假期作业22 空间直线、平面的垂直-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

化曼快乐限期 （2)由平面与平面平行的定义可知，若平面α内任意一条直 线与平面B平行，则a∥B,故(2)正确； (3)当平面外的一条直线与平面相交时，过已知平面外一条 直线，不能作出一个平面与已知平面平行，故(3)错误； (4)不重合的平面a,B,Y,若a∥Y,B∥Y,由平面与平面平行 的传递性可得α∥B,故(4)正确. 答案：(2)(4) 2.(1)证明：如图，连接NT,MT,AD1,因为 侧面ADD1A1为正方形，M为A1D的中 点，所以M为AD1的中，点.因为N,T分 A 别是线段CD1,CD的中点，所以MN∥ AC,NT∥DD1. 因为ACC平面AACC1,MN中平面 A1ACC1,所以MN∥平面A1ACC,. 因为DD1∥AA1,所以NT∥AA1. 因为NT∥AA1,AA1C平面A1ACC1,NT寸平面A1ACC1, 所以NT∥平面A,ACC. 因为NT∩MN=N,NT,MNC平面MNT,所以平面MNT ∥平面A1ACC. (2)解：如图，过点M作AD的垂线，垂足 D C 为P,过点N作DC的垂线，垂足为Q,连 接PQ,由正方体的性质可知MP∥AA1, NQ∥DD1,AA1∥DD1,则MP∥NQ,则 MP,NQ可确定平面MNQP. D 因为MP∥AA1,AA1C平面A1ACC1, MP￠平面A1ACC,所以MP∥平 面A,ACC, 又MN∥平面AACC,,MP∩MN=M,MP,MNC平面 MNQP,所以平面MNQP∥平面A1ACC1, 因为平面MNQP∩平面ABCD=PQ,平面A1ACC1∩平面 ABCD=AC,所以PQ∥AC. 设PD=x,0<x<2,则QD=x,MP=x,又正方体的棱长为 2,则NQ=QC=2-x. 在四边形MNQP中，MP∥NQ,MP⊥PQ,PQ=√2x,则 MN-(NQ-MP)+PG-6x-8x+4-6(- +, 则当x=号时，线段MN长度的最小值为2 假期作业22空河直线、 平面的垂直 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线交线3.(1)锐角∠PAO 技能提升台素养提升 1.D 2.C[对于①，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异 面，故①错误；对于②，垂直于同一平面的两条直线平行，故 ②正确；对于③，垂直于同一直线的两个平面平行，故③正 确；对于④，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④ 错误.] 3.C[对于A,B,若m∥a,n∥a,则m与n可能平行、相交或 异面，故A,B错误；对于C,D,若m∥a,n⊥a,则m⊥n,且m 与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误.] 4.D 5.A[过，点A作AH⊥BD于点H(图略)，由平面ABD⊥平 面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面 ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB, 即△ABC为直角三角形.] 6.A[PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC.又 正方形ABCD中，BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,ABC平面 PAB,∴.BC⊥平面PAB,BCC平面PBC,.平面PAB⊥平 面PBC,②正确； 同理AD⊥平面PAB,ADC平面PAD,.平面PAD⊥平面 PAB,①正确； 设平面PAB∩平面PCD=l,AB∥CD,ABC平面PAB, CD￠平面PAB,.CD∥平面PAB,.CD∥U.,CD⊥平面 PAD,∴.L⊥平面PAD,P为垂足，∴.∠APD为二面角A--D 的平面角，若平面PAB⊥平面PCD,则AP⊥PD,在 9 00M= Rt△PAD中不可能存在AP⊥PD,③错误.；，AB⊥PA,AC ⊥PA,∴.∠BAC为二面角B一PA一C的平面角，若平面 PAB⊥平面PAC,则AB⊥AC,在Rt△ABC中不可能存在 AB⊥AC,④错误.] 7.BD[对于A,显然混淆了平面与半平面的概念，故A错误； 对于B,因为a,b分别垂直于二面角的两个面，所以也垂直 于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所 以与这个二面角相等或互补，故B正确；对于C,因为所作射 线不一定垂直于棱，故C错误；由定义知D正确.] 8.B[设棱台高为h,且三条侧棱延长后交于一，点O,则由已 知得AB=3A1B1, 则0到上底的距离为，0到下底的距离为号h,又Sc 9V3,SA49=5, 所以号·9·五-5·2-号→=有上底中 √3 1 项点A,的距离为之，所以所求正切值边2 3 2 4 3 =1.] 9.C[取AB的中点E,连接CE,DE D 因为△ABC是等腰直角三角形，且 AB为斜边，则有CE⊥AB, 又△ABD是等边三角形，则DE⊥ AB,从而∠CED为二面角C一AB一D 的平面角，即∠CED=150°， 显然CE∩DE=E,CE,DEC平面 CDE,于是AB⊥平面CDE,又ABC 平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC =CE, 直线CDC平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为 直线CE, 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2, 则CE=1,DE=√3，在△CDE中，由余弦定理得： CD=√CE2+DE2-2CE·DEcos∠CED =√/1+3-2×1××-9=7， 2 DE CD 由正弦定理 sin∠DCE sin∠CED' 得sin∠DCE=3sin150°=3 7 2W71 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=√1-sin∠DCE= 1- 3)2 5 2√72√7 所以直线CD与平面ABC所成的角的正切值为.] 10.D[四棱锥的底面是边长为4的 D 正方形，且PA=PB=4,PC=PD A =2√2，如图，设AB,CD的中点分 E 别为E,F,则PE⊥AB,PF⊥CD, 0 B 连接EF,EF⊥CD,PF⊥CD,EF ∩PF=F,EFC平面PEF,PFC平面PEF,∴.CD⊥平面 PEF,又CDC平面ABCD,,.平面PEF⊥平面ABCD,且 平面PEF∩平面ABCD=EF.过点P作PO⊥EF于点O, 则POC平面PEF,则PO⊥平面ABCD.在△PEF中，由 题可求得PE=2W3,PF=2,EF=4,PE2+PF2=EF2, ∴.∠EPF=90°，根据面积相等可得PO·EF=PE·PF, 即4PO=2√3×2，得PO=√3.] 11.解：(1)因为AB=BC=2,所以BE⊥AC,又因为是直三棱 锥ABC-A1B1C,不妨设AC=2a, 因为BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,连接AF, E,F分别为AC和CC1的中点，则 AF2=BF2+AB2, →4a2+1=5+4→a2=2→a=√2， 三0022 所以BE=√BC一EC=√2， 所以V-C=}5m·FC=号×号×2XEX1=分 (2)连接AE,取BC中点为H,连接M EH,B.H, 因为E,H分别为AC,BC的中点，所以 EH∥AB, 又因为AB1∥AB,所以AB1∥EH,所 以A,EHB,共面， 易知DEC平面A1EHB1, 易知△FCB≌△HBB,,所以BF⊥HB, 又因为BF⊥A1B1,且AB1∩HB=B1,A1B,HB CA EHB, 所以BF⊥平面A,EHB1,所以BF⊥DE 12.解：(1)证明：因为AB∥CD,AB中平面CDEF,CDC平面 CDEF,所以AB∥平面CDEF. 又因为ABC平面ABFE且平面ABFE∩平面CDEF =EF, 所以AB∥EF.又EF庄平面ABCD,ABC平面ABCD,所 以EF∥平面ABCD. (2)证明：因为AB=AD=2,∠BAD=5,所以△ABD为 正三角形，所以∠ABD=∠ADB=吾 又AB/CD,所以∠BDC=号· 又BC=2√3，所以在△BCD中，由余弦定理，得BC=BD +CD2-2BD·CD·cos∠BDC,即(2√3)2=22+CD2 2CD,解得CD=4或CD=一2（舍去）. 因为BD2+BC2=22+(2√3)2=CD2=4,所以BD⊥BC. 又BD⊥BF,且BC∩BF=B,BC,BFC平面BCF,所以BD ⊥平面BCF. 又FGC平面BCF,所以BD⊥FG 因为AD=AE=2,∠DAE=号，所以△ADE为正三角形， 所以EO⊥AD. 由梯形的中位线可得OG=AB,CD=3=EF,且OG∥AB 2 ∥CD,所以OG∥EF,所以四边形OEFG为平行四边形， 所以FG∥EO,所以BD⊥EO. 又BD∩AD=D,BD,ADC平面ABCD,所以EO⊥平面 ABCD. 又EOC平面EOGF,所以平面EOGF⊥平面ABCD. (3)如图，过点G作直线MN∥ AD,交AB的延长线于点M,交 D CD于点N,连接FM,FN. 由(2)知AB∥OG,所以四边形 B M AOGM为平行四边形， 所以AM=OG,同理可得DN=OG,所以AM=OG=DN= EF=3. 又AB∥CD,所以AM∥DN, 所以AM∥DN∥EF, 所以多面体ANF-ADE为三棱柱，过，点M作MH⊥AD于 点H,由(2)知EO⊥平面ABCD. 因为EOC平面ADE,所以平面ADE⊥平面ABCD. 因为平面ADE∩平面ABCD=AD,MHC平面ABCD,所 以MH⊥平面ADE, 所以线段MH的长即三棱柱MNF-ADE的高，在△AMH 中，MH=AM·sin60°=3g3, 2 所以三技能NPADE的体数为得×2以X3=号 因为G为MN的中点，所以MG=NG,又AM∥CD,所以 ∠BMG=∠CNG,又∠BGM=∠CGN,所以△BMG≌ △CNG,所以三棱锥F-BMG与F-CNG的体积相等，所以 该五面体的体积为号 9 高一数学的) 新题快递 1.CD[如图所示，a为墙面，l为道 路，n为秋千绳，m为秋千板， 由题意，在荡秋千的过程中，秋千绳 与墙面始终平行，但与道路所成的 角在变化，则秋千绳与道路的位置 关系在发生变化，而秋千板始终与 墙面垂直，故也与道路始终垂直.] 2.解析：以三棱锥A,-ABC为例（如图(1）)，则此三棱锥的4 个面均为直角三角形，故①错误； A (1) E2 FG∥D1D,.过点F、D1、G的截面为矩形FGDD, .FG⊥DE,DE⊥AF,FG∩AF=F,FG,AFC平面AFG, ∴.DE⊥平面AFG,当P在直线FG上运动时，APC平 面AFG, ∴.DE⊥AP,故②正确； 当Q在直线BC,上运动时，△AD,Q的面积为定值（如图 (2)),C到平面AD1Q的距离为定值，.A-DQC的体积是 定值，故③正确； 连接D1C,则DC1⊥平面ABCD,,.M的轨迹是线段 A1D1,故④正确. 答案：②③④ 假期作业23随机抽样 思维整合室 1.全面调查2.一部分个体3.（1)放回的概率不放回的 概率(2)抽签法随机数法(3)总体平均值样本平均值 4.(1)子总体属于且仅属于层比例 技能提升台素养提升 1.B[在抽样过程中，个体A每一次被抽中的概率是相等的， 因为总容量为21，故个体A“第一次被抽到”的可能性与“第 二火被抽到”的可能性均为] 2.BC 3.C[从随机数表第2行第9列的数开始，每次从左向右选取 两个数字，去掉超过45和重复的号码，选取的前3个号码依 次为32,37,27，故选取的第三个号码为27.门 4.解析：平均每条鲢鱼的质量为20X1.6十10×2.2十10×1.8 20+10+10 =1.8(kg).因为鲢鱼的成活率约为80%， 所以成活的鲢鱼的总数约为2500×80%=2000（条）， 所以鱼塘中鲢鱼的总质量约为2000×1.8=3600(kg). 答案：3600 5.C [依题意，被抽检的小卷纱线有20000× 240 2000+8000+20000-160(卷).] 6.A[利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是相同的，故所 求的凝李为200+380+4000] 900 7.解析：从甲班抽取的5名学生的总时间为6十6.5十7十7.5 十8=35(h),从乙班抽取的7名学生的总时间为6十7十8十 9十10十11十12=63(h),从丙班抽取的8名学生的总时间为 3+4.5+6+7.5+9+10.5+12+13.5=66(h),则 35十63十66=14=8.2，即这个学校高一年级学生一周的 5+7+8 20 平均锻炼时间约为8.2h. 答案：8.2 8.解析：根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200X3 120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为 3 120×2+3+5=36. 答案：12036快乐假期 假期作业22 空间直线、 《思维整合室 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 条直线与 a,bCa 判定定 个平面内的 都 a anb=O a b-0 ILa 垂直，则该直线 l⊥b 与此平面垂直 性 垂直于同一个 定 平面的两条直 8a 线 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面过另一 定 个平 面的 ,则这两 lC→a⊥9 l⊥aj 个平面互相垂直 两个平面互相垂 性 &⊥B 直，则一个平面内 垂直于 ICB →l⊥a a∩B=a 理 的直线垂直于另 一个平面 3.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它 在平面上的射影所成的 A ,叫做这条直线和这 个平面所成的角，如图， 就是斜线 AP与平面a所成的角 (2)线面角0的范围：0[0,5] 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]直线与平面垂直的判定与性质 1.直线n⊥平面a,n∥l,直线mCa,则l、m的 位置关系是 () A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 2.给出下列4个命题，其中正确的命题是( ①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直 于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一 直线的两平面平行；④垂直于同一平面的两 个平面平行. A.①② B.③④ C.②③ D.①④ S0M-= z面的垂直 修身、齐家、治国、平天下 完成日期： 夕 日 3.若m,n为两条直线，a为一个平面，则下列 结论中正确的是 ( A.若m∥a,n∥a,则m⊥n B.若m∥a,n∥a,则m∥n C.若m∥a,n⊥a,则m⊥n D.若m∥a,n⊥a,则m与n相交 ◆[考点二]平面与平面垂直的判定与性质 4.若平面a⊥平面B,平面B⊥平面Y,则() A.a∥y B.a⊥Y C.a与y相交但不垂直D.以上都有可能 5.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面 BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D,等腰直角三角形 6.PA垂直于正方形ABCD所 在平面，连接PB,PC,PD, AC,BD,则下列垂直关系正 确的是 ①平面PAB⊥平面PAD; ②平面PAB⊥平面PBC; ③平面PAB⊥平面PCD; ④平面PAB⊥平面PAC. A.①②B.①③ C.②③ D.②④ ◆[考点三]空间的角 7.（多选)下列说法中正确的是 ( A.两个相交平面组成的图形叫做二面角 B.异面直线a,b分别和一个二面角的两个 面垂直，则a,b所成的角与这个二面角 相等或互补 C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分 别在两个面内作射线所成角的最小角 D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上 的位置没有关系 8.已知正三棱台ABCA,BC的体积为号， AB=6,A1B1=2,则AA1与平面ABC所成 角的正切值为 () A. B.1 C.2 D.3 9.已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜 边，△ABD为等边三角形，若二面角C AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所 成角的正切值为 ( B号 C③ 三0022 ◆[考点四]垂直的综合问题 10.如图，在四棱锥P ABCD中，底面AB CD是边长为4的正 方形，PA=PB=4, PC=PD=2√2，该棱锥的高为 A.1 B.2 C.√2 D.3 11.已知直三棱柱ABC-AB,CA 中，侧面AABB为正方形， AB=BC=2,E,F分别为 AC和CC的中点，BF ⊥AB. (1)求三棱锥F一EBC的 体积； (2)已知D为棱A,B上的点，证明：BF⊥DE. 12.如图，在五面体 ABCDEF中，AB ∥CD,BD⊥BF, 0 平面ABFE∩平 A CDEF=EF,AB=AD=AE=2,BC= 23,EF=3,∠BAD=∠DAE=T 3 (1)证明：EF∥平面ABCD; (2)若点O,G分别为AD,BC的中点，证 明：平面EOGF⊥平面ABCD; 盒一数学都) (3)求该五面体的体积. 新题快递 1.(多选)苏轼是北宋著名的文 学家、书法家、画家，在诗、 词、文、书、画等方面都有很 深的造诣.《蝶恋花·春景》 是苏轼一首描写春景的清新 婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息，词的 下阕写道：“墙里秋千墙外道.墙外行人，墙 里佳人笑.笑渐不闻声渐悄，多情却被无情 恼.”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千 板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面 平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋 千绳与墙面平行.在佳人荡秋千的过程中， 下列说法正确的是 A.秋千绳与墙面始终垂直 B.秋千绳与道路始终垂直 C.秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， E,F,G分别是AB,BC,BC1的中点.下列 命题正确的是 (写出所有正确命 题的编号) ①以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四个 面最多只有三个面是直角三角形； ②P在直线FG上运动时，AP⊥DE; ③Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D,QC 的体积不变； ④M是正方体的平面AB,CD1内到点D和 C距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段. 《益智欢乐谷 青春里，我们都在摸索着 成长，会被绊倒，会流泪，会茫 五牛清精 然，会想要放弃，但是我们都 能坚持到最后.尽管我们一路 走来跌跌撞撞，但是我们写下了属于我们的青 春励志文章，鼓励着正在走向未来的自己，也 鼓励那些在黑暗中挣扎的青少年不要轻言放 弃，辜负青春.