一种，你会建议他们选购哪种型号？请说明你的理由（写出一条理由即可）． 30．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）某校组织开展“学习两会精神，践行强国使命”主题实践活动，并对该校九年级学生一周参与实践活动的总时长（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图．以下为抽取的学生一周践行两会战略主题活动时间频率分布表： 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： (1)“”的频数为______，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； (2)调查所得数据的中位数落在______组（填组别）； (3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周践行两会战略主题活动时间不少于的学生人数． 31．（2026·湖北黄冈·二模）为响应国家“全民健身”号召，学校鼓励学生积极参与体育活动，现针对八年级学生的体育锻炼情况展开调查，了解学生每周参与体育锻炼的时长和喜爱的体育项目，为学校后续开展体育活动、优化体育课程提供参考依据，学校从八年级的800名学生中随机调查了部分学生，调查他们每周参与体育锻炼的时长（单位：小时），将收集到的数据进行如下分组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 整理数据，并绘制了如下两个不完整的统计图． 请根据以上信息完成下列问题： (1)本次随机调查的学生人数是________人；扇形统计图中，________，________； (2)补全条形统计图； (3)下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． ①样本数据的中位数在C组； ②扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为． (4)学校规定，每周体育锻炼时长不少于6小时的学生，体育成绩可获得额外加分鼓励，请估计八年级800名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数． 32．（2026·湖北·模拟预测）为增强学生安全防范意识和自我防护能力，学校实施“家校社”联合行动，引导学生学会自我保护．学校在学期初和学期末分别对七年级学生进行安全知识测试，两次测试均随机抽取20名学生．根据收集到的数据，将成绩（单位：分）分为四组进行统计：，，，（满分100分，成绩均不低于60分），并绘制了两次测试成绩的平均数、中位数、众数统计表和学期初测试成绩扇形图，部分信息如下． 学期初20名学生的成绩在B组中的数据是：72，72，75，75，75，76，78． 学期末20名学生的成绩是：77，79，83，84，85，85，85，86，88，90，90，94，94，94，94，97，97，99，99，100． 两次抽取学生的测试成绩统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 79 75 学期末 90 90 (1)填空：__________，__________，__________； (2)七年级有400名学生，估计学期末七年级学生安全知识测试成绩可以达到90分及以上的学生人数； (3)该校七年级学生安全防范意识和自我防护能力，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 33．（2026·湖北孝感·一模）2025年4月24日“中国航天日”的主题是“海上生明月，九天揽星河”，这是自2016年以来的第十个“中国航天日”为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息： ：组的数据为：70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79 ：绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全频数分布直方图； (2)在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是_____； (3)随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是_____分； (4)该校要对成绩在E组的学生进行奖励，请估计该校1500名学生中获奖的学生人数． 34．（2026·湖北襄阳·二模）为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛．竞赛结束后、数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表： 类别 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 a 95 八年级 92.5 97 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“”“>”或“”）； (2)已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为300人和360人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数； (3)根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好？请说明理由． 35．（2026·湖北十堰·模拟预测）为了庆祝中国共产党建党105周年，学校开展党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为初中组和高中组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，初中组统计表中m，n满足；高中组统计图中70分、80分、90分所对应的扇形圆心角分别为、、．请根据所给信息，解答下列问题： 初中组20名学生竞赛成绩统计表 成绩（分） 70 80 90 100 人数 3 m n 5 (1)求统计表中m，n的值． (2)小明按以下方法计算初中组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确？若不正确，请写出正确的算式并计算出结果． (3)如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由． 36．（2026·湖北荆州·模拟预测）男生小华打算在一分钟跳绳与米跑两个项目中选择一项作为体育中考项目，为了选出自己最佳选考项目，小华记录下最近连续次一分钟跳绳和米跑的试测成绩（每次满分均为分），进行整理、描述和分析，部分信息如下： 【数据收集与整理】 信息一：一分钟跳绳试测成绩（单位：分）依次是，，，，，，，，，． 信息二：米跑试测成绩中，分与分的次数相同，分共次． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 一分钟跳绳成绩 米跑成绩 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小华应该如何选择？请说明理由． 37．（2026·湖北黄冈·一模）体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： (1)统计表中，________，________； (2)统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为________，估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数为________人； (3)该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从2名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的四名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率． 押题猜想十七 方程与不等式实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 38．（2026·湖北·一模）随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元？ (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共颗，其中购买型芯片的数量不超过型芯片数量的．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元？ (3)该公司用甲、乙两辆运输车运输芯片，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： (4) (5) ①甲车的速度是______． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值______． 分析有理·押题有据 省卷重视数学建模能力考查，2024年考查了二元一次方程组的实际应用，2025年考查了方程与不等式结合的优惠方案问题，命题贴近生活场景，分段计费、方案选择类问题为高频方向，2026年将延续情境化建模的考查趋势。 终极猜想·精练通关 39．（2026·重庆北碚·模拟预测）列方程解下列应用题： 成渝中线高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路主通道之“沿江通道”沪渝蓉高铁的重要组成部分，于2022年11月28日正式动工，设计时速350千米，且大足石刻站至简州站段是全国首条预留400千米提速条件的高铁线路．在施工建设某隧道时，甲、乙两工程队使用智能台车掘进．已知甲队每天比乙队多掘进1米，且甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米． (1)求甲、乙两工程队每天各掘进多少米？ (2)随着科技发展，甲、乙两工程队引进了新型智能台车．新型智能台车使得乙工程队每天掘进量比原来增加米，甲工程队每天掘进量比原来增加的数量是乙工程队每天掘进量比原来增加的数量的2倍，且新型台车使两工程队效率在增加后的基础上再提升．现需掘进两段长度均为210米的隧道，分别由甲、乙两工程队单独施工，结果乙工程队比甲工程队多用4天．若乙工程队每天增加的数量不超过3.2米，求的值． 40．（2026·河南新乡·一模）郑州二砂文化创意园位于郑州市中原区华山路，项目占地106.4公顷，总建筑面积101.8万平方米，是在原中国第二砂轮厂旧址（全国重点文物保护单位）基础上改造的综合性文创园区．小明家开的文创店计划购进A，B两款豫博文创产品． (1)已知A款文创产品进价比B款进价贵15元，购进2个A款和3个B款需要155元，求A、B两款文创产品各自的进价； (2)该文创店将B款产品的售价提高作为A款的售价，已知当A款的销售额为240元，B款的销售额为150元时，A款比B款多售出1个，求A，B两款文创产品的售价； (3)在（1）（2）问的条件下，该商店计划购进A、B两款商品共60个，且购进A款的个数不少于B款的一半，假设全部售完的情况下，应如何进货，才能使得利润最大？最大利润是多少元？ 41．（2026·湖北黄冈·二模）某校举办科技节，同学们用正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成，按照图示规律，第1个图案有2个正六边形，第2个图案有5个正六边形，第3个图案有8个正六边形，…．        (1)按此规律，第6个图案中有________个正六边形；第n个图案中有________个正六边形；（用含n的代数式表示） (2)在这一组图案中存在两个相邻的图案，它们所含正六边形个数之和为667，求这两个图案分别是第几个图案； (3)在这组图案中是否存在一个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第个图案正六边形个数之和的2倍？若存在，求出该图案是第几个图案（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 42．（2026·湖北黄冈·二模）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在（2）的条件下，如何采购，两种机器人的总价格最小？ 43．（2026·湖北·模拟预测）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． (1)求每件种材料和种材料各多少元？ (2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 44．（2026·北京东城·一模）学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． (1)求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； (2)求用于兑换圆规的兑换券的张数． 45．（2026·广东深圳·二模）2026年被公认为“智能元年”，产品深受欢迎．某销售公司针对市场情况，计划购进一批产品进行销售．据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元． (1)求每件A型和B型产品的进价分别是多少万元？ (2)若该公司计划购买这两种型号的产品共12件（两种型号的产品均购买），购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品？ 46．（2026·重庆·一模）列方程解下列问题： 马年春晚舞台上惊艳全网的歌咏创意秀节目《贺花神》，其创作灵感源自故宫博物院珍藏的一件清代白玉月令组配，这套玉佩由十三件玉牌组成——12片花瓣和1片“六环式活心”花蕊．某校“非遗手工”课程组40名学生买了铝箔纸材料包复刻“月令组配”．已知一个学生在一节课堂中可单独完成8张花瓣制作或2张花蕊制作． (1)应如何分工，才能使一节课堂中完成的“月令组配”的花瓣和花蕊配成套？ (2)该手工复刻非常成功，学校决定再次购买一批材料包和画框向全校师生推广“月令组配”制作并展览．已知学校花费了4000元购买材料包和6000元购买画框，材料包和画框的数量一样多，且画框的单价比材料包单价的2倍少5元，请问材料包的单价是多少元？ 47．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元；辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划用不多于万元购进以上两种型号的新能源汽车共辆（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利元，销售辆B型汽车可获利元，问：进A型，B型汽车各几辆，全部售出后能获得最大利润？最大利润是多少？ 48．（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 押题猜想十八 圆综合大题（切线证明+线段/角度计算） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 49．（2026·湖北孝感·一模）如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若的平分线交于F，，求线段的长． 50．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，内接于，的平分线交于，与相切，交的延长线于． (1)求证：； (2)如图2，若，，，求图中阴影部分的面积． 分析有理·押题有据 省卷几何中档核心题，固定结构为“切线的判定/性质证明 + 垂径定理/圆周角定理 + 勾股定理/解直角三角形计算”，2024、2025年命题结构高度一致，步骤规范要求高，是学生突破中档题的关键考点。 终极猜想·精练通关 51．（2026·广东深圳·一模）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 52．（2026·云南玉溪·一模）如图，在中，，是的外接圆．过点A作，交的平分线于点D，交于点E，连接并延长，交的延长线于点F． (1)若，求线段的长； (2)求证：是的切线； (3)若，，，用含a的代数式表示线段的长． 53．（2026·浙江舟山·一模）如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，． (1)求证：为切线； (2)若，求的长． 54．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 55．（2026·陕西商洛·一模）如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 56．（2026·内蒙古乌海·二模）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，． ①求弦的长； ②求阴影部分的面积． 57．（2026·山东临沂·二模）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求的面积． 58．（2026·四川成都·一模）如图，是的外接圆，为的半径，连接并延长交于点．过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求及的长． 59．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 60．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线，交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 61．（2026·山东菏泽·一模）如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点D． (1)求证：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 62．（2026·山东东营·一模）如图，在中，，以的边为直径作，交于点，且，垂足为点． (1)求证：是的切线 (2)若，，求直径的长． 63．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，是的直径，为的弦，分别连接，延长至点，连接，使得． (1) (2)求证：为的切线； (3)若为的中点，，求的长度． 押题猜想十九 二次函数实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 64．（2026·湖北宜昌·一模）一位滑雪者从山脚坐匀速上升的缆车5分钟后到达山顶，然后休整2分钟，再从山顶滑下．为了了解整个过程中滑雪者的高度与时间的关系，测得一些数据如下表： 时间 0 60 120 180 240 300 420 425 430 440 高度 0 180 360 720 900 850 700 100 (1)表中的值为________，的值为________； (2)若滑雪者从山顶滑下的高度随时间的变化关系可以近似看成一个二次函数，求整个过程中滑雪者的高度与时间的函数关系式； (3)若正半山腰有一观察哨，求这名滑雪者从上山到下山经过观察哨的间隔时间． 分析有理·押题有据 2024年考查了二次函数在矩形面积最值问题中的实际应用，以生活情境为载体，考查函数建模、解析式求解与最值计算，符合省卷“重应用、去套路”的命题趋势，2026年大概率回归考查，贴近生活场景命题。 终极猜想·精练通关 65．（2026·湖北孝感·一模）某市为响应“绿色、共享、惠民”的理念举办运动会，某文创企业推出一系列纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略． 【信息收集】 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）为：； ①试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等．为了尽量让利给顾客，求x的值； ②企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略，当时，求每日总利润w的最大值． 66．（2026·江苏泰州·模拟预测）某商场销售一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，当销售单价为70元时，平均每天可售出30件；销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．设销售单价为x元（），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 67．（2026·陕西西安·模拟预测）八百里秦川腹地，聚焦关中特色作物种植，棚内集中培育着被誉为“关中椒王”、风味独特的线椒．如图为某基地的双层大棚的横截面，外侧顶棚和内侧顶棚．，均为抛物线型，其中与，关于立柱OA对称，其中左右两侧是由两根垂直于地面的立柱CE和DF组成，已知外侧顶棚的最高点A到地面EF的距离为4m，的长为，O为的中点，（，以点O为原点，地面EF所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求外侧顶棚的函数表达式， (2)已知内侧顶棚的函数表达式为，现需要加固顶棚，计划在MN，PQ，MP加装三根钢架，点M到立柱OA的距离为5m，加装的三根钢架的总长度． 68．（2026·广东梅州·一模）图①是一座形似抛物线的对称石拱桥，图②是其桥拱的示意图，测得桥拱跨径，拱顶离水面的距离． (1)请建立适当坐标系，求出桥拱所在的抛物线解析式； (2)如图③，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得．根据图②状态，货船能否通过此拱桥？请说明理由． 69．（2026·陕西西安·模拟预测）某商业大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图所示，已知火情发生在大楼外墙的点处，点距地面10.5米高，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，水枪出水口距地面3米高．以水枪出水口为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)经观测，水枪喷出的水流在离出水口水平距离8米处达到最大高度，此时水流恰好精准喷射到处．求水流所在抛物线的函数表达式； (2)若距地面高度为12米的五楼窗台内又发现着火点，点距外墙的水平距离为1米．原水流轨迹无法覆盖，且场地限制，消防车无法进一步靠近，只能通过向上平移水枪喷头来调整水流位置，且新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准喷射到点处，喷头应向上平移多少米？ 70．（2026·陕西西安·三模）打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型．如图②，铁水从表演台中心被击打后飞出，其运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为．以为原点，地面OA所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； (2)为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请通过计算说明与表演台中心的水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） 71．（2026·陕西汉中·二模）蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，大棚的跨径，顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式； (2)现要在大棚上点E处焊接内部加固钢材，且，并在加固钢材右侧安装矩形供暖设备和，其中点M，P在大棚上，，．当点E到保温墙的距离为时，求供暖设备横截面的面积． 72．（2026·陕西西安·三模）如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明． 73．（2026·湖北孝感·一模）某校人工智能小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，在飞行到点时，人工科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． (1)求、的值； (2)在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离； (3)【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，当飞行器的水平距离为9时飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，直接写出的取值范围_____． 74．（2026·陕西咸阳·一模）如图，某款无人机某次飞行的路线可以看作抛物线，飞行起点为A，落地点为B，且 其飞行的最大高度为36米，此时距离飞行起点A的水平距离为20米，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，已知飞行起点A到的距离为20米． (1)求图中抛物线的函数表达式； (2)某建筑物的主视图为矩形（如图），其中点C、D在x轴正半轴上，米，米，建筑物一侧距离飞行起点A的水平距离为10米，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F的竖直距离不少于4米，则本次飞行符合条件吗？请通过计算说明理由． 75．（2026·山西临汾·一模）综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … (1)【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； (2)【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 押题猜想二十 几何综合压轴（几何变换+相似/全等） 试题前瞻·能力先查 限时：24min 76．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． (1)如图①，若点与线段的中点重合，求并说明线段与线段的位置关系； (2)如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 77．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，已知：矩形纸片，（），点，分别是边，上的点，将纸片分别沿直线，折叠，点对应点落在矩形的内部，点对应点落在直线上． (1)的度数为________； (2)如图2，当时，点与重合，将矩形纸片再沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上，连接交于点． ①的度数为________； ②若，求线段的长； (3)若，求的值． 分析有理·押题有据 省卷几何压轴题，2024年以矩形折叠为载体，2025年以三角形旋转为载体，均以几何变换为核心，结合全等、相似三角形知识，采用多问递进的命题形式，难度逐级提升，对学生的几何推理与辅助线构造能力要求较高，是区分学生层次的关键题型。 终极猜想·精练通关 78．（2026·天津河东·二模）将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，点，点，动点D在边上，折叠该纸片，使折痕所在直线经过点D，并与射线交于点E，且，点A的对应点为，设． (1)如图①，当时，填空：线段的长为_____，线段的长为_____，点的坐标为_____． (2)如图②，若折叠后重合部分为五边形，点O的对应点为，分别与边，交于点G，H，试用含有t的式子表示线段，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是_____．（直接写出结果即可） 79．（2026·安徽合肥·二模）如图，在正方形中，与交于点O，点E是边上的动点，连接交线段于点F． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，连接，若，，求证：． (3)在（2）的条件下，，求的长． 80．（2026·四川成都·一模）如图1，已知和共顶点A，现固定，让绕点A在平面内旋转．已知，，． (1)如图1，连接、，试探究的值； (2)如图2，连接、，点E始终在直线右侧，设与交于点G，当时，试求此时的值； (3)在的旋转过程中，取的中点F，试探究以点A、D、F构成的三角形是否可以为直角三角形？若可以，请直接写出此时的值；若不可以，请说明理由． 81．（2026·四川眉山·一模）如图，在菱形中，点在边上，将沿翻折得到，连接． (1)如图1，当直线时，判断的形状； (2)如图2，线段与分别交于点，连接交于点，设， ①当时，求证：； ②当时，用含的代数式表示的长． 82．（2026·安徽六安·二模）在矩形内，，．点P是的中点，连接，点B关于的对称点是E，连接． (1)如图1，若， ①求证：； ②求的值； (2)如图2，连接，当时，且D、E、P三点在同一条直线上时，求． 83．（2026·安徽合肥·二模）如图，在正方形中，点是上一点，延长至点，使，连接，，，交于点，过点作，垂足为点，交于点，连接，交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，． （i）求的长； （ii）求的值． 84．（2026·福建泉州·二模）如图1，是等边三角形，为边上不与重合的一点，点为中点，连接，将射线绕点顺时针旋转交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过点作于点，交于点，连接，如图2．已知下列三个结论中，至少有一个是正确的，请你选择其中正确的一个结论，并证明． 结论：①； ②；③平分． 85．（2026·辽宁丹东·一模）如图，在中，，，点和点分别是边，上的动点（不与端点重合），且，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接、，将沿折叠，得到． (1)①如图1，求证：； ②如图2，连接，求证：四边形是平行四边形； (2)如图3，，当四边形为菱形时，求四边形与四边形的面积比； (3)如图4，，连接并延长，分别交于点，交于点，当的面积与四边形的面积相等时，请直接写出的值． 86．（2026·湖北孝感·一模）【问题背景】 如图1，在正方形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F．我们可以证明：．（不需要证明） (1)【尝试应用】如图2，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：； ②若E为的中点，，求的长． (2)【拓展探究】如图3，在中，，，，E为边上一点（点E不与点A、B重合），连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的长． 87．（2026·湖北黄冈·二模）解决下列问题 【问题初探】 (1)如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为延长线上一点，且，延长交于于点H．求证：，． 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形中，，，点E是边的中点，F为延长线上一点，，垂足为H，求的长． 【拓展提升】 (3)如图3，在矩形中，，，点E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．当时，求的长． 押题猜想二十一 二次函数综合压轴 试题前瞻·能力先查 限时：24min 88．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，将矩形绕点逆时针旋转90度得到矩形，点的横坐标为，设过两点的抛物线为．    (1)直接写出点坐标：，并用含的代数式表示点纵坐标：； (2)求点的坐标，并用含，的代数式表示； (3)如图2，当时，把点向上平移4个单位长度得到点，连接，若此时抛物线与线段只有唯一的公共点，求的取值范围； (4)当抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点随着点向右移动而向上移动时，求的取值范围． 89．（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 分析有理·押题有据 全卷最后一题，为省卷固定压轴题型，2024、2025年均以二次函数为载体，结合图象平移、参数讨论、整点区域、数形结合与分类讨论思想，考查存在性问题、最值问题，综合性强、区分度高，是全卷难度最高的题目。 终极猜想·精练通关 90．（2026·湖北恩施·一模）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点． (1)如图1，求二次函数的表达式； (2)如图2，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接． ①过点作轴垂线交于，求的长； ②若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“5阶融合点”．如图3，将二次函数在轴左侧部分的图象沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数在第四象限内的图象沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，请求出的取值范围． 91．（2026·湖北随州·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“关联对称二次函数”．例如：的“关联对称二次函数”为． (1)的“关联对称二次函数”为________，的“关联对称二次函数”为________； (2)关于“关联对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身； ③的“关联对称二次函数”为； ④任意两个“关联对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“关联对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，求出的值． 92．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线过点和． (1)抛物线的对称轴是__________； (2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 93．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与抛物线在x轴上方交于点P． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接与相交于点E，连接，记的面积为，的面积为，且，求k的值； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为F，射线与射线相交于点Q，于H．若在线段上总存在一点G，使的面积是面积的2倍，当k的值最大时，连结，过点G分别作的垂线，垂足分别为M，N，连接，求此时线段的长． 94．（2026·湖南衡阳·二模）已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点，连接，，是此二次函数图象上的两个动点，且，连接，． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接，．若，，且，求此时的值； (3)如图，延长，交于点．若，，求证：点在定直线上． 95．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． 96．（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 97．（2026·四川绵阳·二模）如图1，抛物线过点，，与轴交于点，将沿直线平移得到，点分别对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点落在抛物线上时，，求的值； (3)如图2，抛物线平移得到抛物线，图象经过点，抛物线与直线交于另一点，与对称轴右侧的轴交于点，其中点与图象上的对应，当时，若，求的顶点坐标． 98．（2026·安徽阜阳·二模）平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，点是抛物线上，两点之间的一动点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点． ①求线段的最大值； ②如图3，过点作轴于点，设，求的最大值． 99．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，过点作平行于轴的直线交对称轴于点为顶点． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)为抛物线上一点，连接，若，求直线的表达式； (3)过作直线，交抛物线于点，，连接，，直线，分别交轴于点，，在抛物线的对称轴上是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 100．（2026·湖北孝感·一模）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点． (1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____． (2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若， ①求此时点坐标； ②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____． (3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为； ①求的值； ②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 数与式基础（科学记数法＋正负数/数轴） 2 押题猜想二 整式运算与幂的运算 4 押题猜想三 三视图＋图形对称（轴对称/中心对称） 7 押题猜想四 平行线性质与角度计算 10 押题猜想五 概率与统计基础（事件判断＋简单概率） 14 押题猜想六 分式及分式方程 16 押题猜想七 一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 19 押题猜想八 一次函数、反比例函数综合 21 押题猜想九 圆的基础小题 26 押题猜想十 二次函数（选填压轴） 30 押题猜想十一 几何综合（选填压轴） 38 押题猜想十二 几何动点与函数图象（选填压轴） 57 押题猜想十三 数与式解答综合 72 押题猜想十四 几何基本证明（全等与性质） 75 押题猜想十五 解直角三角形实际应用 80 押题猜想十六 统计综合大题 88 押题猜想十七 方程与不等式实际应用 100 押题猜想十八 圆综合大题（切线证明+线段/角度计算） 110 押题猜想十九 二次函数实际应用 133 押题猜想二十 几何综合压轴（几何变换+相似/全等） 146 押题猜想二十一 二次函数综合压轴 179 押题猜想一 数与式基础（科学记数法＋正负数/数轴） 试题前瞻·能力先查 限时：1min 1．（2026·湖北·模拟预测）国家“十五五”规划纲要中指出：国家安全体系和能力进一步加强，能源综合生产能力达到58亿吨标准煤．其中“58亿”用科学记数法表示是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：亿. 2．（2026·湖北咸宁·模拟预测）气温上升记为，则气温下降记为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵气温上升记为正，且气温上升记为， ∴与上升意义相反的下降记为负， 因此气温下降记为 3．（2026·湖北黄冈·二模）数字在如图所示的数轴上的大致位置可能是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【详解】解：在0和之间， 观察数轴可知，点在左侧，点在和之间，点在和之间，且在靠近的位置，点在和之间，且靠近的位置， ∴数字的大致位置可能是点N． 分析有理·押题有据 近两年省卷第 1–3 题必考基础题，2024 考正负数意义，2025 考数轴比较，科学记数法连续两年考查，起点低、情境贴近生活，2026 年稳定送分。 终极猜想·精练通关 4．（2026·湖北孝感·一模）年春节假期襄阳盛世唐城景区接待游客万人次，创下开业年来春节档新高，同比增长．将万用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：万． 5．（2026·湖北武汉·一模）“江城年味浓，出行热度高”．武汉地铁2026年春节9天共运送旅客超过1800万人次．将数据万用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：万 6．（2026·湖北黄石·一模）今年3月12日是我国第个植树节，全国绿化委员会办公室公布的《中国国土绿化状况公报》显示，2025年，我国完成造林万亩．万用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，根据科学记数法的要求可得，， ∴用科学记数法表示是． 7．（2026·湖北·模拟预测）2026年是马年，春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，2026的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数， ∴2026的相反数是． 故选：B． 8．（2026·湖北孝感·一模）“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．立春为二十四节气之首，2026年立春这天北京、武汉、哈尔滨、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴这些气温中最低的是． 9．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：， ∴表示的点在和之间， 观察数轴可知，点在左侧，点在和之间，点在和之间，点在和之间， ∴表示 的点可能是点． 10．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，数轴上的点，，，对应的实数分别是，，，，则这四个实数中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴得，，，， ． 11．（2026·湖北黄石·一模）如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．0.5 【答案】C 【详解】解：设被遮挡住的点表示的数为， 由数轴可知， ∵ ∴在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是． 押题猜想二 整式运算与幂的运算 试题前瞻·能力先查 限时：30s 12．（2026·湖北孝感·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A： 与 不是同类项，不能合并 ∴ A错误． 选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ∴ B错误． 选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减 ∴ C错误． 选项D：幂的乘方，底数不变，指数相乘 ∴ D正确． 分析有理·押题有据 两年均在选择题靠前位置单独考查幂运算、整式化简，侧重基础规范，不设复杂变形，是代数必考点，位置与难度高度固定。 终极猜想·精练通关 13．（2026·湖北咸宁·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：，与原式结果不符，∴A计算错误； B：与不是同类项，不能合并，∴B计算错误； C：，与原式结果一致，∴C计算正确； D：，与原式结果不符，∴D计算错误． 14．（2026·湖北襄阳·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 15．（2026·湖北荆州·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A，， ∴ A错误； 对选项B，， ∴ B正确； 对选项C，， ∴ C错误； 对选项D，， ∴ D错误． 16．（2026·湖北武汉·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 17．（2026·河南商丘·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A∶，故本选项计算错误． 选项B∶与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误． 选项C∶，故本选项计算错误． 选项D∶ ，故本选项计算正确． 18．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意． 押题猜想三 三视图＋图形对称（轴对称/中心对称） 试题前瞻·能力先查 限时：30s 19．（2026·湖北黄石·一模）如图，古代的“斗”，是官仓、粮栈、米行、家庭中必备的粮食度量用具．下列图形是“斗”的主视图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“斗”的主视图是： ． 20．（2026·湖北·二模）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 分析有理·押题有据 2024、2025 连续考查三视图与图形对称性判断，属于几何直观基础题，常结合生活图案、几何体命题，两年题型一致。 终极猜想·精练通关 21．（2026·浙江杭州·一模）榫卯是中国传统木作（建筑、家具）的核心连接技术：凸出为榫（榫头），凹进为卯（卯眼），不用一钉一胶，靠凹凸咬合实现牢固连接.如图，是一个榫卯零件，其主视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，主视图为： 22．（2026·安徽合肥·二模）如图所示的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从上面看，是一个矩形，在矩形内的右侧有一条实线， ∴C选项符合题意． 23．（2026·山西忻州·一模）墀头（chítóu）是中国古代传统建筑构件，特指山墙伸出檐柱外的部分，具有支撑屋檐和排水挡水的功能．如图，是墀头中的一块部件，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该几何体的左视图为： 24．（2026·山东临沂·一模）下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：既是中心对称图形也是轴对称图形； 既是中心对称图形也是轴对称图形； 是中心对称图形，不是轴对称图形； 既是中心对称图形也是轴对称图形； 25．（2026·山东青岛·一模）下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： A、是轴对称图形而不是中心对称图形； B、既是轴对称图形也是中心对称图形； C、是轴对称图形而不是中心对称图形； D、是中心对称图形而不是轴对称图形． 26．（2026·浙江舟山·一模）下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 27．（2026·重庆北碚·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、是轴对称图形，该选项符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意． 押题猜想四 平行线性质与角度计算 试题前瞻·能力先查 限时：1min 28．（2026·湖北宜昌·一模）如图，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 分析有理·押题有据 省卷几何入门必考题，以平行线为载体结合三角形内角、对顶角求角度，难度低、推理简单，属于必拿分点。 终极猜想·精练通关 29．（2026·安徽合肥·二模）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵直尺两边互相平行， ∴， ∴． 30．（2026·陕西商洛·一模）如图，将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，∵直尺的对边平行，， ， ． 31．（2026·广东佛山·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．（2026·陕西商洛·二模）如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作的平行线， ，， ，， ， ． 33．（2026·陕西西安·三模）如图，直线、被直线所截，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， ． 34．（2026·湖北恩施·一模）如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 四边形为平行四边形，， ， 平分， ， ， ， ， ． 押题猜想五 概率与统计基础（事件判断＋简单概率） 试题前瞻·能力先查 限时：1min 35．（2026·湖北·一模）“版七年级下册数学课本共页，某同学随手翻开，恰好翻到第页”，这个事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【答案】C 【详解】解：∵课本共页，随手翻开时，恰好翻到第页可能发生也可能不发生，符合随机事件的定义， ∴这个事件是随机事件． 36．（2026·湖北孝感·一模）湖北旅游资源丰富，黄鹤楼历史悠久、神农架神秘宜人、长江三峡奇崛壮美、恩施大峡谷鬼斧神工，小宜打算五一期间从这四个景点中随机选择一个去旅游，则他刚好选到“长江三峡”的概率是________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，从四个景点中随机选择一个，共有种等可能出现的结果，其中刚好选到“长江三峡”的结果有种， ∴他刚好选到“长江三峡”的概率是． 分析有理·押题有据 2024 考必然事件，2025 考不可能事件，两年均考查简单古典概型，贴近生活常识，是统计概率板块保底题。 终极猜想·精练通关 37．（2026·广东珠海·二模）某气象台发布天气预报显示，明天某地下雨可能性是，则“明天某地下雨”这一事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【详解】解：∵明天某地下雨的可能性为，说明该事件可能发生，也可能不发生，既不是一定发生，也不是一定不发生. ∴“明天某地下雨”这一事件是随机事件. 38．（2026·四川眉山·一模）二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材．实验课上小文将一根燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，该木条熄灭是（   ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵二氧化碳不支持燃烧，将燃着的木条伸入充满二氧化碳的集气瓶中，木条一定熄灭，该事件满足必然事件的定义， ∴该事件是必然事件. 39．（2026·江苏无锡·一模）宜兴气象台发布的天气预报显示，明天宜兴某地下雨的可能性是，则“明天宜兴某地下雨”这一事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【详解】解：∵明天宜兴某地下雨的可能性为，该事件可能发生，也可能不发生，既不是一定发生，也不是一定不发生， ∴“明天宜兴某地下雨”这一事件是随机事件． 40．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于_____． 【答案】 【详解】解：根据电路图可知，只有当开关单独闭合时，小灯泡才发光， ∴小灯泡发光的概率为． 41．（2026·安徽合肥·二模）天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、时间等，由十个天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二个地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）依次组合而成．小李从全部的十个天干和十二个地支中各随机选取一个，组成一组天干地支纪年，求该纪年恰好为 2026 年（丙午年）的概率为_______． 【答案】 【详解】解：由题意得：从个天干中随机选取个，从个地支中随机选取个，所有等可能的结果共有种，其中，恰好为丙午年的结果只有种， 则该纪年恰好为 2026 年（丙午年）的概率为． 42．（2026·山西朔州·一模）以科技赋能生活，智能家电让品质生活触手可及．某智能家电体验馆有4台样机可供体验，分别为智能电视、智能灯具、智能门锁、智能扫地机器人，小李同学从这4台样机中随机选取一台进行体验，小赵同学也从这4台样机中随机选取一台进行体验，则两名同学选取的智能家电不一样的概率是_______． 【答案】 【详解】解：设四台样机分别记为，，，，画树状图如图， 所有等可能的结果总数为种，两名同学选取的智能家电不一样的结果有种， 则两名同学选取的智能家电不一样的概率是． 押题猜想六 分式及分式方程 试题前瞻·能力先查 限时：1min 43．（2026·湖北宜昌·一模）计算的结果是________． 【答案】 【详解】解：． 44．（2026·湖北襄阳·一模）方程的解是________． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 解整式方程得或， 检验：当时，，分式无意义，因此是增根，舍去； 当时，，因此是原方程的解． 分析有理·押题有据 从近五年的中考情况来看，本部分多以大题的压轴题呈现，二次函数含参数问题主要涉及到二次函数的性质以及图像的综合应用问题，同时也会考察到二次函数最值问题以及不等式知识点，综合来看对学生的综合分析能力要求比较高。 终极猜想·精练通关 45．（2026·江苏常州·一模）计算：______． 【答案】1 【详解】解：原式 ． 46．（2026·湖北宜昌·模拟预测）化简的结果为____． 【答案】 【详解】解：． 47．（2026·河北廊坊·一模）化简的结果是______． 【答案】 【详解】解： 48．（2026·北京门头沟·一模）方程的解为_______． 【答案】 【详解】解：已知， ， ， 解得， 检验：当时，最简公分母， 故为原分式方程的解． 49．（2026·湖北武汉·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 【答案】 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， ∵原分式方程无解 ∴， 解得， ∴， 解得：． 50．（2026·山东济南·二模）关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 【答案】且 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边同乘，得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不能为， ∴， 解得且． 51．（2026·四川成都·一模）关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 52．（2026·山东东营·一模）若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 押题猜想七 一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 试题前瞻·能力先查 限时：2min 53．（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，， ∴， 解得． 分析有理·押题有据 2025 省卷第 4 题专门考查，属于代数中档高频点，侧重公式直接应用，不考复杂计算，2026 年极可能延续。 终极猜想·精练通关 54．（2026·江苏泰州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则c的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实根， ∴ 整理得， 解得． 55．（2026·北京平谷·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ 解得： 56．（2026·广西桂林·一模）若方程的两个根是和，则的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是和，其中， ∴由根与系数的关系可得 ，， 对所求式子因式分解得 将，代入得 原式． 57．（2026·四川南充·一模）设方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：由的两根为，得，， ∴． 58．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 59．（2026·山东济南·二模）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 解得， ∴原方程为 ， 解得， ∴方程的另一个根为． 押题猜想八 一次函数、反比例函数综合 试题前瞻·能力先查 限时：2min 60．（2026·湖北黄冈·二模）已知一次函数（k是常数，），y随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为________． 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】在中，随的增大而减小， ,的值可以是（答案不唯一，即可）． 61．（2026·湖北·模拟预测）在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（  ）    A．18 B．28 C．38 D．48 【答案】A 【详解】解：由题意， 把代入，得， ∴， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴的值可以是18. 分析有理·押题有据 两年均考查一次函数实际应用、反比例函数图象与 k 值意义，常结合情境或几何图形，属函数中档必考题。 终极猜想·精练通关 62．（2026·四川乐山·一模）根据物理学中欧姆定律可知，当某电路中电压不变时，该电路中的总电流（单位：A）是该电路中总电阻（单位：）的反比例函数，其图像如图所示．当该电路中总电流大于时，该电路将可能烧坏．为了安全起见，则接入电路的总电阻应不小于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设（k为常数，）． ∵图像过点， ∴，解得：， ∴． 当时，， ∵， ∴，即，即选项A符合题意． 63．（2026·湖北孝感·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上． ∴当时，；当时，；当时，． ∵ ， ∴ ． 64．（2026·江苏无锡·一模）请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 【答案】（答案不唯一，小于0即可） 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，， ， 可以取（答案不唯一）． 65．（2026·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____．    【答案】或 【详解】解：将，代入， 得，， 解得：， 点，． 把，代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为； 如图，连接，    ∵一次函数的解析式为， 当时，， ∴． ∵点，点， ． 设点， 由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 66．（2026·天津南开·二模）若一次函数（k为常数，且）经过点，则k的值为______________． 【答案】 【详解】因为一次函数的图象经过点， 所以， 移项合并同类项得， 系数化为得． 67．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 【答案】或 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的图象交于，两点， ∴由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方， ∴若，则的取值范围是或． 68．（2026·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，反比例函数的图象同时经过点A，C，则k的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，过点A作，垂足为E． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． ∵反比例函数的图象同时经过点A，C， ∴，解得， ∴， ∴，解得． 押题猜想九 圆的基础小题 试题前瞻·能力先查 限时：3min 69．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点、为上两点，连接、，分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接、，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 省卷圆小题侧重基础性质，两年均以作图＋角度/线段计算命题，不涉及复杂综合，定位中档、考查稳定。 终极猜想·精练通关 70．（2026·湖北咸宁·模拟预测）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以C为圆心，长为半径画，交于点D；②分别以O，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接交于点E，交于点F，若，，则的长为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知，垂直平分线段， ，， 在中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 71．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图，内接于，是的直径，以点C为圆心，任意长为半径画弧分别交于点F、点G，再分别以点F、点G为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点D，连接射线交于点E，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是的直径， ， 由作图过程可知，平分， ， ， ． 72．（2026·湖北襄阳·一模）如图，内接于，且圆心O在上，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交，于E，F两点，再以F为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连接并延长交于D，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，, ,, , ∴， ∵圆心在上，即为直径， , , ． 73．（2026·湖北随州·一模）如图，是的直径，点C是上一点，且，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于M，N两点，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，连接交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图得：平分， ， ， ， ， ， ． 74．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 垂直平分， ∴， 为等边三角形， ， ， ∵， ∴． 75．（2026·湖北十堰·一模）如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 垂直平分， ∴， 为等边三角形， ， ． 押题猜想十 二次函数（选填压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．（2026·湖北·一模）已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即，故选项B正确； ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即抛物线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵抛物线开口向上，直线为对称轴， ∴时，取得最小值，最小值为， ∴对任意实数，有，即，故选项C正确； 当时，， ∵抛物线开口向上，两个x轴交点之间的函数值小于0，且， ∴，故选项D错误． 分析有理·押题有据 湖北省统考选填中常以二次函数图像性质、顶点、对称轴、平移变换为核心命题，考查数形结合理解，属于选填压轴高频方向。 终极猜想·精练通关 2．（2026·辽宁锦州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴负半轴交于一点， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， 故结论②错误； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 故结论③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∵， ∴，即， 故结论④错误； ∵，，， ∴点，在二次函数的图象上，， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 3．（2026·安徽六安·二模）已知二次函数的图象经过和，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵二次函数经过， 将代入得 ， 整理得 。 ∵在函数图象上， 将代入得 ， 把代入得 ， ∵， ∴， 解得 ， 对A：，A错误。 对B：，代入a的范围得，B错误， 对C：，代入a的范围得，即，C正确， 对D：，则，代入a的范围得，D给出的范围不准确，D错误． 4．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线对称轴为：直线， 解得：， 抛物线表达式为：， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取最大值，， 当时，取最小值，， ． 5．（2026·江苏南通·一模）已知抛物线和是抛物线上的两点，对于都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， 在抛物线 上， ∴，， ∴， ∵ 对任意 ，都有 ，即 ， ∵，， ∴ ， ∴ 要满足，需对所有恒成立， ∴， ∴，解得. 6．（2026·福建泉州·二模）已知二次函数的图象经过点两点，若关于的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数经过纵坐标相等的两点， ∴原二次函数的对称轴为直线， ∵令 ，它是原二次函数向右平移3个单位得到的函数， ∴的对称轴为直线， ∵方程的两个根是图象与图象的两个交点的横坐标，这两点关于二次函数的对称轴对称， ∴，整理得； 而的值不确定，因此只有B选项正确． 7．（2026·山东济南·二模）已知点在抛物线（为常数，）上，点在直线上．若有且仅有一个整数使得成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点在抛物线上，点在直线上， ∴，， 令， ∵， ∴二次函数开口向上，且的对称轴为， 要使仅有一个整数满足，即，由对称轴位置可知，满足条件的唯一整数只能是， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 8．（2026·四川眉山·一模）已知二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且．下列结论正确的是（   ） A． B． C．当和时，函数的值相等 D．函数与的图象总有两个不同的交点 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为且． ∴对称轴为直线，开口向下， 得 由对称轴公式， 得 ∵， ∴ ∵ 二次函数与轴交于点， 由对称性得另一个交点为 ， 即 ∵开口向下，在两交点和之间， ∴时， ∵， ∴， 故A选项不符合题意； 依题意，把代入 得 ∵在这个范围内，开口向下， ∴ ， 故B选项不符合题意； ∵ ， ∴和关于对称轴对称， ∴函数值相等， 即当和时，函数的值相等 故C选项符合题意； ∴二次函数的图象与轴交于点， ∴， ∵， ∴， 依题意，联立，整理得 ∵ ∴ ， 则， 整理得 ， 当，时， ，无两个交点， 故D选项不符合题意； 9．（2026·山东烟台·一模）已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（   ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．该函数的最大值不小于 D．方程没有实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，的值随值的增大而减小， ∴抛物线开口向下，即，且对称轴为轴或在轴左侧， ∴对称轴． 又∵， ∴可推出． 对于选项A：∵，， ∴，故A错误． 对于选项B：顶点的横坐标为， ∴顶点可能在轴的左侧或轴上，不在第四象限，故B错误． 对于选项C：∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标， ∵抛物线过点，开口向下， ∴顶点在上方或与重合，即最大值不小于，故C正确． 对于选项D：方程的判别式， ∵， ∴，，方程有两个不相等的实数根，故D错误． 10．（2026·江苏苏州·一模）已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：点和在二次函数的图象上， ， ． 由题意得，， ， 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得， 因式分解得 ， 解得； 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 因式分解得 ， 解得； 解不等式： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 整理得 ，因式分解得 ， 解得或． 取三个不等式解集的交集，得． 押题猜想十一 几何综合（选填压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 11．（2026·湖北荆州·一模）如图，在矩形中，点E为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点E作于点G，    ∵四边形为矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴． 12．（2026·湖北宜昌·一模）如图，点为的边上一动点（点与点，不重合），，，与关于成轴对称，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，． （1）的度数为________； （2）当点运动到的中点时，线段的长为________． 【答案】 135 【详解】解：（1）连接，记与交于点， ∵，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵与关于边成轴对称， ∴，，， ∴， 如图，作，交的延长线于点， 则， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 2025 湖北省统考选择压轴为几何折叠计算，侧重图形变换、线段与角度求解，推理与计算并重，是省卷选填压轴主流考法。 终极猜想·精练通关 13．（2026·重庆·一模）如图，点在正方形的边上，连接交对角线于点，过点作交于点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于，于， ∵四边形是正方形， ， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 设，则， ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ． 14．（2026·安徽六安·二模）如图，在正方形中，，点E为边上的动点，F在边上，，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是5 B． C． D．四边形面积的最大值为 【答案】D 【详解】解：在正方形中，∵， ∴， 如图，作点F关于的对称点G，连接，则， ∴，， 即的最小值是的长， ∵， ∴的最小值是5，故A选项正确，不符合题意； 如图，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图，过点P作于点H，连接，则， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，其中， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为2， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为0， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据题意得：， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，故D选项错误，不符合题意． 15．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，，且．连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点分别作于点，，交的延长线于点， ． ， ， 四边形为矩形， ． ， ， ， ． 又，， ， ，， 矩形为正方形， ． 在中，，且， ， ， ，， ． 16．（2026·重庆·模拟预测）如图，正方形中，点为边上一点，四边形为平行四边形；点为对角线边上一点，，连接交于点；已知，，则正方形的边长为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 且， ∴， ∴， 且， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（舍负）， ∴正方形边长为． 17．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在正方形中，点E，F分别是边，上的点且满足，连接对角线．过点D作交的延长线于点G，连接交于点H，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设正方形边长，， ∴， ∴， 如图，过点H作于点M， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·河南新乡·一模）如图，由八个全等的菱形组成的平行四边形网格中，，其中点A，B，C都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：取格点，连接，，则点在线段上，设每个菱形的边长为， 根据菱形的性质知，，，， ∴， 由菱形的性质得是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·山东临沂·一模）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为 _________． 【答案】 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴． 20．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在四边形中，，，点在边上，连接，作的平分线，与边交于点，与边的延长线交于点，，，．若，则的长为______，的长为______． 【答案】 / / 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 作，则，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴， ∵，， ∴． 21．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处．当的长度取得最大值时，折痕的长度为_____．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：根据翻折的性质可得， ∵点在边上， ∴当时，的值最小，即的值最小， ∴此时的值最大， 如图所示，此时，过点作交于点，过点作交的延长线于点，交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设，则，， 根据翻折的性质可得，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∴由勾股定理得． 22．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，，，，分别在边，，，上（不与、、、重合）．则四边形周长的最小值为________． 【答案】 【详解】解：如图，延长至点，使，延长至点，使，过点作交的延长线于点，在的延长线取点，使，连接、、、、、， ∴，垂直平分， ∴， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴，， ， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴的最小值为的长，最小值为， ∴四边形周长的最小值为． 23．（2026·黑龙江鸡西·二模）如图在矩形中，，P为矩形内一点，且，E为上一动点，则的最小值为________．    【答案】 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵P为矩形内一点，且，为定值， ∴点P在一个圆上运动， 如图，设点P在上，过点O作于点F，，交的延长线于点G，连接，，延长，取，连接，，交于点，交于点，    ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、P三点共线时，最小，即最小， ∴当点E在点，点P在点处时，最小， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 24．（2026·陕西商洛·一模）如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的点，，连接．若，则的长为________． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到， ，，， 四边形是边长为6的正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ， 又 ， ， ， 设，， ，，， ， 在中，，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ． 押题猜想十二 几何动点与函数图象（选填压轴） 试题前瞻·能力先查 限时：10min 25．（2026·湖北黄石·一模）如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，则_______，图象最低点的横坐标是_______． 【答案】 5 1 【详解】解：由图象可知：当时，，此时，即点B、F重合，， ∵， ∴， ∴， ∴； 取点E关于成轴对称的点G，连接，与交于点，如图，则有，，所以，根据三角形三边不等关系可得，所以当点F与点重合时，此时y取最小值， 由题意得， 由图象得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴图象最低点的横坐标是1． 26．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图1，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是的面积（）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段），（1）_____cm；（2）当的面积取最大值时，运动时间为_____s． 【答案】 9 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴ 当时，此段面积取得最大值． 分析有理·押题有据 这类题是湖北省统考选填压轴的高频考法，以直角三角形为载体，通过双动点运动形成的三角形面积变化，结合函数图象分段呈现运动过程，考查学生数形结合、分段分析与几何计算能力，区分度高。 终极猜想·精练通关 27．（2026·湖北黄冈·二模）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      【答案】 4 16 【详解】解：连接，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ∴， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的纵坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的横坐标， ． 28．（2026·广东汕头·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 【答案】 3 54 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点， 当时，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当点与点重合时，的值最大， 由函数图象经过点， 则当时，， 当时，连接，，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 当点与点重合时，的值最大，， ∴的最大值为54． 29．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，为边上一点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），的值为．在动点运动的过程中，与的函数图像如图所示．则图像最低点的纵坐标_____． 【答案】 【详解】解：∵动点速度为单位/秒，由图可知：从到共用时秒， ∴斜边； 当时，，此时，且该点是在段的最低点， ∴此时，得， 在中，由勾股定理得：， 又，， ∴，得比例关系： ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，即， 根据垂线段最短，在上运动时，的最小值为， ∴的最小值（即图像最低点纵坐标）：． 30．（2026·甘肃天水·一模）如图（1），在等腰三角形中，，动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动，连接，当其中一动点到达终点时，两动点同时停止运动．设动点运动的时间为的面积为，图（2）是与的函数关系的图象，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据函数图象可知，当点 运动到点 时， 的面积取得最大值 ， 此时如下图，过点作垂足为， ∴， ∵动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动， ∴， ∴的面积为，即， 在直角三角形中，， ∴． 31．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）等腰梯形中，，，，连接，动点从点出发沿匀速运动，在上运动时，在上运动时，动点从点出发沿匀速运动，，当动点到达点时，动点也随之停止运动，若两点同时出发，设点的运动时间为（单位：），的面积为（单位：），下列图象中能反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵等腰梯形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵动点在上的速度为，在上的速度为， ∴在上运动的时间为，在上运动的时间为，总运动时间为， ∵动点的速度为，总路程为， ∴的总运动时间也为， ∴两点同时出发，同时停止，分和两个阶段讨论： ①当时，点在上运动，点在上运动， ∴，，， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，当时，， 令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交点为、； ②当时，点在上运动，点在上运动， ∴在上运动的时间为，，在上运动的时间为，， ∵，，， ∴，， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴， 在中， ， ， 在中， ， ， ∴， ∵，， ∴四边形PQNM是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向下，当时，， 令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交点为、； ∵两个阶段的函数图像均为开口向下的抛物线，顶点纵坐标均为，分别交轴于、和、， ∴能反映与关系的图像是选项B． 32．（2026·天津河东·二模）如图，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：①当时，，， ∴，， ∴， 故①正确； ②由题意知，，， 如图，过点作，过点A作， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大，为， ∵， ∴当时，的最大面积不是， 故②错误； ③由②知， 当的面积为时，， 解得或， 即t有两个不同的值满足的面积为， 故③正确． 综上所述，正确的有①③，一共2个． 33．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图①，在中，，，．动点P、Q均以的速度从点C同时出发，点P沿折线向点A运动，点Q沿边向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）的关系如图②所示，则的值为（       ）    A．18 B．20 C． D． 【答案】B 【详解】解：观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点均以的速度从点同时出发， ， ， ， 由图象可知，当时，， 此时， 过点作于点，如图，则：，   ， ， ， ， ， ， ∴为的中点， ，即， 则． 34．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，． （Ⅰ）当时，如图所示，可知点在线段上，过点作直线的垂线，交于点． 根据题意可知，． 因为，， 所以． 所以． 所以． ． 所以，当，与的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，且随的增大而增大． （Ⅱ）当时，如图所示，可知点在线段上． 根据题意可知，． 所以． 所以，当，与的函数图象是开口向下的抛物线的一部分，且随的增大而减小． 综上所述，选项Ａ图形符合题意． 35．（2026·甘肃陇南·模拟预测）如图甲，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图乙所示．则，的值为（    ） A．7，10 B．7，12 C．8，12 D．9，10 【答案】C 【详解】解：观察图像可知，当时，点P与点B重合， ∵动点P，Q均以的速度从点C同时出发， ∴， ∵， ∴， 当时，此时，， 过P点作于D点，如图，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴P点是的中点， ∴， ∴． 押题猜想十三 数与式解答综合 试题前瞻·能力先查 限时：2min 1．（2026·湖北宜昌·一模）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 分析有理·押题有据 省卷解答题第1题固定考查此题型，2024、2025年分别考查了实数混合运算，题型结构稳定，强调运算步骤的规范性与严谨性，是全卷最基础、最易拿分的解答题，2026年将延续该考法。 终极猜想·精练通关 2．（2026·广东深圳·二模）计算：． 【答案】3 【详解】解：原式， ， ． 3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）计算和解不等式组： (1)； (2)解不等式组． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 4．（2026·山西运城·一模）计算、化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 （2）原式 5．（2026·江苏泰州·模拟预测）计算：． 【答案】5 【详解】解：原式 6．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）计算或化简求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)1 (2)， 【详解】（1）解：（1）原式    ；     （2）（2）原式•    ，     当时，原式．     7．（2026·云南玉溪·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 8．（2026·江西南昌·一模）计算、解不等式 (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解： ． （2）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 9．（2026·山东临沂·一模）解决下列问题： (1)计算：； (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 方程两边同时乘以，得 展开整理得 解得 检验：当时， ， 因此是原分式方程的解． 押题猜想十四 几何基本证明（全等与性质） 试题前瞻·能力先查 限时：2min 10．（2026·湖北·模拟预测）如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴. 分析有理·押题有据 解答题第2题稳定为基础几何证明题，2024、2025年均以三角形、平行四边形为载体，考查全等三角形判定、平行线性质或特殊四边形性质，侧重推理依据的书写规范，难度低、定位稳，是中档生必拿分的关键题。 终极猜想·精练通关 11．（2026·福建宁德·一模）如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：，， ， 即， 又，， ， ． 12．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，于，于，相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵于，于， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·福建泉州·三模）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 15．（2026·云南大理·一模）如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 16．（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ． 17．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 18．（2026·湖北黄石·一模）如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 押题猜想十五 解直角三角形实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：5min 19．（2026·湖北襄阳·一模）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点作 ， 在中，，， 则． 答：小明一家步行上升的垂直高度约为． （2）解：如图，过点作， 根据题意，可知四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则． 答：缆车的行驶路线的长约为． 分析有理·押题有据 2024、2025年连续考查该题型，以仰角、俯角、测距、测高为实际情境，结合解直角三角形知识解决工程测量类问题，模型固定、情境贴近生活，是省卷中档题的必考内容，2026年大概率延续该命题方向。 终极猜想·精练通关 20．（2026·湖南长沙·一模）2026年4月17日12时10分，搭载“高精度探测卫星”的“长征四号丙”运载火箭在酒泉航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为． (1)求的距离； (2)求火箭从处到处的飞行距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴，﹒ 即的距离为； （2）解：在中，∵，， ∴﹒ ∴， 即火箭从处到处的飞行距离为． 21．（2026·陕西咸阳·一模）香积寺塔是陕西省风景名胜区的主要景点之一，在历史上曾有“古塔穿云”、“塔影团圆”等雅称．安安利用周末完成了对香积寺塔高度的测量．如图，安安在地面上的点C处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为；随后，安安从点C处沿方向移动18米到达点D处（即米），在点D处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为．已知，点B、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助安安求出香积寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【详解】解：依题意，得米，，， ∵， ∴在中， 则； ∴在中， 则， ∴， ∴， ∴， 即， ∴米． ∴香积寺塔的高度（米）． 22．（2026·河南·一模）如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向.（参考数据：，，，） (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 【答案】(1)驿站与驿站之间的距离约为 (2)派送员能在内到达驿站 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点， 由题意得，，，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：驿站P与驿站N之间的距离约为． （2）解：根据题意可得，， ， ∵， ∴派送员能在内到达驿站． 23．（2026·湖北襄阳·一模）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 实施过程 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量，两点间的距离； 3．站在处，用测角仪测量从眼睛处看树顶的仰角； 4．测量到地面的高度． 1．选取与树底位于同一水平地面的处； 2．测量两点间的距离； 3．在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到树顶； 4．测量两点间的距离； 5．测量到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【详解】解：“测角仪”方案， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ； “平面镜”方案， ，，，， ， ，即， ． 24．（2026·湖北随州·一模）高速公路在促进经济发展、保障交通安全和提升出行便利方面发挥着重要作用，所以修高速公路遇山需开凿隧道．如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，，那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：） 【答案】点E与点D之间的距离是640米 【详解】解：，，， ， 在中，， ， 答：点E与点D之间的距离是640米． 25．（2026·山东青岛·一模）在一次无人机搜救演练中，无人机起飞后在处悬停，操作员在处测得的仰角为．随后，无人机保持高度不变水平飞行250米到达搜寻目标的正上方处，此时操作员沿无人机飞行方向水平行走180米到达处（在同一水平地面上），在处测得无人机（处）仰角为，求操作员到搜寻目标的水平距离． （结果精确到1米，参考数据：．） 【答案】187米 【详解】解：过点作于点， 设， 则，， ， ， 平行于， ， 四边形是矩形， ， ， 即， ， 解得：， ． 答：操作员到搜寻目标的水平距离为187米． 26．（2026·广东广州·一模）如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 【答案】建筑物的高度约为12.9米 【详解】解：过点 A 作，垂足为 E．则米，米． 在中，，， ∴（米）．   ∴（米）．   答：建筑物的高度约为 12.9 米． 27．（2026·山西运城·一模）2026年1月，运城市盐湖区新建一城市光影地标——“盐湖之眼”摩天轮．博学小组根据某摄影爱好者拍摄的照片（图1所示），绘制出如图2所示的测量方案示意图．已知，，，图中各点都在同一竖直平面内．在点处测得点的仰角，在点处测得点的俯角，米，米，米，图中摩天轮及雕塑主体的宽度均忽略不计．请根据上述数据，计算摩天轮最高点到地面的高度（结果精确到1米．参考数据：，，，，，）． 【答案】摩天轮最高点到地面的高度为66米 【详解】解：过点作于点，过点作于点，延长交于点， ∵，，， ∴四边形、四边形、四边形均为矩形． ，， ，，， ． ， （米）． 由题知，，． 在中，，， （米）． 在中，，， （米）． （米）． 答：摩天轮最高点到地面的高度为66米． 押题猜想十六 统计综合大题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 28．（2026·湖北孝感·一模）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A，B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）．下面给出了部分信息： ①抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89； ②抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100； ③抽取的对A，B款设备的评分统计表与抽取的对A款设备的评分扇形统计图： 抽取的对A，B款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 88 96 B 88 87 n 抽取的对A款设备的评分扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ． (2)5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数； (3)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1) (2)名 (3)见解析（答案不唯一，只要言之有理） 【详解】（1）解：在款设备的评分数据中，出现的次数最多，故众数； （2）解：由题意得，，即； 故（名）， 答：估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名； （3）解：款自动洗车设备更受消费者欢迎， 理由如下：因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但款自动洗车设备的评分数据的中位数比款高，且款自动洗车设备“非常满意”所占百分比更大，所以款自动洗车设备更受消费者欢迎． 分析有理·押题有据 省卷统计题固定为条形统计图与扇形统计图结合的形式，2024、2025年均考查了统计图补全、统计量计算、样本估计总体及统计量的实际意义解读，命题重数据解读、轻复杂计算，结构高度稳定，2026年仍将沿用该模式。 终极猜想·精练通关 29．（2026·湖北·一模）某公司生产A，B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地实效，工作人员从生产的这两种型号扫地机器人中各随机抽取台，在完全相同条件下试验，记录下它们除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 台A型扫地机器人的除尘量：，，，，，，，，，． 台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：，，，，． 抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比 A B 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)若3月公司可生产B型扫地机器人共5000台，估计该月生产的B型扫地机器人“优秀”等级的台数； (3)如果你父母打算从该公司生产的这两种型号的扫地机器人中选购一种，你会建议他们选购哪种型号？请说明你的理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)；； (2)该月生产的B型扫地机器人“优秀”等级的台数约为台． (3)会建议他们选购型号，理由见解析 【详解】（1）解：A型扫地机器人的除尘量中，出现次，出现的次数最多， ∴众数为，即， B型扫地机器人的除尘量中，“合格”的数量为， ∴，即， B组的10个数中，第5个数对应“良好”的第3个数，即90；第6个数对应“良好”的第4个数，即90； ∴中位数为，即； （2）解：（台）， 答：该月生产的B型扫地机器人“优秀”等级的台数约为台． （3）解：建议买A型扫地机器人，理由如下： A型扫地机器人的优秀率高于B型扫地机器人，且A型的方差小于B型，说明A型的产品质量更加稳定．（言之有理即可） 30．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）某校组织开展“学习两会精神，践行强国使命”主题实践活动，并对该校九年级学生一周参与实践活动的总时长（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图．以下为抽取的学生一周践行两会战略主题活动时间频率分布表： 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： (1)“”的频数为______，并把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； (2)调查所得数据的中位数落在______组（填组别）； (3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周践行两会战略主题活动时间不少于的学生人数． 【答案】(1)10，见解析 (2)C (3)名． 【详解】（1）解：抽取的学生总人数为（名）， 则“”的频数为， 补全频数分布直方图如下： （2）解：50名学生中，中位数为第25和26名时长的平均数， A组和B组的频数为，A组、B组和C组的频数为， 第25和26名均在C组， 调查所得数据的中位数落在C组； （3）解：（名）， 答：估计该校九年级学生一周践行两会战略主题活动时间不少于的学生人数为名． 31．（2026·湖北黄冈·二模）为响应国家“全民健身”号召，学校鼓励学生积极参与体育活动，现针对八年级学生的体育锻炼情况展开调查，了解学生每周参与体育锻炼的时长和喜爱的体育项目，为学校后续开展体育活动、优化体育课程提供参考依据，学校从八年级的800名学生中随机调查了部分学生，调查他们每周参与体育锻炼的时长（单位：小时），将收集到的数据进行如下分组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 整理数据，并绘制了如下两个不完整的统计图． 请根据以上信息完成下列问题： (1)本次随机调查的学生人数是________人；扇形统计图中，________，________； (2)补全条形统计图； (3)下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． ①样本数据的中位数在C组； ②扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为． (4)学校规定，每周体育锻炼时长不少于6小时的学生，体育成绩可获得额外加分鼓励，请估计八年级800名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数． 【答案】(1)200，30，10 (2)图见解析 (3)① (4)320人 【详解】（1）解：本次随机调查的学生人数是（人）， ， 即， ∴C组占总人数的百分比是，即； 故答案为：200，30，10； （2）解：∴B组人数为（人），D组人数为（人）， 故补全条形统计图如下： （3）解：∵，， ∴样本数据的中位数在C组，即①正确，符合题意； 扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为，即②错误； 故答案为：①； （4）解：（人）， 答：估计八年级800名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数为320人． 32．（2026·湖北·模拟预测）为增强学生安全防范意识和自我防护能力，学校实施“家校社”联合行动，引导学生学会自我保护．学校在学期初和学期末分别对七年级学生进行安全知识测试，两次测试均随机抽取20名学生．根据收集到的数据，将成绩（单位：分）分为四组进行统计：，，，（满分100分，成绩均不低于60分），并绘制了两次测试成绩的平均数、中位数、众数统计表和学期初测试成绩扇形图，部分信息如下． 学期初20名学生的成绩在B组中的数据是：72，72，75，75，75，76，78． 学期末20名学生的成绩是：77，79，83，84，85，85，85，86，88，90，90，94，94，94，94，97，97，99，99，100． 两次抽取学生的测试成绩统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 79 75 学期末 90 90 (1)填空：__________，__________，__________； (2)七年级有400名学生，估计学期末七年级学生安全知识测试成绩可以达到90分及以上的学生人数； (3)该校七年级学生安全防范意识和自我防护能力，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 【答案】(1)； (2)估计七年级学生安全知识测试成绩可以达到90分及以上的学生人数为人； (3)该校七年级学生安全防范意识和自我防护能力，学期末比学期初提高了，理由见解析． 【详解】（1）解：学期初20名学生的成绩在B组中的人数有人， ∴， ∴， 学期初20名学生的成绩在A组中的人数有： （人）， ∴学期初20名学生的成绩从小到大排列，排在第和的数是， ∴中位数， 学期末20名学生的成绩出现次数最多的是，共次， ∴众数； （2）解：在学期末抽取的名学生中，成绩在分及以上的有人， ∴估计七年级学生安全知识测试成绩可以达到90分及以上的学生人数为： （人）； （3）解：该校七年级学生安全防范意识和自我防护能力，学期末比学期初提高了，理由如下： 从平均数看，学期末的平均数大于学期初的平均数， 从中位数看，学期末的中位数大于学期初的中位数， 从众数看，学期末的众数大于学期初的众数， 以上数据均表明学生成绩整体有所提升． 33．（2026·湖北孝感·一模）2025年4月24日“中国航天日”的主题是“海上生明月，九天揽星河”，这是自2016年以来的第十个“中国航天日”为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息： ：组的数据为：70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79 ：绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全频数分布直方图； (2)在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是_____； (3)随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是_____分； (4)该校要对成绩在E组的学生进行奖励，请估计该校1500名学生中获奖的学生人数． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)分 (4)估计该校1500名学生中获奖的学生人数约为240人 【详解】（1）解：该次抽样调查抽取总人数为（人）， B组人数为：（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）解：A组所在扇形的圆心角度数为； （3）解：该组中位数取其排序后的第位和位的平均数，这两数在C组， 所以，中位数为（分）； （4）解：（人）， 答：估计该校1500名学生中获奖的学生人数约为240人． 34．（2026·湖北襄阳·二模）为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛．竞赛结束后、数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表： 类别 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 a 95 八年级 92.5 97 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“”“>”或“”）； (2)已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为300人和360人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数； (3)根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)456人 (3)七年级，理由见解析 【详解】（1）解：七年级名学生成绩： 出现次数最多的是， 因此众数； 列出八年级名学生成绩，从小到大排序：， 中位数为第个数的平均数，即； 观察成绩分布：七年级成绩更集中，波动更小， 因此方差； （2）解:（人)， 答：估计七八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人． （3）解：我认为七年级的参赛学生掌握得较好． 因为七年级的平均成绩大于八年级，且七年级成绩的方差小，更稳定，故七年级的参赛学生掌握得较好． 35．（2026·湖北十堰·模拟预测）为了庆祝中国共产党建党105周年，学校开展党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为初中组和高中组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，初中组统计表中m，n满足；高中组统计图中70分、80分、90分所对应的扇形圆心角分别为、、．请根据所给信息，解答下列问题： 初中组20名学生竞赛成绩统计表 成绩（分） 70 80 90 100 人数 3 m n 5 (1)求统计表中m，n的值． (2)小明按以下方法计算初中组20名学生竞赛成绩的平均分是：（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确？若不正确，请写出正确的算式并计算出结果． (3)如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由． 【答案】(1)； (2)小明的方法不正确．见解析 (3)甲组成绩好，见解析 【详解】（1）解：根据题意，得，解得； （2）解：小明的方法不正确． 正确的算法： 甲组20名学生竞赛成绩的平均分是： （分）； （3）解：根据扇形统计图可知， 乙组学生竞赛成绩70分、80分、90分、100分所对应的扇形圆心角分别为、、、． 则占比分别为，，，． 所以乙组20名学生竞赛成绩的平均分是： （分） 因为，所以甲组竞赛成绩较好． 36．（2026·湖北荆州·模拟预测）男生小华打算在一分钟跳绳与米跑两个项目中选择一项作为体育中考项目，为了选出自己最佳选考项目，小华记录下最近连续次一分钟跳绳和米跑的试测成绩（每次满分均为分），进行整理、描述和分析，部分信息如下： 【数据收集与整理】 信息一：一分钟跳绳试测成绩（单位：分）依次是，，，，，，，，，． 信息二：米跑试测成绩中，分与分的次数相同，分共次． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 一分钟跳绳成绩 米跑成绩 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小华应该如何选择？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)见解析 【详解】（1）解：根据众数是出现次数最多的数，所以， ∵分与分的次数相同，分共次 ∴ ∴ 中位数的定义将数据从小到大排列，可得中位数为，所以， （2）应选择“一分钟跳绳”项目． 理由：两组试测成绩数据中，平均数、方差相同，而“一分钟跳绳试测成绩”数据的中位数、众数比“米跑试测成绩”数据大，数据集中在（分）多，选择“一分钟跳绳”项目考试可能取得更好的成绩． 37．（2026·湖北黄冈·一模）体重管理年是国家卫生健康委会同教育部、体育总局等16个部门于2025年启动的健康促进活动，旨在应对居民超重肥胖引发的慢性病问题，实施为期三年的全民体重管理专项行动．某中学响应号召，每天组织全校学生开展系列体育活动．为了解学生对各项球类运动的喜好程度，学校从喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 结合调查信息，回答下列问题： (1)统计表中，________，________； (2)统计图中，足球所对应扇形的圆心角的度数为________，估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数为________人； (3)该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从2名喜欢乒乓球，1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的四名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动．请用列表法或画树状图的方法，求被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率． 【答案】(1)30，24 (2)，150 (3) 【详解】（1）解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人）， （人）； （2）解：足球所对应扇形的圆心角的度数为 （人）； （3）设2名喜欢乒乓球分别为、1名喜欢羽毛球为，1名喜欢篮球的为， 从四名学生中随机抽取2人，列树状图如下： 则从四名学生中随机抽取2人共有种，其中2名同学都是喜欢乒乓球有2种， 所以被抽到的2名同学恰好都喜欢乒乓球的概率为． 押题猜想十七 方程与不等式实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 38．（2026·湖北·一模）随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元？ (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共颗，其中购买型芯片的数量不超过型芯片数量的．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元？ (3)该公司用甲、乙两辆运输车运输芯片，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： (4) (5) ①甲车的速度是______． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值______． 【答案】(1)购买颗型芯片需要元，购买颗型芯片需要元 (2)当购买型芯片颗时，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【详解】（1）解：设购买颗型芯片需要元，购买颗型芯片需要元． 根据题意，得，解得． 答：购买颗型芯片需要元，购买颗型芯片需要元． （2）解：设购买型芯片颗，则购买型芯片颗． 根据题意，得，解得， 设所需资金元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时值最小，（元）． 答：当购买型芯片颗时，所需资金最少，最少资金是元． （3）解：①乙车的速度为， 当时，， 则甲车的速度为， 故答案为：． ②，当时，解得， ∴与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为， 当，甲、乙两车相距时， 得，即，解得或， 当，甲、乙两车相距时， 得，即，解得， ∴当甲、乙两车相距时，的值为或或． 故答案为：或或． 分析有理·押题有据 省卷重视数学建模能力考查，2024年考查了二元一次方程组的实际应用，2025年考查了方程与不等式结合的优惠方案问题，命题贴近生活场景，分段计费、方案选择类问题为高频方向，2026年将延续情境化建模的考查趋势。 终极猜想·精练通关 39．（2026·重庆北碚·模拟预测）列方程解下列应用题： 成渝中线高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路主通道之“沿江通道”沪渝蓉高铁的重要组成部分，于2022年11月28日正式动工，设计时速350千米，且大足石刻站至简州站段是全国首条预留400千米提速条件的高铁线路．在施工建设某隧道时，甲、乙两工程队使用智能台车掘进．已知甲队每天比乙队多掘进1米，且甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米． (1)求甲、乙两工程队每天各掘进多少米？ (2)随着科技发展，甲、乙两工程队引进了新型智能台车．新型智能台车使得乙工程队每天掘进量比原来增加米，甲工程队每天掘进量比原来增加的数量是乙工程队每天掘进量比原来增加的数量的2倍，且新型台车使两工程队效率在增加后的基础上再提升．现需掘进两段长度均为210米的隧道，分别由甲、乙两工程队单独施工，结果乙工程队比甲工程队多用4天．若乙工程队每天增加的数量不超过3.2米，求的值． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各掘进米，米 (2)3 【详解】（1）解：设乙队每天掘进米，则甲队每天掘进米 由题意得， 解得， 则 答：甲、乙两工程队每天各掘进米，米； （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 经检验，，都是原方程的解，但，不符合题意， ∴原方程的解为 ∴的值为． 40．（2026·河南新乡·一模）郑州二砂文化创意园位于郑州市中原区华山路，项目占地106.4公顷，总建筑面积101.8万平方米，是在原中国第二砂轮厂旧址（全国重点文物保护单位）基础上改造的综合性文创园区．小明家开的文创店计划购进A，B两款豫博文创产品． (1)已知A款文创产品进价比B款进价贵15元，购进2个A款和3个B款需要155元，求A、B两款文创产品各自的进价； (2)该文创店将B款产品的售价提高作为A款的售价，已知当A款的销售额为240元，B款的销售额为150元时，A款比B款多售出1个，求A，B两款文创产品的售价； (3)在（1）（2）问的条件下，该商店计划购进A、B两款商品共60个，且购进A款的个数不少于B款的一半，假设全部售完的情况下，应如何进货，才能使得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A款进价为40元，B款进价为25元； (2)A款售价为60元，B款售价为50元； (3)购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元． 【详解】（1）解：设B款进价为x元，则A款进价为元， 根据题意：， 解得， ， 答：A款进价为40元，B款进价为25元； （2）解：设B款售价为y元，则A款售价为元， 根据题意列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A款售价为60元，B款售价为50元； （3）解：设购进A款m个，则购进B款个， 根据条件“购进A款的个数不少于B款的一半”：得， 解得：， 总利润W的表达式： ， ∵，∴W随m的增大而减小， ∴当时：最大利润：元， 个 答：购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元． 41．（2026·湖北黄冈·二模）某校举办科技节，同学们用正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成，按照图示规律，第1个图案有2个正六边形，第2个图案有5个正六边形，第3个图案有8个正六边形，…．        (1)按此规律，第6个图案中有________个正六边形；第n个图案中有________个正六边形；（用含n的代数式表示） (2)在这一组图案中存在两个相邻的图案，它们所含正六边形个数之和为667，求这两个图案分别是第几个图案； (3)在这组图案中是否存在一个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第个图案正六边形个数之和的2倍？若存在，求出该图案是第几个图案（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)17， (2)这两个图案分别是第111个图案与第112个图案 (3)存在， 【详解】（1）解：由图可得，第1个图案中正六边形的个数为：2； 第2个图案中正六边形的个数为：； 第3个图案中正六边形的个数为：； ， 第n个图案中正六边形的个数为； 则第6个图案中有个正六边形，第n个图案中有个正六边形； （2）解：设这两个相邻的图案分别是第n个图案与第个图案， 由题意，， 解得，符合实际意义， ∴． 则这两个图案分别是第111个图案与第112个图案； （3）解：存在，设符合条件的是第x个图案． 第a个图案与第个图案正六边形个数之和的2倍是， 则， ∴． ∴第个图案，其正六边形的个数是第a个图案与第个图案正六边形个数之和的2倍． 42．（2026·湖北黄冈·二模）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹，已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)快递站购进甲、乙两种智能分拣机器人共5台，要求每小时分拣的包裹数量不低于1200件，每种机器人至少1台，有几种采购方案？ (3)甲种机器人的价格为每台1万元，乙种机器人的价格为每台0.8万元，在（2）的条件下，如何采购，两种机器人的总价格最小？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)一共有3种方案 (3)采购2台甲种机器人，3台乙种机器人 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣x件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹，根据题意得：， 解得， 则， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设购进甲种机器人y台，由题意得： ， 解得． ∵y为整数， ∴或3或4， ∴一共有3种方案； （3）解：设总价为W万元，则． ∵， ∴当y取最小值时，W取最小值．即当时，W的最小值为4.4万元，此时，采购2台甲种机器人，3台乙种机器人． 43．（2026·湖北·模拟预测）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． (1)求每件种材料和种材料各多少元？ (2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； (2)①且m为整数；② 【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元， 依题意， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）解：①设购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得且m为整数． ②依题意得：， 解得． 44．（2026·北京东城·一模）学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． (1)求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； (2)求用于兑换圆规的兑换券的张数． 【答案】(1)兑换前购买圆规80个，笔记本60本 (2)用于兑换圆规的兑换券为2张 【详解】（1）解：设兑换前购买圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得， ∴，． 答：兑换前购买圆规80个，笔记本60本． （2）解：∵， ∴可获得8张兑换券， 设用于兑换圆规的兑换券的张数为张，则用于兑换笔记本的兑换券为张， 则兑换后圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得． 答：用于兑换圆规的兑换券为2张． 45．（2026·广东深圳·二模）2026年被公认为“智能元年”，产品深受欢迎．某销售公司针对市场情况，计划购进一批产品进行销售．据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元． (1)求每件A型和B型产品的进价分别是多少万元？ (2)若该公司计划购买这两种型号的产品共12件（两种型号的产品均购买），购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品？ 【答案】(1)每件A型产品的进价为1万元，每件B型产品的进价为3万元 (2)该公司至少需要购进8件A型产品 【详解】（1）解：设每件A型产品的进价为x万元，每件B型产品的进价为y万元， 依题意得：， 解得：， 答：每件A型产品的进价为1万元，每件B型产品的进价为3万元； （2）解：设该公司购进a件A型产品， 依题意得：， 解得：， 答：该公司至少需要购进8件A型产品． 46．（2026·重庆·一模）列方程解下列问题： 马年春晚舞台上惊艳全网的歌咏创意秀节目《贺花神》，其创作灵感源自故宫博物院珍藏的一件清代白玉月令组配，这套玉佩由十三件玉牌组成——12片花瓣和1片“六环式活心”花蕊．某校“非遗手工”课程组40名学生买了铝箔纸材料包复刻“月令组配”．已知一个学生在一节课堂中可单独完成8张花瓣制作或2张花蕊制作． (1)应如何分工，才能使一节课堂中完成的“月令组配”的花瓣和花蕊配成套？ (2)该手工复刻非常成功，学校决定再次购买一批材料包和画框向全校师生推广“月令组配”制作并展览．已知学校花费了4000元购买材料包和6000元购买画框，材料包和画框的数量一样多，且画框的单价比材料包单价的2倍少5元，请问材料包的单价是多少元？ 【答案】(1) 安排30名学生制作花瓣，10名学生制作花蕊 (2) 材料包的单价是10元 【详解】（1）解：设安排名学生制作花瓣，名学生制作花蕊，根据题意，得： ， 解得， 答：安排名学生制作花瓣，名学生制作花蕊； （2）解：设材料包的单价为元，则画框的单价为元， 根据题意，得： ， 解得，, 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：材料包的单价为元． 47．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元；辆A型汽车，辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划用不多于万元购进以上两种型号的新能源汽车共辆（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利元，销售辆B型汽车可获利元，问：进A型，B型汽车各几辆，全部售出后能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价是万元，每辆B型汽车的进价是万元 (2)购进辆A型汽车，辆B型汽车时，能获得最大利润，最大利润是元 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价是万元，每辆B型汽车的进价是万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元． （2）解：设该公司购进辆A型汽车，则该公司购进辆B型汽车，全部售出后获得的利润为元 根据题意得：25m＋，解得m≤， 利润， 即， ， 随的增大而增大， 由题意知，当时，取得最大值，最大值为（元）， 此时（辆）． 答：购进辆A型汽车，辆B型汽车时，能获得最大利润，最大利润是元． 48．（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元． (1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元 (2)有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱 【详解】（1）解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元， 根据题意得：． 解得：． 答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元． （2）解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台， 根据题意得：， 解得：． ∵m为整数， ∴，8，9，10， ∴共4种购进方案； 总费用， ∵，故W随m增大而减小， ∴当时，W最小，此时， 最小费用（万元）， 答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱． 押题猜想十八 圆综合大题（切线证明+线段/角度计算） 试题前瞻·能力先查 限时：15min 49．（2026·湖北孝感·一模）如图，是的直径，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，若的平分线交于F，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】（1）证明：连接， ∵平分，      ∴， ， ∴． ∵，   ∴， ∴是的切线； （2）解：∵平分，平分， ∴． 又∵，， ∴. ∴， ∵， ∴. 50．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，内接于，的平分线交于，与相切，交的延长线于． (1)求证：； (2)如图2，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，连接 ∵的平分线交于， ∴ ∴ ∴ ∵与相切 ∴ ∴； （2）解：如图，连接，，，设与交于点F ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴设， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是的直径 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴（负值舍去） ∴， ∴是等边三角形 ∴ ∴的平分线交于， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点O是的中点 ∴ ∴阴影部分的面积 ． 分析有理·押题有据 省卷几何中档核心题，固定结构为“切线的判定/性质证明 + 垂径定理/圆周角定理 + 勾股定理/解直角三角形计算”，2024、2025年命题结构高度一致，步骤规范要求高，是学生突破中档题的关键考点。 终极猜想·精练通关 51．（2026·广东深圳·一模）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点． (1)求证：平分； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：设的半径为，则， 在中，，，， ∴， 解得， 即的半径为． 52．（2026·云南玉溪·一模）如图，在中，，是的外接圆．过点A作，交的平分线于点D，交于点E，连接并延长，交的延长线于点F． (1)若，求线段的长； (2)求证：是的切线； (3)若，，，用含a的代数式表示线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴，则． （2）证明：如图1，过点A作于点G，则． ∵在中，， ∴． 由垂径定理知，经过的圆心O． ∴是的半径． ∵， ∴，则， ∴，垂足为A， ∴是的切线． （3）如图2，过点E作于H， 由（1）知，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 由题及（1）知，， ∴，， 则， ∴， 即，解得，． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴，则． ∵， ∴， ∴， 即，解得，． 53．（2026·浙江舟山·一模）如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，． (1)求证：为切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴为切线； （2）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 54．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，连接并延长，交于点F，过点F作的切线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ， ． 55．（2026·陕西商洛·一模）如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． （2）如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故， 在中，， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 56．（2026·内蒙古乌海·二模）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，． ①求弦的长； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：如图，连接， 是的切线， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：①设的半径为，则， ， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 是的直径且， ， 在中，，， ， ； ②如图，连接，由①得，且， 是的直径且， ， ， 在中， ，， ， 由①得， ， 阴影部分的面积为． 57．（2026·山东临沂·二模）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵中，， ∴， ∵对角线经过圆心O，即是的直径， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：由（1）知， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， 过点作交延长线于点， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴的面积为． 58．（2026·四川成都·一模）如图，是的外接圆，为的半径，连接并延长交于点．过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求及的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ， ， ， ∴， ∴， ． 又， ∴， 垂直平分， ∴． （2）解：如图，由（1）知， ， ． 在中，，即， ； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵是 的切线， ∴， ， ， ， ，即， ． 59．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：过点O作于点E， 于点D， ， ，， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， 是的半径， ， 是的切线； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即的半径． 60．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线，交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接圆心O与点C，如下图： 是劣弧所对的圆周角，是劣弧所对的圆心角， ， , ， （内错角相等，两直线平行）， 是圆的切线， ， ， ． （2）解：如图，连接， 是的直径， ， , ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， 在中，， ， ． 61．（2026·山东菏泽·一模）如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点D． (1)求证：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：过点A作交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴． ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴ ． 62．（2026·山东东营·一模）如图，在中，，以的边为直径作，交于点，且，垂足为点． (1)求证：是的切线 (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直径长为． 63．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，是的直径，为的弦，分别连接，延长至点，连接，使得． (1) (2)求证：为的切线； (3)若为的中点，，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【详解】（1）证明：， ． ， ， . 是公共弧， ， ； （2）证明：为的直径， ， ． 由（1）得， ， ． 为的半径， 为的切线； （3）解：如图，连接， 为的中点， ， ． ， ， ， ． ，即， ， ， ． ， ， 的长为． 押题猜想十九 二次函数实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：10min 64．（2026·湖北宜昌·一模）一位滑雪者从山脚坐匀速上升的缆车5分钟后到达山顶，然后休整2分钟，再从山顶滑下．为了了解整个过程中滑雪者的高度与时间的关系，测得一些数据如下表： 时间 0 60 120 180 240 300 420 425 430 440 高度 0 180 360 720 900 850 700 100 (1)表中的值为________，的值为________； (2)若滑雪者从山顶滑下的高度随时间的变化关系可以近似看成一个二次函数，求整个过程中滑雪者的高度与时间的函数关系式； (3)若正半山腰有一观察哨，求这名滑雪者从上山到下山经过观察哨的间隔时间． 【答案】(1)540；900 (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，由题意得， 解得， ∴， 综上所述，； （3）解：在中，当时， 在中，当时， ， 解得或（舍去）， ， 答：这名滑雪者从上山到下山经过观察哨的间隔时间为． 分析有理·押题有据 2024年考查了二次函数在矩形面积最值问题中的实际应用，以生活情境为载体，考查函数建模、解析式求解与最值计算，符合省卷“重应用、去套路”的命题趋势，2026年大概率回归考查，贴近生活场景命题。 终极猜想·精练通关 65．（2026·湖北孝感·一模）某市为响应“绿色、共享、惠民”的理念举办运动会，某文创企业推出一系列纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略． 【信息收集】 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）为：； ①试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等．为了尽量让利给顾客，求x的值； ②企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略，当时，求每日总利润w的最大值． 【答案】(1)“经典系列”在试销时的每日总利润为4000元 (2)①x的值为40；②每日的最大利润w是4900元 【详解】（1）解：“经典系列”试销时，单件利润为（元）， 日销量为200件， 每日总利润为（元）， 答：“经典系列”在试销时的每日总利润为4000元． （2）解：①根据题意得：， 解得，， 要让利于民，销售单价应尽可能低， 取． ②， ， 当时，有最大值，最大值为． 每日的最大利润w是4900元． 66．（2026·江苏泰州·模拟预测）某商场销售一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，当销售单价为70元时，平均每天可售出30件；销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．设销售单价为x元（），每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)60元，最大利润1200元 【详解】（1）解：， 答：y与x的函数关系式为； （2）解：， 当时，， 答：当销售单价定为60元时，每天的销售利润最大，最大利润是1200元． 67．（2026·陕西西安·模拟预测）八百里秦川腹地，聚焦关中特色作物种植，棚内集中培育着被誉为“关中椒王”、风味独特的线椒．如图为某基地的双层大棚的横截面，外侧顶棚和内侧顶棚．，均为抛物线型，其中与，关于立柱OA对称，其中左右两侧是由两根垂直于地面的立柱CE和DF组成，已知外侧顶棚的最高点A到地面EF的距离为4m，的长为，O为的中点，（，以点O为原点，地面EF所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求外侧顶棚的函数表达式， (2)已知内侧顶棚的函数表达式为，现需要加固顶棚，计划在MN，PQ，MP加装三根钢架，点M到立柱OA的距离为5m，加装的三根钢架的总长度． 【答案】(1) (2)米 【详解】（1）解：由题可知：为开口向下的抛物线，顶点在，故设抛物线解析式为：， ∵的长为，O为的中点， ∴，点， 代入抛物线解析式得：，解得 因此，外侧顶棚的函数表达式为：， （2）解：当时，代入：，得，即， 代入得，即 ∵，两条抛物线都是关于轴对称， ∴点，， （米） （米） （米） 总长度：（米） 答：三根钢架的总长度为米. 68．（2026·广东梅州·一模）图①是一座形似抛物线的对称石拱桥，图②是其桥拱的示意图，测得桥拱跨径，拱顶离水面的距离． (1)请建立适当坐标系，求出桥拱所在的抛物线解析式； (2)如图③，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得．根据图②状态，货船能否通过此拱桥？请说明理由． 【答案】(1) (2)货船能通过此拱桥，理由见解析 【详解】（1）解：以点为原点，射线方向为轴正方向，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，，，， ∴可设桥拱所在的抛物线解析式为 代入点，则 解得 ∴桥拱所在的抛物线解析式为； （2）解：货船能通过此拱桥，理由如下： 由题意得，点的横坐标为， 将代入， 则， ∴货船能通过此拱桥． 69．（2026·陕西西安·模拟预测）某商业大楼外墙的广告牌因电路老化燃起大火．接警后，消防员迅速抵达现场，将消防车停在大楼正前方空旷地带，操控车载水枪灭火，水流在空中形成抛物线．如图所示，已知火情发生在大楼外墙的点处，点距地面10.5米高，与消防车水枪出水口的水平距离为12米，水枪出水口距地面3米高．以水枪出水口为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)经观测，水枪喷出的水流在离出水口水平距离8米处达到最大高度，此时水流恰好精准喷射到处．求水流所在抛物线的函数表达式； (2)若距地面高度为12米的五楼窗台内又发现着火点，点距外墙的水平距离为1米．原水流轨迹无法覆盖，且场地限制，消防车无法进一步靠近，只能通过向上平移水枪喷头来调整水流位置，且新水流的抛物线与原抛物线形状相同．为确保水流能精准喷射到点处，喷头应向上平移多少米？ 【答案】(1) (2)喷头向上平移米，则可精准喷射到处 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点横坐标为8，点， 则设该水流所在抛物线表达式为， 将原点和分别代入， 得， 解得， 该抛物线表达式为； （2）解：（米）， 点坐标为， 设向上平移后的抛物线表达式为， 将代入得：， 解得， 则喷头向上平移米，则可精准喷射到处． 70．（2026·陕西西安·三模）打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型．如图②，铁水从表演台中心被击打后飞出，其运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为．以为原点，地面OA所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； (2)为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请通过计算说明与表演台中心的水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） 【答案】(1) (2)不在观赏区安全范围内 【详解】（1）解：根据题意可知，点的坐标为， 则抛物线的对称轴为，顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入可得， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：据（1）可知抛物线的函数表达式为， 根据题意，在升降台上击打铁水形成的抛物线表达式为， 当，则，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故与表演台中心的水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 71．（2026·陕西汉中·二模）蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，大棚的跨径，顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式； (2)现要在大棚上点E处焊接内部加固钢材，且，并在加固钢材右侧安装矩形供暖设备和，其中点M，P在大棚上，，．当点E到保温墙的距离为时，求供暖设备横截面的面积． 【答案】(1) (2)供暖设备所占的面积为 【详解】（1）解：∵顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为． ∴点， ∵大棚的跨径， ∴点． 设蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点E到保温墙的距离为，， ∴，点P的纵坐标为1.1． ∵， ∴点M的横坐标为， 当时，； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）． ，． ∴供暖设备所占的面积为． 72．（2026·陕西西安·三模）如图1是某海洋馆时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作由抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小晨以为原点，建立如图2的平面直角坐标系．抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)为保障观赏效果，工人师傅搭建一木板对玻璃隧道进行清洁，与的夹角为，已知工人师傅（身高忽略不计，视为点）能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度2.3米处．若工人师傅从点沿木板向上走4米到达点处，他能刷到正上方的玻璃隧道吗？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)他能刷到正上方的玻璃隧道，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：他能刷到正上方的玻璃隧道，理由如下： 如图，过点M作轴于点N，交抛物线于点E 根据题意得，， ∴ ∴ ∴将代入 ∴ ∴ ∴他能刷到正上方的玻璃隧道． 73．（2026·湖北孝感·一模）某校人工智能小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，在飞行到点时，人工科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． (1)求、的值； (2)在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离； (3)【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，当飞行器的水平距离为9时飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)，； (2)这两个位置之间的距离为； (3) 【详解】（1）解：∵抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度， ∴， 解得， ， 时，， ， 点在直线上， ， ； （2）解：，整理得：． 解得：（不合题意，舍去），． ． 解得：， ． 答：这两个位置之间的距离为； （3）解：当时，， ， 经过点， ∴， 解得， ∴直线为， ∴直线与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴， 时，． 74．（2026·陕西咸阳·一模）如图，某款无人机某次飞行的路线可以看作抛物线，飞行起点为A，落地点为B，且 其飞行的最大高度为36米，此时距离飞行起点A的水平距离为20米，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，已知飞行起点A到的距离为20米． (1)求图中抛物线的函数表达式； (2)某建筑物的主视图为矩形（如图），其中点C、D在x轴正半轴上，米，米，建筑物一侧距离飞行起点A的水平距离为10米，若要求无人机飞行过程中距离建筑物示意图的顶点E、F的竖直距离不少于4米，则本次飞行符合条件吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)本次飞行符合条件；理由见解析 【详解】（1）解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点A的坐标为代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：本次飞行符合条件；理由如下： 把代入得： ， 此时无人机与点F的竖直距离为（米） 把代入得： ， 此时无人机与点E的竖直距离为（米） ∵， ∴本次飞行符合条件． 75．（2026·山西临汾·一模）综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … (1)【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； (2)【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 【答案】(1)任务1：， 任务2：当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米 (2) 【详解】（1）任务1：解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点， 设抛物线的解析式是， 可得：， 解得：， ； 任务2：当时， 可得：， 解得：，， ， ， 当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米； （2）解：，， ， ， 整理可得：， 设发射台的高度为米， 则抛物线的解析式为， 当抛物线经过点时，则米， 点的坐标为， 可得：， 解得：； 当抛物线经过点时，则， 点的坐标为， 可得：， 解得：， ． 押题猜想二十 几何综合压轴（几何变换+相似/全等） 试题前瞻·能力先查 限时：24min 76．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． (1)如图①，若点与线段的中点重合，求并说明线段与线段的位置关系； (2)如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 【答案】(1)， (2)，理由见解析； (3)的长为或. 【详解】（1）解：∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）解：如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或． 77．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，已知：矩形纸片，（），点，分别是边，上的点，将纸片分别沿直线，折叠，点对应点落在矩形的内部，点对应点落在直线上． (1)的度数为________； (2)如图2，当时，点与重合，将矩形纸片再沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上，连接交于点． ①的度数为________； ②若，求线段的长； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的值为或 【详解】（1）解：由折叠的性质得，，， 矩形纸片， ， 点对应点落在直线上，即点，，三点共线， ， ，即， ； （2）解：①由折叠的性质得，，，，， ，即点，，三点共线， 点在折痕上，即点，，三点共线， ， ，即， ； 解：②矩形纸片， ， 由①知，， 在中，，， 则，， ，即， 矩形是正方形， ， 由折叠得，，， ， ，， ， 在中，，即， 则； （3）解：如图3，延长交于点，过点作，交、于点、， 设，则，， 矩形纸片， ，， （）， ， ， ，则， ， ， ， ，即， 在和中，， ， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，即， ， ，， 在中，，即，，，整理得， 左右两边同时乘，得，解得或 则的值为或． 分析有理·押题有据 省卷几何压轴题，2024年以矩形折叠为载体，2025年以三角形旋转为载体，均以几何变换为核心，结合全等、相似三角形知识，采用多问递进的命题形式，难度逐级提升，对学生的几何推理与辅助线构造能力要求较高，是区分学生层次的关键题型。 终极猜想·精练通关 78．（2026·天津河东·二模）将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，点，点，动点D在边上，折叠该纸片，使折痕所在直线经过点D，并与射线交于点E，且，点A的对应点为，设． (1)如图①，当时，填空：线段的长为_____，线段的长为_____，点的坐标为_____． (2)如图②，若折叠后重合部分为五边形，点O的对应点为，分别与边，交于点G，H，试用含有t的式子表示线段，并直接写出t的取值范围； (3)若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是_____．（直接写出结果即可） 【答案】(1)4，， (2)，t的取值范围为 (3)2 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ∵正方形纸片放在平面直角坐标系中，点，点， ∴， 当时，重合， ∴， ∴ ∴ ∵折叠， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 点的坐标为； （2）解：如图， ∵正方形纸片 ∴，， ∵折叠，，， ，，， 又∵， ∴，则， 在中，，， ， 在中，， ∵ 当时，，解得： 当时，，解得： ∴当折叠后重合部分为五边形时，， （3）解：当时，折叠后重合部分为四边形， ， ∴，， 此时面积为 当且重合面积为三角形时，如图，设与交于点， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∴当时，重合面积为 79．（2026·安徽合肥·二模）如图，在正方形中，与交于点O，点E是边上的动点，连接交线段于点F． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，连接，若，，求证：． (3)在（2）的条件下，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：取的中点，连接并延长至点，使得， ∵四边形是正方形， ∴是的中点，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 由（2）得出， ∴ ∴ 即三点共线， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 80．（2026·四川成都·一模）如图1，已知和共顶点A，现固定，让绕点A在平面内旋转．已知，，． (1)如图1，连接、，试探究的值； (2)如图2，连接、，点E始终在直线右侧，设与交于点G，当时，试求此时的值； (3)在的旋转过程中，取的中点F，试探究以点A、D、F构成的三角形是否可以为直角三角形？若可以，请直接写出此时的值；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或或 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 即，解得， ∴， ∴即，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． （2）解：如图，过点D作交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴点E，D，H三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 在中，． （3）解：由题意知，要使是直角三角形， 此时分情况讨论： ①当点A为直角顶点时，， 如图，过点C作交延长线于点K，过点E作交于点L，与交于点K， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴点K为的中点， 同理可得，点A为的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴； ②当点A为直角顶点时，， 如图，延长，交点P， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ③当点D为直角顶点时，，此时点D，E，F，C四点共线， 在中，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在中，； ④当点D为直角顶点时，，此时点E，D，F，C四点共线， 在中，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在中，， 综上所述，的值为或或或． 81．（2026·四川眉山·一模）如图，在菱形中，点在边上，将沿翻折得到，连接． (1)如图1，当直线时，判断的形状； (2)如图2，线段与分别交于点，连接交于点，设， ①当时，求证：； ②当时，用含的代数式表示的长． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2)证明过程见解析； 【详解】（1）解：延长交于点， ， ， ， ， 沿翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：沿翻折得到， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； 在菱形中， ，， ，， ， 由翻折条件可知： ，， ，， ，，，四点共圆， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 82．（2026·安徽六安·二模）在矩形内，，．点P是的中点，连接，点B关于的对称点是E，连接． (1)如图1，若， ①求证：； ②求的值； (2)如图2，连接，当时，且D、E、P三点在同一条直线上时，求． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【详解】（1）解：①∵点B关于的对称点是E， ∴且， 又∵P是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②根据题意得：， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵点B关于的对称点是E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴（负值舍去）． 83．（2026·安徽合肥·二模）如图，在正方形中，点是上一点，延长至点，使，连接，，，交于点，过点作，垂足为点，交于点，连接，交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，． （i）求的长； （ii）求的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2)（i）（ii） 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形 （2）（i）∵正方形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （ii）∵正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 84．（2026·福建泉州·二模）如图1，是等边三角形，为边上不与重合的一点，点为中点，连接，将射线绕点顺时针旋转交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过点作于点，交于点，连接，如图2．已知下列三个结论中，至少有一个是正确的，请你选择其中正确的一个结论，并证明． 结论：①； ②；③平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 由旋转性质可知， 又， ； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图1所示： 又点为中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 由（1）知， ，即， 在和中， ， ， 为等腰三角形， 又， 为等边三角形， 又， ； （3）证明：选择结论①，证明如下： 由（2）知，为等边三角形，则在中，， 设与相交于点，如图2所示： 由（2）知， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即是线段的垂直平分线， ， ， ，即； 选择结论③，证明如下： 延长至点，使得，连接，设与相交于点，如图3所示： 则， 由（2）知， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 为等边三角形， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，如图4所示： 则， ，即， 垂直平分， ， ， 由可得， ， ， 即平分； 结论②：如图，连接交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图， 可以发现，在点的位置在线段上从左至右移动的过程中，会逐渐增大， ∴也一直在变化，不恒为， ∴②错误． 85．（2026·辽宁丹东·一模）如图，在中，，，点和点分别是边，上的动点（不与端点重合），且，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接、，将沿折叠，得到． (1)①如图1，求证：； ②如图2，连接，求证：四边形是平行四边形； (2)如图3，，当四边形为菱形时，求四边形与四边形的面积比； (3)如图4，，连接并延长，分别交于点，交于点，当的面积与四边形的面积相等时，请直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：①∵将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，且， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； ②如下图， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）如下图，过点作于点， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即四边形与四边形的面积比为； （3）如下图，过点作于点， ∵， ∴，即， 设，则， ∵的面积与四边形的面积相等， ∴，即，解得， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， 又∵， ∴直线垂直平分，即，且， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 86．（2026·湖北孝感·一模）【问题背景】 如图1，在正方形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F．我们可以证明：．（不需要证明） (1)【尝试应用】如图2，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：； ②若E为的中点，，求的长． (2)【拓展探究】如图3，在中，，，，E为边上一点（点E不与点A、B重合），连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)2或 【详解】（1）①证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； ②为的中点，， ， 由①知， ，即， ． （2）解：∵，， ∴，， 解得， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，， ∴，即， 又∵， ∴； 当时，， ∴，此时点与点重合，不符合题意； 综上所述，的长为或． 87．（2026·湖北黄冈·二模）解决下列问题 【问题初探】 (1)如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为延长线上一点，且，延长交于于点H．求证：，． 【类比迁移】 (2)如图2，在矩形中，，，点E是边的中点，F为延长线上一点，，垂足为H，求的长． 【拓展提升】 (3)如图3，在矩形中，，，点E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：四边形是正方形， 、， 在和中， ， ， 、， ， ， 即； （2）解：四边形是矩形， 、 ， ， ， ， ， ， 点E是边的中点， ， ， ； （3）解：延长交于点H， 四边形是矩形， 、、， ， 、， 在中，由勾股定理得：， 沿折叠得到， 、，即， ， ， ， 、， 即， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 押题猜想二十一 二次函数综合压轴 试题前瞻·能力先查 限时：24min 88．（2026·湖北宜昌·一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，将矩形绕点逆时针旋转90度得到矩形，点的横坐标为，设过两点的抛物线为．    (1)直接写出点坐标：，并用含的代数式表示点纵坐标：； (2)求点的坐标，并用含，的代数式表示； (3)如图2，当时，把点向上平移4个单位长度得到点，连接，若此时抛物线与线段只有唯一的公共点，求的取值范围； (4)当抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点随着点向右移动而向上移动时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或 (4) 【详解】（1）解：由旋转的性质得，点在轴负半轴上， ∵， ∴， ∴； ∵，点的横坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵矩形，， ∴轴， 由旋转的性质得， 由（1）知， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； （3）解：由（1）知，由（2）知抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的解析式为， 把点向上平移4个单位长度得到点，则， 设线段所在直线的解析式为，则，解得， ∴线段所在直线的解析式为， 联立，则， ∴，即 ∴， ∵抛物线与线段只有唯一的公共点， ∴或， 当时，则，即恒成立； 当时，则，解得； 综上，的取值范围为或； （4）解：由（2）抛物线为， ∵抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴， ∴，解得， ∴顶点坐标为：，即， 令， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， 当时，随的增大而增大， ∵顶点随着点向右移动而向上移动，即随的增大，增大， ∴， ∵， ∴t的取值范围为． 89．（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式； （2）解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； （3）解：①当时，， ∴点，则点． ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或． 分析有理·押题有据 全卷最后一题，为省卷固定压轴题型，2024、2025年均以二次函数为载体，结合图象平移、参数讨论、整点区域、数形结合与分类讨论思想，考查存在性问题、最值问题，综合性强、区分度高，是全卷难度最高的题目。 终极猜想·精练通关 90．（2026·湖北恩施·一模）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点． (1)如图1，求二次函数的表达式； (2)如图2，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接． ①过点作轴垂线交于，求的长； ②若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“5阶融合点”．如图3，将二次函数在轴左侧部分的图象沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数在第四象限内的图象沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，请求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②或； (3)或． 【详解】（1）解：∵二次函数对称轴为直线，且过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①在中，当时，，则， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点， ∴由对称性可知点B的坐标为； 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 在中，当时，， ， ； ②∵，和同高（到直线的高）， ∴，即 如图，过点分别作轴的平行线，分别交直线于两点， ∴， ∴， 由（1）得， ∴ 设，则 ∴， ∴， 解得， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或； （3）解：“阶融合点”，满足， ， ∴所有的“阶融合点”都在直线上 当直线过点时，； 当直线过时，， 由图可得：当时，直线与的交点只有2个； 当与只有一个交点时， 联立得， 整理，得， ， 解得， 由函数图象可知，当时，直线与的交点只有2个； 综上，若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，的取值范围为或． 91．（2026·湖北随州·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“关联对称二次函数”．例如：的“关联对称二次函数”为． (1)的“关联对称二次函数”为________，的“关联对称二次函数”为________； (2)关于“关联对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身； ③的“关联对称二次函数”为； ④任意两个“关联对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“关联对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，求出的值． 【答案】(1)； (2)①②③ (3)或或或 【详解】（1）解：由题意得：的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“关联对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“关联对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“关联对称二次函数”为； （2）解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“关联对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“关联对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“关联对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“关联对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③； （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． 92．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线过点和． (1)抛物线的对称轴是__________； (2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；；③，，， 【详解】（1）解： 对称轴为直线 （2）解：①∵ 在对称轴 上，关于对称轴对称， ∴ ∵ ，，且 两式相减得 设， 令，则， 由根与系数的关系得 ， 又 ， 代入得： ， 解得 ​ 即 ②轴且过 ， 故 ， 联立抛物线： 整理得 设 ， 由根与系数的关系得 则： 的高为 ，故面积 ∵，， 当 时，根号内取最小值5， 故， 此时抛物线解析式为 ③∵点在②中所求抛物线上，横坐标为，则纵坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为． ∴，，，分三种直角情况讨论： ，， 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： ​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： ​​ 综上所述，的值为，，，． 93．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线经过点A，且与抛物线在x轴上方交于点P． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接与相交于点E，连接，记的面积为，的面积为，且，求k的值； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为F，射线与射线相交于点Q，于H．若在线段上总存在一点G，使的面积是面积的2倍，当k的值最大时，连结，过点G分别作的垂线，垂足分别为M，N，连接，求此时线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：， 当时，不论取何值，始终成立， 解得 ∴直线经过点 将点，，代入 则 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：过分别作轴的平行线交直线分别于点， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 设，则， ∴ 把代入得， ∴ ∴， 解得， ∴或， 当点时，代入，则，解得 当点时，代入，则，解得， ∴或； （3）解：联立直线和抛物线 则 解得或 ∴ 同（2）可求直线 ∵轴， ∴把代入得， ∴ 过点作交轴于点， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴， 同理可求直线， ∵ ∴， ∴， 设直线 代入，则 解得 ∴直线 设，过点作轴交于点， ∴， ∴ ∵， 又∵的面积是面积的2倍 ∴， 解得， ∵点G在线段上， ∴ 整理得 令，当时，根据二次函数与不等式的关系可求； 令，当时，根据二次函数与不等式的关系可求或， ∴综上： ∴的最大值为， ∴此时， ∴此时点重合，过点作轴于点，过点作轴于点 ∴， ∴，， ∴， ， ∵过点G分别作的垂线，垂足分别为M，N， ∴， ∴，， ∴ ∴， 而， ∴ ∴ ∴． 94．（2026·湖南衡阳·二模）已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点，连接，，是此二次函数图象上的两个动点，且，连接，． (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接，．若，，且，求此时的值； (3)如图，延长，交于点．若，，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，， 故将，代入，得， 解得， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：将代入到中，得， 即点的坐标为． 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的表达式为：． 如图，分别过点，作轴的平行线交直线于点，， 则，． ∵点，在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ． ∵，， 即， ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得或． 当时，点与点重合，此时不存在，故舍去； 根据题意可得，，， ∴． 当时，， 故． （3）证明：设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为． 同理可得直线的表达式为． ∵点是，的延长线的交点， ∴，且， 解得， ∴点在定直线上． 95．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：令，则 ， 在左侧 ， （2）解：如图，作轴，轴 轴，轴 ， ， 当时，， ∴， ， 直线 是常数 当时，原式最小 （3）解：取的中点，以长为半径作圆 当在圆上时， ， 将代入抛物线表达式 得到 （舍）， 是钝角 96．（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【详解】（1）解：将代入得， 将代入得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，，解得：（舍），， ∴． （2）解：∵对称轴， ∴设， ∵，， ∴，，， ①当A为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ②当C为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ③当N为直角顶点时，， ∴， 解得：，， ∴或， 综上所述，点的坐标为或或或． （3）解：如图，延长交y轴于F，在上取点E，使， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标是， 点A的坐标是、点F的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：，解得：， ∴直线的解析式是， 联立，解得：（舍），， ∴点D的坐标是． 97．（2026·四川绵阳·二模）如图1，抛物线过点，，与轴交于点，将沿直线平移得到，点分别对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点落在抛物线上时，，求的值； (3)如图2，抛物线平移得到抛物线，图象经过点，抛物线与直线交于另一点，与对称轴右侧的轴交于点，其中点与图象上的对应，当时，若，求的顶点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 即． （2）解：点在抛物线上， 设， 过点作轴交于点， ， ， 直线的解析式为：， ， ， ． ， ， 即， ， 解得（舍去）， ． 由平移性质得，且， ， ， ． （3）解：由平移性质知：， ， 又的对称轴， ， ， ，， 设直线的解析式为， 将代入得，， 直线的解析式为：， 令， 解得：， ， 在的图象上，又， 设， 则是由向右平移个单位，再上平移个单位而得， 的顶点坐标是， 的顶点坐标为， 设的解析式为：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 将点代入解析式得： ， 即， 解得或（此时点重合，舍去）， 顶点坐标为． 98．（2026·安徽阜阳·二模）平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，点是抛物线上，两点之间的一动点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点． ①求线段的最大值； ②如图3，过点作轴于点，设，求的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，即； （2）解：①由（1）知， 设直线的解析式为， 将，代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，过点作轴交于点， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为； ②由①知，，， 延长交于点， ，， ，则 为等腰直角三角形， ， ， ， 把代入直线的解析式， 可得交点的横坐标， 轴， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 99．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，过点作平行于轴的直线交对称轴于点为顶点． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)为抛物线上一点，连接，若，求直线的表达式； (3)过作直线，交抛物线于点，，连接，，直线，分别交轴于点，，在抛物线的对称轴上是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 轴， 点． （2）解：如解图①，点在抛物线上， 设点， 点，点， ， ， ， ， ，即．解得或； 或，即，得该方程无解， 或， 由（1）知抛物线的对称轴为直线， 点， 设直线的表达式为，将点代入， 得， 直线的表达式为； 同理，由点得直线的表达式为， 综上所述，直线的表达式为或． （3）解：存在定点， 如解图②，设点，点），假设点在点右侧， 点在直线上， 故根据点坐标可设直线的表达式， 设直线的表达式为， 为直线与抛物线的交点， 联立直线与抛物线，得， 得， 得， 设直线的表达式为， 将点代入，得 ，解得， 直线的表达式为， 点； 同理，得直线的表达式为， 点， 设点，因为， ， , 根据勾股定理，有，， ， 即， ， 则有， 代入韦达定理结果，得 , ， ， ， 点的坐标为或． 100．（2026·湖北孝感·一模）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点． (1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____． (2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若， ①求此时点坐标； ②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____． (3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为； ①求的值； ②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)①；② (3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为； （2）解：①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当在对称轴右侧抛物线上， ∴， 当时，，则， 综上所述，； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，，过点作轴并延长交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的最小值为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图，在上截取，在轴上取点，则， ∴， ∴， 在射线上取一点，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∵， 在中，， ∴； ②设的面积记为， 如图，过点作轴交于点， 设，则， ， ∵为抛物线上第四象限的一动点，； ∴的横坐标， 又∵， ∴， ∵， ∴，           ∴， 解得：． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $