专项05 平面向量重难点-2026届高考考前数学高频考点专项训练（全国通用）

专项05 平面向量重难点 分析维度 具体内容 核心考点 1. 平面向量的概念与线性运算：向量的定义、表示方法（几何表示、坐标表示）、相等向量、相反向量、零向量；加法（三角形法则、平行四边形法则）、减法（三角形法则）、数乘运算（定义、几何意义）；2. 平面向量的基本定理与坐标运算：平面向量基本定理、向量的坐标表示、坐标运算（加减、数乘、数量积）；>3. 平面向量的数量积：数量积的定义、几何意义、运算性质、坐标公式；向量的模、夹角、垂直与平行的充要条件；. 平面向量的应用：与三角函数结合、与解三角形结合、与解析几何结合（直线斜率、距离、位置关系）、与不等式结合（最值问题）。 考查形式 1. 客观题（单选题 + 多选题）：5-10 分，多为第 3-8 题，考查单一考点（如线性运算、数量积计算、模与夹角）或简单综合（如坐标运算 + 垂直 / 平行判断），难度低 - 中档；2. 解答题：极少单独命制解答题，多作为工具融入其他模块（如三角函数、解三角形、解析几何解答题第一问），分值隐含在 12-14 分的综合题中；. 新高考特点：多选题增加性质辨析（如向量共线、垂直的条件判断），强调向量的工具性应用，与解析几何、三角函数的结合更紧密。 命题特点 1. 基础题（送分）：向量线性运算、坐标运算、数量积直接计算、模与夹角的简单求解，难度低，侧重概念理解与公式应用；2. 中档题（核心得分）：平面向量基本定理的应用（基底分解）、数量积的综合性质（如最值、范围）、与三角函数 / 解三角形的结合，需掌握方法技巧；>3. 难题（低频）：向量与解析几何、不等式的综合应用（如最值问题）、向量的几何意义深度挖掘，难度中等偏上，但占比低；>4. 趋势：命题稳定，侧重 “基础过关 + 工具应用”，减少纯记忆性考点，强调数形结合和转化与化归，向量作为 “桥梁” 连接几何与代数的作用凸显。 重难点突破 1. 重点：① 线性运算与坐标运算：熟练掌握加减、数乘的几何意义与坐标公式，灵活进行转化；>② 数量积：定义、坐标公式的应用，模、夹角、垂直 / 平行条件的求解（高频考点）；>③ 平面向量基本定理：基底分解的方法（待定系数法）；2. 难点： 向量的几何意义应用（如利用数量积几何意义求最值）；② 平面向量基本定理的灵活应用（选择合适基底）；③ 向量与其他模块的综合转化（如将向量条件转化为代数方程或几何关系）；数量积的最值与范围问题（结合函数或不等式求解）。 关联模块 1. 直接关联：三角函数（数量积与夹角、向量条件转化为三角关系）、解三角形（向量作为条件给出边角关系）、解析几何（向量平行 / 垂直转化为直线斜率关系、距离计算）； 间接关联：不等式（向量模的不等式、数量积最值）、函数（向量表达式转化为函数求最值）、立体几何（空间向量的基础铺垫）。 备考策略 1. 基础过关：>① 牢记核心概念：向量的定义、相等向量、相反向量、零向量的特征，避免概念混淆； 熟练公式应用：线性运算、坐标运算、数量积公式，模与夹角的计算公式，垂直（数量积为 0）、平行（向量叉乘为 0 或坐标成比例）的充要条件；>2. 方法强化：数形结合法：画向量图形辅助理解线性运算、数量积的几何意义，简化问题；② 基底分解法：选择合适的基底（如垂直、长度已知的向量），将未知向量分解为基底表示，简化计算；坐标法：建立平面直角坐标系，将向量转化为坐标形式，利用代数运算求解（优先选择，降低难度）；3. 难点突破：① 最值问题：将向量表达式转化为函数（如关于夹角的三角函数、关于坐标的二次函数），利用函数最值求解；② 综合应用：先拆分模块（如向量 + 三角函数，先将向量条件转化为三角关系），再逐步求解；>4. 实战训练：多练向量与三角函数、解析几何的结合题，规范解题步骤（如坐标法需明确坐标系建立、向量坐标表示），避免计算错误。 易错点提醒 1. 概念错误：混淆向量与数量（向量有方向，数量无方向）、零向量的方向任意性（与任意向量平行）、相等向量的条件（大小相等且方向相同）；2. 运算错误：线性运算时方向判断错误（如减法 “指向被减向量”）、数量积运算忽略夹角（或夹角判断错误）、坐标运算时符号失误； 条件混淆：平行与垂直的充要条件记混（平行是坐标成比例，垂直是数量积为 0）；>4. 几何意义误解：数量积的几何意义是 “一个向量的模乘以另一个向量在该向量方向上的投影”，而非向量模的乘积；. 综合应用错误：将向量条件转化为代数或几何关系时出错（如向量共线转化为直线平行时忽略重合情况）。 一、基础核心考点（送分题，必拿分） （一）平面向量的概念与线性运算（客观题高频，5 分稳拿） 1. 向量的基本概念 1. 核心要点：向量的定义（既有大小又有方向的量）；表示方法（几何表示：有向线段；坐标表示：(x, y)）；特殊向量（零向量：长度为 0，方向任意；单位向量：长度为 1；相等向量：大小相等且方向相同；相反向量：大小相等且方向相反）。 1. 考法：判断向量相关概念的正误（单选题）、识别相等向量 / 相反向量（填空题）。 1. 线性运算（加法、减法、数乘） 1. 核心要点： 加法：三角形法则（首尾相接，指向末段）、平行四边形法则（共起点，对角线）； 减法：三角形法则（共起点，指向被减向量）； 数乘：实数 λ 与向量 a 的乘积 λa（长度为 |λ||a|，方向：λ>0 与 a 相同，λ<0 与 a 相反，λ=0 为零向量）； 运算性质：加法交换律、结合律；数乘分配律、结合律。 1. 考法：利用运算法则化简向量表达式（单选题 / 填空题）、求向量的线性表示（客观题）。 （二）平面向量的坐标运算（基础应用，必考） 1. 坐标表示与坐标运算 1. 核心要点： 向量的坐标表示：若向量起点为原点，终点坐标为 (x, y)，则向量坐标为 (x, y)； 加减运算：若 a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 a+b=(x1+x2, y1+y2)，a-b=(x1-x2, y1-y2)； 数乘运算：λa=(λx1, λy1)（λ 为实数）。 1. 考法：直接进行坐标运算（客观题 / 解答题辅助步骤）、已知向量坐标求线性组合（填空题）。 1. 平行与垂直的坐标条件 1. 核心要点： 平行（共线）：a∥b ⇔ x1y2 - x2y1 = 0（坐标成比例，注意零向量特殊情况）； 垂直：a⊥b ⇔ x1x2 + y1y2 = 0（数量积为 0）。 1. 考法：判断向量平行 / 垂直（单选题）、已知平行 / 垂直求参数（填空题）。 二、核心应用考点（中档题，核心得分区） （一）平面向量的基本定理与基底分解（客观题 + 解答题辅助，高频） 1. 平面向量基本定理 1. 核心要点：如果 e1、e2 是同一平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内任意向量 a，有且只有一对实数 λ1、λ2，使得 a=λ1e1 + λ2e2（e1、e2 为基底）。 1. 应用技巧：选择合适基底（如垂直、长度已知的向量），利用待定系数法求解 λ1、λ2。 1. 考法：基底分解（单选题 / 填空题）、结合坐标运算求基底系数（中档题）。 （二）平面向量的数量积（核心考点，5-10 分） 1. 数量积的定义与几何意义 1. 核心要点： 定义：a・b=|a||b|cosθ（θ 为 a 与 b 的夹角，范围 [0, π]）； 几何意义：a・b 等于 | a | 与 b 在 a 方向上的投影（|b|cosθ）的乘积（或反之）。 1. 考法：利用定义求数量积（客观题）、理解几何意义判断数量积正负（单选题）。 1. 数量积的运算性质与坐标公式 1. 核心要点： 运算性质：a・a=|a|²（求模的关键）；a・b=b・a；(λa)・b=λ(a・b)；a・(b+c)=a・b+a・c； 坐标公式：若 a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 a・b=x1x2 + y1y2。 1. 考法：利用坐标公式计算数量积（客观题 / 解答题）、利用性质化简表达式（中档题）。 1. 向量的模与夹角求解 1. 核心要点： 模的计算：|a|=√(a・a)=√(x1² + y1²)；|a±b|=√[(a±b)・(a±b)]=√(|a|²±2a・b + |b|²)； 夹角公式：cosθ=(a・b)/(|a||b|)（θ∈[0, π]，需结合三角函数值求角）。 1. 考法：求向量的模（单选题 / 填空题）、求向量的夹角（客观题 / 解答题辅助步骤）。 三、高阶综合考点（难题，低频拉分） （一）数量积的最值与范围问题（中档 - 难题，低频） 1. 核心要点： 1. 转化方法：将数量积表达式转化为关于夹角 θ 的三角函数（如 a・b=|a||b|cosθ，利用 cosθ∈[-1,1] 求范围）； 1. 坐标法转化：建立坐标系，将向量坐标表示为变量，转化为二次函数求最值（注意变量范围限制）。 1. 考法：求数量积的最大值 / 最小值（单选题压轴题 / 多选题）、求参数范围（填空题低频）。 （二）平面向量与其他模块综合（解答题工具，必考） 1. 与三角函数结合 1. 核心要点：将向量数量积、夹角条件转化为三角关系（如 a・b=|a||b|cosθ，结合三角函数公式化简求值）； 1. 解题步骤：先处理向量条件（如数量积、平行 / 垂直），转化为三角方程或三角函数表达式，再利用三角恒等变换求解。 1. 考法：解答题第一问（如三角函数化简、求值的条件）、客观题中档题。 1. 与解三角形结合 1. 核心要点：向量作为条件给出边角关系（如向量共线转化为边的比例，向量垂直转化为角的关系）； 1. 应用场景：已知向量条件，利用正弦定理、余弦定理求解三角形的边长、角度或面积。 1. 考法：解三角形解答题第一问（给出向量条件）、客观题中档题。 1. 与解析几何结合 1. 核心要点：向量平行 / 垂直转化为直线的斜率关系（如 a∥b 对应直线斜率相等或均垂直 x 轴，a⊥b 对应斜率乘积为 - 1）；向量的模转化为两点间距离。 1. 考法：解析几何解答题第一问（利用向量条件求直线方程、曲线方程）、客观题中档题。 1. 与不等式结合 1. 核心要点：利用向量模的不等式（| |a| - |b| | ≤ |a±b| ≤ |a| + |b|）求最值；结合基本不等式求数量积的范围。 1. 考法：单选题压轴题（低频）、多选题（偶尔考查）。 四、高考考法总结 1. 客观题（5-10 分）：聚焦基础考点（概念、线性运算、坐标运算、数量积计算、模与夹角）和简单综合（平行 / 垂直判断、基底分解），难度低 - 中档； 1. 解答题（隐含分值）：极少单独命题，多作为工具融入三角函数、解三角形、解析几何解答题，提供条件转化（如向量数量积转化为三角关系、平行条件转化为斜率关系），难度随综合模块而定； 1. 新高考趋势：多选题增加向量性质辨析（如平行 / 垂直条件、模与夹角的范围判断），强调向量的工具性，减少纯运算题，侧重数形结合和转化与化归能力。 一、单选题 1．（2026·河北沧州·三模）已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（    ） A．8 B．13 C．16 D．32 3．（2026·河南周口·三模）某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知为直线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D． 5．（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 8．（2026·辽宁沈阳·三模）在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知、是夹角为的两个单位向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面向量，非零向量，满足，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·河南新乡·三模）在四边形ABCD中，，设，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·吉林延边·三模）设满足：，，，则（    ） A．2 B． C． D．1 13．（25-26高一下·吉林四平·阶段检测）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·安徽·模拟预测）已知向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 17．（2026·河南·模拟预测）已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 二、多选题 19．（2026·山东聊城·模拟预测）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 20．（2026·重庆·三模）已知向量，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 21．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知平面向量，若，则（   ） A． B．向量与平行 C．向量与的夹角的余弦值为 D．当时， 三、填空题 22．（2026·山东聊城·模拟预测）已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为___________． 23．（2026·天津红桥·二模）已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______． 24．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 25．（2026·天津南开·二模）在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点在线段上，，则的取值范围是_____． 四、解答题 26．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC的中点，，，求的面积； 27．（2026·江西九江·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 28．（2026·福建三明·二模）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)若点H在所在平面内，且满足，求面积的取值范围． 29．（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 30．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角； (2)若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 平面向量重难点 分析维度 具体内容 核心考点 1. 平面向量的概念与线性运算：向量的定义、表示方法（几何表示、坐标表示）、相等向量、相反向量、零向量；加法（三角形法则、平行四边形法则）、减法（三角形法则）、数乘运算（定义、几何意义）；2. 平面向量的基本定理与坐标运算：平面向量基本定理、向量的坐标表示、坐标运算（加减、数乘、数量积）；>3. 平面向量的数量积：数量积的定义、几何意义、运算性质、坐标公式；向量的模、夹角、垂直与平行的充要条件；. 平面向量的应用：与三角函数结合、与解三角形结合、与解析几何结合（直线斜率、距离、位置关系）、与不等式结合（最值问题）。 考查形式 1. 客观题（单选题 + 多选题）：5-10 分，多为第 3-8 题，考查单一考点（如线性运算、数量积计算、模与夹角）或简单综合（如坐标运算 + 垂直 / 平行判断），难度低 - 中档；2. 解答题：极少单独命制解答题，多作为工具融入其他模块（如三角函数、解三角形、解析几何解答题第一问），分值隐含在 12-14 分的综合题中；. 新高考特点：多选题增加性质辨析（如向量共线、垂直的条件判断），强调向量的工具性应用，与解析几何、三角函数的结合更紧密。 命题特点 1. 基础题（送分）：向量线性运算、坐标运算、数量积直接计算、模与夹角的简单求解，难度低，侧重概念理解与公式应用；2. 中档题（核心得分）：平面向量基本定理的应用（基底分解）、数量积的综合性质（如最值、范围）、与三角函数 / 解三角形的结合，需掌握方法技巧；>3. 难题（低频）：向量与解析几何、不等式的综合应用（如最值问题）、向量的几何意义深度挖掘，难度中等偏上，但占比低；>4. 趋势：命题稳定，侧重 “基础过关 + 工具应用”，减少纯记忆性考点，强调数形结合和转化与化归，向量作为 “桥梁” 连接几何与代数的作用凸显。 重难点突破 1. 重点：① 线性运算与坐标运算：熟练掌握加减、数乘的几何意义与坐标公式，灵活进行转化；>② 数量积：定义、坐标公式的应用，模、夹角、垂直 / 平行条件的求解（高频考点）；>③ 平面向量基本定理：基底分解的方法（待定系数法）；2. 难点： 向量的几何意义应用（如利用数量积几何意义求最值）；② 平面向量基本定理的灵活应用（选择合适基底）；③ 向量与其他模块的综合转化（如将向量条件转化为代数方程或几何关系）；数量积的最值与范围问题（结合函数或不等式求解）。 关联模块 1. 直接关联：三角函数（数量积与夹角、向量条件转化为三角关系）、解三角形（向量作为条件给出边角关系）、解析几何（向量平行 / 垂直转化为直线斜率关系、距离计算）； 间接关联：不等式（向量模的不等式、数量积最值）、函数（向量表达式转化为函数求最值）、立体几何（空间向量的基础铺垫）。 备考策略 1. 基础过关：>① 牢记核心概念：向量的定义、相等向量、相反向量、零向量的特征，避免概念混淆； 熟练公式应用：线性运算、坐标运算、数量积公式，模与夹角的计算公式，垂直（数量积为 0）、平行（向量叉乘为 0 或坐标成比例）的充要条件；>2. 方法强化：数形结合法：画向量图形辅助理解线性运算、数量积的几何意义，简化问题；② 基底分解法：选择合适的基底（如垂直、长度已知的向量），将未知向量分解为基底表示，简化计算；坐标法：建立平面直角坐标系，将向量转化为坐标形式，利用代数运算求解（优先选择，降低难度）；3. 难点突破：① 最值问题：将向量表达式转化为函数（如关于夹角的三角函数、关于坐标的二次函数），利用函数最值求解；② 综合应用：先拆分模块（如向量 + 三角函数，先将向量条件转化为三角关系），再逐步求解；>4. 实战训练：多练向量与三角函数、解析几何的结合题，规范解题步骤（如坐标法需明确坐标系建立、向量坐标表示），避免计算错误。 易错点提醒 1. 概念错误：混淆向量与数量（向量有方向，数量无方向）、零向量的方向任意性（与任意向量平行）、相等向量的条件（大小相等且方向相同）；2. 运算错误：线性运算时方向判断错误（如减法 “指向被减向量”）、数量积运算忽略夹角（或夹角判断错误）、坐标运算时符号失误； 条件混淆：平行与垂直的充要条件记混（平行是坐标成比例，垂直是数量积为 0）；>4. 几何意义误解：数量积的几何意义是 “一个向量的模乘以另一个向量在该向量方向上的投影”，而非向量模的乘积；. 综合应用错误：将向量条件转化为代数或几何关系时出错（如向量共线转化为直线平行时忽略重合情况）。 一、基础核心考点（送分题，必拿分） （一）平面向量的概念与线性运算（客观题高频，5 分稳拿） 1. 向量的基本概念 1. 核心要点：向量的定义（既有大小又有方向的量）；表示方法（几何表示：有向线段；坐标表示：(x, y)）；特殊向量（零向量：长度为 0，方向任意；单位向量：长度为 1；相等向量：大小相等且方向相同；相反向量：大小相等且方向相反）。 1. 考法：判断向量相关概念的正误（单选题）、识别相等向量 / 相反向量（填空题）。 1. 线性运算（加法、减法、数乘） 1. 核心要点： 加法：三角形法则（首尾相接，指向末段）、平行四边形法则（共起点，对角线）； 减法：三角形法则（共起点，指向被减向量）； 数乘：实数 λ 与向量 a 的乘积 λa（长度为 |λ||a|，方向：λ>0 与 a 相同，λ<0 与 a 相反，λ=0 为零向量）； 运算性质：加法交换律、结合律；数乘分配律、结合律。 1. 考法：利用运算法则化简向量表达式（单选题 / 填空题）、求向量的线性表示（客观题）。 （二）平面向量的坐标运算（基础应用，必考） 1. 坐标表示与坐标运算 1. 核心要点： 向量的坐标表示：若向量起点为原点，终点坐标为 (x, y)，则向量坐标为 (x, y)； 加减运算：若 a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 a+b=(x1+x2, y1+y2)，a-b=(x1-x2, y1-y2)； 数乘运算：λa=(λx1, λy1)（λ 为实数）。 1. 考法：直接进行坐标运算（客观题 / 解答题辅助步骤）、已知向量坐标求线性组合（填空题）。 1. 平行与垂直的坐标条件 1. 核心要点： 平行（共线）：a∥b ⇔ x1y2 - x2y1 = 0（坐标成比例，注意零向量特殊情况）； 垂直：a⊥b ⇔ x1x2 + y1y2 = 0（数量积为 0）。 1. 考法：判断向量平行 / 垂直（单选题）、已知平行 / 垂直求参数（填空题）。 二、核心应用考点（中档题，核心得分区） （一）平面向量的基本定理与基底分解（客观题 + 解答题辅助，高频） 1. 平面向量基本定理 1. 核心要点：如果 e1、e2 是同一平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内任意向量 a，有且只有一对实数 λ1、λ2，使得 a=λ1e1 + λ2e2（e1、e2 为基底）。 1. 应用技巧：选择合适基底（如垂直、长度已知的向量），利用待定系数法求解 λ1、λ2。 1. 考法：基底分解（单选题 / 填空题）、结合坐标运算求基底系数（中档题）。 （二）平面向量的数量积（核心考点，5-10 分） 1. 数量积的定义与几何意义 1. 核心要点： 定义：a・b=|a||b|cosθ（θ 为 a 与 b 的夹角，范围 [0, π]）； 几何意义：a・b 等于 | a | 与 b 在 a 方向上的投影（|b|cosθ）的乘积（或反之）。 1. 考法：利用定义求数量积（客观题）、理解几何意义判断数量积正负（单选题）。 1. 数量积的运算性质与坐标公式 1. 核心要点： 运算性质：a・a=|a|²（求模的关键）；a・b=b・a；(λa)・b=λ(a・b)；a・(b+c)=a・b+a・c； 坐标公式：若 a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 a・b=x1x2 + y1y2。 1. 考法：利用坐标公式计算数量积（客观题 / 解答题）、利用性质化简表达式（中档题）。 1. 向量的模与夹角求解 1. 核心要点： 模的计算：|a|=√(a・a)=√(x1² + y1²)；|a±b|=√[(a±b)・(a±b)]=√(|a|²±2a・b + |b|²)； 夹角公式：cosθ=(a・b)/(|a||b|)（θ∈[0, π]，需结合三角函数值求角）。 1. 考法：求向量的模（单选题 / 填空题）、求向量的夹角（客观题 / 解答题辅助步骤）。 三、高阶综合考点（难题，低频拉分） （一）数量积的最值与范围问题（中档 - 难题，低频） 1. 核心要点： 1. 转化方法：将数量积表达式转化为关于夹角 θ 的三角函数（如 a・b=|a||b|cosθ，利用 cosθ∈[-1,1] 求范围）； 1. 坐标法转化：建立坐标系，将向量坐标表示为变量，转化为二次函数求最值（注意变量范围限制）。 1. 考法：求数量积的最大值 / 最小值（单选题压轴题 / 多选题）、求参数范围（填空题低频）。 （二）平面向量与其他模块综合（解答题工具，必考） 1. 与三角函数结合 1. 核心要点：将向量数量积、夹角条件转化为三角关系（如 a・b=|a||b|cosθ，结合三角函数公式化简求值）； 1. 解题步骤：先处理向量条件（如数量积、平行 / 垂直），转化为三角方程或三角函数表达式，再利用三角恒等变换求解。 1. 考法：解答题第一问（如三角函数化简、求值的条件）、客观题中档题。 1. 与解三角形结合 1. 核心要点：向量作为条件给出边角关系（如向量共线转化为边的比例，向量垂直转化为角的关系）； 1. 应用场景：已知向量条件，利用正弦定理、余弦定理求解三角形的边长、角度或面积。 1. 考法：解三角形解答题第一问（给出向量条件）、客观题中档题。 1. 与解析几何结合 1. 核心要点：向量平行 / 垂直转化为直线的斜率关系（如 a∥b 对应直线斜率相等或均垂直 x 轴，a⊥b 对应斜率乘积为 - 1）；向量的模转化为两点间距离。 1. 考法：解析几何解答题第一问（利用向量条件求直线方程、曲线方程）、客观题中档题。 1. 与不等式结合 1. 核心要点：利用向量模的不等式（| |a| - |b| | ≤ |a±b| ≤ |a| + |b|）求最值；结合基本不等式求数量积的范围。 1. 考法：单选题压轴题（低频）、多选题（偶尔考查）。 四、高考考法总结 1. 客观题（5-10 分）：聚焦基础考点（概念、线性运算、坐标运算、数量积计算、模与夹角）和简单综合（平行 / 垂直判断、基底分解），难度低 - 中档； 1. 解答题（隐含分值）：极少单独命题，多作为工具融入三角函数、解三角形、解析几何解答题，提供条件转化（如向量数量积转化为三角关系、平行条件转化为斜率关系），难度随综合模块而定； 1. 新高考趋势：多选题增加向量性质辨析（如平行 / 垂直条件、模与夹角的范围判断），强调向量的工具性，减少纯运算题，侧重数形结合和转化与化归能力。 一、单选题 1．（2026·河北沧州·三模）已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用向量垂直求出，再用模长公式计算结果. 【详解】， 所以， 因为，则，即：. 解得：. 所以. 2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（    ） A．8 B．13 C．16 D．32 【答案】B 【分析】由余弦定理化简可得，再根据向量数量积运算律与数量积几何意义计算求解. 【详解】由余弦定理可得， 因为，代入化简可得，所以， 因为， 所以为边的中点，， 取的中点为， 因为是的外接圆圆心， 所以， 由数量积的几何意义可知， 同理， 所以. 3．（2026·河南周口·三模）某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设无人机主动飞行对应的向量为，根据题意可得，列方程求解即可. 【详解】设无人机主动飞行对应的向量为，则飞行路程为， 因为，由题意可得：， 则，可得，即， 由可得， 则，且，解得，， 所以无人机主动飞行对应的向量为. 4．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知为直线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用共线定理可得，再由平面向量数量积的坐标公式及二次函数的最值即可求解． 【详解】由题意可得， 因为为直线上的一个动点，可设， ， 所以当时，有最小值． 5．（2026·河北雄安·三模）如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助等边三角形性质、平面向量线性运算与数量积公式计算即可得. 【详解】由为等边三角形，则, 由为的中心，则，， 则 . 6．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用三点共线，可求出的值. 【详解】 如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 7．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1，连接,结合正六边形的性质及向量的线性运算，可得,可得的值，即可得答案. 【详解】连接,如图所示：    设大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1， 则为边长为1的正三角形， 所以,, 由正六边形的性质可知三点共线， 所以, 则 , 又因为， 所以， 所以. 8．（2026·辽宁沈阳·三模）在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 设，， 则. 代入，得. 又，所以，解得. 因此. 9．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知、是夹角为的两个单位向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量数量积的运算性质结合投影向量的定义可求得结果. 【详解】因为、是夹角为的两个单位向量，则， 由平面向量数量积的定义可得， 又因为，， 所以， 所以， 所以在上的投影向量为. 10．（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面向量，非零向量，满足，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的三角不等式求出的范围，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，则， 由，得，即， 而，则，又， 因此，， 所以的取值范围是. 11．（2026·河南新乡·三模）在四边形ABCD中，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设可得， ，即，结合，得， 故. 12．（2026·吉林延边·三模）设满足：，，，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量数量积的定义和运算律，证得为等腰直角三角形，结合勾股定理，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，所以，即为直角三角形， 又由， 所以，可得，所以为等腰直角三角形， 设，且，可得，解得，即. 13．（25-26高一下·吉林四平·阶段检测）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案. 【详解】在中，由余弦定理可得 ，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，， 则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 14．（2026·安徽·模拟预测）已知向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，且， ，即，得，，. . 15．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 16．（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】B 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，由A选项知，所以. 在中，利用余弦定理得，B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立，此时取最小值为，D正确. 17．（2026·河南·模拟预测）已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合向量数量积的坐标表示、辅助角公式、三角函数性质即可求解. 【详解】设，所以， 因为，所以， 所以， 所以当时，取得最大值6. 18．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案. 【详解】分别是非零向量同向的单位向量， 因为，所以角的角平分线与垂直， 即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形. 由，得. 又，所以. 因此，是等边三角形. 二、多选题 19．（2026·山东聊城·模拟预测）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，结合弦长公式，可判定A正确；根据圆的性质，可判定B错误；作向量在上的投影向量，利用向量数量积的定义，结合圆的性质求解，或采用向量的数量积的坐标表示，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出不等式或方程，也可判定C正确，D不正确. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且， 当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短， 则被截得的最短弦长为，所以A正确． 对于B，因为，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为，即， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时，，所以D错误． 20．（2026·重庆·三模）已知向量，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 【答案】AD 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D. 【详解】对A，，则，解得，A正确； 对B，，若，则， 即，故不存在，使，B错误； 对C，当时，，， 在方向上的投影向量为，C错误； 对D，当与夹角为锐角时，且不共线， 即且，解得，D正确． 21．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知平面向量，若，则（   ） A． B．向量与平行 C．向量与的夹角的余弦值为 D．当时， 【答案】ACD 【详解】由得，所以A正确； 因为， 又，所以与不平行，故B错误； ，故C正确； 由，得， 所以，所以，故D正确． 三、填空题 22．（2026·山东聊城·模拟预测）已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为___________． 【答案】 【详解】    ，解得， ，, 向量在向量上的投影向量为． 23．（2026·天津红桥·二模）已知O是内的一点，，，，,则______；若，则______． 【答案】 /0.5 【分析】根据向量数量积的运算方法，直接求出结果即可，再根据向量数量积的运算律，列出方程组，求出参数值，求出结果即可. 【详解】由题意可知； 所以 因为，所以， 得，解得， 则. 24．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算法则及三点共线定理计算即可得空一；借助模长与数量积关系及基本不等式计算即可得空二. 【详解】由，则，故， 由P为线段CD上一点，则、、三点共线，故，即有； ， 由，当且仅当，即，时，等号成立， 故，则， 即的最小值为. 25．（2026·天津南开·二模）在平行四边形中，和分别是和的中点，则_____；若是的三等分点，点在线段上，，则的取值范围是_____． 【答案】 6 【分析】以为基底把表示出来，再结合数量积的运算律；设，得，再结合二次函数的性质解题. 【详解】由题意可得， 所以,则. 设，， 则        所以 当时，；当或1时，， 综上： 四、解答题 26．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC的中点，，，求的面积； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助向量模长与数量积的关系计算可得，再利用面积公式计算即可得. 【详解】（1），由正弦定理，得， 又， 则有， 即，又，故， 则，即，又，则； （2）由D是AC的中点，则， 由（1）知， 则， 又，， 则，则， 解得或（负值，舍去）， 则. 27．（2026·江西九江·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，结合，即可求出； （2）由数量积的定义可求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 又因为，所以. （2）由， 所以，又因为， 由余弦定理可得：， 所以， 所以，所以， 所以的周长为：. 28．（2026·福建三明·二模）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)若点H在所在平面内，且满足，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：利用余弦定理即可求解；解法二：利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解； （2）由已知得，，即，，进而得H为的垂心，连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，，在四边形ADHE中得，则， 解法一：在中，设，，则，由正弦定理，得，，进而得 ，利用三角函数的性质即可求解； 解法二：在中，由余弦定理，得，进而，进而求解. 【详解】（1）解法一：因为，，由余弦定理，得， 整理得， 则， 因为，所以； 解法二：因为，，所以， 由正弦定理，得， 即， 整理，得， 因为，所以，即， 因为，所以； （2）解法一：因为，所以，， 即，，故，． 所以H为的垂心． 连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，． 在四边形ADHE中，由，得，则， 在中，设，，则， 由正弦定理，得， 所以，， 则 ， 因为，所以， 所以，所以． 即面积的取值范围为 解法二： 因为，所以，， 即，，故，． 所以H为的垂心． 连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，． 在四边形ADHE中，由，得，则， 在中，由余弦定理，得 所以， 得，，当且仅当时，等号成立， 所以， 又，故面积的取值范围为. 29．（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出的方程，再求渐近线方程即可； （2）当直线轴时，根据等面积法求得到直线的距离；当直线与轴不垂直时，设出直线的方程，分别代入双曲线和椭圆的方程，求得，利用等面积法求得到直线的距离，结合点到直线的距离为定值求出． 【详解】（1）根据题意，，解得， 则， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）设点到直线的距离为， 当直线轴时，， 根据等面积法得，解得； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为，由，得， 所以①， 同理，由可求得②， 根据等面积法得，即， 即 ，即③， 将①②代入③得， 又点到直线的距离为定值， 所以，解得， 时，，即， 综上所述，时，点到直线的距离为定值． 30．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角； (2)若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理解三角形求解即可； （2）由三角形面积公式可得，再由结合向量数量积运算律计算即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，因为，所以； （2）因为，所以， 因为D为线段BC中点，所以， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $