3.1.2 函数的表示法-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂课时作业（人教A版）

第三章函数的概念与性质 课时作业马 A 数课时 空 3.1.2函数的表示法 学作业 纠错空间 基础过关 》 A.g(x)=2x2-3x 1.下列关于分段函数的说法正确的是 B.g(x)=3x2-2x ( C.g(x)=3x2+2x A.分段函数在每段定义域内都是一个 D.g(x)=-3x2-2x 独立的函数，因此分几段就是几个 ⑤（多选）设f()士则下列结论错 ........0...... 函数 误的有 x,x≥0， B.若f(x) 则f(1)=-1 A.f(-x)=-f(x) x,x<0, C.f(x)=|x一2|是分段函数 }- D.分段函数的定义域都是R c.f-1-Ko 2.以下形式中，不能表示y是x的函数的 D.f(-x)=f(x) 是 ( 方法总结 2 3 6.(多选)已知函数f(x) 21 满 4 3 2 1 足f(f(a)=-1的a的值有 A.0 B.1C.-1 D.-2 7.若f(x)是一次函数，且f(f(x)=4 B. -1,则f(x)= 8.已知函数y=f(x)的 C.y=x2 图象如图所示，则 D.(x+y)(x-y)=0 f(f(0)+2)的值为 -2 3.设函数f(x)= 1x-4x+6,x≥0， 2 则不 (x+6,x<0, 9.已知函数f(x)g(x)分别由下表给出： 等式f(.x)>f(一3)的解集是( 1 2 3 A.(-3,1)U(2,+o∞) B.(-3,1)U(3,+∞) f(x) 3 C.(-1,1)U(3,+∞) g(x) 3 2 D.(-∞，-3)U(1,3) 则满足f(g(x)>g(f(x)的x的值是 4.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1) ,f(g(x))<g(f(x)的x =5,且图象过原点，则g(x)的解析 的值是 式为 ( ·277· 世数学 必修第一册 〔f(x+1),-2<x<0, 能力提升 》 空 10.已知f(x) 2x+1,0≤x<2, 间 12.已知二次函数f(x)满足f(x+1)一 2-1,x≥2. f(x)=2x且f(0)=1. 纠错空间 1)求引的值： (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在区间[一1,1]上的值域. (2)若f(a)=4且a>0,求实数a 的值 13.已知函数f(x)= Y x+al+lx-al, g（x)=-x2+ 年年年年年年年年年手.年年年 2a.x+4a,其中a -3-2-10 123x ≥1. 11.(1)已知f(√x+1)=x+2√x,求函数 (1)当a=1,x∈[-2,2]时，请在指定 f(x)的解析式； 直角坐标系中，画出函数f(x)的 (2)已知f(x)是一次函数，且满足 图象； 方法总结 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 (2)用M(x)表示f(x),g(x)中的较大 f(x)的解析式； 者，记为M(x)=max{f(x),g(x)},则 (3)已知f(:)清足2f(x)+f} 当x>0时，求函数M(x)的解析式； 3.x,求f(x)的解析式 (3)用m(x)表示f(x),g(x)中的较小 者，记为m(x)=min{f(x),g(x)},若 min{f(x),g(x)}≤8恒成立，求实数 a的取值范围. 。,, ·278·数学·必修第一册 13.解：(1)由x2-4a.x+3a2<0(a>0),得a<x<3a. 当力为真命题时，a<x<3a. 由≥0，得7一32-)≥0·即2<x≤3.当9为 {x≠2， 真命题时，2<x3.a=1时，p:1<x3 由，9均为真命题，得二解得2<工<3，所以 12<x≤3， 实数x的取值范围为{x2<x<3}. (2)设A={x|a<x<3a},B={x|2<x3}.由题意知 q是p的充分不必要条件，所以B三A,所以 0<a≤2，解得1<u≤2，所以实数a的取值范国为{a {3a>3, 1<a≤2}. 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 1.D2.A3.C4.C 5.AD[A中，可构成函数关系：B中，对于集合A中元素 1,在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关 系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有 元素与之对应，因此不是函数关系：D中，可构成函数 关系.门 6.ABC[函数y=x-4x-4的图象如图f(0)=f(4)= 一4，f(2)=一8.因为函数y=x一4x一4的定义战为 [0,m],值域为[-8，-4幻，所以实数m的取值范围是[2， 4],故选A、B、C.] 8x=2 x2-4x-4 4 4 8 -8 -40 7解析：由人-x≥0， {1-√个-x≠ 解得x≤1且x≠0，用区间表示 为(-∞，0)U(0,1]. 答案：(-∞，0)U(0,1] 8.解析：f(f(x)=1 1_x1 1 1一1t 1-x-1 1一x 答案：二1(x≠0，且x≠1） x 9.解析：函数f(x)满足f(x十y)=f(x)+f(y)一3，令x =y=2,得f(4)=f(2)+f(2)-3,又：f(4)=5, .f(2)=4. 答案：4 10.解：(1)函数的定义域为{一1,0,1,2,3}，当x=一1时， y=[(-1)-1]+1=5,同理可得f(0)=2,f(1)=1, f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}. (2)函数的定义域为R,因为(x一1)+1≥1，所以函数 的值域为{yy≥1}. (3)画数的定义城是{x≠1y=青-5十吕 所以函数的值域为{yy≠5}. (4)要使函数式有意义，需x十1≥0，即x≥一1，故函数 的定义域是{xx≥-1}.设t=√x十1，则x=t-1(t ≥0)，于是)=f-1-=(-号）-至又≥0 故)≥-是所以画数的值战是{≥-} ·45 x)+f(）=-2,共中≠-1且≠0 x+1 2)由题得f1)=1千=1，f(2026)+f(2025)+… +2)+)+f(合）)+…+f(22)=f2026) +/(2026)++2)+f(合）+/1)=2025×2+ 1=4051. 12.AB[由[a,b]交汇函数的定义可知[0,1]交汇函数表 示函数的定义域与值域交集为[0,1]. 对于选项A,y=√一z的定义城A=(一∞，1]，值域B =[0,十∞)，则A∩B=[0,1],A正确；对于选项B,y= 2W元-x的定义域A=[0,十∞)，令t=√E≥0，则y=2t -t=-(t-1)+1≤1，值域B=(-∞，1]，则A∩B= [0,1门，B正确；对于选项C,y=-2x+2 -10+1x-1)≥0，(x-1)+1≥1,0< -)+≤1，定义城A=R,值城B=(0,1门，则A0 B=(0,1],C错误；对于选项D,y=√-x-|x的定 义战A=[-1,1],y=1-x+x2-2|x|√1-x=1 -2√x(1-x),-1≤x≤1，.0≤x(1-x2)≤ 子，即0<≤1-1≤y≤1，位城B=[-1,1门，则A ∩B=[-1,1],D错误.] 13.解：(1)因为函数f(x)的定义域为R,所以a(x2+1) 4x+3≥0在R上恒成立.当a=0时，一4x十3≥0→x <,不特合题意： 当a≠0时，要使a(x+1)-4x十3≥0在R上恒成立， 即a.x2一4x+3十a≥0在R上恒成立，只需 (a0. {△=(-4)2-4a(3+a)≤0， 解得a≥1，所以实数a的 取值范围为[1，十o). (2)当a=0时，f(x)=√一4x+3≥0，符合题意； 当a≠0时，要使函数f(x)值域为[0，十∞)，只需 a>0, 解得0<a1. {△=(-4)2-4a(3+a)≥0， 综上所述，实数a的取值范围为[0,1]. 3.1.2函数的表示法 1.C2.D3.B4.B 5.AC[因为f(x)=+三，所以f(-=+一 1-x 1-(-x)2 1+() x2+1 x2-1 =-f(x),f -() =+1=-f(x),故选AC.] x2-1 6.AD[设t=f(a),则f(t)=-1.若t>0,则-t=-1, 解得t=1或t=-1(舍去)，所以f(a)=1,当a>0时， -a2=1,方程无解：当a≤0时，a十2a十1=1，解得a= 0或a=-2,满足条件.若t≤0，则t+2t+1=一1，即 t+2t+2=0,△=2-4×2=-4<0，方程无解.] 7.解析：设f(x)=ax十b(a≠0)，则f(f(x))=af(x)十b= ax+ab+b=4x-1,故a=4, a=2 {ab+6=-1.解得 1或 ）b= {82故)=2-号我f)=-2x+1. 答聚：2x-号或-2x+1 8.解析：由题图可知f(0)=2,所以f(f(0)+2)=f(2+2) =f(4)=0. 答案：0 9.解析：由题意，得 1 2 3 ……… f(g(x)) 13 ig(f(x)) 3 1 3 故满足f(g(x)>g(∫(x)的x的值为2，f(g(x)< g(f(x)的x的值为1或3. 答案：21或3 10,解：1)由题意得f(2)】 =f(2+）=(合)】 =/(号+）-f(2）=2x3+1=2. (2)当0<a<2时，由f(a)=2a+1=4, 得a= 当a≥2时，由fa)=a-1=4,得a=5或a=-√5（舍去）. 策上所述a=号或a=5 11.解：(1)设t=√元+1，则x=(t-1)2(t≥1). 代入原式，有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t-2t+1+2t -2=t-1,所以f(x)=x2-1(x≥1). (2)因为f(x)是一次函数，可设f(x)=a.x十b(a≠0)， 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即ax+(5a+b)=2x+17,因此应有a=2: {5a+6-17.解得 =2故f(x)的解析式是f(x)=2z+7. b=7. 3)因为2f)+f()=3x ① 所以得x用换，得2()+f)=， 2 ⊙ 由①②解得f(x)=2x一 1(x≠0)， 即f(x)的解析式是f(x)=2x-1（红≠0). 12.解：(1)由题意设f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)，：f(0)= 1,.c=1,则f(x)=a.x2+bx+1,f(x十1)-f(x)= a(x+1)2+b(x+1)+1-a.x2-bx-1=2a.x+a+b =2x, .2a=2,a+b=0,∴.a=1,b=-1, 故f(x)=x2-x十1. 2)=x-x+1=(-2)+, 易知f(x)在[-1,1]上的最大值为3，最小值为是，故 f)在[-1，上的值城为[子3] ·45: 参考答案 13.解：(1)当a=1时，fx)=x+1+|x-1,x∈[-2,2]， 当-2≤x≤-1时，f(x)=-(x十1)-(x-1)=-2x; 当1≤x≤2时，f(x)=(x+1)+(x-1)=2x: 当-1<x<1时，f(x)=(x+1)-(x-1)=2, -2x,-2x一1， ∴.f(x)= 2,-1<x<1, (2x,1≤x≤2， f(x)的图象如图所示. 3 1 -3-2-10123x (2):a≥1， .当x≤-a时，f(x)=-(x十a)-(x-a)=-2x, 当x≥a时，f(x)=(x+a)+(x-a)=2x, 当-a<x<a时，f(x)=(x十a)-(x-a)=2a, 2x,x一d, .f(x)= )2a,-a<z<a 2x,x≥a .当x>0时，f(x)= (2a,0<x<a, {2x,x≥a. g(x)=-x2+2a.x十4a的图象开口向下，对称轴为直 线x=a, ∴.g(x)mx=g(a)=-a2+2a2+4a=a+4a,g(0)=4a >2a. 当x>0时，令g(x)≥f(x),结合图象知一x2十2ax十 4a≥2x,即x2十(2-2a)x-4a0, 即(x十2)(x-2a)≤0，解得0<x≤2a. 令g(x)<f(x),结合图象知-x+2ax十4a<2x,解得 x>2a, ∴.M(x)= 1-x+2ax+4a,0<x≤2a, 2x,x>2a. -2x,x一a, (3)由(2)知f(x)= 2a,-a<x<a, (2x,x≥a. 当x=-a时，f(-a)=2a,g(-a) =-(-a)2+2a(-a)+4a=-3a2+4a, 令h(a)=2a-(-3a2+4a)=3a2-2a,a≥1， 则A(@)的图象开口向上，对称轴方程为a=子 ∴在[l,十c∞)上h(a)随着a的增大而增大，故h(a)mi =h(1)=3-2>0, ∴.记g(x)的图象在y轴左侧与线段AB交于点C,在y 轴右侧与射线y=2x(x≥a)交于点D, f(x),g(x)在同一平面直角坐标系上的图象如图所示， y=f(x) 2a B y=g(x) a 0 a 2a 记点C的横坐标为xc,由(2)知点D的横坐标为2a, 数学·必修第一册 .m(x)的图象如图所示， yA Aa D 2a B x.0 a 2a 由图可知，当x=2a时，m(x)max=4a, .4a8,解得a2,又a≥1，.1a2, 即实数a的取值范围为1,2]. 3.2函数的基本性质 3.2.1函数的单调性与最大（小）值 第1课时函数的单调性 1.C2.D3.C4.B 5.CD[y=|x|十1=一x+1(x<0)在（一o,0)上为减函 数：y=工=-1(x<0)在(-0,0)上既不是增函数也 x 不是减函数)=一立=x(x<0)在(-00,0)上是增画 数：y=x+西=x一1x<0)在(-∞，0)上也是增函数， 故选C、D.] 6.BC[因为函数f(x)=一x2+2x+1的定义域为（一2， 3),对称轴为直线x=1,开口向下，所以函数f(|x|)满 足-2<x|<3 所以一3x<3 又=+1-{22go. 且y=一x2一2x十1图象的对称轴为直线x=一1， 所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(x)的单调 递增区间是(-3，-1)和(0,1).故选B、C.] 7.解析：当x≥2或x≤1时，f(x)=x2一3x十2，f(x)图象 的对称轴方程为x=2, 3 当1<x<2时，f(x)=一x+3x一2，f(x)图象的对称轴 方程为x=号， 作出f(x)的图象如图所示， 由图可知，代)的单调递减区间为(-，1…（三2） y 2 y=f(x) 0 12x 答案：(，10(22） 8.解析：由题意，函数f(x)=一x2十4a.x的图象对应的抛物线 开口向下，对称轴为直线x=2a,故f(x)在[2a,十o)上单 调递减， 若f()在区间[1,2]上单调递减，则2a≤1，解得a≤2 函数g(x)=2z-+1-2(x-20)+3a+1=2+3a+1 x-2a a-2a x-2a 若g(x)在区间[1,2]上单调递减，则3a+1>0,且2a<1 或2a>2,即-<a<号或a>l. 综上，实数。的取维花调足（司，） 答案：（子） ·4行 9.解析：当a一2=0，即a=2时，f(x)=x十3在[2，十∞] 上是增函数； 当a一2>0，即a>2时，二次函数的图象开口向上，对称 轴方程为x= 2a-2要使函数f(x)在[2，+e0)上 a-1 a-1 是增函数，则-2《a-2≤2，解得a>2,综上a≥2。 当a一2<0，即a<2时，二次函数的图象开口向下，要使 )[2,+)让是成画数，到一0≤2a≤号 除上ac号 答案：[2，十∞) (0,号] 10.证明：任取x1,x2∈(0，十o),且x1<x2 州，)=-名+ =-++) 0<<x-x<0x1+x4十1>0， TTx ∴.f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 函数f(x)=x2-1在区间(0，十o)上是增函数. 11.解：由题意，可得f(1-2a)>f(3-a). f(x)在定义域[1,4]上单调递减， 1≤1-2a≤4 ∴.1≤3-a≤4，解得-1≤a≤0， 1-2a<3-a .实数a的取值范围为[一1,0们. 12.D[当x≤1时，f(x)=-x2-a.x-9, 函数y=一x2一ax一9的图象开口向下，对称轴为直线 x= 号，当K一号时y=一-ax一9单满递增. 当x>1时，()=名， 又因为函数f(x)在R上单调递增，当a<0时，函数 y=“在(0，十0)上单调递增. 「号≥1 所以 a<0, 解得-5a≤-2.] -1-a-9≤a, 13.解：(1)证明：设x1,x∈R,且x1<x, 则x2一x1>0,即f(x-x1)>1, 所以f(x2)-f(x1) =f[(-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1 -f(x1)=f(x2-x1)-1>0, 所以f(x1)<f(x2),所以f(x)是R上的增函数. 2)因为f(5）=)-f. 所以)+/（号）=f. 在上式中取x=4,y=2,则有f(2)+f(2)=f(4), 因为f(2)=1,所以f(4)=2. 于是不等式f()-f(己)下2等价于f[z(x-3门 ≤f(4)(x≠3).又由(1)，知f(x)是R上的增函数， 所以z红-3)≤4·解得-1≤3或3<r≤4. 1x-3≠0， 所以原不等式的解集为[一1,3)U(3,4]. 6