第五章 指数函数与对数函数（B卷·能力提升卷）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则x的值为（    ） A．2 B．2或4 C．4 D．或 2．（   ） A． B． C．0 D．1 3．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．设，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 7．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 8．函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 9．在同一直角坐标系中，函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 10．已知且，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．下列函数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 13．若函数，则的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 14．设甲：；乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 15．函数的图象大致是 A． B． C． D． 16．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 17．若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 18．设，则（    ） A． B． C． D． 19．若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 20．某新型电池剩余电量（单位：％）与使用时间（单位：小时）的关系满足，，，且均为常数．已知该电池使用2小时后剩余电量75%，使用8小时后剩余电量60%，则使用26小时后剩余电量为（   ） A．55% B．50% C．40% D．45% 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．求值：________. 22．函数的定义域为______ 23．已知为奇函数，且当时，则_____． 24．且的图象恒过定点_________． 25．若对数函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．（1）已知，求的值； （2）若，，用，表示. 27．完成下列各题： (1)解下列关于的不等式：； (2)已知函数定义域为R，求的取值范围. 28．已知指数函数（，且）的图象经过点． (1)试求的解析式，并求； (2)若，求实数的值． 29．设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 30．为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长. （1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域； （2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则x的值为（    ） A．2 B．2或4 C．4 D．或 【答案】C 【知识点】根式的化简求值 【分析】先对等式两边平方，消去根式，再解一次方程并验证． 【详解】， ，解得， 将代入原方程左边：，左边等于右边，故是原方程的解， ． 故选：C． 2．（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【知识点】对数的运算 【详解】. 3．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】对数的运算、指数幂的运算、求函数值 【分析】利用指对数运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：D 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、分式不等式、交集的概念及运算 【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可求解. 【详解】， ，则． 故选：B． 5．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】运用对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故选：D. 6．已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【详解】由题设. 7．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 8．函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1，则a的值是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】由题意可得，从而可求出a的值， 【详解】解：因为，所以函数在区间[1，3]上为增函数， 因为函数（a>1）在区间[1，3]上的最大值是1， 所以，解得， 故选：C 9．在同一直角坐标系中，函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可作出判断. 【详解】由，可知函数在上单调递减，函数在上单调递增. 由图可知选项D符合. 故选：D 10．已知且，则a 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据对数函数的单调性及运算性质，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 当时，在上单调递减，所以； 当时，在上单调递增，解得，结合前提，所以. 综上，a 的取值范围是. 故选：D 11．指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数的图像和性质求解. 【详解】由于指数函数是上的减函数， 故有，求得， 则实数的取值范围为. 故选：C． 12．下列函数相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据相等函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项的正误. 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，即函数不相等； B：的定义域为，的定义域为R，即函数不相等； C：的定义域为，的定义域为，即函数不相等； D：、的定义域和对应法则都相等，即函数相等. 故选：D 13．若函数，则的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据函数的零点和单调性进行排除，从而确定正确选项. 【详解】令可得， 当时，，排除选项CD. 当时，且，排除选项A，又函数单调递增，B正确. 故选：B. 14．设甲：；乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】既不充分也不必要条件、对数的运算性质的应用、充要条件的证明、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据对数的运算性质可得乙：或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由，得，解得或， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 15．函数的图象大致是 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】先确定函数定义域，再确定函数单调性，即可判断选择 【详解】因为定义域为，所以舍去A,B; 因为在上单调递增，所以舍去D,选C. 【点睛】本题考查识别对数型函数图象，考查函数定义域以及单调性，属基础题. 16．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【答案】A 【知识点】对数函数图象的应用、函数图象的变换 【详解】根据图形平移变换 “左加右减”的规则，可得：向左平移一个单位得到的图像. 17．若，则（     ） A．8 B．27 C．64 D．3 【答案】A 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【详解】由，得，则， 所以. 18．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用对数、指数函数的单调性，分别和，比较大小即可. 【详解】对数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 因为指数函数在上单调递增，且， 因为，所以，即； 又因为，因此大小关系为：. 19．若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据求出的值. 【详解】由题意得，，则，解得． 故选：C 20．某新型电池剩余电量（单位：％）与使用时间（单位：小时）的关系满足，，，且均为常数．已知该电池使用2小时后剩余电量75%，使用8小时后剩余电量60%，则使用26小时后剩余电量为（   ） A．55% B．50% C．40% D．45% 【答案】D 【知识点】对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算性质的应用 【分析】根据函数模型，代入两组数据，化简可得、，即可得函数解析式，再代入即可. 【详解】代入两组数据有， 两式相除：， 化简，解得或（舍）， 再代入求得， 因此， 代入，得. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．求值：________. 【答案】 【知识点】对数的运算、根式的化简求值 【分析】利用对数运算直接求解即可. 【详解】由题得，. 故答案为： 22．函数的定义域为______ 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，列出不等式，结合对数函数的图像与性质，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足， 可得，解得，所以函数的定义域为. 故答案为：. 23．已知为奇函数，且当时，则_____． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的性质，把函数的值代入计算即可. 【详解】因为 是奇函数，所以， 当 时，，代入 则，所以， 故答案为：. 24．且的图象恒过定点_________． 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数图象特征列式求解即可. 【详解】令，得，则， 即且的图象恒过定点. 故答案为：. 25．若对数函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______． 【答案】 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】利用对数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由对数函数在区间上单调递增，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．（1）已知，求的值； （2）若，，用，表示. 【答案】（1）  （2） 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据完全平方公式求出和 的值，代入原式计算. （2）根据已知条件求出和的表达式，再利用对数运算公式化简计算即可. 【详解】（1）因为，所以（）， 因为，所以 ，即，故. 故. （2）对取常用对数得，故. 由，得. . 故. 27．完成下列各题： (1)解下列关于的不等式：； (2)已知函数定义域为R，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）利用指数函数单调性，转化为一元二次不等式求解. （2）利用对数函数定义，将问题转化为恒成立求解. 【详解】（1）由，得， 解得或，所以原不等式的解集为. （2）由函数定义域为R，得恒成立， 当时，成立，则； 当时，，解得， 所以的取值范围是. 28．已知指数函数（，且）的图象经过点． (1)试求的解析式，并求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)， (2)或2． 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、求指数函数解析式、求函数值 【分析】（1）根据指数函数的图象经过点，可求指数函数的解析式；再根据解析式求的值. （2）借助指数函数的单调性可求解. 【详解】（1）由题可知，，解得，则， 所以. （2）令，则， 因为在上单调递增， 所以， 由，解得或2． 29．设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案； （2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 30．为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长. （1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域； （2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？ 【答案】（1），；（2）从年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元. 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、指数函数模型的应用（2）、运用换底公式化简计算 【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域； （2）由（1）得，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将超过600万元即可. 【详解】（1）由题设，第1年研发资金为：万元；第2年研发资金为：万元； ∴第年研发资金：且定义域为； （2）由（1）知：，即， ∴，故从第8年即年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $