易错05 二次函数及其应用（易错专练，7大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 二次函数及其应用 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 二次函数的图象及性质 易错点 2 混淆二次函数的平移规律 易错点 3 二次函数的图象与系数之间的关系 易错点 4 二次函数与坐标轴交点问题 易错点 5 缺乏建模能力（构建二次函数解决实际问题） 易错点 6 二次函数与几何综合考虑不全 易错点7 新定义与二次函数结合理解不到位 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 二次函数的图象及性质 错因剖析 概念混淆：分不清一般式、顶点式、交点式各自对应的图象特点，记错顶点坐标、对称轴公式和增减性。 认知偏差：不会以对称轴为分界线判断增减性。 基础薄弱：不能将二次函数图象和性质联系在一起，理解能力弱。 【例1】（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的联系，通过二次函数图象与性质，以及二次函数图象与系数的联系，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，抛物线开口向上，选项叙述错误，不符合题意； B、抛物线与轴交点坐标为；选项叙述错误，不符合题意； C、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，正确，符合题意； D、当时，顶点是抛物线的最高点，选项叙述错误，不符合题意； 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】 1、二次函数不是单调函数，必须按对称轴分两段说增减； 2、比较函数值大小，优先看离对称轴远近； 3、有自变量取值范围，最值不一定在顶点，要比较端点和顶点； 4、图象判断题：开口看 a、交点看 c、对称轴看 ab、交点个数看 。 【知识链接】二次函数的三种表达式 1、顶点式 顶点 ，对称轴 ；符号切记左加右减。 2、一般式 对称轴： 与 y 轴交点： 3、交点式 与 x 轴交点 ，对称轴在两交点中间。 增减性判断标准： 开口向上：对称轴左侧递减，右侧递增；顶点是最小值。 开口向下：对称轴左侧递增，右侧递减；顶点是最大值。 变式迁移 【变式1-1】（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握将非标准形式转化为标准顶点式并从中识别顶点坐标是解题的关键． 先将给定的抛物线表达式转化为标准顶点式，再根据标准顶点式直接确定顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点形式为，对应,，顶点坐标为， 故选：C． 【变式1-2】（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值． 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 易错点2 混淆二次函数的平移规律 错因剖析 概念混淆： 1、混淆平移方向与符号变化的对应关系，把 “左加右减、上加下减” 记反或用错。 2、混淆对 平移和对整体平移，只对常数项加减，不对括号内的 进行变形，导致平移式写错。 3、混淆一般式平移与顶点式平移的差异，直接在 中乱加减，不先化成顶点式。 认知偏差： 1、误以为平移是改变开口大小与方向，实际平移只改变位置， 始终不变。 2、凭直觉判断左右平移，认为 “向右就是加”，忽略是对自变量 本身进行操作。 3、把 “平移后的解析式” 和 “平移前的顶点坐标” 混为一谈，只算顶点不写函数式。 基础薄弱： 1、不会熟练将一般式化为顶点式，无法准确找到顶点进行平移。 2、对 “左加右减” 的适用对象不清晰，不知道只针对单独的 ，而非含系数的 。 3、顶点坐标公式记忆模糊， 容易写错符号。 【例2】（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 1、牢牢记住八字口诀 左右平移：左加右减（只对 ） 上下平移：上加下减（对整体） 2、平移前先化顶点式 无论题目给什么形式，优先化成 ，平移更直观、不易错。 3、抓住 不变原则 平移不改变抛物线形状与开口，只改变顶点 ，开口变了直接判定错误。 4、左右平移必须 “套括号” 向右平移 个单位： 向左平移 个单位： 不能写成 或 。 【知识链接】 1、顶点式：，顶点 ，对称轴 。 2、平移规则： 向左平移 ： 向右平移 ： 向上平移 ： 向下平移 ： 3、一般式转顶点式：配方法或用顶点坐标公式 。 变式迁移 【变式2-1】将抛物线的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为_____________． 【答案】 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则计算平移后的顶点坐标即可. 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为， 先向上平移4个单位，顶点纵坐标加4，得到顶点坐标为， 再向右平移3个单位，顶点横坐标加3，得到新的顶点坐标为. 【变式2-2】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 【答案】 【详解】解：将原抛物线解析式化为顶点式为， 根据平移规律，可得新抛物线的解析式为． 【变式2-3】（2026·上海闵行·二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 【答案】直线 【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移后抛物线的对称轴． 【详解】∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移个单位时，对称轴同步向右平移个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 ． 易错点3 二次函数的图象与系数之间的关系 错因剖析 概念混淆：将系数、、的作用混淆，无法准确对应图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等特征。 认知偏差：对系数之间的关联、特殊点的意义理解不透彻，忽略隐含条件，导致判断失误。对系数之间的相互影响、特殊图象特征对应的系数条件理解片面，缺乏“全面分析、结合公式”的思维习惯，容易陷入单一条件判断的误区。 基础薄弱：对二次函数的核心公式记忆不扎实，缺乏计算熟练度，基础知识点掌握不牢固，无法将公式与图象特征灵活结合应用。 【例3】（2026·上海闵行·一模）已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由对称轴为，根据二次函数对称轴公式可得，从而推导出，其他选项不一定成立． 【详解】解：A、由题意无法得到抛物线与y轴的交点位置，故无法确定c的符号，故本选项的结论不一定成立； B、由，，得，故本选项的结论错误； C、∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故本选项的结论正确； D、由于抛物线与x轴有两个交点，则抛物线顶点不在x轴上，即当时，，故本选项的结论错误． 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】全面分析条件，规避认知偏差 判断系数关系时，需结合图象所有特征，兼顾隐含条件，避免单一判断： 1、判断对称轴时，必须同时看和的符号，不能单独由的符号判断； 2、判断开口宽窄时，对比的大小，而非的符号； 3、遇到特殊图象（过原点、顶点在y轴上、与x轴相切等），立即关联对应系数条件（过原点→，顶点在y轴→，与x轴相切→）。 【知识链接】 1、二次函数的三种形式：一般式（）、顶点式（顶点为，对称轴为），可通过顶点式快速验证、的关系（如）；交点式，对称轴为. 2、判别式：不仅决定图象与x轴的交点个数，还能判断二次方程的根的情况，与系数、、直接相关； 3、二次函数的增减性：由开口方向和对称轴共同决定，而开口方向由决定，对称轴由、共同决定，本质是系数对图象特征的综合影响。 4、根据二次函数图象判断、、等代数式的符号（技巧：代入得，代入得，结合对称轴判断的符号）； 变式迁移 【变式3-1】（2026·上海黄浦·一模）如图，抛物线经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线的图像与性质，根据图像确定的符号即可． 【详解】由图可知，抛物线开口向上，，故A正确，不符合题意； 对称轴为，则，故B不正确，符合题意； 与轴交于正半轴，则，故C正确，不符合题意； 与轴交于不同的两点，则，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【变式3-2】（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴A成立，不符合题意； B． ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C． ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D． 由图象知：当时，， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 【变式3-3】（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意； ④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④结论正确，符合题意． 故选：B． 易错点4 二次函数与坐标轴交点问题 错因剖析 概念混淆：分不清与 x 轴交点、与 y 轴交点的求值方法，代入 x、y 搞反。 认知偏差：含参数二次函数，只看判别式，忘记二次项系数 。 基础薄弱：解方程、计算坐标出错。 【例4】（2026·上海崇明·二模）将抛物线向上平移4个单位后，所得的新抛物线与轴的交点坐标为_________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象的平移规律得到新抛物线的解析式，再利用y轴上点的横坐标为，代入解析式求出纵坐标，即可得到交点坐标 ． 【详解】解：∵ 将抛物线向上平移个单位， 根据平移的“上加下减”规律，可得新抛物线解析式为： ， 整理得 . ∵ 抛物线与轴交点的横坐标为， 将代入新抛物线解析式，得， ∴ 所得新抛物线与轴的交点坐标为 ． 避错秘籍 【防错指南】 1、含参数二次函数与 x 轴有交点：必须同时满足 且 ； 2、两交点之间距离：，一定要加绝对值； 3、求交点最后必须写成坐标形式，不能只写数。 【知识链接】 1、固定求交点步骤 设二次函数 求与 y 轴交点：令 ，得 ，交点： 求与 x 轴交点：令 ，解方程 两根为 ，交点： 2、交点个数与判别式 有两个不同交点： 有唯一一个交点（相切）： 无交点： 题目说有交点：统一用 变式迁移 【变式4-1】（2026·上海黄浦·二模）已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【分析】根据题意得出原点在平移后的抛物线上，将代入平移后的抛物线解析式求解即可； 【详解】解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 【变式4-2】（2026·上海静安·二模）如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【分析】由题意可得抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的，结合平移的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的， ∵抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和，即和． 【变式4-3】31．（2026·上海杨浦·二模）抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【答案】 【分析】先设抛物线与x轴交点坐标，根据抛物线性质得到与y轴交点C的坐标，再结合推导得到边的关系，结合根与系数的关系求出参数c的值，解方程得到抛物线与x轴交点，确定A点坐标． 【详解】解：设，，且，坐标原点为O， 对于抛物线，令，得，即， 令，得，整理得， 由根与系数的关系得，， 如图， ∵，， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴，即， ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴，且， ∴， ∴， 代入，得，即， 解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件. 将代入得， 解得，， ∵， ∴， ∴点A坐标为 ． 易错点5 缺乏建模能力（构建二次函数解决实际问题） 错因剖析 概念混淆：对二次函数的实际应用场景理解模糊，未掌握“可构建二次函数的实际问题核心特征”，缺乏“实际问题→数量关系→函数模型”的转化意识，将不同函数模型的适用场景混淆。 认知偏差：缺乏“审题→提炼数量关系→设元→列解析式”的规范建模思路，对实际问题中的核心等量关系、隐含条件挖掘不全面，无法将文字描述转化为数学语言，建模逻辑混乱。 基础薄弱：二次函数的配方、顶点公式应用不熟练，计算能力薄弱，同时缺乏“建模→求解→检验”的完整解题意识，忽略建模后的检验环节，导致模型正确但最终答案错误。 【例5】（2026·上海宝山·二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据题意得到，，再设出顶点式，代入求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据对称性可得，，则，再把代入抛物线表达式求解即可； （3）根据矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离求出对应的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矿洞横截面是轴对称图形，，点E到的距离为， ∴顶点， 设抛物线L的表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线L的表达式为； （2）解：设正方形的边长为，则， 根据对称性可得，， ∴， 将点代入得，， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为，即架骨的长为； （3）解：∵矿车距离上方预留的安全距离， ∴把代入， 则， 解得（舍去）， ∴此时， ∵两侧支撑架需预留的安全距离， ∴此时， ∴为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行，． 避错秘籍 【防错指南】牢记“可构建二次函数的实际问题核心特征”，精准区分函数模型，避免混淆： 1、适用二次函数的实际场景：核心是“两个变量之间存在平方关系”，常见场景有：利润最值（单价、销量与总利润的关系）、面积最值（边长与面积的关系）、射程问题（发射角度与射程的关系）、高度问题（时间与高度的关系）等。 2、区分不同函数模型：一次函数适用于“变量间成线性关系”（如路程=速度×时间，无平方项）；反比例函数适用于“变量间成反比例关系”（如路程固定，速度与时间成反比）；二次函数适用于“变量间有平方项，且存在最值”的场景。 3、牢记“建模必看实际意义”：构建函数后，立即确定自变量的取值范围（如边长>0、销量为非负整数、涨价幅度不超过原价等），避免后续求解出现不符合实际的答案。 【知识链接】 1、利润最值问题：给出进价、售价、销量的关系，求最大利润，核心是列出“总利润=（售价-进价）×销量”的二次函数，结合自变量取值范围求最值。 2、面积最值问题：结合几何图形（矩形、三角形、抛物线形），给出周长、边长等条件，求最大面积，核心是用一个变量表示另一个变量，列出面积的二次函数。 3、实际应用综合题：结合行程、高度、造价等场景，构建二次函数模型，同时考查最值求解、方案设计（如“获得不低于某一利润的方案有几种”）。 变式迁移 【变式5-1】（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 【变式5-2】（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①；② 【分析】（1）运用待定系数法可得解析式，将一般式化为顶点式可得对称轴； （2）①根据题意设，可得直线，由点在直线上，得到，即可求解； ②求出第一条彩虹的解析式为：，对称轴为直线，得到投影的解析式为：，，求出，，证明出，得到，代数求出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：将点分别代入中， 当时，，当时，， 解得，，， ， 对称轴为直线； （2）解：①∵投影可由第一条彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，右端点为点，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上， ∴设，设直线， ∵， ，解得 ∴直线， ∵点在直线上， ， ∴； ②第一条彩虹的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴投影的解析式为：， 把无人机（看做一点），无人机在原彩虹的对称轴上， ∴， 在直线上取点，作直线，令直线平行于轴，过点作于， ∴， ∵ ∴ ∵平行于， ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴ ∴投影的解析式为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式5-3】（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     【答案】（1）、；（2） 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键． （1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点距离起飞点的水平距离为10千米，求出，，分别代入，直线，即可求解． （2）根据对称轴为最高点的横坐标求出，得出抛物线，令，求出，将代入直线．求出，结合，求解即可． 【详解】解：（1）水平飞行时的距离为：， ， ，， 分别代入，直线， 得：，， 解得：，． （2）， ， ． ∴抛物线， 令， ． 解得：，， ， 将代入直线．得：， 即， ， 即， ． 易错点6 二次函数与几何综合考虑不全 错因剖析 概念混淆：对二次函数与几何图形的关联逻辑理解不透彻，混淆“函数图象上的点”与“几何图形顶点”的区别，未明确几何图形的存在条件（如三角形三边关系、圆的半径限制），缺乏“数形结合、双向关联”的思维。 认知偏差：认知片面，缺乏分类讨论的意识和能力，对几何图形的多种位置关系、构成情况考虑不全面，陷入“单一情况”的思维误区，无法全面覆盖所有可能的情形。 基础薄弱：二次函数与几何图形的核心知识掌握不扎实，两者的综合应用能力不足，缺乏“函数坐标→几何性质”“几何条件→函数表达式”的双向转化能力，无法支撑全面的分类讨论和求解。 【例6】（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 【答案】(1)，顶点 (2)①；②或5 【分析】（1）将点代入抛物线，求出，进而再求顶点坐标即可； （2）①由题易得轴，，证，可得，即可得解； ②设抛物线向上平移了个单位，则，先求出，直线表达式，直线表达式，联立求出点，则，分两种情况讨论：当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点； （2）解：①对于抛物线，令，得， ， ∵， 则轴，且， 过作，交延长线于点， ， ， ， 由题可知点向上平移到点， 则轴，即， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位， ∴平移之后的抛物线的表达式为； ②解：设抛物线向上平移了个单位， ∴， 令，得或 6 ， ∴， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 联立， 解得， 即， ， ∵，轴，轴， ∴， ∴分两种情况讨论： 当时， 则，即， 解得； 当时， 则，即， 解得； 综上，平移的距离为5或个单位． 【点睛】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 避错秘籍 【防错指南】二次函数与几何综合题的核心是“基础过关+综合应用”，需同时夯实两类知识，提升转化能力： 1、强化二次函数基础：熟练掌握解析式转化（一般式→顶点式）、顶点坐标、对称轴、判别式、自变量取值范围等核心知识点，能快速根据解析式判断图象特征； 2、巩固几何核心知识：牢记三角形（直角、等腰、相似）、四边形（平行四边形、矩形、菱形）、圆的判定定理和性质，熟练掌握坐标法求长度、面积、角度的方法； 3、提升转化能力：熟练掌握“坐标→长度”（勾股定理）、“坐标→面积”（割补法、底乘高）、“几何条件→函数表达式”（如由“垂直”得到斜率关系、由“相等”得到等式）的转化方法，打通数形结合的通道。 【知识链接】 二次函数与三角形综合：求抛物线上是否存在点，使构成的三角形为直角三角形、等腰三角形、相似三角形，或求三角形的面积、周长最值； 二次函数与四边形综合：求抛物线上是否存在点，使构成的四边形为平行四边形、矩形、菱形、正方形，或结合四边形的性质求点的坐标、边长； 二次函数与圆综合：求抛物线与圆的交点个数、圆的半径，或结合圆的切线、圆周角性质，求二次函数的系数取值范围； 综合压轴题：二次函数、几何图形与动点问题结合，考查分类讨论、数形结合思维，需全面考虑动点的不同位置，避免漏解。 变式迁移 【变式6-1】（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【答案】(1) (2)①3；②或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案； ②可证明轴，即，则当四边形是直角梯形时，只有或，据此画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴轴，即， ∴当四边形是直角梯形时，只有或， 如图2-1所示，当时， ∵点C的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 如图2-2所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点Q作轴于H，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式6-2】（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据一次函数可知，的坐标，进而根据可得点是线段的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据是梯形，可知的直线解析式，进而联立方程可知点的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点作,过点作，进而可知，根据相似三角形的性质即可求解；②过点作交对称轴于,过点作交对称轴于，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点， 则点，， ∵是直线上一点，且， ∴点是线段的中点， 设点， ∴点， ∴，， ∴点， 将点，点代入抛物线 得 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）解：由题可得图， ∵四边形是梯形， ∴, ∵为原点， 则的直线解析式为：， 则联立函数得， 解得或， ∵点在抛物线上，且位于第一象限， ∴, 过点作轴，过点作轴， ， （3）解：①由题可得，过点作,过点作 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点，点 ∴，， ，， 则，， 解得：或， ∵点、都在第三象限， ∴, ∴， ∴． ②由题可得，抛物线的对称轴为， 过点作交对称轴于,过点作交对称轴于， 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点， ∴,， ，。 解得：或（舍去）， 则∴． 综上所述，，． 【变式6-3】（2026·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线上横坐标为2的一点，与对称轴交于点，连接． ①求的值； ②设直线与轴交于点，过点作的平行线，与轴交于点，当四边形是直角梯形时，求的正切值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线， (2)①1   ②或 【分析】(1)根据对称轴公式代入化简即可求得对称轴；根据抛物线的对称性及点A的坐标即可求得点B的坐标； (2)①首先，根据题意得抛物线的顶点坐标，由点是抛物线上横坐标为2的一点，得点，再求得直线的表达式为，进而得点，得，，即可得出； ②首先，过P作轴于C，由，，得到，然后，分别求得直线的表达式为，得，直线的表达式为，得直线的表达式为，进而得，即，再分两种情况进行分类讨论，情况一：如图2，当时，，证得，得，即，解得，进而得；情况二：如图3，当时，，证得，得，即，解得， 进而得． 【详解】（1）解：根据题意知抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于和点， ∴抛物线的开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在对称轴的右侧，设点，则，解得， ∴； （2）①解：如图1， ∵抛物线与轴交于， ∴把，代入，得，得， ∴， ∴抛物线的顶点， ∵点是抛物线上横坐标为2的一点， ∴当时，， ∴点， 设直线的表达式为， 把，分别代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点， ∴，， ∴； ②解：过P作轴于C， ∵，， ∴， ∴． 设直线的表达式为，与y轴交于G， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 当时，，解得；当时，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴设直线的表达式为， 把代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴，即． 情况一：如图2，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴； 情况二：如图3，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴； 综上，当四边形是直角梯形时，求的正切值为或． 【点睛】解题的关键是得到，分别求得直线的表达式为，得，直线的表达式为，直线的表达式为，得，即，再分两种情况进行分类讨论，情况一：如图2，当时，，证得；情况二：如图3，当时，，证得． 易错点7 新定义与二次函数结合理解不到位 错因剖析 概念混淆：对新定义的关键词、核心规则解读不细致，缺乏“拆解新定义”的意识，将新定义简单等同于二次函数的原有概念，无法建立“新定义规则→二次函数性质”的对应关系。 认知偏差：阅读理解能力和知识迁移能力不足，缺乏“文字描述→数学语言→二次函数性质”的转化思维，对新定义的应用场景和迁移方向判断失误，无法将陌生的新定义转化为熟悉的二次函数问题。 基础薄弱：二次函数的核心知识（顶点公式、判别式、开口方向、对称轴）掌握不扎实，计算能力和应用能力不足，无法为新定义的解读和应用提供支撑，导致“能读懂定义，却解不出题目”。 【例7】（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入求解即可；设抛物线上的“一步点”坐标为，则，联立，，求解即可； （2）①先确定点、的坐标，根据顶点是“一步点”， 且点的横坐标为，得到，当点在的内部时，则点在第一象限且在直线下方，据此求解；②由平移性质可知，新抛物线的表达式为，令，得，求出，，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 设抛物线上的“一步点”坐标为，则， 将代入抛物线表达式得，， 解得，， 当时，，点为， 当时，，点为； （2）①对于， 令，得，， 令，得，， 顶点是“一步点”， 且点的横坐标为， ， 若点在的内部，则点在第一象限且在直线下方， ， 解得， 的取值范围是； ②由平移性质可知，新抛物线的表达式为， 令，得 ，， 过点作轴于点，则， ，， 在中，， 在中，， ， ，解得， 当时，，与原抛物线重合，不合题意，舍去， 当时，， 新抛物线的表达式为． 避错秘籍 【防错指南】掌握“三步解读法”，精准拆解新定义，明确其核心内涵，避免与二次函数原有概念混淆： 第一步：圈关键词，抓核心（通读新定义，圈出定义中的关键条件、运算规则、特殊要求，明确“新定义描述的是什么、需要满足什么条件、要计算/判断什么”）； 第二步：找关联，辨区别（对比新定义与二次函数的原有概念，明确两者的联系与区别，如“新定义的特征点”是否与顶点、交点重合，避免混淆）； 第三步：举实例，验理解（结合简单的二次函数解析式，代入新定义规则，验证自己的解读是否正确，避免因解读偏差导致解题错误）。 【知识链接】二次函数的解析式与性质：一般式、顶点式的转化，开口方向、对称轴、顶点坐标、判别式的应用，是解读新定义、完成求解的基础； 二次函数与点的坐标：新定义常涉及抛物线的特殊点（如特征点、对称点），需熟练掌握点的坐标与函数值的对应关系，能根据坐标求函数值、根据函数值求坐标； 二次函数的最值与范围：新定义中的“最值”“距离值”等，常需要结合二次函数的最值求解，需熟练掌握限定范围最值的求解方法。 变式迁移 【变式7-1】（2026·上海黄浦·一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，新定义，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据抛物线和，得出开口方向和对称轴，再求出这两个抛物线的交点的横坐标，分别是，再根据点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵的 ∴开口方向向下，对称轴为， 把代入，得， 即的最大值为； ∵的 ∴开口方向向上，对称轴为， 抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大， 依题意，得， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴抛物线和有两个交点，且它们的横坐标分别是， 把代入，得， ∵抛物线的对称轴为，最大值为，抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大，且，点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（2026·上海长宁·一模）若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为___________． 【答案】 【分析】本题考查新定义，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先计算出点的坐标，由对称性计算出点的坐标，根据题意，使用待定系数法求出符合要求的二次函数的表达式． 【详解】解：在抛物线中，顶点坐标为，对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 设以点为顶点的二次函数的表达式为， 将，代入，得， 解得，， ∴以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为． 故答案为：． 【变式7-3】（2026·上海浦东新·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，得直线与轴的交点为，令，得直线与轴的交点为，结合题意知点，，再进一步求解即可． （2）直线与轴，轴分别交于点，，可得，求解．点坐标为，结合四边形为平行四边形，进一步求解即可． （3）结合题意知：，，，当点在第四象限且时，则，可得，进一步可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：令，得直线与轴的交点为， 令，得直线与轴的交点为， 由题意知点，在抛物线上， 分别把，和，代入得： ， 解得：． （2）解：直线与轴，轴分别交于点，， ∵点在抛物线，① ∴， ∵，∴． 令代入①式，得：． ∴，， ∴点坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得． ∴． （3）解：∵一次函数， 当，，当，则， 同理：由一次函数可得： 当，，当，则， 结合题意知：，，， ∴， ∴， 当点在第四象限且时，则， 在中，∵，， ∴， 如图， 当时，， 当时，， 在中，∵（）， ∴， ∴， ∴， ∴． 1. （2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 2. （2026·上海金山·一模）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上的点，根据二次函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，；当时，； 故只有D选项的点在抛物线上，符合题意； 故选D． 3. （2026·上海松江·一模）已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键； 根据图象特点可得到，，，，即可判断选项A；根据对称轴不是直线，可得，即可判断选项B；根据图象可知，当时，，即可判断选项C；根据图象可知，当时，，即可判断选项D． 【详解】解：由二次函数图象可知，函数图象开口向上，即， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∵图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， ∴，可判断选项A错误； ∵当对称轴时，可得， 而由图象分析可知，二次函数的对称轴不是直线， ∴，故选项B错误； 由图象可知当时，，故选项C正确； 由图象可知当时，，故选项D错误； 故选：C． 4. （2026·上海黄浦·一模）已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正切的定义，根据点在抛物线上的坐标和正切函数的定义直接计算． 【详解】解：∵点在抛物线上，且横坐标为， ， 如图，过作轴，交轴于点， ， 故选：C． 5. （2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，由，可知函数图像开口向下，对称轴为，再根据增减性判断即可． 【详解】解：由，可知函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ． 故答案为． 6. （2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，向上平移直接在函数表达式整体加上平移的单位，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位， ∴得到新抛物线的表达式是． 7. （2026·上海杨浦·二模）若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】假设函数，对是否可为进行分类讨论，尤其当时，根据函数对称轴求出函数最小值，满足最小值大于即可满足题意要求． 【详解】解：∵不等式的解集为一切实数， 即对于任意的，都有函数始终大于0， 当时，函数为满足题意； 当时，函数的对称轴为直线， ∴当时，函数值应大于， 故，解得； 综上，的取值范围为． 8. （2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，投球问题(实际问题与二次函数)，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．先根据题意得出函数过，，从而可求得待定系数，求得函数表达式，代入求得函数值即可． 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 9. （2026·上海·一模）定义：对于一个开口向下的抛物线，将其图像先关于轴翻折，再将所得图像向上平移2个单位，若平移后的图像与原图像有两个交点，且这两个交点之间的距离为，则称这个抛物线为“哎呦喂函数”．已知某“哎呦喂函数”的解析式为，其中，则__________． 【答案】8 【分析】本题考查二次函数的图像变换以及交点距离的计算，抛物线平移遵循“上加下减”的规律． 根据“哎呦喂函数”的定义，先确定翻折并平移后的函数解析式，再联立原函数求交点横坐标满足的方程，利用根与系数的关系和交点距离为的条件求解． 【详解】解：原函数为，关于轴翻折后，函数变为， 再向上平移2个单位，得平移后的函数为， 联立原函数与平移后的函数：，整理得 ， 即， 设交点的横坐标为和，则根据根与系数的关系，有，， 交点距离为， 由题意，，两边平方得，所以． 故答案为：8． 10. （2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 【答案】(1)二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (2)的面积为3，的周长为 【分析】（1）运用待定系数法，将点；；依次代入二次函数解析式，解得，从而得到二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势； （2）先根据题意求出，，，画出函数图象，过点C作轴，过点A作交延长线于点F，然后根据几何图形性质及勾股定理求得的面积与周长． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点；；， ∴将点；；依次代入二次函数解析式， 可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 对称轴为直线，即对称轴为直线， ∵， ∴二次函数顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）解：∵该二次函数图象与x轴交于点A， ∴对于，令， 解得：，， ∵点A在抛物线的右侧， ∴， ∵该二次函数图象与y轴交于点B， ∴对于，令， 解得：， ∴， ∵顶点为C， ∴， 如图，过点C作轴，过点A作交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴的周长为：， ∴的面积为3，的周长为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，准确理解相关定义是解题的关键． 11. （2026·上海闵行·二模）在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且在第四象限，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，连接，作轴，交于点，连接． ①当时，求的值； ②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或②点或． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①分类在对称轴的左右侧进行讨论，分别把的坐标用来表示，根据构造方程求解即可；②根据对称得到点的坐标，设出直线的解析式，将坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：将、两点代入， 得：， 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）①当在对称轴的左侧， 由题可知，点,, 设直线的解析式为：， 将点,,、代入解析式得：， 解得：， 则直线的解析式为：， ∵点在抛物线上， 则点， 点，， ∴， ∵ ∴ ∴解得：， 当在对称轴的右侧， 点， 点，， ∴， ∵ ∴ ∴解得：， 综上所述：或 ②根据题意可知 ∵点，点 ∴点 ，， 设直线的解析式为：， 则将，代入解析式得 解得：， 则直线的解析式为：， 将点代入直线解析式 得： 解得或 点或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数及其应用 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 二次函数的图象及性质 易错点 2 混淆二次函数的平移规律 易错点 3 二次函数的图象与系数之间的关系 易错点 4 二次函数与坐标轴交点问题 易错点 5 缺乏建模能力（构建二次函数解决实际问题） 易错点 6 二次函数与几何综合考虑不全 易错点7 新定义与二次函数结合理解不到位 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 二次函数的图象及性质 错因剖析 概念混淆：分不清一般式、顶点式、交点式各自对应的图象特点，记错顶点坐标、对称轴公式和增减性。 认知偏差：不会以对称轴为分界线判断增减性。 基础薄弱：不能将二次函数图象和性质联系在一起，理解能力弱。 【例1】（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 避错秘籍 【防错指南】 1、二次函数不是单调函数，必须按对称轴分两段说增减； 2、比较函数值大小，优先看离对称轴远近； 3、有自变量取值范围，最值不一定在顶点，要比较端点和顶点； 4、图象判断题：开口看 a、交点看 c、对称轴看 ab、交点个数看 。 【知识链接】二次函数的三种表达式 1、顶点式 顶点 ，对称轴 ；符号切记左加右减。 2、一般式 对称轴： 与 y 轴交点： 3、交点式 与 x 轴交点 ，对称轴在两交点中间。 增减性判断标准： 开口向上：对称轴左侧递减，右侧递增；顶点是最小值。 开口向下：对称轴左侧递增，右侧递减；顶点是最大值。 变式迁移 【变式1-1】（2026·上海长宁·一模）宁宁同学在将某条抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（   ） A． B．) C． D． 【变式1-2】（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 易错点2 混淆二次函数的平移规律 错因剖析 概念混淆： 1、混淆平移方向与符号变化的对应关系，把 “左加右减、上加下减” 记反或用错。 2、混淆对 平移和对整体平移，只对常数项加减，不对括号内的 进行变形，导致平移式写错。 3、混淆一般式平移与顶点式平移的差异，直接在 中乱加减，不先化成顶点式。 认知偏差： 1、误以为平移是改变开口大小与方向，实际平移只改变位置， 始终不变。 2、凭直觉判断左右平移，认为 “向右就是加”，忽略是对自变量 本身进行操作。 3、把 “平移后的解析式” 和 “平移前的顶点坐标” 混为一谈，只算顶点不写函数式。 基础薄弱： 1、不会熟练将一般式化为顶点式，无法准确找到顶点进行平移。 2、对 “左加右减” 的适用对象不清晰，不知道只针对单独的 ，而非含系数的 。 3、顶点坐标公式记忆模糊， 容易写错符号。 【例2】（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 避错秘籍 【防错指南】 1、牢牢记住八字口诀 左右平移：左加右减（只对 ） 上下平移：上加下减（对整体） 2、平移前先化顶点式 无论题目给什么形式，优先化成 ，平移更直观、不易错。 3、抓住 不变原则 平移不改变抛物线形状与开口，只改变顶点 ，开口变了直接判定错误。 4、左右平移必须 “套括号” 向右平移 个单位： 向左平移 个单位： 不能写成 或 。 【知识链接】 1、顶点式：，顶点 ，对称轴 。 2、平移规则： 向左平移 ： 向右平移 ： 向上平移 ： 向下平移 ： 3、一般式转顶点式：配方法或用顶点坐标公式 。 变式迁移 【变式2-1】将抛物线的图象先向上平移4个单位再向右平移3个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为_____________． 【变式2-2】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为________． 【变式2-3】（2026·上海闵行·二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 易错点3 二次函数的图象与系数之间的关系 错因剖析 概念混淆：将系数、、的作用混淆，无法准确对应图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等特征。 认知偏差：对系数之间的关联、特殊点的意义理解不透彻，忽略隐含条件，导致判断失误。对系数之间的相互影响、特殊图象特征对应的系数条件理解片面，缺乏“全面分析、结合公式”的思维习惯，容易陷入单一条件判断的误区。 基础薄弱：对二次函数的核心公式记忆不扎实，缺乏计算熟练度，基础知识点掌握不牢固，无法将公式与图象特征灵活结合应用。 【例3】（2026·上海闵行·一模）已知抛物线（其中是常数，且）的对称轴是直线，且与轴有两个交点，下列结论一定正确的是（） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】全面分析条件，规避认知偏差 判断系数关系时，需结合图象所有特征，兼顾隐含条件，避免单一判断： 1、判断对称轴时，必须同时看和的符号，不能单独由的符号判断； 2、判断开口宽窄时，对比的大小，而非的符号； 3、遇到特殊图象（过原点、顶点在y轴上、与x轴相切等），立即关联对应系数条件（过原点→，顶点在y轴→，与x轴相切→）。 【知识链接】 1、二次函数的三种形式：一般式（）、顶点式（顶点为，对称轴为），可通过顶点式快速验证、的关系（如）；交点式，对称轴为. 2、判别式：不仅决定图象与x轴的交点个数，还能判断二次方程的根的情况，与系数、、直接相关； 3、二次函数的增减性：由开口方向和对称轴共同决定，而开口方向由决定，对称轴由、共同决定，本质是系数对图象特征的综合影响。 4、根据二次函数图象判断、、等代数式的符号（技巧：代入得，代入得，结合对称轴判断的符号）； 变式迁移 【变式3-1】（2026·上海黄浦·一模）如图，抛物线经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·上海崇明·一模）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 易错点4 二次函数与坐标轴交点问题 错因剖析 概念混淆：分不清与 x 轴交点、与 y 轴交点的求值方法，代入 x、y 搞反。 认知偏差：含参数二次函数，只看判别式，忘记二次项系数 。 基础薄弱：解方程、计算坐标出错。 【例4】（2026·上海崇明·二模）将抛物线向上平移4个单位后，所得的新抛物线与轴的交点坐标为_________． 避错秘籍 【防错指南】 1、含参数二次函数与 x 轴有交点：必须同时满足 且 ； 2、两交点之间距离：，一定要加绝对值； 3、求交点最后必须写成坐标形式，不能只写数。 【知识链接】 1、固定求交点步骤 设二次函数 求与 y 轴交点：令 ，得 ，交点： 求与 x 轴交点：令 ，解方程 两根为 ，交点： 2、交点个数与判别式 有两个不同交点： 有唯一一个交点（相切）： 无交点： 题目说有交点：统一用 变式迁移 【变式4-1】（2026·上海黄浦·二模）已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【变式4-2】（2026·上海静安·二模）如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 【变式4-3】31．（2026·上海杨浦·二模）抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 易错点5 缺乏建模能力（构建二次函数解决实际问题） 错因剖析 概念混淆：对二次函数的实际应用场景理解模糊，未掌握“可构建二次函数的实际问题核心特征”，缺乏“实际问题→数量关系→函数模型”的转化意识，将不同函数模型的适用场景混淆。 认知偏差：缺乏“审题→提炼数量关系→设元→列解析式”的规范建模思路，对实际问题中的核心等量关系、隐含条件挖掘不全面，无法将文字描述转化为数学语言，建模逻辑混乱。 基础薄弱：二次函数的配方、顶点公式应用不熟练，计算能力薄弱，同时缺乏“建模→求解→检验”的完整解题意识，忽略建模后的检验环节，导致模型正确但最终答案错误。 【例5】（2026·上海宝山·二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 避错秘籍 【防错指南】牢记“可构建二次函数的实际问题核心特征”，精准区分函数模型，避免混淆： 1、适用二次函数的实际场景：核心是“两个变量之间存在平方关系”，常见场景有：利润最值（单价、销量与总利润的关系）、面积最值（边长与面积的关系）、射程问题（发射角度与射程的关系）、高度问题（时间与高度的关系）等。 2、区分不同函数模型：一次函数适用于“变量间成线性关系”（如路程=速度×时间，无平方项）；反比例函数适用于“变量间成反比例关系”（如路程固定，速度与时间成反比）；二次函数适用于“变量间有平方项，且存在最值”的场景。 3、牢记“建模必看实际意义”：构建函数后，立即确定自变量的取值范围（如边长>0、销量为非负整数、涨价幅度不超过原价等），避免后续求解出现不符合实际的答案。 【知识链接】 1、利润最值问题：给出进价、售价、销量的关系，求最大利润，核心是列出“总利润=（售价-进价）×销量”的二次函数，结合自变量取值范围求最值。 2、面积最值问题：结合几何图形（矩形、三角形、抛物线形），给出周长、边长等条件，求最大面积，核心是用一个变量表示另一个变量，列出面积的二次函数。 3、实际应用综合题：结合行程、高度、造价等场景，构建二次函数模型，同时考查最值求解、方案设计（如“获得不低于某一利润的方案有几种”）。 变式迁移 【变式5-1】（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【变式5-2】（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点． (1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴． (2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果． ①若无人机在原点处，试用表示； ②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式． 【变式5-3】（2025·上海金山·二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     易错点6 二次函数与几何综合考虑不全 错因剖析 概念混淆：对二次函数与几何图形的关联逻辑理解不透彻，混淆“函数图象上的点”与“几何图形顶点”的区别，未明确几何图形的存在条件（如三角形三边关系、圆的半径限制），缺乏“数形结合、双向关联”的思维。 认知偏差：认知片面，缺乏分类讨论的意识和能力，对几何图形的多种位置关系、构成情况考虑不全面，陷入“单一情况”的思维误区，无法全面覆盖所有可能的情形。 基础薄弱：二次函数与几何图形的核心知识掌握不扎实，两者的综合应用能力不足，缺乏“函数坐标→几何性质”“几何条件→函数表达式”的双向转化能力，无法支撑全面的分类讨论和求解。 【例6】（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 避错秘籍 【防错指南】二次函数与几何综合题的核心是“基础过关+综合应用”，需同时夯实两类知识，提升转化能力： 1、强化二次函数基础：熟练掌握解析式转化（一般式→顶点式）、顶点坐标、对称轴、判别式、自变量取值范围等核心知识点，能快速根据解析式判断图象特征； 2、巩固几何核心知识：牢记三角形（直角、等腰、相似）、四边形（平行四边形、矩形、菱形）、圆的判定定理和性质，熟练掌握坐标法求长度、面积、角度的方法； 3、提升转化能力：熟练掌握“坐标→长度”（勾股定理）、“坐标→面积”（割补法、底乘高）、“几何条件→函数表达式”（如由“垂直”得到斜率关系、由“相等”得到等式）的转化方法，打通数形结合的通道。 【知识链接】 二次函数与三角形综合：求抛物线上是否存在点，使构成的三角形为直角三角形、等腰三角形、相似三角形，或求三角形的面积、周长最值； 二次函数与四边形综合：求抛物线上是否存在点，使构成的四边形为平行四边形、矩形、菱形、正方形，或结合四边形的性质求点的坐标、边长； 二次函数与圆综合：求抛物线与圆的交点个数、圆的半径，或结合圆的切线、圆周角性质，求二次函数的系数取值范围； 综合压轴题：二次函数、几何图形与动点问题结合，考查分类讨论、数形结合思维，需全面考虑动点的不同位置，避免漏解。 变式迁移 【变式6-1】（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【变式6-2】（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【变式6-3】（2026·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线上横坐标为2的一点，与对称轴交于点，连接． ①求的值； ②设直线与轴交于点，过点作的平行线，与轴交于点，当四边形是直角梯形时，求的正切值． 易错点7 新定义与二次函数结合理解不到位 错因剖析 概念混淆：对新定义的关键词、核心规则解读不细致，缺乏“拆解新定义”的意识，将新定义简单等同于二次函数的原有概念，无法建立“新定义规则→二次函数性质”的对应关系。 认知偏差：阅读理解能力和知识迁移能力不足，缺乏“文字描述→数学语言→二次函数性质”的转化思维，对新定义的应用场景和迁移方向判断失误，无法将陌生的新定义转化为熟悉的二次函数问题。 基础薄弱：二次函数的核心知识（顶点公式、判别式、开口方向、对称轴）掌握不扎实，计算能力和应用能力不足，无法为新定义的解读和应用提供支撑，导致“能读懂定义，却解不出题目”。 【例7】（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． 避错秘籍 【防错指南】掌握“三步解读法”，精准拆解新定义，明确其核心内涵，避免与二次函数原有概念混淆： 第一步：圈关键词，抓核心（通读新定义，圈出定义中的关键条件、运算规则、特殊要求，明确“新定义描述的是什么、需要满足什么条件、要计算/判断什么”）； 第二步：找关联，辨区别（对比新定义与二次函数的原有概念，明确两者的联系与区别，如“新定义的特征点”是否与顶点、交点重合，避免混淆）； 第三步：举实例，验理解（结合简单的二次函数解析式，代入新定义规则，验证自己的解读是否正确，避免因解读偏差导致解题错误）。 【知识链接】二次函数的解析式与性质：一般式、顶点式的转化，开口方向、对称轴、顶点坐标、判别式的应用，是解读新定义、完成求解的基础； 二次函数与点的坐标：新定义常涉及抛物线的特殊点（如特征点、对称点），需熟练掌握点的坐标与函数值的对应关系，能根据坐标求函数值、根据函数值求坐标； 二次函数的最值与范围：新定义中的“最值”“距离值”等，常需要结合二次函数的最值求解，需熟练掌握限定范围最值的求解方法。 变式迁移 【变式7-1】（2026·上海黄浦·一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是________． 【变式7-2】（2026·上海长宁·一模）若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为___________． 【变式7-3】（2026·上海浦东新·二模）定义：如果一个二次函数的图像与一次函数的图像相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． (1)已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值； (2)已知一次函数（其中为常数，）的图像与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值； (3)一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，）的“贯轴抛物线”，且此二次函数图像与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图像上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围． 1. （2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 2. （2026·上海金山·一模）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 3. （2026·上海松江·一模）已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4. （2026·上海黄浦·一模）已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 5. （2026·上海虹口·一模）已知点、都在二次函数的图像上，那么___________（填“”、“”或“”）． 6. （2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 7. （2026·上海杨浦·二模）若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________． 8. （2026·上海徐汇·一模）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 9. （2026·上海·一模）定义：对于一个开口向下的抛物线，将其图像先关于轴翻折，再将所得图像向上平移2个单位，若平移后的图像与原图像有两个交点，且这两个交点之间的距离为，则称这个抛物线为“哎呦喂函数”．已知某“哎呦喂函数”的解析式为，其中，则__________． 10. （2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 11. （2026·上海闵行·二模）在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且在第四象限，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，连接，作轴，交于点，连接． ①当时，求的值； ②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $