专题3 不等式的基本性质（讲义）-2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的基本性质 【复习目标】 1. 理解不等式的基本性质，能够运用不等式的性质进行比较大小. 2. 能够运用作差法比较大小. 3. 理解区间的含义. 【考点1 比较实数的大小】 1.实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔ ； (2)a＝b⇔ ； (3)a<b⇔ . 2.比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用 、 、 等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 【即时训练】 1．如果，，则（   ）0 A． B． C． D．无法判断 2．比较2，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知则的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法判断 4．已知，，，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 5．如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，，则M与N的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 7．已知，，则M，N的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．设，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 9．设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【考点2 . 不等式性质与区间】 1.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_ _； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c _b＋c；a>b，c>d⇒a＋c __b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac _bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_ __bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 2. 区间及有关概念 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __ __ {x|a＜x＜b} 开区间 _ _ _ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __ _ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __ _ (2)特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 【即时训练】 1．设且，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下面式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．若，为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则且 C．若或，则 D．若或，则 6．若为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若，则 、 、 、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．有下列不等式：①；②；③；④.其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．a，b两数在数轴上的对应点的位置如图，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 12．集合用区间可表示为（　　） A． B． C． D． 13．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 14．不等式的解集用区间表示为（　　） A． B． C． D． 15．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 1.（2024·河北对口升学·真题T02）设为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2.（2023·河北对口升学·真题T02）已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 3.（2022·河北对口升学·真题T02）设,为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4.（2021·河北对口升学·真题T02）设为实数，且，则（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省（对口升学考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年河北省对口升学考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的基本性质 【复习目标】 1. 理解不等式的基本性质，能够运用不等式的性质进行比较大小. 2. 能够运用作差法比较大小. 3. 理解区间的含义. 【考点1 比较实数的大小】 1.实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 【即时训练】 1．如果，，则（   ）0 A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】 根据已知条件，利用不等式的性质即可求解． 【详解】 ∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 2．比较2，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质，将这三个数进行适当变形，转化为可比较的形式，再比较大小. 【详解】， ，， 得到， 故选：A． 3．已知则的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】对两数平方，结合不等式的性质即可解得. 【详解】由题得， ， 故选：B. 4．已知，，，则（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】判断，与的大小关系即可. 【详解】∵，，， 由，可得；由，可得， 故选：B． 5．如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，利用作差比较法，即可比较大小. 【详解】因为，所以，, 所以，所以，故选项A错误； 所以，所以，故选项B错误； 所以，所以，故选项C错误； 所以，所以，故选项D正确； 故选：D. 6．已知，，，，则M与N的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意，利用作差法计算与的大小关系，由此判断出的大小关系． 【详解】因为， 又，， 所以，所以. 故选：C． 7．已知，，则M，N的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法可比较大小. 【详解】因为 ， 所以. 故选：A 8．设，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据作差法以及不等式的性质求解即可. 【详解】. 因为，所以恒成立. 所以. 故选：A． 9．设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据题意，利用作差法，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以． 故选：A. 【考点2 . 不等式性质与区间】 1.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 2. 区间及有关概念 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 __[a，b]__ {x|a＜x＜b} 开区间 __(a，b)__ {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 __[a，b)__ {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 __(a，b]__ (2)特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞)__ [a，＋∞)__ (a，＋∞)__ (－∞，a]__ (－∞，a)__ 【即时训练】 1．设且，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的同向可加性和同向同正可乘性判断选项即可. 【详解】因为且， 由不等式的同向可加性可得，，所以A选项正确， 因为，所以， 即， 所以有，所以C选项正确， 因为且，当， 所以有，所以B选项错误. 由不等式的同向同正可乘性可知，，所以D选项正确. 故选:B. 2．下面式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例，根据不等式的性质分析判断即可. 【详解】A.当时，，故错误； B.当时，，故错误； C.根据不等式的基本性质，可知C正确； D．当时，，故错误. 故选：C. 3．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】取特殊值，可排除A、B、D，根据不等式的性质判断C正确. 【详解】取时，满足，但，，故A、B错误； ∵，，∴， ∴，故C正确； 取时，满足，，，但， 故D错误． 故选：C 4．已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，我们可以通过举反例或利用函数单调性来判断每个选项的正确性. 【详解】A选项：当，时，满足，但，不等式不成立，A错误. B选项：函数是定义在上的单调递增函数. 因为，所以，不等式成立，B正确； C选项：当，时，满足，但，，此时，不等式不成立，C错误； D选项：当，时，满足，但，，此时，不等式不成立，D错误. 故选：B 5．若，为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则且 C．若或，则 D．若或，则 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质可判断结果. 【详解】若，则同号， 当时，由，得； 当时，由，得. 所以A选项正确，B选项错误. 由，得， 所以或. 同理，由得或. 故C选项错误， 同理可判断D选项也错误. 故选：A 6．若为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A.当时，，故A错误. 选项B.当则，故B错误. 选项C.根据不等式的性质，可知，故C正确. 选项D.当，则，故D错误. 故选：C. 7．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举反例判断AB；利用不等式的性质可判断C；做差可判断D. 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，则，所以，故C错误； 对于D，若，，则，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的判定判断即可. 【详解】因为当时，，故充分性不成立. 当时，，故必要性成立. 综上可知：“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9．若，则 、 、 、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质，求解即可. 【详解】因为， 所以；；， 因此. 故选：A. 10．有下列不等式：①；②；③；④.其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的性质可判断①②正确，③错误；取可知④错误. 【详解】对①，由，可得，故正确； 对②，由，可得，故正确； 对③，若时，由，可得，故错误； 对④，若时，则，故错误. 综上所述，正确的个数为2个. 故选：B 11．a，b两数在数轴上的对应点的位置如图，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上的位置关系列出不等式，再由不等式的性质即可解得. 【详解】由数轴可得，且， 选项A：，错误. 选项B：且，则，错误. 选项C：，错误. 选项D：由数轴上点的位置可知，正确. 故选：D 12．集合用区间可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用区间的定义即可表示集合. 【详解】因为集合为， 所以可知x取不到，但可以取到5， 所以集合用区间可表示为. 故选:C. 13．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元一次不等式组及区间的应用即可得解. 【详解】 解得. 所以解集为:. 故选:. 14．不等式的解集用区间表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的解法求解即可. 【详解】由， 得，解得， 所以不等式的解集用区间表示为， 故选：D. 15．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合并集运算结合区间表示即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 1.（2024·河北对口升学·真题T02）设为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质结合举反例逐项分析即可. 【详解】设为实数，由， 若，，满足，故A错误， 若，，满足，故B错误， 因为，所以成立，故C正确， 若，则，满足，故D错误， 故选：C. 2.（2023·河北对口升学·真题T02）已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质和指数函数，对数函数的单调性逐个分析即可. 【详解】A选项，当时，则有，所以A错误. B选项，当时，则有，所以B错误. C选项，由于为增函数，且，则，所以C正确. D选项，由于为增函数， 当时，，且， 则，所以D 错误. 故选：C. 3.（2022·河北对口升学·真题T02）设,为实数，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质解答即可. 【详解】由于，不妨设，， 此时，选项、、都错误； 选项由不等式性质可知，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号改变方向，因此正确. 故选： 4.（2021·河北对口升学·真题T02）设为实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质和对数函数的定义域即可求解. 【详解】对于A，，因为且， 所以，故A正确； 对于B，当时，则无意义，故B错误； 对于C，当时，无意义，故C错误； 对于D，若，满足，此时，显然，故D错误. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $