2026年山东聊城市高唐县二模数学试题

2026学年初中学业水平模拟检测（二） 九年级数学试题参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求。 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 选项 D A B B C B B C D C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 1.4r12.(0,-3)13.k<了且k≠114.5.6 15.2 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 16.(8分) 解：1)原武=22+1-2×号+2-2+4 2分 =7; 4分 (2)原式=2(x-3).(x+1D2 x+1 +x2-2x+1 x-3 5分 =2x+2+x2-2x+1=x2+3. 7分 当x=一时，原式=（←）》+3-出 25 8分 17.(8分) 解：(1)△EFB是等腰三角形，且EF=FB. 证明：由题意得，AE是∠BAC的平分线， 1分 ,AE平分∠BAC,AB=AC, ∴.AEBC.… 2分 由PQ作法可知，PQ是AB的垂直平分线. 3分 .F是AB的中点， 在Rt△AEB中，F为斜边AB的中点， ∴.E℉=FB(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)，∴△EFB是等腰三角形.…4分 (2),在Rt△AEB中，AE=√3EB, tanBfg3, 6分 ∠B=60°，∠BAE=30° EB=2AB=2X4=2. 8分 18.(8分) (1)证明：如图1，过点A作AH∥CD, .'AB⊥MN, 九年级数学试题答案第1页（共5页） .∠ABN=∠ABM=90°. .AH∥CD, ∴.∠CAH=∠DCE=50°. :∠CAB=140°，∴.∠HAB=90°， ∴.∠HAB+∠ABM=180°. ∴.AH∥MN。…2分 图1 又.AH∥CD, ∴.CD/∥MN.… 3分 (2)解：连接PC,如图2， 由题意可知，AP=160-90=70(cm), .'AP LAC, .∠PAC=90°， ∴.△PAC为直角三角形， 在Rt△PAC中，PC=JAC2+APz= 图2 √/502+702=10√/74(cm).…5分 (3)解：如图3，作AH∥CD,过点P作PT⊥HA交HA延长线于点T, 由题意得点P距离地面的高度约为125cm, ∴.AB+PT=125(cm), 又，AB=90(cm), H ,∴.PT=35(cm),… 6分 M B 在R△APT中，s∠PAT-沿-器， 图3 ∴./PAT=30°… 7分 又Q,A,B共线， ∴.∠QAP=60°， ∴.上身AP倾斜的角度∠QAP是60°. 8分 19.(8分) 解：(1)设B型号文创书签的单价为x元，则A型号文创书签的单价为(x十20)元. 根据题意，得020一-2公×3， 2分 解得x=40. 3分 经检验，x=40是原方程的解且符合题意。 当x=40时，x十20=40+20=60. 答：A,B两种型号文创书签的单价分别是60元和40元. 4分 (2)设购买A型号文创书签m个，则购买B型号文创书签(100一m)个. 根据题意，得60m十40(100一m)≤4800，… 7分 解得m≤40. 答：最多能购买40个A型号的文创书签.… 8分 九年级数学试题答案第2页（共5页） 20.(10分) 解：(1)10÷20%=50（名） 答：本次调查了50名学生. 1分 (2)18;6;77(每空2分，补全频数分布直方图1分) A学校九年级学生周日 课外阅读时长的频数分布直方图 ↑人数 20 18 16 10 10- 6 060.570.580.590.5100.5x/时长 (3)500×10+18+16=440(人). 50 答：估计A学校九年级500名学生中，周日课外阅读时长在90分钟内（包括90分钟）的学生 共有440人. 10分 21.(10分) (1)证明：如图1，连接EO, ,△ABC中，∠B=45°， ./E0C=90°.… 1分 ,EF∥CD,∴.∠FEO=90°，∴.OE⊥EF. 又OE为⊙O的半径，∴.EF是⊙O的切线；…3分 图1 (2)解：如图2，连接BD, .CD是⊙O的直径， ∴.∠CBD=90°. 又AC=BC,.∠A=∠ABC=45. ∴.∠ACB=90° ∴.∠CBD+∠ACB=180° ∴.AC∥BD.… 5分 图2 ÷∠ACD=∠ADB,0-2器 6分 .tan∠ACD=3, tn∠ADB-C-3. BD 7分 又.AC=BC, 删肥認 3, ◆+…++440。……+。小。*。 8分 九年级数学试题答案第3页（共5页） 0品2 溦器1 …10分 22.(11分) (1)在；AD=DF+DE 2分 解析：.将EA绕点E顺时针旋转60°得到EF, .△AEF是等边三角形. ∴.∠EAF=60°，AE=AF. 又.在菱形ABCD中，∠BAD=60°， ∴.∠BAE=∠DAF,AB=AD,AB∥CD, .△ABD为等边三角形，.AD=BD,∠ABD=60°. ∴.△BAE≌△DAF(SAS), ∴∠ADF=∠ABD=60°，DF-BE..AD-BD=BE+DE-DF+DE. 又∠ADC=180°-60°=120°，∴.∠ADC+∠ADF=120°+60°=180°， ∴.三点F,D,C在同一直线上. (2)解：设BE=x,则ED=6一x, '∠AEF=60°，∠ABD=60°， ∴.∠AED=∠AEF+∠GED=∠ABD+∠BAE, ∴.∠GED=∠BAE. 又.'∠ABD=∠ADB=60°， ∴.△ABE∽△EDG, 小gg-b 5分 言0 GD-合(-2+6)=-名红-3)+ 2 0<3<6,-日<0， 线段GD的最大值为是 …7分 (3)解：AD=DF十√2DE; .四边形ABCD为正方形，.∠OAD=45°，W2OA=√2OD=AD. ,将EA绕点E顺时针旋转90°，得到EF, ∴.△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=45°，√2AE=AF, /0AE=∠DAF,f-A,△0AEn△DAE,…9 九年级数学试题答案第4页（共5页） :0E-0A=,FD=20E,… …FDAD√2 10分 ∴.AD=√2OD=√2(OE十ED)=√2OE十√2ED=FD十V2DE.…11分 23.(12分) 解：(1)①：二次函数y=x2十bx十c的图象经过（一7，n)和(5，n)两点且与x轴交于点 (2,0), 。6=-7+5 2×12 1分 4+2b+c=0. b=2, 解得c=一8. 2分 ∴.y=x2+2x-8, 当x=-7时，n=49-14一8=27. .b和n的值分别是2和27.…3分 ②y=x2+2x-8=(x十1)2-9， 当x=-3时，y=-5, 若-1≤≤1，则二次函数y=x2十bx十c的最大值与最小值的差为一5-(-9)=4，这与二 次函数y=x2十bx十c的最大值与最小值的差为2矛盾，若t>1,则最大值与最小值的差大 于4，与差为2矛盾. ∴.t-1.… 4分 当一3<t<一1时，图象在抛物线对称轴的左侧，y随x的增大而减小，…5分 ∴.-5-(t2+2t-8)=2, 解得t=-1-√2，t2=-1十√2， 又-3<t<-1,.t=-1-√2. 6分 ③二次函数y=x2+2x一8的图象上有两点(x1,y1),(x2,y2), ·y1=x+21-8,y2=x3+2x2-8, .y1-y2=(x1-x2)(x1十x2十2). ……8分 又x1十x2=-1,∴y1-2=x1-x2,且x2=-1-x1, .(y1-y2+1)2-4y =(x1-x2+1)2-4y1 =[x1-（-1-x1)+1]2-4(x+2x1-8) =(2x1+2)2-4(x3+2-8) =36。… 9分 (2c=或-35c3. 12分 九年级数学试题答案第5页（共5页）参照秘密级管理大启用前 试卷类型：A 2026学年初中学业水平模拟检测（二） 九年级数学试题 2026.05 本试卷共8页。满分120分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并 交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷 和答题卡指定的位置。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 蜜 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改 液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.如图，点P表示的数的倒数是 -2 0 中 A-2 B.2 c 2.校徽是学校的专属视觉符号，能够将学校的办学宗旨、育人理念、办学特色、校风校训转化为 直观的视觉符号，把抽象的校园精神落地为可感知、可铭记的标识.下列学校的校徽中，是轴 对称图形的是 妆 B D 九年级数学试题第1页（共8页） 3.在全城翘首以盼中，2026年“惠享桃都·悦动全城”消费嘉 年华启动仪式，暨肥城吾悦广场开业典礼盛大举行！根据 公开信息，泰安肥城吾悦广场开业首日(4月30日)客流突 破31万人次.其中数据31万用科学记数法表示为 A31×10 B.3.1×105 C.0.31×106 D.3.1×104 4,下列运算结果正确的是 A.(-xy2)=-xy6 B.x2·x5=x C.a5-a3=a2 D.(a十b)2=a2+6 5.某化学兴趣小组进行酸碱中和实验，现有4个未贴标签的试剂瓶，外观完全相同，分别装有 NaOH溶液、稀HCl溶液、稀H2SO,溶液和NaC1溶液.我们知道：NaOH溶液遇酚酞变红； 稀HCl溶液、稀H,SO,溶液和NaCl溶液遇酚酞不变色.现随机选取其中1个试剂瓶中的溶 液与酚酞试纸进行滴定实验，则混合后溶液呈现红色的概率是 A合 B号 c D若 6.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客， 一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每 一间客房住9人，那么就空出一间客房.下列选项中正确的是 7x-7=y, A.设该店有客房x间、房客y人，依题意得方程组 9(x+1)=y B.设该店有客房x间，依题意得方程7x+7=9(x一1) C设该店有房客y人，依题意得方程片=子+1 x=8, D.设该店有客房x间、房客y人，则 y=64 7.如图，点B,E是以AD为直径的半圆O的三等分点，AD=8,A,E,C 三点共线，BC⊥AC于点C,则图中阴影部分的面积为 A25-3x B.2√3 C36-号x D.35 九年级数学试题第2页（共8页） &.已知某工地的抽水机，总功率1200kW,抽水时，水流的力Fm%力 (单位：N)与水流的速度o(单位：m/s)满足反比例函数关系，它 的图象如右图所示，下列说法不正确的是 Aa=10 B.当F=100时，w=12 120FN C.当水流速度v越大时，水流的力F也越大 D.当F>80时，<15 9.为了实时规划测绘航线，无人机需要计算自身与地面观测点之间的距离的平方.如图1，点P 是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x (单位：km)(0≤x≤n),PQ为y(单位：km).如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C, 最低点D(m,81),且经过点E(1,225).下列选项不正确的是 y/km2t 225 81 D 01 m n x/km 图1 图2 A当AQ=1时，PQ=15 B.点P到AB的最小值为9 C.点C的纵坐标为250 D.点(24,225)在该函数图象上 10.如图，已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点，且 D ∠EAF=45°，AE,AF分别交对角线BD于点M,N,连接EN,EF, 则下列结论：①∠ANB=∠AEB,②∠AEN=45°，③△NEF≌ △CEF;④EF一DF=BE.其中正确的结论有 A1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分， 11.我们知道，半径为r的球的表面积公式是S=4π2，那么4π2的系数是 12.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以点O为旋转中心将点（一3,2）逆时针旋转90°后，再 沿x轴正半轴方向平移2个单位，它的对应点的坐标是 13.已知关于x的方程(k一1)x2一4x十3=0有两个实数根，则k的取值范围是 九年级数学试题第3页（共8页） 14.山西运城一泛舟禅师塔，它是中国唯一的圆形唐塔孤 例，是盛唐与波斯文化交流的活化石.为了测量泛舟禅 师塔的底座，小明想了这样的方法来测量：如图，做一个 矩形框ABCD,边AD为软皮筋，将矩形框平放推至塔 的底座下，使边BC紧贴塔底座的圆弧，顶点A,D抵住 B D 塔边，若矩形框ABCD的边AB=m,BC=3.2m,则 B 泛舟禅师塔底座直径大约为 米.（结果梢确到0.1米） 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，D为斜边的中点，且BD=4,点P,Q分别在AB 和BC上，且DP=CQ,则线段PQ的最小值为 B 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(8分)(1)计算：w8+20260-2sin45+V2-2+(-2)厂； (②先化简，再味值平2十（红1识，其中x=-号 九年级数学试题第4页（共8页） 17.(8分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,以点A为圆心，适当长为半径作弧（弧所在圆 19 的半径都相等)，交AB于点M,交AC于点N,分别以点M,N为圆心，大于号MN的长为半 径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点D,作射线AD交BC于点E,再分别以A,B为圆 心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于P,Q两点，连接PQ交AB于点F,连接EF, (1)判断△EFB的形状并证明； (2)若AE=√3EB,AB=4,求EB的长 18.(8分)如图1所示，机器人舞蹈演员在舞台上展示高难度中国舞造型，图2是其慨间的几何 示意图，演员的一腿AB直立于地面MN,小腿部分是CD,上身AP,即AB⊥MN于点B, CE是演员小腿CD上踢后与大腿AC在同一平面的瞬间（这里的小腿CD,CE都包括脚面 部分，上身AP包括头部部分).已知演员身高160cm,腿AB=90cm. 20. (1)若∠CAB=140°，∠DCE=50°.求证：CD∥MN; (2)若演员上身AP垂直于大腿AC,大腿AC的长为50cm,求点P,C间的距离（保留根号）； (3)当演员头部P距离地面的高度是125cm时，求上身AP倾斜的角度∠QAP. M B N ZZM55CA7KCA660607 图1 图2 九年级数学试题第5页（共8页） (8分)学校为了举办校园文化节，准备采购A,B两种文创书签，其中A型号文创书悠比B 型号文创书签的单价多20元，用900元购买A型号文创书签的数量是用200元购买B型 号文创书签数量的3倍 (1)求A,B两种型号文创书签的单价分别是多少元； (2)若计划购买A,B两种型号的文创书签共100个，且所花费用不超过4800元，求最多能 购买多少个A型号的文创书签， (10分)在“书香校园”建设背景下，山东某市教体局想了解A学校九年级500名学生周日课 外阅读时长悄况，从九年级随机抽取部分学生的周日课外阅读时长数据（单位：分钟，保留整 数)，整理分析得到以下4组数据： (1)阅读时长在60.5≤x<70.5的人数占调查人数的20%； (2)将调查的九年级学生周日课外阅读时长的数据从小到大排列，其中一部分数据如下： …67,67,68,72,72,73,74,74,75,75,75,75,75,75,76,76,76,77,77,78,80,82,82,85,… (3)九年级周日课外阅读时长统计表如下： 组别 频数 60.5≤x<70.5 10 70.5≤x<80.5 m 80.5≤x<90.5 16 90.5≤x<100.5 九年级数学试题第6页（共8页） (4)九年级周日课外阅读时长频数分布直方图如 A学校九年级学生周日 图所示： 课外阅读时长的频数分布直方图 ↑人数 根据以上信息，回答下列问题： 20 (1)本次调查了多少名学生？ 16 16 (2)填空：m= ,n ,抽取的这部 10 10 分学生周日课外阅读时长的中位数是 并补全频数分布直方图； (3)实际调查中，九年级学生周日课外阅读时长通060.570.580.590.5100.5x时长 常不得超过90分钟，估计A学校九年级500名学生中，周日课外阅读时长在90分钟内（包 括90分钟)的学生共有多少人. 21.(10分)如图，在△ABC中，∠B=45°，⊙O经过B,C两点，与边AB交于点E,连接C0并延 长交AB于点M,交⊙O于点D,过点E作EF∥CD,交AC于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2若AC=BC,ian∠ACD=3,求瑞的值 22.(11分)综合与实践 在数学活动课上，王老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动.以下是学习小 组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： (1)观察猜想 如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是对角线BD上一动 点，连接AE,将EA绕点E顺时针旋转60°得到EF,连接AF,DF,则F,D,C三点 同一直线上（填“在”或“不在”），DF,DE,AD之间的数量关系是 (2)积极思考 若菱形的边长为6，EF和AD交于G点，求线段GD的最大值； 九年级数学试题第7页（共8页） (3)类比探究 如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形APCD中，点E是对角 线BD上一动点，且BE>DE,连接AE,将EA绕点E顺时针旋转90°得到EF,连接AC, AF,DF,AC与BD交于点O.写出DF,DE,AD之间的数量关系，并就图2的悄形说明 理由. c 图1 图2 23.（12分)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（一7，n)和(5，n)两点. (1)当该二次函数图象与x轴交于点(2,0)时， ①求b,n的值； ②当一3≤x≤t时，二次函数y=x2+bx十c的最大值与最小值的差为2，求t的值； ③二次函数y=x2十bx十c的图象上有两点(x1,y),(x2,y2),若x1十x2=一1， 说明(y-y2十1)2-4=36. (2)已知点M(-1,2),N(2,5),若二次函数y=x2+bx+c的图象与线段MN只有一个交 点，直接写出c的取值范围. 九年级数学试题第8页（共8页）