专题07函数的性质（讲义）-2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的性质 【复习目标】 1. 理解函数单调性的定义。 2. 会利用单调性比较函数值大小、解不等式、求函数最值与参数范围。 3. 理解函数奇偶性的定义，掌握奇函数、偶函数的判定方法与图像特征。 4. 熟练运用奇偶性求函数解析式、函数值、对称区间上的最值。 5. 掌握单调性与奇偶性综合应用，能解决比较大小、解不等式、求参数等问题。 考点 1 函数的单调性（真题高频考点） 【考点知识回顾】 1．设函数y = f(x)的定义域为D，区间 若对任意 ,当 <, 时，都有 f () f ()，则称f(x)在区间I上单调递增，I为单调递增区间。 若对任意 ,当 <, 时，都有f () f ()，则称f(x)在区间I上单调递减，I为单调递减区间。 2. 单调性的图像特征 递增：图像从左向右 递减：图像从左向右 3. 常用基本函数单调性（必背） 一次函数 y=kx+b： k>0⇒ R 上 ；k<0 ⇒ R 上 。 二次函数 a>0⇒ 对称轴左侧 ，右侧 ； a<0⇒ 对称轴左侧 ，右侧 。 指数函数 ： a>1 ；0<a<1 。 对数函数： a>1 ；0<a<1 。 【即时训练】 题型一 判断函数单调性 1．函数在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 2．已知函数在定义域上为单调递减函数，且，则（    ） A． B． C． D．以上都可能 3．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 单调性求参数范围 1．函数在上是增函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在R上单调递增，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若函数（为实数）是上的减函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在上是减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点 2 函数的奇偶性（真题高频考点） 【考点知识回顾】 奇函数：对定义域内任意x，都有 ，图像关于 对称。 偶函数：对定义域内任意x，都有 ，图像关于 对称。 【即时训练】 题型一坐标系中点对称问题 1．点关于坐标原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．设点为奇函数图像上的一点，则下列各点中，也在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型二奇偶性判定 1．下列函数为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数是偶函数的是 （      ） A． B． C． D． 3．下列函数在定义域内是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 题型三奇偶性求解析式 + 解不等式 1．若是偶函数，且当时，，则当时，的表达式为（ ） A． B． C． D． 2．定义在R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 3．已知函数为奇函数，则（    ）. A．1 B． C．2 D． 题型四 奇偶性 + 单调性比较大小 1．已知函数在上为减函数，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．若函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 3．已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若函数，则和的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 5．若函数是偶函数，若在为单调递减，则下列哪个选项是正确的（　　）. A． B． C． D． 考点 3函数的最值（真题高频考点） 【考点知识回顾】 1.设函数y = f(x)的定义域为D： 若存在D，对任意xD，都有f(x) f()，则f()为函数的最大值。 若存在D，对任意xD，都有f(x) f()，则f()为函数的最小值。 2.最值常用求法 ① 利用单调性： 递增 ⇒ 左小右大；递减 ⇒ 左大右小。 ② 利用二次函数对称轴： 取最值。 ③ 利用奇偶性：对称区间最值互为 （奇函数）。 【即时训练】 题型一 奇偶性求参数 1．若函数是偶函数，则（   ） A．0 B． C．1 D．7 2．若函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．任意实数 3．已知函数是定义在上的奇函数，则等于（   ） A． B．0 C．4 D． 题型二 奇偶性与对称区间最值+ 单调性求最值 1．函数在区间上为增函数，则在该区间的最大值为（    ）． A．0 B．1 C．16 D．25 2．函数的最小值、最大值分别为（   ） A．3，5 B．，5 C．1，5 D．5， 3．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在间上是（    ） A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 4．已知二次函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则函数的最小值是（    ）． A．2 B． C．3 D． 1.（2026·安徽·真题T14）已知偶函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增，则 f(π)、f(-3)、f()的大小关系 为（ ） A. f(π)>f(-3)> f() B. f()>f(-3)>f(π) C. f(-3)>f(π)> f() D. f(π)<f(-3)< f() 2.（2024·安徽·真题T29）已 知是上的奇函数.当时 ，. 若,则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.（2023·安徽·真题T30）已知是R上的奇函数，当时，.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.（2023·安徽·真题T22）若是上的偶函数，则在区间上的最小值为（    ） A．0 B．1 C．9 D．19 5.（2022·安徽·真题T27）若函数f（x）＝x2+x在区间（a，1﹣2a）上单调递增，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6.（2022·安徽·真题T25）已知奇函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为3，最大值为4，则f（x）在区间[﹣2，﹣1]上（　　） A．最小值为3，最大值为4 B．最小值为﹣4，最大值为﹣3 C．最小值为﹣3，最大值为4 D．最小值为﹣4，最大值为3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的性质 【复习目标】 1. 理解函数单调性的定义。 2. 会利用单调性比较函数值大小、解不等式、求函数最值与参数范围。 3. 理解函数奇偶性的定义，掌握奇函数、偶函数的判定方法与图像特征。 4. 熟练运用奇偶性求函数解析式、函数值、对称区间上的最值。 5. 掌握单调性与奇偶性综合应用，能解决比较大小、解不等式、求参数等问题。 考点 1 函数的单调性（真题高频考点） 【考点知识回顾】 1．设函数y = f(x)的定义域为D，区间 若对任意 ,当 <, 时，都有 f () < f ()，则称f(x)在区间I上单调递增，I为单调递增区间。 若对任意 ,当 <, 时，都有f () > f ()，则称f(x)在区间I上单调递减，I为单调递减区间。 2. 单调性的图像特征 递增：图像从左向右上升 递减：图像从左向右下降 3. 常用基本函数单调性（必背） 一次函数 y=kx+b： k>0⇒ R 上递增；k<0 ⇒ R 上递减。 二次函数 a>0⇒ 对称轴左侧减，右侧增； a<0⇒ 对称轴左侧增，右侧减。 指数函数 ： a>1 递增；0<a<1 递减。 对数函数： a>1递增；0<a<1 递减。 【即时训练】 题型一 判断函数单调性 1．函数在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 【答案】A 【分析】根据函数解析式的单调性分析选项即可. 【详解】， 所以，即， 所以函数在上单调递增，故A正确，B错误， 既不存在最大值，也不存在最小值，故C，D错误. 故选：A. 2．已知函数在定义域上为单调递减函数，且，则（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】B 【分析】根据函数的单调性的概念即求解. 【详解】因为函数在定义域上为单调递减函数， 若，则函数值越大自变量越小， 所以. 故选：B. 3．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性、单调性的定义逐个判断即可． 【详解】对A：函数的图像为过原点的直线且过一三象限，所以函数既是奇函数又是增函数，故A项正确； 对B：函数在定义域不单调，故B项错误； 对C：函数为偶函数，故C项错误； 对D：函数的图像不具有对称性，所以函数即不是奇函数也不是偶函数，故D项错误. 故选:A. 3．在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数、一次函数、反比例函数的单调性，即可求解. 【详解】因为二次函数的图像开口向上，对称轴为轴， 所以函数在上是单调递增，故选项A不符合题意； 因为一次函数在实数集R上单调递增，故选项B不符合题意； 因为反比例函数在和上单调递减，故选项C符合题意； 因为二次函数的图像开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项D不符合题意； 故选：C. 题型二 单调性求参数范围 1．函数在上是增函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的单调性即可解答. 【详解】已知函数在上是增函数，所以. 故选：A. 2．已知函数在R上单调递增，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义，即可求解． 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，用区间表示为：. 则m的取值范围是. 故选：A． 3．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，是定义在上的增函数， 又， 所以，解得， 即则实数的取值范围是. 故选：B. 4．若函数（为实数）是上的减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数（为实数）是上的减函数， 所以，解得． 故选：D. 5．已知函数在上是减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用减函数的性质，求的取值范围即可. 【详解】因为函数在上是减函数，则当， 有，解得， 则的取值范围是； 故选：A. 考点 2 函数的奇偶性（真题高频考点） 【考点知识回顾】 奇函数：对定义域内任意x，都有f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。 偶函数：对定义域内任意x，都有f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称。 【即时训练】 题型一坐标系中点对称问题 1．点关于坐标原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合关于坐标原点对称的点的横纵坐标的关系，即可求解. 【详解】点关于坐标原点的对称点的坐标是. 故选：B. 2．设点为奇函数图像上的一点，则下列各点中，也在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的图像特点即可解答. 【详解】已知点为奇函数图像上的一点， 由于奇函数的图像特点为关于原点对称， 则点关于原点对称的点为， 所以点也在该函数图像上， 故选：C. 3．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称点的坐标横坐标相反，纵坐标相等，由此即可解答. 【详解】在平面直角坐标系中， 点关于y轴对称点的坐标为， 故选：C. 题型二奇偶性判定 1．下列函数为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义即可得解. 【详解】函数，定义域为，，所以不是偶函数，故错误； 函数，定义域为，，所以不是偶函数，故错误； 函数，定义域为，，所以是偶函数，故正确； 函数，定义域为不关于原点对称，所以不是偶函数，故错误， 故选：. 2．下列函数是偶函数的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】选项A，的定义域为，且， 函数不是偶函数，选项A不符合题意. 选项B，的定义域为，且， 函数是偶函数，选项B符合题意. 选项C，的定义域为，且， 函数不是偶函数，选项C不符合题意. 选项D，的定义域为，定义域不关于原点对称， 函数不是偶函数，选项D不符合题意. 故选：B. 3．下列函数在定义域内是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义即可求解. 【详解】对A，令，定义域为，又， 所以是偶函数，故A错误. 对B，令，定义域为，又， 所以是奇函数，故B正确. 对C，令，定义域为，又， 所以不是奇函数，故C错误. 对D，令，定义域为， 又， 所以不是奇函数，故D错误. 故选：B. 题型三奇偶性求解析式 + 解不等式 1．若是偶函数，且当时，，则当时，的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】由得，，当时，， 又因为是偶函数，则. 故选：C. 2．定义在R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为奇函数可知，再设得到，即可得到当时的的解析式. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以. 因为当时，， 设，则， 所以， 所以， 即当时，. 故选：A. 3．已知函数为奇函数，则（    ）. A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性求函数解析式，再将代入解析式中即可求解. 【详解】因为函数为奇函数， 则， 则，即， 解得，所以， 则. 故选：D. 题型四 奇偶性 + 单调性比较大小 1．已知函数在上为减函数，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数单调性的概念，即可求解. 【详解】因为在R上为减函数，又， 所以. 故选：D． 2．若函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 【答案】B 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是增函数，且， 所以. 故选：B. 3．已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为指数函数在定义域实数集R上是单调增函数， 因为，所以，故选项A错误； 因为，所以，故选项B错误； 因为，所以，故选项C正确； 因为，所以，故选项D错误； 故选：C. 4．若函数，则和的大小关系为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性即可判断函数值大小. 【详解】函数在上单调递增， 因为，所以. 故选：A. 5．若函数是偶函数，若在为单调递减，则下列哪个选项是正确的（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性与单调性，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，在为单调递减， 所以. 故选：C. 考点 3函数的最值（真题高频考点） 【考点知识回顾】 1.设函数y = f(x)的定义域为D： 若存在D，对任意xD，都有f(x) f()，则f()为函数的最大值。 若存在D，对任意xD，都有f(x) f()，则f()为函数的最小值。 2.最值常用求法 ① 利用单调性： 递增 ⇒ 左小右大；递减 ⇒ 左大右小。 ② 利用二次函数对称轴：顶点取最值。 ③ 利用奇偶性：对称区间最值互为相反数（奇函数）。 【即时训练】 题型一 奇偶性求参数 1．若函数是偶函数，则（   ） A．0 B． C．1 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，即， 则， 所以，即. 故选：A. 2．若函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，即可求解． 【详解】函数是奇函数，且函数的定义域为， 所以，即． 故选：A． 3．已知函数是定义在上的奇函数，则等于（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性，即可求解. 【详解】由题意知函数是定义在上的奇函数， 所以定义域关于原点对称， 所以， 即. 故选：C. 题型二 奇偶性与对称区间最值+ 单调性求最值 1．函数在区间上为增函数，则在该区间的最大值为（    ）． A．0 B．1 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用函数的单调性求最值即可. 【详解】函数在区间上为增函数， 则为最大值； 故选：D. 2．函数的最小值、最大值分别为（   ） A．3，5 B．，5 C．1，5 D．5， 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，即可求解最值问题. 【详解】函数，可知一次函数的系数为负， 故是单调递减函数， 故在定义域的左端取得最大值，右端取得最小值， 则， . 故选:B. 3．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在间上是（    ） A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【答案】A 【分析】由奇函数概念及函数单调性即可求解. 【详解】因为奇函数在区间上是增函数且最大值为5，则函数在在间上也是增函数，且当取最小值为，故A选项正确. 故选：A 4．已知二次函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则函数的最小值是（    ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由二次函数的单调区间确定的值，再由单调区间求其最小值即可. 【详解】因为二次函数 在区间上是减函数，在区间是增函数， 所以其对称轴为，解得， 当时，取最小值，最小值为. 故选：B. 1.（2026·安徽·真题T14）已知偶函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增，则 f(π)、f(-3)、f()的大小关系 为（ ） A. f(π)>f(-3)> f() B. f()>f(-3)>f(π) C. f(-3)>f(π)> f() D. f(π)<f(-3)< f() 答案：B 解析：偶函数性质： f(-x)=f(x)，且在对称区间单调性相反。 由 f(x) 在(-∞,0)递增，可知其在 (0,+) 递减；f(-3)=f(3)，又 <3<π， 故 f()>f(3)>f(π)，即 f()>f(-3)>f(π)， 故选B。 2.（2024·安徽·真题T29）已 知是上的奇函数.当时 ，. 若,则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由奇函数定义，确定的解析式，再分类讨论，解得的范围. 【详解】已知是上的奇函数，当时 ，.， 则当时，，且， 若，考虑两种情况： 当时，需满足，解得， 当时，需满足，解得， 因此的范围是， 故选：C. 3.（2023·安徽·真题T30）已知是R上的奇函数，当时，.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、由指数函数的单调性解不等式 【分析】先分析函数在R上的单调性，再利用奇函数的性质得到，即可求解. 【详解】∵当时，，函数单调递增， 而是R上的奇函数，故在上单调递增，且. 故在R上单调递增. 又∵，即. ∴，得到. 故选：B. 4.（2023·安徽·真题T22）若是上的偶函数，则在区间上的最小值为（    ） A．0 B．1 C．9 D．19 【答案】B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求参数 【分析】先根据函数是偶函数，得到参数，再分析函数的单调性，即可求解. 【详解】∵是上的偶函数， ∴，即. 故函数为，在单调递减，在单调递增. 因此，在区间上的最小值为 故选：B. 5.（2022·安徽·真题T27）若函数f（x）＝x2+x在区间（a，1﹣2a）上单调递增，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】f（x）＝x2+x的图像的对称轴为，所以函数在上单调递增， 所以，解得， 故选C. 6.（2022·安徽·真题T25）已知奇函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为3，最大值为4，则f（x）在区间[﹣2，﹣1]上（　　） A．最小值为3，最大值为4 B．最小值为﹣4，最大值为﹣3 C．最小值为﹣3，最大值为4 D．最小值为﹣4，最大值为3 【答案】B 【解析】 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $