题海探秘08 离散型随机变量的方差讲义-2025-2026学年高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版选择性必修第三册）

2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘08 离散型随机变量的方差 5考点复习指南 知识点1：离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. （3）两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 （4）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 知识点3：求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 考点1 求离散型随机变量的方差、标准差 1．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 1 2 3 0.4 0.2 0.4 求、． 2．（2026高二·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 3．（2026高二·广东汕尾·期末）随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 4．（2026高三·全国·一轮复习）已知随机变量的分布列如下，则__________ 1 2 3 5．（2026高二·江苏盐城·期中）已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京顺义·模拟预测）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 7．（2026高二·北京·期中）为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10  12.5  8  9.5  9  11 高二年级 7.5  8  8.5  10  9.5  11  12 高三年级 7  4.5  6  5  7.5  10.5  11  12.5 (1)已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求； (2)从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中综合体育活动时间达到“通知”要求的人数为，求的分布列和数学期望； (3)试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“”连接）． 8．（2026高二·江西南昌·期末）DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 9．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 考点2 离散型随机变量的方差公式及性质 10．（2026高二·广东深圳·期中）若，则（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 11．（2026高二·山东德州·阶段检测）设离散型随机变量X服从参数为0.4的两点分布，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·天津滨海新区·期中）已知随机变量的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·安徽六安·期中）已知随机变量取所有的值1，2，…，n是等可能的，且，则______. 14．【多选】（2026高二·江苏宿迁·期中）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 15．（2026高二·广西崇左·期中）已知随机变量的均值，方差，则（    ） A． B． C．11.8 D．2 16．（2026高二·湖南永州·期中）已知随机变量服从两点分布，随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.6 0.2 若，且与相互独立，则（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.65 D．0.9 17．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． 考点3 方差的期望表示 18．（2026高三·广东深圳·阶段检测）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 19．【多选】（2026高二·广西桂林·开学考试）已知离散型随机变量的分布列如下表： 2 4 8 若，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·全国·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求和的值. 21．【多选】（2026高二·青海海南·期末）已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 0.2 0.35 0.15 0.3 下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 22．【多选】（2026·福建福州·模拟预测）已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项中正确的是（    ） X 0 1 2 P 0.36 A． B． C． D． 考点4 两点分布的方差 23．（2026高二·福建福州·期中）设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 24．（2026高二·四川遂宁·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 25．（2026高二·山西大同·期中）抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，（    ） A． B． C． D． 26．（2026高二·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则__________． 27．（2026高二·全国·课堂例题）某运动员投篮命中率，求投篮一次时命中次数X的均值与方差； 考点5 均值与方差的综合应用 28．（2026高二·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 29．（2026高三·全国·专题练习）甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下： 射手甲： 击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.6 0.2 射手乙： 击中环数 8 9 10 概率 0.4 0.2 0.4 试用击中环数的数学期望与方差分析比较两名射手的射击水平． 30．（2026高二·四川绵阳·月考）为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 40 20 60 不经常整理错题 20 20 40 合计 60 40 100 用频率估计概率，在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈. (1)用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差； (2)求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率. 31．（2026高二·福建莆田·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司答对题数的分布列； (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 32．（2026高二·江苏宿迁·期中）高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 33．（2026高二·北京·期中）某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图. (1)从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少8小时的概率； (2)从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为求的分布列和数学期望； (3)从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小．（只需写出结论） 34．（2026高三·河南洛阳·开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，． (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？ （参考数据，） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘08 离散型随机变量的方差 5考点复习指南 知识点1：离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. （3）两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 （4）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 知识点3：求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 考点1 求离散型随机变量的方差、标准差 1．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 1 2 3 0.4 0.2 0.4 求、． 【答案】2，0.8 【分析】根据给定的分布列，利用期望、方差公式计算得解. 【详解】依题意，； . 2．（2026高二·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 3．（2026高二·广东汕尾·期末）随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 【答案】6 【分析】先列方程组求出b、c，再利用方差公式求出方差. 【详解】由题意可得：，解得：， 所以. 故答案为：6 4．（2026高三·全国·一轮复习）已知随机变量的分布列如下，则__________ 1 2 3 【答案】 【分析】根据分布列求出期望值，代入方差计算式直接计算即可. 【详解】由题意得， 所以. 故答案为： 5．（2026高二·江苏盐城·期中）已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列求期望与方差即可得解. 【详解】设，则可得分布列如下表; 0 1 2 根据期望公式得：， 解得， 所以根据方差公式得：， 即标准差为， 故选：C. 6．（2026·北京顺义·模拟预测）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分布列见详解； (3) 【分析】（1）利用古典概型求概率. （2）利用古典概型求离散型随机变量的分布列与期望. （3）利用古典概型求离散型随机变量的方差. 【详解】（1）因为第部播放的短片共有种情况，且每部短片随机展播一次， 所以播放的短片是文明出行宣传短片的概率为. （2）最后一部反诈宣传短片可能在第部或第部播放完成， 所以可取值为. 则；. 可得的分布列为： 所以. （3）文明出行宣传短片可能在第部、第部、第部播放完成， 所以可取值为. 则；；. 所以， 则. 而，所以. 7．（2026高二·北京·期中）为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10  12.5  8  9.5  9  11 高二年级 7.5  8  8.5  10  9.5  11  12 高三年级 7  4.5  6  5  7.5  10.5  11  12.5 (1)已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求； (2)从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中综合体育活动时间达到“通知”要求的人数为，求的分布列和数学期望； (3)试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“”连接）． 【答案】(1)估计高一、高二、高三学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300，400，500 (2)以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 (3)高一、高二、高三三个年级体育活动时间的方差大小关系为高一高二高三 【分析】（1）根据分层抽样的定义，结合题设可知高二、高三学生人数，再根据样本数据综合体育活动时间五天内低于10小时的人数比例求解即可； （2）由题意得的可能取值为0，1，2，3，分别求出每一个对应的概率即可得到分布列，再根据期望的公式求解即可； （3）根据样本数据，求出方差大小可得答案． 【详解】（1）由题可知，用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6，7，8， 已知高一学生人数为600，所以高二、高三学生人数分别为700，800， 而综合体育活动时间五天内低于10小时的人数， 高一、高二高三占比分别为， 由， 因此，估计高一、高二、高三学生综合体育活动时间没有 达到“通知”要求人数分别为300，400，500； （2）由题可知，综合体育活动时间达到通知要求的， 高三有3人，另5人没有达到要求，所以的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； （3）高一年级样本数据的平均数为， 其方差为 ， 高二年级样本数据的平均数为 ， 其方差为 ， 高三年级样本数据的平均数为 ， 其方差为 ， 所以. 所以高一、高二、高三三个年级体育活动时间的方差大小关系为 高一高二高三. 8．（2026高二·江西南昌·期末）DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 【答案】(1) (2)0.9 (3)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，将所求事件表示为，再利用全概率公式计算可得； （3）X的可能取值是，求出所对应的概率，即可求出分布列、期望和方差． 【详解】（1）由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的9个问题均来自他能正确回答的9个问题. 则由古典概型的概率公式可得， 小张能全部回答正确的概率， 故小张能全部回答正确的概率为； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 则，且事件与互斥， 由题意知， 则， 由全概率公式可得， ． 故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为； （3）已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是， 且， 所以X的分布列为： 8 9 则， . 故的期望为，方差为. 9．（2026高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）某高中在选拔学生参加高中数学联赛中，对数学成绩较好的100名学生进行了一次测试，将测试所得的成绩（满分100分）分成7组：，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求此次测试成绩的平均数（同组数据以该组区间的中点值作代表）； (2)从测试成绩在区间内的学生中随机抽取4人，记4人中测试成绩在区间内的人数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)71.2 (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）根据频率分布直方图求出测试成绩的平均数； （2）求出测试成绩在区间和内的学生的人数，得到可能的取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望和方差. 【详解】（1）由图知测试成绩的平均数为： . （2）测试成绩在区间内的学生人数为人， 测试成绩在区间内的学生人数为人， 所以的可能取值为2，3，4. 故，，， 所以的分布列为： 2 3 4 所以， . 考点2 离散型随机变量的方差公式及性质 10．（2026高二·广东深圳·期中）若，则（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 【答案】D 【分析】根据方差的性质求解. 【详解】. 11．（2026高二·山东德州·阶段检测）设离散型随机变量X服从参数为0.4的两点分布，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点分布的期望、方差公式求出的期望和方差，再根据期望与方差的线性性质计算的期望和方差，对比选项找出错误结果. 【详解】A：两点分布的期望，因此，A正确； B：两点分布的方差，因此，B正确； C：，C正确； D：，D错误. 12．（2026高二·天津滨海新区·期中）已知随机变量的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算和，再根据方差公式求解 【详解】由题可知，解得， 因为，所以， 所以， 得到，故. 13．（2026高二·安徽六安·期中）已知随机变量取所有的值1，2，…，n是等可能的，且，则______. 【答案】18 【详解】由题意可得， 则，解得， 所以， 所以. 14．【多选】（2026高二·江苏宿迁·期中）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据期望和方差的公式及线性运算性质，求解即可. 【详解】由分布列的性质得，所以. 则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确； 而，故C正确； 而方差为，故B错误； 可得，故D错误. 15．（2026高二·广西崇左·期中）已知随机变量的均值，方差，则（    ） A． B． C．11.8 D．2 【答案】C 【详解】，； ，； . 16．（2026高二·湖南永州·期中）已知随机变量服从两点分布，随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.6 0.2 若，且与相互独立，则（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.65 D．0.9 【答案】C 【分析】解法1：令，则的可能取值为，求得相应的概率，结合期望和方差的公式，即可求解； 解法2：由随机变量服从两点分布，得到，再求得，结合与相互独立，即可求解. 【详解】解法1：令，则的可能取值为. ，， ，， 所以， . 解法2：由随机变量服从两点分布，得， 又由 可得， 因为与相互独立，所以. 17．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由两点分布的期望、方差计算公式和期望、方差的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：由概率和为，则​，A正确； 选项B：， 根据期望性质，得，B错误； 选项C：根据方差公式，得​，C正确； 选项D：根据方差性质，得，D正确. 考点3 方差的期望表示 18．（2026高三·广东深圳·阶段检测）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出随机变量的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函数求出范围. 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此. 19．【多选】（2026高二·广西桂林·开学考试）已知离散型随机变量的分布列如下表： 2 4 8 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先根据分布列概率之和为求出，再利用求出，接着计算和，再逐项判断． 【详解】由分布列性质，得，解得，故选项A正确； 由数学期望公式，得，解得，故选项C正确； 因，故选项B错误； 因为，， 所以，故选项D正确． 故选：ACD． 20．（2026·全国·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求和的值. 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）分析表示的运动状态，利用独立重复试验的概率计算公式求解； （2）分析表示的运动状态，利用独立重复试验的概率计算公式求解； （3）设表示第次质点的位移，先求和，再利用与的关系求的期望与方差. 【详解】（1）设质点向右运动为事件，向左运动为事件，则. 当时，表示向右运动和向左运动的次数均为3， 所以. （2）当时，表示向右运动3次，向左运动2次， 所以. （3）设表示第次质点的位移， 则，则. 所以. 又，所以. 又. 所以. 21．【多选】（2026高二·青海海南·期末）已知随机变量的分布列为 1 2 4 5 0.2 0.35 0.15 0.3 下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用期望方差的定义直接求解判断. 【详解】，A错误，B正确； ， 所以，C正确，D错误. 故选：BC 22．【多选】（2026·福建福州·模拟预测）已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项中正确的是（    ） X 0 1 2 P 0.36 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由分布列的性质可得，再由期望的求法及方差与期望的关系判断各项的正误. 【详解】A，由可得，正确； B，因为，正确； C，因为，错误； D，因为，正确． 故选：ABD 考点4 两点分布的方差 23．（2026高二·福建福州·期中）设随机变量X服从两点分布，若，则（    ） A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 【答案】C 【分析】利用两点分布性质可得，再由方差计算公式可得结果. 【详解】由两点分布可得， 解得； 因此期望值为， 所以. 故选：C 24．（2026高二·四川遂宁·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 25．（2026高二·山西大同·期中）抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得服从两点分布，然后根据方差的概念即得. 【详解】由题知，服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 26．（2026高二·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则__________． 【答案】/ 【分析】先求出期望，借助期望求方差. 【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次， , 因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3， , 故答案为： 27．（2026高二·全国·课堂例题）某运动员投篮命中率，求投篮一次时命中次数X的均值与方差； 【答案】0.6；0.24 【分析】写出分布列，然后根据期望和方差的定义计算即可 【详解】投篮一次命中次数的分布列为 0 1 此为两点分布，其中． ． 考点5 均值与方差的综合应用 28．（2026高二·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解； （2）随机变量的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可求出分布列、期望与方差. 【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分， 其概率为， 若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分， 其概率为， 于是一班总分不少于分的概率为 . （2）依题意随机变量的可能取值为，，，， 所以，， ，． 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以， . 29．（2026高三·全国·专题练习）甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下： 射手甲： 击中环数 8 9 10 概率 0.2 0.6 0.2 射手乙： 击中环数 8 9 10 概率 0.4 0.2 0.4 试用击中环数的数学期望与方差分析比较两名射手的射击水平． 【答案】答案见解析 【分析】根据数学期望及方差分析即可. 【详解】由题中数据得， ， ， ． 由此可知，，， 从而两名射手射击的环数平均值都是9环，但乙射手射击环数的集中度（稳定性）不如甲射手. 30．（2026高二·四川绵阳·月考）为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 40 20 60 不经常整理错题 20 20 40 合计 60 40 100 用频率估计概率，在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈. (1)用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X的分布列和数学期望及方差； (2)求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率. 【答案】(1)分布列见解析，，; (2) 【分析】(1)利用分层抽样，再利用超几何分布即可求解分布列及期望和方差； (2)利用全概率公式，先确定抽到经常整理错题的人数是1人还是2人，然后再针对这1个人是数学成绩优秀的概率为，这里要用到二项分布来求解即可. 【详解】（1）在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生， 根据的比例，可知这5名学生中有3人是“经常整理错题”，有2人是“不经常整理错题” 再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，用X表示抽取的2人中经常整理错题的人数， 则X的可能取值有， 即，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则， ； （2）设“这2名学生中含有经常整理错题的有1人”， “这2名学生中含有经常整理错题的有2人”，“这2名学生中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀” 则 根据全概率公式可得：， 所以抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率为. 31．（2026高二·福建莆田·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． (1)求甲公司答对题数的分布列； (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【分析】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列； （2）由（1）中随机变量的分布列，求得，，设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： （2）由（1）中随机变量的分布列，可得， . 设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 32．（2026高二·江苏宿迁·期中）高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用超几何分布和二项分布求概率即可； （2）计算出两人答对歌名个数的期望和方差即可. 【详解】（1）设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为, 则可能为2，3，4， 则, 由题意知，贾某轩答对的题数满足， 故, 闫某峻、贾某轩共答对3首歌名,即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0道， 故共答对3首歌名的概率：. （2）由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下： X 2 3 4 P 故期望， 方差， 且，故，, 故. 所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定， 故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动 33．（2026高二·北京·期中）某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图. (1)从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少8小时的概率； (2)从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为求的分布列和数学期望； (3)从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小．（只需写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据古典概型概率计算公司号求得正确答案. （2）先求得高二学生平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率，然后根据二项分布的知识求得的分布列和数学期望. （3）通过观察条形图求得正确答案. 【详解】（1）记事件为“从该校高一学生中随机抽取1人， 该生平均每天的睡眠时间不少于8小时”， 样本中高一学生人数为：， 其中平均每天的睡眠时间不少于小时的人数为，则. （2）从高二年级学生中随机抽取1人， 其平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率为. 的可能取值为， 故；； . 则的分布列为： . （3）通过观察条形图可知，高一年级和高二年级的统计数据有对称性， 根据方差的定义可知：. 34．（2026高三·河南洛阳·开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，． (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？ （参考数据，） 【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析 (2)大约在2023年年底总资产可以翻一番 【分析】（1）分别计算两种投资项目获利的期望和方差，比较大小，可得出结论；（2）依题意列出等式，对数运算即可求解. 【详解】（1）若投资项目一，设获利为万元， 则的分布列为 30 -15 P ． 若投资项目二，设获利为万元， 则的分布列为 50 0 -30 P ． ． ， ， ， 这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资． （2）假设n年后总资产可以翻一番， 依题意，，即， 两边取对数，得， ， 大约在2023年年底总资产可以翻一番． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $