3.3 等比数列（教案）--语文版《数学 拓展模块一》《上好课》

语文版《数学 拓展模块一》 第三单元 数列 3.3 等比数列 一、教材 语文出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节课是语文版数学拓展模块一第三单元数列的核心内容，核心知识点包括等比数列的定义、通项公式、等比中项、等比数列的前n项，为后续学习数列综合应用提供了概念与代数框架基础。教材以生活中指数增长类现象为逻辑主线，既衔接了学生对数列概念、等差数列的认知，又深化了从等差规律到等比规律的数学思维，提升学生用代数方法描述离散数量指数变化规律的能力。 五、学情分析 多数学生已具备对数列概念、等差数列的认知基础，并且对生活中成倍增长的数量现象有明确认知，这为他们学习等比数列打下了基础。但如果只采用纯公式推导的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易对等比数列定义的限制条件理解不透彻，混淆等比数列与等差数列的运算规律。因此可以通过与生活关联的指数增长场景、课堂练习帮助学生掌握等比数列的概念，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握等比数列、等比中项的定义； 2.熟练推导并应用等比数列的通项公式、前n项和公式并灵活运用公式求解数列的项、公比、项数及前n项和； 3.通过学习等比数列，完善数列的知识体系，提升观察分析、数学运算与规范表达的能力，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养。 七、教学重点 1.等比数列、等比中项的定义； 2.等比数列的通项公式、前n项和公式。 八、教学难点 熟练运用公式求解数列的项、公比及项数。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解等比数列，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对等比数列进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究等比数列，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 【引例一】大家可能都吃过拉面，你观察过拉面是怎样抻成的吗？拉面馆的厨师将一根很粗的面条拉伸、捏合、再拉伸、再捏合，如此反复，就抻成了许多根细面条。 想一想：一根粗面条经过捏合、拉伸7次后可拉出多少根面条？ 分析： 第1次是1根，经捏合、拉伸变为2根。于是， 第1次捏合、拉伸成（根）； 第2次捏合、拉伸成 （根）； …… 第7次捏合、拉伸成 （根）。 经过7次捏合、拉伸成的面条根数构成一个数列： ，，，，，，， ① 【引例二】中国古代著名学者庄子曾提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”用现代语言叙述的意思是，一尺长的木棒，每日取其一半，永远取不完。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果我们把“一尺之棰”看作单位“1”，就可以用每日剩下的部分组成一个数列： ，，，，， ② 从引例中我们可以看出，从第2项起，数列①中的每一项与它的前一项的比都等于2；数列②中的每一项与它的前一项的比都等于 。 因此，上述数列都具有这样共同的特征：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。 这就是我们今天要学习的——等比数列。 通过生活实例的具体分析引出新知识点：等比数列。 新知讲授 1.等比数列的定义与通项公式 一般地，如果一个数列，，，，，，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，即 ， 那么，这个数列叫做等比数列，常数叫做等比数列的公比． 引例中的两个数列都是等比数列，它们的公比分别是和． 如果一个数列，，，，，是等比数列，它的公比是，即 ， ， ， ， …… 由此可知，首项为，公比为的等比数列的通项公式可以表示为。 等比数列的通项公式给出了等比数列中，，和之间的关系．如果知道其中的三个量，就可以求出另一个量． 一般地，如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。如果是与的等比中项，那么，即，所以容易看出，在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项. 总结等比数列的定义、通项公式。 案例分析 【例题】指出下列数列中的等比数列，并求出其公比和通项公式． （1），，，，； （2），，，，； （3），，，，； （4），，，，． 【解析】由等比数列的定义可以判定（1）（3）（4）是等比数列. 数列（1）的公比，通项公式是； 数列（3）的公比，通项公式是； 数列（4）的公比，通项公式是. 【例题】已知等比数列的首项是，公比是，求它的第6项. 【解析】，，， . 【例题】根据下列条件，分别求出等比数列的公比. （1），； （2），. 【解析】（1） ，， ， 即， . （2） ，， ， 即， . 【例题】人民公园内有一座七层景观塔，为迎接国庆节，要在每一层上安装彩灯，要求彩灯的数量从上层到下层成等比数列．第三层要安装48个彩灯，第四层要安装24个彩灯，则底层需要安装多少个彩灯？ 【解析】解法1：，， 。 ，即， 。 解法2：根据题意，有 由 ，得，代入，得， 。 答：底层需要安装192个彩灯。 【例题】5在2与8之间插入一个数，使2，，8成等比数列，求。 【解析】，，8成等比数列， ，即， 。 通过案例来帮助学生更好地理解等比数列的定义、通项公式。 新知引入 国际象棋起源于古代印度，棋盘上共有8行8列，构成64个格子．假如在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子”． 由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，每个格子里的麦粒数依次是，，，，．也就是说，国王要给发明者颗麦粒． 思考：如何求数列，，，，，，的和． 分析： 实际上，这是求首项为，公比为的等比数列的前项的和，即 ． ① 如果用公比乘以上面等式的两边，得到 ． ② 为便于对①②进行比较，将它们列在一起，即 ， ． 可以发现，上一个式子的第，，，，项，与下一个式子的第，，，，项完全相同．因此，如果用②的两边分别减去①的两边，可以消去，，，，这些项，得到 ． 实际上，这个数很大，超过了，假定每千粒麦子的质量为40g，那么这些麦粒的总质量超过了。因此，如果国王明白这些情况，在当时的生产条件下，他是不可能答应国际象棋发明者的要求的。 上述求解过程，启发了我们如何求等比数列的前项和。 通过生活实例的具体分析引出新知识点：等比数列的前n项和。 新知讲授 2.等比数列的前n项和 一般地，设等比数列的前项和为，即。根据等比数列的通项公式，上式可以写成 。③ 将③的两边乘以公比，得。④ 用③的两边分别减去④的两边，得。 由此得到，当时，等比数列的前项和公式为 因为，所以还可以用，，表示，即 上面两个求和公式给出了等比数列中，，，，之间的关系，并且知道其中的三个量就可以通过前项和公式及通项公式求出另两个量。 学习小贴士：推导等比数列前项和公式的方法叫做“错位相减法”。 总结等比数列的前n项和公式。 案例分析 【例题】求等比数列，，，的前8项和。 【解析】，，， 。 【例题】已知等比数列前5项的和是242，公比是3，求它的首项. 【解析】，，， 由，得. 即这个数列的首项是2. 通过案例来帮助学生更好地理解等比数列的前n项和公式。 学以致用 【练习】判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8 (3)1，，，，． 【解析】（1）根据等比数列的定义可知，所给数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列． （3）根据等比数列的定义可知，所给数列是首项为1，公比为的等比数列． 【练习】已知在数列中，，． (1)求、的值； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）由和， 得. 所以. （2）令，即， 因为，解得， 故，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 即，即. 同学们，我们已经完成了等比数列相关知识点的学习，请大家结合上节课所学习的等差数列的概念思考：存在数列既是等差数列又是等比数列吗？如果存在，试举出实例；如果不存在，说明理由. 答案： 存在。根据等差数列，等比数列的定义，既要是等差数列又要为等比数列，则该数列必为不为0的常数列，比如：1，1，1，… 通过即时练习以及知识回顾，进一步加强学生对等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】下列数列中，属于等比数列的是（ ） A．1，3，9，27，… B．2，4，6，8，… C．1，，，，… D．0，2，4，8，… 【解析】选项A：，，，…，数列各项非零，从第2项起，每一项与前一项的比为同一个常数3，是等比数列，A正确． 选项B：，，，比值不恒定，不是等比数列，B错误． 选项C：，，，比值不恒定，不是等比数列，C错误． 选项D：数列中含0项，等比数列要求各项非零（否则公比无意义），不是等比数列，D错误． 故选：A． 【练习2】等比数列的前四项依次为 a，2x，b，3x，则 a与 b的比是（ ） A．3∶2 B．2∶3 C．5∶3 D．3∶5 【解析】由可知 故选：B. 【练习3】若数列满足，且，则（ ） A．256 B．2048 C．1024 D．512 【解析】∵，， ∴是以首项，公比的等比数列. ∴. 故选：C 【练习4】等比数列中，，，则该数列的首项的值是（ ） A． B． C． D．1 【解析】等比数列中，，由可得， 解得，即数列首项为. 故选：A. 【练习5】在等比数列中，若，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由等比数列的通项公式及题意可得公比， 所以，则． 故选：B. 【练习6】等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】设公比为，因为，，所以，即，解得，所以； 故选：D 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺。 知识梳理 等比数列 （1）定义 一般地，如果一个数列，，，，，，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，即，那么，这个数列叫做等比数列，常数叫做等比数列的公比． （2）等比中项 一般地，如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。如果是与的等比中项，即。 （3）等比数列的前n项和 帮助学生构建完整的知识网络，强化记忆。 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 等比数列 （1）定义 一般地，如果一个数列，，，，，，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，即，那么，这个数列叫做等比数列，常数叫做等比数列的公比． （2）等比中项 一般地，如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。如果是与的等比中项，即。 （3）等比数列的前n项和 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过生活中指数增长的实例引入等比数列概念，多数学生能初步理解等比数列的定义，掌握等比数列通项公式的基本应用方法。但在课堂检测中也发现：个别学生在求解等比数列时容易忽略公比不能为0的要求，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $