3.4 数列的应用（课件）--语文版《数学 拓展模块一》《上好课》

该中职数学课件聚焦数列的应用，核心内容为等差数列、等比数列在实际问题中的求解。课堂导入先通过知识回顾梳理数列定义、分类及等差等比公式，再结合零存整取、出租车计费等真实案例引入，搭建从基础概念到实际应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是以生活实践案例（如银行储蓄、林场造林）为载体，通过“找规律、建数列、用公式、解决实际问题”四步小结，培养数学抽象、数学运算和逻辑推理核心素养。学生能提升将实际问题转化为数学模型的能力，教师可借助结构化案例与分层练习优化教学流程。

3.4 数列的应用 第三单元 数列 语文版 拓展模块一 学习目标 1.熟练掌握等差数列、等比数列的相关定义与公式； 2.能准确识别生产生活中可转化为等差、等比数列的实际问题并灵活运用公式求解； 3.通过数列应用的学习，提升将实际问题转化为数学问题的能力，培养数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 3.4 数列的应用 知识回顾 知识回顾 类型 定义 通项公式 前项和公式 等差数列 等比数列 教学引入 新知讲授 3.4 数列的应用 新知讲授 新知讲授 新知讲授 时 间 到期的利息 到期的本利和 第个月 第个月 …… …… …… 第个月 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 学以致用 3.4 数列的应用 学以致用 学以致用 学以致用 学以致用 师生交流 拓展思考互动 同学们，我们已经完成数列这一章节的学习，现在请同学们回顾所学知识点并思考一个问题：我们学习数列的应用，到底有什么意义？它对我们的生活、未来的工作，有什么帮助？ 答案举例： (1)为规划攒钱、预测电量、安排时间提供帮助(比如自己计算攒钱买东西需要多久，预测手机多久没电)，让生活更有条理; (2)统计产量、计算销量、规划生产，都离不开数列知识，学好它，能让我们以后的工作更高效、更精准...... 课堂练习 3.4 数列的应用 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 3.4 数列的应用 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 数列的定义： 按一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 等差数列与等比数列 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在生活实践中，有很多实际问题都可以转化为数列问题，然后用数列的知识求解。下面，我们将结合几个典型的真实案例，一步步学习如何把实际问题转化为数列模型，并运用相关公式解决问题。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【案例一】银行有一种储蓄业务叫做零存整取，即 每月定时存入一笔相同数目的现金，到约定日期可 以取出全部本利和。规定每次存入的钱不计复利。 若某人每月初存入100元，月利率为0.3%，则到第 12个月末整取时本利和是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【分析】 本利和＝本金＋利息。 第1个月存入的100元，计利12个月，到期本利和是(100＋.3%)元； 第2个月存入的100元，计利11个月，到期本利和是(100＋.3%)元； ……； 第12个月存入的100元，计利1个月，到期本利和是(100＋.3%)元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【分析】由此可知，每个月存入的100元钱的到期本利和构成一个等差数列，其和就是所要求的12个月的本利和的总款数。每个月存入的100元钱到期的利息以及本利和见表。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【分析】 由题意可知，每个月存入的100元钱的到期本利和构成一个等差数列，设为，则， ，， ∴。 答：到第12个月末整取时的本利和是1223.4元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【案例二】某市出租车的计价标准为1.2元， 起步价为10元，即最初的4(不含4)计费 10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14处 的目的地，且一路畅通，没有等候时间，需要支 付多少车费？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【分析】 根据题意可知，当行程达到4时，车费为..2(元)， 行程达到5时，车费为11...4(元)． 显然，当行程不小于4时， 每公里所付的车费构成一个公差为1.2的等差数列，因此可以通过建立一个等差数列的模型来计算车费． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【分析】 令（元），表示4处的车费，公差（元）， 那么当车行驶至14处时，， 此时需支付的车费为 （元）． 答：需要支付车费23.2元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【案例三】某林场今年计划造林，以后每年比上一年多造林，那么从今年起，几年内可以使林场造林面积达（结果保留到个位）？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【分析】 今年计划造林， 第2年计划造林， 第3年计划造林， 依此类推．由此可知，每年计划造林的面积构成一个等比数列． 设为，则，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【分析】 ．整理，得， 两边取对数，得， 利用计算器计算，得． 答：5年内可以使林场造林面积达． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】某企业开展技术创新，2020年前三季度的利润逐季增长且成等差数列，后三季度的利润成等比数列，已知第二、第三季度的利润之和是4万元，全年共盈利12万元，则该企业第四季度盈利多少万元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意可知，第二、第三季度的利润之和是4万元， 可设第二季度利润为万元，第三季度的利润为万元， 则第一季度的利润为万元，第四季度的利润为万元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据题意，有 解得或（不合题意，舍去）。 （万元）， 答：该企业第四季度的利润是9万元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】职工小张年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算。若这笔贷款要分10年按等额本息的还款方式还清，每年年初还一次，并且从借款后的次年年初开始归还，则每年应还款多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设每年需还款元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下： 第10年还款元，此次欠款全部还清； 第9年还款元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为 元； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 第8年还款元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为元； …… 第1年还款元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为元。 根据题意，可得 （元）。 答：每年应还款32549元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】小李家计划买一辆家庭轿车.假设每年应付保险费、养路费及汽油费合计2万元，汽车的维修费第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，以后每年依次成等差数列逐年增加.如果汽车使用15年报废，则15年的总费用是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 每年应付保险费、养路费及汽油费合计2万元，则15年共花费万元； 维修费第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元， 以后每年的维修费依次成等差数列， 则首项，公差， 则15年的维修费共需元， 则15年的总费用是万元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】某布匹批发市场一布商在6月7日购进匹布，8日开始销售，他每天都先销售前一天库存布匹数量的后，再新进匹新布入库，设天后销售及进货后库存布匹的数量为． (1)求6月8日销售及进货后库存布匹的数量； (2)求与的关系式； (3)用表示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）由题意，． （2）由题意，得，∴． （3）∵，即， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴，∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】1682年，英国天文学家哈雷发现一颗卫星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归．这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年．下列时间范围中，最有可能出现哈雷彗星的时间段是（ ） A．2041～2042年 B．2051～2052年 C．2061～2062年 D．2081～2082年 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题可得：哈雷彗星的后续回归时间可表示为：， 根据选项可得：当时，即， 且，所以， 则哈雷彗星在内的回归时间为：. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】某工厂2018年全年产值为万元. 因工厂进行了技术革新，从2019年起每年产值比上一年增加，则该工厂2024 年全年产值为（ ） A．万元 B． 万元 C．万元 D． 万元 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为2018年全年产值为万元.，从2019年起每年产值比上一年增加， 则该工厂的年产值构成等比数列，且首项，2018年为第一项，则2024年为数列的第七项，所以该工厂2024 年全年产值为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】某林场1999年造林200公顷，计划每年比上一年多造林，那么2010年应造林的公顷数为（ ） A．239.02 B．243.80 C．248.67 D．253.65 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设从1999年起，经过年，林场造林的面积为公顷. 令1999年造林数为，则 2000年造林数为，2001年造林数为，…，2010年造林数为. 由题意可知，，公比，. 故2010年应造林的公顷数为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】某学校阶梯教室有22排座位，从第二排起，每一排比前一排多2个座位，最后一排有64个座位，则这个阶梯教室共有座位（ ） A．946个 B．964个 C．982个 D．1008个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据题意可知每排座位数构成等差数列，不妨设为，公差为， 因为某学校阶梯教室有22排座位，每一排比前一排多2个座位，所以， 因为最后一排有64个座位，所以， 因为，即，解得， 所以这个阶梯教室共有座位. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）（参考数据：） A．0.57 B．0.59 C．0.61 D．0.63 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 依题意，设左侧数据从上至下构成等差数列，且公差，右侧数据从上至下构成等比数列，且公比，设5.0为数列中的第项，则1.0为数列中的第项，即，故，其中且，故标准对数视力4.8对应的国际标准视力为数列中的第项，即，所以． 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的一半，则第10次着地时，小球所经过的路程之和为（参考数据：，）（ ） A．199.8米 B．299.6米 C．166.9米 D．266.9米 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的一半， 则每次弹起再落地的路程构成首项为，公比为的等比数列， 则第10次着地时，小球所经过的路程之和为第一次下落的米，加前次弹起再落地的路程和，即米， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $