二次函数中的平移问题、翻折问题复习讲义-2026年中考数学二轮复习高频考点复习讲义

二次函数中的平移问题、翻折问题复习讲义 二次函数中的平移问题、翻折问题复习讲义 考点目录 二次函数中的平移问题 二次函数中的翻折问题 知识点解析 考点一 二次函数中的平移问题 一、知识点 1. 平移规律：左加右减，上加下减；针对顶点式 。 1. 平移不改变：开口大小、开口方向、二次项系数 。 1. 平移本质：顶点坐标整体平移。 1. 题型：求平移后解析式、已知平移前后解析式求平移方向距离、含参平移交点与范围问题。 二、解题原理 平移是图形全等变换，只改变位置不改变形状与开口；所有点按同一方向、同一距离同步移动，解析式只需对 做整体加减替换。 三、解题思路 1. 把二次函数化为顶点式，确定原顶点坐标； 1. 按平移方向距离，求出新顶点坐标； 1. 代入顶点式直接写出平移后解析式； 1. 若已知平移前后解析式，逆向对比顶点变化，反求平移量； 1. 涉及交点、不等式，联立方程用判别式、韦达求解参数范围。 考点二 二次函数中的翻折问题 一、知识点 1. 翻折本质：轴对称变换，图形全等， 绝对值不变、符号可改变。 1. 常见翻折：沿 轴、 轴、直线 翻折。 1. 坐标变换规律： · 沿 轴翻折：，解析式 变 ； · 沿 轴翻折：，解析式 变 ； · 沿 翻折：利用中点对称求对应点坐标。 1. 题型：求翻折后解析式、翻折后与直线交点个数、参数取值范围。 二、解题原理 翻折为轴对称，对应点关于对称轴中点共线、连线垂直对称轴；利用坐标对称变换，即可由原函数直接求出翻折后解析式；x轴上下翻折常写分段函数。 三、解题思路 1. 确定翻折对称轴； 1. 利用坐标对称规则，求出翻折后顶点与解析式； 1. 若是沿x轴翻折：上半截保留、下半截翻折，写成分段函数； 1. 画出草图，分析顶点、零点、开口方向； 1. 联立直线与翻折后抛物线，用判别式、临界位置求参数范围。 考点一 二次函数中的平移问题 【例题分析】 例1．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点． (1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度； (2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； (3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为或 (3) 【分析】（1）根据平移的规律求出平移后点的坐标，再根据距离公式求解即可； （2）先确定平移方向，再结合平移距离求出平移的单位长度，最后根据直线平移规律求函数表达式； （3）设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位，确定平移后抛物线的顶点，进而得到平移后抛物线的解析式，最后利用抛物线上的点到轴的距离都小于列不等式求解． 【详解】（1）解：∵点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴， ∴； （2）解：∵直线平行于第二、四象限的角平分线， ∴点沿直线的方向平移， ∴设点沿轴平移个单位，沿轴平移个单位， ∵， ∴， ∴直线沿直线方向平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位，或向右平移个单位，向下平移个单位， ∴直线的函数表达式：或， 即：直线的函数表达式为或； （3）解：∵ ∴平移前顶点 设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位， ∴， 解得：， ∴平移后顶点为， ∴平移后解析式：， 当时，， 当时，， 当时，抛物线上的点到轴的距离都小于， ∴ 由解得； 由解得或； 由解得； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴综上：． 例2．（2025·辽宁锦州·三模）定义：将抛物线向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到抛物线（h，k均大于0），则将抛物线称为“原函数”，把由它平移得到的抛物线称为抛物线的“衍生函数”，将平移路径称为“衍生路径”，平移前后对应点之间的距离称为“衍生距离”．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)若抛物线为抛物线L的“原函数”，则抛物线L的“衍生路径”为________；平移前后对应点的“衍生距离”为________． (2)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位，再向上平移n个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的左交点为E，与y轴的交点为F，若，请写出抛物线的“衍生路径”； (3)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的右交点为P，与y轴的交点为Q，若与相似，求平移前后对应点之间的“衍生距离”． 【答案】(1)将原函数先向右平移1个单位，再向下平移4个单位； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位 (3)4或 【分析】（1）根据题意，求出抛物线L：的顶点坐标，即可得到抛物线L的“衍生路径”和“衍生距离”； （2）先根据平移的规律写出抛物线的表达式，再求出抛物线L与坐标轴的交点，根据可求出点E、F的坐标，最后代入的表达式，求出m，n，从而确定“衍生路径”； （3）先写出抛物线的表达式，求出P、Q的坐标，得到、的长度，再根据与相似分情况讨论，求出t的值，进而得到“衍生距离”． 【详解】（1）解：∵， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到抛物线L：， ， ∴抛物线L的“衍生路径”为向右平移1个单位，再向下平移4个单位，“衍生距离”为， 故答案为：向右平移1个单位，再向下平移4个单位；； （2）解：抛物线，将其向右平移个单位，再向上平移n个单位 抛物线， 令，则，解得，， 点在点的左侧， ，， 当时，， ， ， ，， ，， 将点，分别代入中， 得， 解得，， 抛物线的“衍生路径”是：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位； （3）解：由题意可得抛物线， 令， 解得，， ，与x轴的右交点为P， ， ， 当时，， ， ， ， 由（2）知，，分两种情况讨论： ①当时，， ， 解得（舍去），， 此时平移前后对应点之间的“衍生距离”是4； ②时，， ， 解得（舍去），， 此时平移前后对应点之间的“衍生距离”是， 综上所述，平移前后对应点之间的“衍生距离”是4或． 例3．（25-26九年级上·河南安阳·月考）已知，点，点和抛物线，将抛物线沿着y轴方向平移经过点，画出平移后的抛物线如图所示． (1)平移后的抛物线是否经过点？说明你的理由； (2)在平移后的抛物线上且位于直线AB下方的图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在平移后的抛物线上有点M，过点M作直线的垂线，垂足为N，连接．当时，求点M坐标． 【答案】(1)经过点B，理由见解析 (2)或 (3)或 【分析】此题主要考查了二次函数综合，涉及二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、等边三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，正确表示出M点坐标是解题关键． （1）先利用二次函数平移的性质设出解析式，再将A点代入求出m的值，进而可得出答案； （2）首先求出直线的解析式，进而表示出的面积，根据已知列方程求出t的值，即可得出答案； （3）设，先利用两点坐标距离公式表示出，的长，进而得出为等边三角形，再利用M点坐标得出t的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：平移后的抛物线经过点，理由： 根据题意，设平移后的抛物线的解析式为 将代入，得 则 当时，， 故平移后的抛物线经过点； （2）解：设直线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得：， 故直线的解析式为：， 设， 如图1，过点P作轴交于Q， ∴， ∴， 整理，得， 解得：， 故，， 则或 （3）解：如图2，设与x轴交于点F，设， 则，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 由题意，轴， ∴， 可得， 故， 解得：，， ∴或． 【变式训练】 变式1．（24-25九年级下·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点的坐标为，与轴交于点．将抛物线沿射线方向平移得到抛物线，它的顶点记作，其横坐标为．设抛物线与原抛物线交于点，且点位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为． (1)求原抛物线的解析式； (2)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围； (3)若抛物线是由原抛物线沿射线方向平移个单位得到，点是抛物线上一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：． (2) (3)点E的坐标为． 【分析】（1）根据题意，则，解出，，即可； （2）先求出直线的表达式为，根据题意求出点的坐标为，点的坐标为，求得，得到点M的坐标为，过点B作，交原抛物线于点G，那么，当点在之间的抛物线上运动时，是锐角；再根据相似三角形的判定和性质，则，求出点，得到；点位于原抛物线对称轴的右侧，即可； （3）先求得抛物线的解析式为，作轴于点，过点作直线的垂线并在垂线上截取，连接，则与抛物线的交点即为点，此时，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的解析式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的解析式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为， 过点B作，交原抛物线于点G，那么， 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角， 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为，即， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是； （3）解：∵抛物线是由原抛物线沿射线方向平移个单位得到，且直线的解析式为， ∴抛物线是由原抛物线向右平移4个单位，向上平移4个单位， ∵， ∴抛物线的解析式为， ∴点M的坐标为，令，则，解得， ∴直线与轴的交点的坐标为， 作轴于点，∴，， ∴， 过点作直线的垂线并在垂线上截取，连接， ∴， ∴， 则与抛物线的交点即为点， 此时， 作轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， ∵点M的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点E的坐标为； 当点在抛物线的对称轴的左边时，作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴与抛物线的交点即为点也符合题意， 同理点的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点E的坐标为，不符合题意，舍去； 综上，点E的坐标为． 变式2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图1，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴负半轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上，射线交抛物线于另一点，若，求出点的横坐标满足的范围； (3)如图2，将抛物线进行平移，使点为平移后的抛物线的顶点，点为平移后的抛物线第一象限上的一动点，已知点，，直线，分别交平移后的抛物线于另外的点，，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析，直线过定点． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，即，再连接，由，推出，设，则，整理得到，解不等式即可求解； （3）求得平移后抛物线顶点为，解析式为，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立后，利用根与系数的关系求得，然后求得直线的解析式为，整理得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 代入抛物线得 ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴，即， 连接， ∵， ∴，即， 设， ∴，即， 整理得， 解方程，得，， 设， 则其函数图象为： ∴不等式的解集为或； ∵, 即点的横坐标满足的范围为； （3）解：平移后抛物线顶点为，解析式为， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得和， 整理得和， 由根与系数的关系得和， 得⑤， 由④得代入⑤得， 整理得， ∵，， 同理直线的解析式为， ∴， ∴当时，， ∴直线过定点． 变式3．（24-25九年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且原点O到它的对称轴的距离等于的长度，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意得，，根据，可知，，再利用待定系数法即可求解； （2）①设平移后的解析式为，且经过，可得；由题意可知，其在轴负半轴，则，可得，，平移后的对称轴为直线，根据切线的性质可知，求出，即可求解； ②连接交轴于，由（1）可知原抛物线的解析式为，根据，结合解直角三角形求得，即，进而求得，直线的解析式为，可得，过点作，则轴，结合解直角三角形可知，新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，即，新抛物线解析式为：，由题意知，代入解析式求得的值，即可求得解析式，进而可得顶点坐标． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵点C在y轴正半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴，， 将，代入，得：， 解得：； （2）解：①设平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴， ∴； 在中，当时，，即， 又∵在轴负半轴， ∴，即， ∴，， 平移后的抛物线对称轴为直线， ∵原点O到新抛物线的对称轴的距离等于的长度， ∴，即， 解得：， ∴， ∴平移后新抛物线的解析式； ②连接交轴于， 由（1）可知原抛物线的解析式为， ∵， ∴，则， ∵，则， ∴，即， 设直线的解析式为，代入，，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴， 过点作轴，过点E作于G， ∴， 设，则， ∴新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的， ∴新抛物线解析式为：， 又∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的新抛物线解析式为：， ∴新抛物线的顶点坐标为． 考点二 二次函数中的翻折问题 【例题分析】 例1．（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)连接，在线段上任取一点D，过D作的垂线段交抛物线于点，，试说明； (3)将线段BC（含B，C端点）沿翻折，抛物线沿翻折，翻折后两个新图形仍有两个交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)说明见解析 (3)n的取值范围为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，包括抛物线解析式的确定、二次函数的性质（对称性、开口方向与函数值的关系）、图形的翻折变换（轴对称）及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求解析式，理解二次函数的对称性，掌握图形翻折后的坐标变换规律，并通过方程或不等式分析翻折后图形的交点情况． （1）将抛物线与x轴的交点坐标代入解析式，列方程组求解a和c的值，得到抛物线解析式；令求出与y轴交点C的坐标． （2）确定抛物线的对称轴为且开口向下，结合“离对称轴越远函数值越小”的性质，由M、N的函数值关系推出两点到对称轴的距离关系，即． （3）先求出线段沿翻折后对应点、的坐标和抛物线沿翻折后的解析式；再分翻折后的端点在抛物线上和线段内部与抛物线有两个交点的情况，结合方程判别式及不等式分析，确定n的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于 将两点坐标代入解析式得：， 即． 用第二个方程减去第一个方程消去 解得． 将代入解得． ∴抛物线的解析式为． 令代入抛物线解析式得 ∴C点坐标为． （2）证明：在线段上任取一点过D作的垂线段交抛物线于点点 且从而图象对称轴为直线 因为图象开口向下，离对称轴距离越远的点的函数值越小，反之越大， 故点M到对称轴的距离比点N到对称轴的距离要远， 因此． （3）∵ ∴由待定系数法可得直线的解析式为 将线段（含端点）沿翻折（相当于关于直线做轴对称）后，由中点坐标公式可得点B的对应点的坐标为点C的对应点的坐标为 抛物线的顶点坐标为 沿翻折（相当于关于直线作轴对称）后的顶点坐标为 因此翻折后的抛物线的解析式可设为顶点式 直线沿翻折后的直线表达式为 翻折后的图象如图所示， ∵翻折后两个新图形仍有两个交点， 所以分为以下两种情况： ①两个端点在的图象上， 故必须满足以下方程组，即， 解得， 故； ②当线段内部点（含端点）与的图象有两个交点时： 当时，，即，可解得或 当直线与抛物线的图象相切时（只有一个交点）， 令整理可得 令，解得， 所以， 综上，n的取值范围为或 例2．（2025·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点． (1)如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形． ①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①存在点的坐标为：或；②的取值范围为． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，综合性较强，难度较大． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①根据，可得，，即，由翻折得到，分两种情况：当时，当时，根据三角形面积公式建立方程求解即可； ②由，得抛物线的顶点为，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得，分两种情况：当时，当时，分别求出的范围即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，得， ； （2）解：①存在点，使得，理由如下： 如图： 在中，令得：， 解得：，， ，， ， ， 顶点为， 过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到， 图象形的函数表达式为， 若轴上方的图形上存在点，使得，则， 当时，将 代入 得， 解得（舍去），； ， 当时，将 代入得，解得； ， 综上，存在点，使得，点的坐标为：或； ②在中，令， 得， ， 直线， ， 抛物线的顶点为， 将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，得， 点和点是图形上的点， 当时，，， 即点在轴左侧，点在轴右侧，如图， ，， ， ， ， ； 当时，，， 即点、均在轴右侧， ，， ， ， ， ， 此不等式组无解，即不成立； 综上，的取值范围为． 例3．（2025·浙江温州·模拟预测）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象． （1）点A，B，D的坐标分别为________，________，________； （2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在内（含边界）时，求t的取值范围； （3）如图②，当时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在以为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为或或或． 【分析】（1）利用二次函数图像上点的坐标特征可求解A、B的坐标，再利用配方法即可找到抛物线的顶点坐标； （2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征即可得到关于t的一元一次不等式组，然后问题可求解； （3）假设存在，设点P的坐标为，则点Q的横坐标为m，分或及两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，然后求解即可． 【详解】解：（1）当y=0时，则有， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵， ∴点D的坐标为， 故答案为； （2）∵点E、点D关于直线y=t对称， ∴点E的坐标为：， 当x=0时，， ∴点C的坐标为， 设线段BC的解析式为， 将点B、C的坐标代入得：，解得：， ∴线段BC的解析式为， ∵点E在△ABC内（含边界）， ∴，解得：； （3）存在，理由如下： 当或时，；当时，； ①当或时，点Q的坐标为，如图所示： ∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P， ∴CP⊥PQ， ∴，即， 解得：， ∴点P的坐标为或； ②当时，点Q的坐标为，如图所示： ∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P， ∴CP⊥PQ， ∴，即， 解得：， ∴点P的坐标为或， ∴综上所述：存在以为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为或或或． 【变式训练】 变式1．（2025·广西柳州·模拟预测）如图1，抛物线 与x轴分别交于点，，与y轴交于点，点P是坐标平面内一点，点P坐标． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将抛物线 x 轴上方的图象沿x轴翻折，翻折后的图象和原抛物线图象组成一个新的图象（如图 2实线部分和虚线部分，），记为图象 L．若直线与该新图象L恰好有三个公共点，请求出此时 n 的取值范围． (3)在（2） 件下的新图象L，连接，若点D在新图象L上且 求点D的坐标． 【答案】(1) (2)n的值为或 (3)或 【分析】 （1）把，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）先得出将二次函数图像x轴上方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为，然后进行分类讨论：①当经过点A时，②当不经过点A时，即可解答； （3）过点P作轴于点E，推出，由图可知，点D在点B左边，进行分类讨论：①当点D在上时，连接，过点D做x轴的垂线，垂足为点F，设，则，根据，列出方程求出t的值即可； ②当点D在上时，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将二次函数图像x轴上方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为， ①当经过点A时， 把代入得：， 解得：， ∴， 联立和得： ， 则， 解得：，， ∴与相交于， 联立和得： ， 则， 解得：， ∴与相交于， ∴当时，直线与该新图象L恰好有三个公共点； ②当不经过点A时， 由图可知，将向下平移n个单位长度时，直线与该新图象L恰好有三个公共点 ∴与有且只有一个交点， 联立得：， 则， ∴， 解得：， 综上：n的值为或； （3）解：过点P作轴于点E， ∵， ∴， 由图可知，点D在点B左边， ①当点D在上时，连接，过点D做x轴的垂线，垂足为点F， 设，则， ∵点P坐标， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（与点B重合，舍去）， ∴， ②当点D在上时， 设，则， 同理可得：，即， 解得：（与点B重合，舍去）， ∴， 综上： 或． 变式2．（2025·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， (3)存在，， 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可． （2）分别代入，，易得点坐标，点坐标，设点坐标为，过作轴，可得，，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，所以． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，可得，，设，，所以，在由，可得，带入数值可得：，，所以，，，G过点作的垂线，垂足为，所以按照面积法可得的面积为，代入数值可得，所以，所以，因为，故，根据题意易得图形的抛物线为，然后分成两种情况分析①当在原抛物线上时，②当在翻折后的抛物线上时，根据，可得点坐标为和． 【详解】（1）由题意可得抛物线，过点， 故代入上式：， 可得， 故抛物线的表达式为． （2）将，代入抛物线中，即， 解得：，， 故点坐标为，点的坐标为， 将，代入抛物线中， 解得：， 故点坐标为， 由题设点坐标为， 过作轴， ∴轴， ∴，， ①当时，， 即， ∴， ②当时，， 即， ∴， ∴． （3）将延翻折至，延长与轴相交于点，如图所示： 根据翻折的规律可得，， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 带入数值可得， 解得：，， ∴，，， G过点作的垂线，垂足为， ∴按照面积法可得的面积为， 代入数值可得， 解得， 故由勾股定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 原抛物线解析式，可化为， 故抛物线顶点坐标为， ∵过点作轴的垂线：，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形， ∴翻折后抛物线解析式为，即， ∴图形的抛物线为， ①当在原抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得（舍），， ∴． ②当在翻折后的抛物线上时，如图： 设点坐标为， ∴， 解得，（舍）， ∴． 综上可得，点坐标为、． 变式3．（2025·湖南永州·模拟预测）已知：如图，抛物线经过原点和点，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若是线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在轴上方的部分组成了一个“”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】（1）用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）用待定系数法求出线段所在的直线方程为：，由题意可设，其中，则，进而得到，从而即可得到答案； （3）分当过点时，直线与新图象有3个公共点，和当与新图象的封闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 抛物线经过原点和点，两点， ， 解得：， 二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，   ，     设直线的解析式为：， 则， 解得：， 线段所在的直线方程为：， 由题意可设，其中，则， ， 当时，长度的最大值为，此时，点的坐标为； （3）解：根据题意得到如图2，   ， 当过点时，直线与新图象有3个公共点，把代入得， 当与新图象的封闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点， 由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于轴对称， 所以其解析式为， 所以方程组有一组解，消去得到的方程有两个相等的实数根，则， 所以， 综上所述，或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数中的平移问题、翻折问题复习讲义 二次函数中的平移问题、翻折问题复习讲义 考点目录 二次函数中的平移问题 二次函数中的翻折问题 知识点解析 考点一 二次函数中的平移问题 一、知识点 1. 平移规律：左加右减，上加下减；针对顶点式 。 1. 平移不改变：开口大小、开口方向、二次项系数 。 1. 平移本质：顶点坐标整体平移。 1. 题型：求平移后解析式、已知平移前后解析式求平移方向距离、含参平移交点与范围问题。 二、解题原理 平移是图形全等变换，只改变位置不改变形状与开口；所有点按同一方向、同一距离同步移动，解析式只需对 做整体加减替换。 三、解题思路 1. 把二次函数化为顶点式，确定原顶点坐标； 1. 按平移方向距离，求出新顶点坐标； 1. 代入顶点式直接写出平移后解析式； 1. 若已知平移前后解析式，逆向对比顶点变化，反求平移量； 1. 涉及交点、不等式，联立方程用判别式、韦达求解参数范围。 考点二 二次函数中的翻折问题 一、知识点 1. 翻折本质：轴对称变换，图形全等， 绝对值不变、符号可改变。 1. 常见翻折：沿 轴、 轴、直线 翻折。 1. 坐标变换规律： · 沿 轴翻折：，解析式 变 ； · 沿 轴翻折：，解析式 变 ； · 沿 翻折：利用中点对称求对应点坐标。 1. 题型：求翻折后解析式、翻折后与直线交点个数、参数取值范围。 二、解题原理 翻折为轴对称，对应点关于对称轴中点共线、连线垂直对称轴；利用坐标对称变换，即可由原函数直接求出翻折后解析式；x轴上下翻折常写分段函数。 三、解题思路 1. 确定翻折对称轴； 1. 利用坐标对称规则，求出翻折后顶点与解析式； 1. 若是沿x轴翻折：上半截保留、下半截翻折，写成分段函数； 1. 画出草图，分析顶点、零点、开口方向； 1. 联立直线与翻折后抛物线，用判别式、临界位置求参数范围。 考点一 二次函数中的平移问题 【例题分析】 例1．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点． (1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度； (2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； (3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围． 例2．（2025·辽宁锦州·三模）定义：将抛物线向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到抛物线（h，k均大于0），则将抛物线称为“原函数”，把由它平移得到的抛物线称为抛物线的“衍生函数”，将平移路径称为“衍生路径”，平移前后对应点之间的距离称为“衍生距离”．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)若抛物线为抛物线L的“原函数”，则抛物线L的“衍生路径”为________；平移前后对应点的“衍生距离”为________． (2)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位，再向上平移n个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的左交点为E，与y轴的交点为F，若，请写出抛物线的“衍生路径”； (3)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的右交点为P，与y轴的交点为Q，若与相似，求平移前后对应点之间的“衍生距离”． 例3．（25-26九年级上·河南安阳·月考）已知，点，点和抛物线，将抛物线沿着y轴方向平移经过点，画出平移后的抛物线如图所示． (1)平移后的抛物线是否经过点？说明你的理由； (2)在平移后的抛物线上且位于直线AB下方的图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在平移后的抛物线上有点M，过点M作直线的垂线，垂足为N，连接．当时，求点M坐标． 【变式训练】 变式1．（24-25九年级下·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点的坐标为，与轴交于点．将抛物线沿射线方向平移得到抛物线，它的顶点记作，其横坐标为．设抛物线与原抛物线交于点，且点位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为． (1)求原抛物线的解析式； (2)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围； (3)若抛物线是由原抛物线沿射线方向平移个单位得到，点是抛物线上一点，当时，求点的坐标． 变式2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图1，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴负半轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上，射线交抛物线于另一点，若，求出点的横坐标满足的范围； (3)如图2，将抛物线进行平移，使点为平移后的抛物线的顶点，点为平移后的抛物线第一象限上的一动点，已知点，，直线，分别交平移后的抛物线于另外的点，，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标． 变式3．（24-25九年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且原点O到它的对称轴的距离等于的长度，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 考点二 二次函数中的翻折问题 【例题分析】 例1．（24-25九年级下·江苏南通·月考）如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)连接，在线段上任取一点D，过D作的垂线段交抛物线于点，，试说明； (3)将线段BC（含B，C端点）沿翻折，抛物线沿翻折，翻折后两个新图形仍有两个交点，请直接写出n的取值范围． 例2．（2025·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点． (1)如图1，若点的坐标为，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形． ①在（1）的条件下，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②如图2，已知点和点是图形上的点．设，当时，请直接写出的取值范围． 例3．（2025·浙江温州·模拟预测）抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象． （1）点A，B，D的坐标分别为________，________，________； （2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在内（含边界）时，求t的取值范围； （3）如图②，当时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（2025·广西柳州·模拟预测）如图1，抛物线 与x轴分别交于点，，与y轴交于点，点P是坐标平面内一点，点P坐标． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将抛物线 x 轴上方的图象沿x轴翻折，翻折后的图象和原抛物线图象组成一个新的图象（如图 2实线部分和虚线部分，），记为图象 L．若直线与该新图象L恰好有三个公共点，请求出此时 n 的取值范围． (3)在（2） 件下的新图象L，连接，若点D在新图象L上且 求点D的坐标． 变式2．（2025·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（2025·湖南永州·模拟预测）已知：如图，抛物线经过原点和点，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若是线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在轴上方的部分组成了一个“”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $