假期作业3 一元二次函数、方程和不等式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（全学年）

壁快乐慑别 12.解：由M∩P={x|5<x≤8}知，a≤8. (1)M∩P={x5<x≤8}的充要条件是 -34 58￥ -3a≤5. (2)M∩P={x|5<x≤8}的充分不必要条件，显然，a在 [一3,5]中任取一个值都可以. (3)若a=-5,显然M∩P=[-5,-3)U(5,8]是M∩P= {x5<x8}的必要不充分条件. 故a<一3时为必要不充分条件， 新题快递 1.B[由方程x2十3x十a=0有正实数根，则等价于函数f(x) =x2+3x十a有正零点，由二次函数f(x)的对称轴为x= 0,则函数f(x)只能存在一正一负的两个 48二>0解得a<0,因为(-，0)=(-0，号]所 1f(0)<0, 以选B.] 2.ACD对于A,因为|x>1,所以x>1或x<-1,所以“当 x>1”时，“|x|>1”成立，反之不成立， 故“x>1”是“|x>1”的充分不必要条件，正确； 对于B,“a∈P∩Q”-定有“a∈P”成立，反之不成立， 故“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件，错误； 对于C,命题“Hx∈R,有x2十x十1≥0”是全称量词命题， 其否定是存在量词命题，即“3x∈R,使x2十x十1<0”，正确； 对于D,当a十b十c=0时，1为方程ax2+bx十c=0的一个 根，故充分性成立； 当方程a.x2+bz十c=0有一个根为1时，代入得a十b十c= 0,故必要性成立，正确.门 假期作业3一元二次函数、 方程和不等式 思维整合室 1.(1)b<a(2)a>c(5)a+c>b+d(6)ac>bd 2.(1)≥(2)①a,b均为正实数②a=b 3.①√ab②不小于 4.{xx<x或x>x2}{xx≠1}{xx<x<x}0 技能提升台素养提升 1.D2.A 3.解析：对于①，根据不等式的基本性质得，如果a>b,且c> d,那么a十c>b十d,命题①正确；对于②，如果a≠b,且c≠ 那么ac≠bd错误，如a=2,b=2,c=-2,d=一2 =d=-1,命题@错误：对于⊙，如果a>6>0,那么品>0， 所以号>日>0，即0<日<名命题回正确：时于④知果 (a-b)2+(b一c)2≤0，那么a一b=b-c=0,所以a=b=c, 命题④正确.所以真命题的序号是①③④. 答案：①③④ 4ABD[>-1,x+1>0,y=x+z=(x+1D+ 中有1≥2/(x+1).工 “x十1-1=1， 当且仅当x=0时取等号，则N={yy≥1}，故A正确； M={x-2x2},N={yy≥1}， 由新定义可知，M一N={x|一2≤x<1},故B正确； N-M={xx>2},故C错误； N一(N一M)={x|1≤x≤2}，故D正确.] 5.C[因为0<x<合，所以1-4r>0,所以xV-47= 号×2xV个-4证≤分×+}忙-是，当且仅当2x= 2 √-4，即x=2时等号成立.] 6.B[因为a,b为正实数，所以由4a十b(1一a)=0得4a十b= ab,即合+=1， a 所a(日+)=[(+（台）]≥（告+）广-1. 当且仅当合日且板十66，中a=268时，等号成立， 8 ---S00A□ 所以2（+）≥1，+9≥ 因为宁十≥1计号一对满足a+61-)=0的所有 正实数a,b都成立， 所以（日+9）≥1+音-，即合≥1+号-，坐理得 2x2-x-1≥0， 解得≥1成x≤-日，由x为正数得x≥1， 所以正数x的最小值为1.] 7.解折：国为2+号=(2x+0(+号)=4+￥+> y y y 4十3经·号-8，当且收当y=时底主. 答案：8 8.解析：正实教a,b满足a十40=1，则ab=子×a·46≤号× (吃)=品当且仅当a=6吉时车号成主 答案：16 9.D[由不等式4[x]+24[x]-45<0,可得(2[x]+15)(2 []-3)<0,解得-艺<[]<号，则-7<[]<1，根据取 整函数定义可知一7≤x<2.] 10.解析：将不等式分解因式得(x一3)(x+1)<0,解得一1<x<3. 答案：（一1,3） 11.解析：由题意，知△=4-4×1×(k2-1)<0, 即k2>2,.k>√2或k<一√2 答案：(-∞，一√2)U(√2，十∞) 12.解：原不等式可化为(x-1)(ax-1)<0, .①当a=0时，可解得x>l, ②当>0时，不等式可化为x-1(k-日)0， .当a=1时，不等式可化为(x-1)2<0,解集为； 当0<a<1时，日>1，不等式的解集为{1<x<日}： 当>1时日<1，不等我的解集为{红日<<： 当a<0时，不等式可化为z-D(-日)>0， “不等式的解集为{红>1成<日} 综上，可知，当a<0时， 不等式的解集为{红>1浅2<日} 当a=0时，解集为{x|x>1}; 当0<a<1时，不等式的解桑为{z1<<日}： 当a=1时，不等式的解集为⑦； 当a>1时，不等式的解集为{日<<1} 新题快递 1.C[a⊙b=a2b+ma2-9a-9b+1(m∈R),设4⊙(5⊙(… (2024⊙2025)…))=x, 则3⊙x=9x+9m-27-9x十1=9m-26, 2⊙(9m-26)=4(9m-26)+4m一18-9(9m-26)+1=113 -41m, 1⊙(113-41m)=(113-41m)+m-9-9(113-41m)+1= 329m-9121,年得m≤号2器] 2.B[观察图形知，A1,A2,A3,A4,A与，A6,A,七个公司要到 中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接，点， 令A1到B、A2到C、A3到D、A4到D、A到E、A6到E、A7 到F的小公路距离总和为d, BC=d,CD=d2,DE=d3,EF=d, 路口C为中转站时，距离总和Sc=d+d+d2+d2+(d+ d2)+(d3+d2)+(d4+d3+d2)=d+d1+5d2+3d3+d4, 三0022... 路口D为中转站时，距离总和Sp=d+(d1十d2)十d2十d +d3+(d4+d3)=d+d1+2d2+3d3+d4, 路口E为中转站时，距离总和Ss=d+(d1+d2+d)十(d2十 d)+d+d,+d=d+d,+2d2+4d+d, 路口F为中转站时，距离总和Ss=d十(d1十d2十d3十d)十(d2 +d3+d)+2(d+d)+2d,=d+d1+2d2+4d+5d,,显然Se >SD,Ss>SE>SD,所以这个中转站最好设在路口D.] 假期作业4函数的概念与性质 思维整合室 1.实数集唯一确定2.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函数 3.f(x)一f(x)4.(1)y轴偶函数(2)原点 技能提升台素养提升 1.B[①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此 不是函数图象，②中当x=x。时，y的值有两个，因此不是函数 图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.] 2.解析：f(3)=√3. 答案W3 3.B[对于A,y=2025-2024x在R上单调递减，故A错误； 对于B,易知y=2x2十3开口向上，对称轴为x=0, 所以y=2x2+3在区间(0,4)上单调递增，故B正确； 对于C,y=一(x一2)2开口向下，对称轴为x=2, 所以y=一(x一2)2在（一∞，2）上单调递增，在(2，十∞)上 单调递减，故C错误； 对于D,y=x2一8x一6开口向上，对称轴为x=4, 所以y=x2一8x一6在（一∞，4）上单调递减，故D错误.] 4.解析：由g(x)=++1=x十1十1，易知g(x)在 x [合，小上单调递减，在1,2]上单调递增，则g)m g(1)=3.于是f(x)也在x=1处取得最小值3，则b=-2,c =4,即f(x)=x2-2x十4=(x-1)2十3，所以f(x)在区间 [合2]上的最大值为f2)=4 答案：43 5.D[因为)-为偶函数，则八)- f-x)-te'-(-2)e-_H[e'-e-D] =0,又因为x er-1 er-] ear-1 不恒为0， 可得e-ea-1r=0,即e=ea-Dr， 则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.] 6B[对A,设)-，画数定义拔为R,包一1) e2,f)2则f(-1)≠f),故A错误；对B) f(x)=cosx十x2 +1,函数定义线为R,且f(-x) 0s(-x)+(-x)-0sx十x=f(x),则f(x)为偶函教， (-x)2+1 x2+1 故B正确：对C,x)=行芹，画数定义域为xz≠-1， 不关于原点对称，则f(x)不是偶函数，故C错误；对D, f()=six+4虹，函数定义战为R,因为∫(-x)= e sin(-x)+4(-x）=-sinx+4x=一f(x),则f(x)为奇 el- 函数，f(x)不是偶函数，故D错误.] 7.解析：由题意可知，f(0)=0,则a=0. 答案：0 8.D 9.CD[将函数f(x)=x|x|一2x去掉绝对值 得f(x)=/x2,2,z≥0 {-x2-2x,x<0, 画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知， 函数∫(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在（一1,1）上单调递减，在（一∞，一1）上 单调递增.] 8 高一数学都 10.AC[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,因 为g(x)=f(x-1), 所以g(1)=f(0)=0,故A正确： 因为f(x)为定义在R上的减函数， 且f(2)=-1,f(2)<f(1)<f(0), 即-1<f(1)<0.所以一1<g(2)<0,故B不一定成立； 因为g(x)=f(x-1),所以g(-x)=f(-x-1) =一f(x+1), 所以g(-x)十g(x)=一f(x十1)十f(x一1)，因为f(x)是 定义在R上的减函数， 所以f(x-1)>f(x十1)，所以f(x-1)-f(x+1)>0,即 g(一x)十g(x)>0,故C正确； 因为g(x)=f(x-1),所以g(-x+1)=f(-x)= -f(x),g(x十1)=f(x), 所以g(-x十1)十g(x十1)=-f(x)十f(x)=0,选项D错误.] 11.解：(1)证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(-2x1+m)-(-2x2+m)= 2(x2-x1),'x1<x2.x2x1>0. f(x)>f(x2).函数f(x)在R上是减函数. (2)函数f(x)是奇函数，.对任意x∈R,有f(一x) =-f(x).∴.2x+m=-(-2x+m).∴.m=0. 12.解：(1)因为f(x-1)=a(x-1)+b,f(x+1)=a(x十1)+ b,所以3f(x-1)-2f(x+1)=3[a(x-1)+b] 2[a(x+1)+b]=ax-5a+b=2x-6, 所以∫a=2, -5a+b=-6 6,解得8=： (2)由(1)可知：f(x)=2x+4. 所以g(x)=x[f(x)-6]=x(2x+4-6)=2(x2-x) [0-)广-1--）广-日 当x=合时，g(x)取最小值一是： 当x=2时，g(x)取最大值4. 新题快递 1.C[当2≥x≥1时，1⊕x=x2,2⊕x=2,故f(x)=x3+2, 函数单调递增，f(x)mx=f(2)=10; 当一2≤x≤1时，1⊕x=1,2⊕x=2,故f(x)=x+2,函数单 调递增，f(x)<f(1)=3; 综上所述：函数∫(x)的最大值为10.] 2.ABD[由题意f(x)=2-x2,g(x)=x,函数F(x)=min {f(x),g(x)},由于|x|-(2-x)=(|x|+2)(|x|-1), 则|x≥1时，|x|-(2-x2)=(|x|+2)(|x|-1)>0,.|x ≥2-x;x|<1时，x<2-x2, [2-x2,x-1 y 则F(x)= ,1<≤0，作出其图 x,0x<1 M(x 2-x2,x>1 象如图： 对于A,结合图象可知，F(x)的图象关 于y轴对称，则F(x)为偶函数，A正 「2一x,x≤一1 -x,一1<x0 确；对于B,结合F(x)= 以及图象可知 x,0<x<1 2-x2,x≥1 F(x)=0有3个解， 即一√2，√2,0，B正确； 对于C,结合图象可知函数F(x)在区间[一1,0]上单调递 减，在(0,1]上单调递增，C错误；对于D,由图象可知F(x) 区间[一1,0]，(1，+∞)上单调递减，在（一∞，一1），(0,1]上 单调递增，即函数有4个单调区间，D正确.] 假期作业5基本初等函数（工） 思维整合室 1.(0,+∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1 增函数减函数2.(0，十∞)(1,0)10y>0y<0 y<0y>0增减3.(2)[0，+∞)[0，十∞){yly≠0} 奇奇在（一∞，0]上单调递减，在[0，十∞）上单调递增 在R上单调递增在[0，+∞)上单调递增在（一∞，0）和 (0,+∞)上单调递减(1,1)三0022 假期作业3一元二次函数、方 《思维整合室 1.不等式的性质 (1)对称性：a>b台 .(双向性) (2)传递性：a>b,b>c→ .(单向性) (3)可加性：a>b台a+c>b+c.(双向性) (4)可乘性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ ac<bc. (5)a>b,c>d→ .（单向性) (6)a>b>0,c>d>0→ .（单向性) (7)乘方法则：a>b>0→a">b(n∈N,n≥1). (单向性) 2.基本不等式 (1)重要不等式 如果a,b∈R,那么a2+b2 2ab(当且仅 当a=b时取“=”). (2)基本不等式wab≤a十b 2 ①基本不等式成立的条件： ②等号成立的条件：当且仅当 时 取等号， 3.算术平均数与几何平均数 ①设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为 “士，几何平均数为 ②基本不等式可叙述为两个正数的算术平 均数 它们的几何平均数. 4.三个“二次”的关系 判别式 △>0 △=0 △<0 △=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+o (a>0)的图象 0x1=2 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有 ax2+bx+c x1,x2(x<x2) x1=x2= 6 实数根 =0(a>0)的根 2a 5 高一数学恐 温故而知新，可以为师矣。 程和不等式 完成日期： 月 日 续表 ax2+bx +c>0(a>0) R 的解集 ax2+bx+ c<0(a>0) 的解集 〈《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]不等式的性质 1.一般的人，下半身长x与全身长y的比值 小于0.6且不小于0.57，用不等式表示为 () A.x<0.57 Bx>0.6 C0.57<号≤0.6 D0.57≤5<0.6 2.已知a<b<0,那么下列不等式成立的是 A.a<b B.a2<62 C.(-a)3<(-b)3 D.(-a)2<(-b)2 3.设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的 是 ①如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d; ②如果a≠b,且c≠d,那么ac≠bd; @如果a>6>0,那么0日<行： ④如果(a-b)2+(b-c)≤0，那么a=b=c. ◆[考点二]基本不等式 4.(多选)给定集合M,N,定义M-N={xx ∈M,且xN},若M={x|一2≤x≤2}，N =y=x+1>-1,则 () A.N={yy≥1} B.M-N={x|-2≤x<1} C.N-M={xlx≥2} D.N-(N-M)={x|1≤x≤2} k受饶乐喉明 5.若0<<分，则函数y=-4x的最大 值为 A.1 D.g 6已知不等武+≥1+号-2对满足 4a+b(1一a)=0的所有正实数a,b都成 立，则正数x的最小值为 A B.1 c. D.2 7.已知x>0,y>0,且2x十y=1,则1+2的 最小值是 8.已知正实数a、b满足a十4b=1,则ab的最 大值为 ◆[考点三]二次函数与一元二次方程、不 等式 9.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者 之一，享有“数学王子”的美誉.设x∈R,用 [x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称 为高斯函数，也称取整函数，例如[一2.8]= -3,[3.6]=3.若不等式4[x]2+24[x]一 45<0成立，则实数x的取值范围是() B.[-8,2] C.(-8,1] D.[-7,2) 10.不等式x2一2x一3<0的解集为 11.已知不等式x2-2x十k2-1>0对一切实 数x恒成立，则实数的取值范围 为 12.解不等式ax2-(a+1)x+1<0. S0M-= 新题快递 1.设a、b是实数，定义：a⊙b=a2b十ma2-9a 一9b十1(m∈R).则满足不等式1⊙(2⊙(… (2024⊙2025)…)≤1的实数m的取值范 围是 () A.m≥1 B.m≤203-2 3 Cm≤器 D.1≤m≤329+4323 361 2.某市一个经济开发区 的公路路线图如图所 示，粗线是大公路，细 线是小公路，七个公司A1,A2,A3,A4,A, A。,A,分布在大公路两侧，有一些小公路与 大公路相连.现要在大公路上设一快递中转 站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和 越小越好，则这个中转站最好设在() A.路口C B.路口D C.路口E D.路口F 【《益智欢乐谷 刚接一骗子电话：我 线没啦 是某某银行，刚查询发现 您的银行卡今天消费8 万8千元，请问是您本人消费么？ 我很平静说：是我消费的， 骗子沉默了5秒后说：您真能吹牛…把 我思路全打乱了，再见…