命题大赛 2026年陕西省高考模拟数学试卷

大荔县2026年高考模拟试题命制比赛作品 2026年届陕西省高考模拟数学试题 命题人： 侯宏君 单位：大荔县大荔中学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在相应的位置。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡的对应答题区域内。 4.提示：答题内容写在试卷、草稿纸和答题卡的非作答区域均无效。 5.考试结束后，请将试题卷与答题卡一并上交。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．5 3．设是非零向量，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 6．如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 8．在中，，，则面积的最大值为（   ） A． B．4 C．8 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为30 B．当或时，取得最大值 C．使成立的的最大值为10 D．数列是递减数列 10．如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 11．若，为正实数，且，则下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则_________． 13．已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，是的外心，，则________，的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程和演算过程。 15．（本小题满分13分） 在中，内角所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 16．（本小题满分15分） 已知数列的前项和为，若满足，且与的等差中项是6． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 18．（本小题满分17分） 已知函数. (1)若，求函数的单调区间; (2)设,讨论函数的零点个数. 19．（本小题满分17分） 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大荔县2026年高考模拟试题命制比赛作品 2026年届陕西省高考模拟数学评分标准和参考答案 命题人： 侯宏君 单位：大荔县大荔中学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．C 【详解】因为，， 所以 2．C 【详解】因为， 所以， 所以. 3．A 【分析】通过向量的平方等于向量模长的平方，及数量积的定义求解. 【详解】将平方后，得， 则，，，推出； 若，则或，此时或， 不能推出，故是的充分不必要条件. 4．A 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】角的终边经过点， 点到原点距离， ，， 所以.​ 5．B 【详解】由题意可知， 当 时， 因为在上单调递减，且， 所以的解集为； 当 时， 因为是定义在上的奇函数，所以， 又在上单调递减， 所以的解集为； 所以的解集是，的解集是． 因为不等式等价于不等式组或， 所以不等式的解集是． 6．C 【分析】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、，则花盆有种颜色可选，然后对、是否同色进行分类讨论，确定、、的涂色种数，以及、、同色时的涂法种数，结合分类、分步计数原理以及间接法可得结果. 【详解】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、． 由题可知有种颜色可选， ①当、同色时，有种颜色可选，此时、、各有种颜色可选， 其中、、同色时有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种； ②当、不同色时，有种颜色可选，只有种颜色可选， 则有种颜色可选，只有种颜色可选，有种颜色可选， 其中、、同色时只有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种． 综上，最下层不全为同色时，花盆摆放的不同方式共有种． 7．D 【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】由折痕的性质可得，则直线是线段的垂直平分线，对任意的在上，由， 又因为，所以点到直线的距离为， 所以点到定点的距离等于点到定直线的距离， 由抛物线的定义，可得点的轨迹为抛物线. 8．D 【详解】设，则，由余弦定理得， 可得， 因此三角形面积， 化简可得， 令，代入可得， 设函数，配方可得， 即在时取得最大值， 故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．ABC 【分析】求出的表达式，结合二次函数的知识即可逐项判断． 【详解】对于AB，前项和公式， 令，该二次函数对称轴为， 所以的最大值在和中的最大值取得， 又，， 当或时，取得最大值30，故AB正确； 对于C，，即，得， 又为正整数，故的最大值为10，故C正确； 对于D，结合对称轴，可知，在时单调递增，时单调递减， 因此先增后减，并非递减数列，故D错误． 10．AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间关系的向量求法可得出结论. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体的棱长为2，则， 所以， 设平面的一个法向量为, 所以， 令，则，可得； 对于A，由可得， 因此，又平面，所以平面，所以A正确； 对于B，， 体对角线所在的向量为：， 易知, 因此不存在体对角线与平面平行，即B错误； 对于C，面对角线所在的向量为：， ， 显然以上向量与法向量均不平行， 所以不存在面对角线与平面垂直，即C错误； 对于D，显然，所以平面，即D正确. 11．BD 【分析】根据题意，结合函数的性质，依次分析选项，将选项的不等式构造成函数，求导，判断函数单调性，从而根据函数的单调性进行判断不等式的大小. 【详解】对于选项A，由于， 根据正切函数的性质可得不是单调函数， 因此不一定成立， 如，，满足，但，故A错误； 对于选项B，将不等式变形为，设，则， 当时，因此在上是增函数. 由于，有， 即，从而一定成立，故B正确； 对于选项C，设，则. 当时， ，当时，. 因此，在上是减函数，在上是增函数， 由于，不一定成立， 因为和可能位于的不同的单调区间，故C错误； 对于选项D，设，则. 设，则. 当时，，因此在上是增函数. 由于，所以当时，，即， 因此在上是增函数. 由于，所以当时，， 即一定成立，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 【分析】根据二项展开式的通项公式和组合数的性质可求解. 【详解】因为二项式展开式的通项为且， 且， 则. 13．/ 【详解】设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为即为直角三角形，所以， 又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有， 连接与左焦点，由可得为直角三角形且， 由双曲线定义可知，， 所以双曲线的离心率为. 14． /0.25 【详解】，可得． (为外接圆的半径)， ，，，故． 又，且， ，， ． ，，， （，）． 令，，则，在上单调递增， ∴当时，取得最小值，， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程和演算过程。 15．（本小题满分13分）(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理化简，即可求角大小； （2）利用配方，结合已知条件即可求，从而可求面积大小. 【详解】（1）由余弦定理得：，……………………2分 ，……………………………4分 又由，因为，所以.………………………7分 （2）由，，………………………9分 可得，……………………………10分 所以的面积为.……………………………13分 16．（本小题满分15分）(1)(2) 【详解】（1）由已知可得为等差数列，，……………1分 与的等差中项是6，即，……………………………3分 所以.……………………………6分 （2），……………………………8分 则，…12分 .………………………15分 17．（本小题满分15分）(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得线面平行. 证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不在面内,从而证得线面平行. （2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. 解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. （3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 . 解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果. 【详解】（1）证法一：连接与交于点，再连接， 因为，……………………………1分 所以 因为，所以，……………………………3分 所以，……………………………4分 又因为平面，所以平面……………………………5分 证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则.………………………2分 设是平面的一个法向量，，则，……………………………3分 令，则，平面的一个法向量为.…………………4分 因为，所以，……………………………5分 又因为平面，所以平面……………………………6分 （2）解法一： 设，得，………………………6分 ，………………………7分 设直线与平面所成角为，则 ，……………………………8分 化简得，因为，得，……………………………9分 ，所以线段的值为.……………………………10分 解法二： 设，得，…………………………7分 ，………………………8分 设直线与平面所成角为，则 ，……………………………9分 化简得，因为，得，，所以线段的值为.……………………………10分 （3）解法一： 因为，所以，……………………………12分 ……………………………13分 ……………………………15分 解法二：由（1）所建立的坐标系可得 则……………………………11分 ……12分 故由余弦定理可得 所以，……………………………13分 由（1）得,平面的一个法向量为 点到平面的距离.……………………………14分 ……………………………15分 18．（本小题满分17分）(1)若，单调递增区间，单调递减区间. (2)当或时，有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点. 【分析】（1）先确定函数定义域，再对求导,将代入导函数，通过判断导函数的正负来划分单调区间，再利用导数研究函数单调性即可. （2）将零点个数转化为方程解的个数，可将方程变形为，构造新函数，通过求导研究的单调性，极值与最值，再结合的图像趋势，根据与这些值的关系来判断零点个数. 【详解】（1）当时，，……………………………1分 ，令，解得，……………………………3分 因而函数的单调递增区间是，……………………………4分 令，解得,因而函数的单调递减区间是;…………………5分 （2）令，……………………………6分 分离参数得，设，……………………………7分 ，令，解得，此时单调递增，…………………9分 令，解得，此时单调递减，……………………………10分 的最大值是，又，…………………12分 增长比要慢很多，，……………………………13分 因此当时，直线与无交点，……………………………14分 当或时，直线与有一个交点，……………………………15分 当时，直线与有两个交点.……………………………16分 所以当或时，有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点.……………………………17分 19．（本小题满分17分）(1)(2)（ⅰ），（ⅱ） 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）（i）列举所有的路线，即可求解；（ii）求解对应的概率，即可根据期望公式求解. 【详解】（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正，且每次正方向和负方向修正的概率均为，………………………3分 故6次姿态修正后达到个单位的概率为.…………………………5分 （2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为，…6分 “能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种，……………………………7分 则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择， 故“完成6次修正”总的路线共有种，……………………………9分 “校准到位”的路线有共有4种， 故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为.……………………………11分 （ⅱ）随机变量的取值为2,4,6，……………………………12分 表示两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故,……………………………13分 表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故,……………………………14分 ,……………………………15分 的分布列如下： 2 4 6 故……………………………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $