函数与导数：利用导数研究极值点偏移问题、利用导数研究双变量问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 函数与导数：利用导数研究极值点偏移问题、利用导数研究双变量问题复习讲义 考点目录 利用导数研究极值点偏移问题 利用导数研究双变量问题 知识点解析 考点一 利用导数研究极值点偏移问题 一、核心知识点 1. 极值点偏移定义：函数 极值点为 ，若两根 满足 ，即为左偏或右偏。 1. 常见题型：证明 、、 等不等式。 1. 常用方法：对称构造法、作差换元法、对数均值不等式法。 二、解题原理 极值点左右函数增减速率不对称，导致两根偏离对称中心；利用函数单调性、对称性，构造辅助函数，把双变量大小比较转化为单变量函数单调性判断。 三、解题思路 1. 求导找极值点 ，确定 取值范围； 1. 构造对称辅助函数 ； 1. 求导判断 单调性与正负； 1. 利用 转化不等式； 1. 借助单调性脱去 ，证出 与 的大小关系。 考点二 利用导数研究双变量问题 一、核心知识点 1. 题型包含：双变量不等式、最值、零点关系、任意与存在恒成立问题。 1. 常用技巧：消参法、换元归一法、同构构造法、主元法。 1. 核心思想：把双变量转化为单变量，再用导数研究单调性、最值、值域。 二、解题原理 利用两变量满足的方程（零点、极值、等式关系）消去参数或统一结构；通过换元、同构、定主元，将二元问题降为一元函数，依托导数判断单调性求解。 三、解题思路 1. 观察式子结构，判断用同构、换元、主元、消参哪种方法； 1. 利用零点/极值条件消去参数，或设 、 换元； 1. 构造单变量辅助函数，求导分析单调、极值、最值； 1. 结合定义域与范围，证明不等式或求参数取值范围。 两者关联速记 1. 极值点偏移：是特殊的双变量问题，主打对称构造 + 单调性； 1. 普通双变量：消参、同构、换元、定主元，化二元为一元再求导。 考点一 利用导数研究极值点偏移问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求、； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数存在极值点，且有两个不相等的零点、，证明：． 例2．（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 例3．（25-26高三上·广东深圳·月考）用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. (1)证明：若，则为函数； (2)若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. (3)若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 变式2．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 变式3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，且，证明：． 考点二 利用导数研究双变量问题 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)若存在，使得，求证：. 例2．（2026·湖南·一模）已知函数和的定义域均为，其中. (1)求的极值. (2)若，使得. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 例3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 【变式训练】 变式1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 变式2．（24-25高三上·天津南开·期末）已知函数. (1)求曲线在其零点处的切线方程； (2)若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 变式3．（24-25高三上·四川德阳·阶段检测）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个不同的零点，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 函数与导数：利用导数研究极值点偏移问题、利用导数研究双变量问题复习讲义 考点目录 利用导数研究极值点偏移问题 利用导数研究双变量问题 知识点解析 考点一 利用导数研究极值点偏移问题 一、核心知识点 1. 极值点偏移定义：函数 极值点为 ，若两根 满足 ，即为左偏或右偏。 1. 常见题型：证明 、、 等不等式。 1. 常用方法：对称构造法、作差换元法、对数均值不等式法。 二、解题原理 极值点左右函数增减速率不对称，导致两根偏离对称中心；利用函数单调性、对称性，构造辅助函数，把双变量大小比较转化为单变量函数单调性判断。 三、解题思路 1. 求导找极值点 ，确定 取值范围； 1. 构造对称辅助函数 ； 1. 求导判断 单调性与正负； 1. 利用 转化不等式； 1. 借助单调性脱去 ，证出 与 的大小关系。 考点二 利用导数研究双变量问题 一、核心知识点 1. 题型包含：双变量不等式、最值、零点关系、任意与存在恒成立问题。 1. 常用技巧：消参法、换元归一法、同构构造法、主元法。 1. 核心思想：把双变量转化为单变量，再用导数研究单调性、最值、值域。 二、解题原理 利用两变量满足的方程（零点、极值、等式关系）消去参数或统一结构；通过换元、同构、定主元，将二元问题降为一元函数，依托导数判断单调性求解。 三、解题思路 1. 观察式子结构，判断用同构、换元、主元、消参哪种方法； 1. 利用零点/极值条件消去参数，或设 、 换元； 1. 构造单变量辅助函数，求导分析单调、极值、最值； 1. 结合定义域与范围，证明不等式或求参数取值范围。 两者关联速记 1. 极值点偏移：是特殊的双变量问题，主打对称构造 + 单调性； 1. 普通双变量：消参、同构、换元、定主元，化二元为一元再求导。 考点一 利用导数研究极值点偏移问题 【例题分析】 例1．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求、； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数存在极值点，且有两个不相等的零点、，证明：． 【答案】(1)， (2)当时，的减区间为；当时，的增区间为，减区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，解之即可； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）利用分析法可知，要证，即证，即证，分析函数的单调性，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合可证得结论成立. 【详解】（1）由题意， 由曲线在点处的切线为， 可知，解得. （2）易知的定义域为， 当时，，所以的减区间为，无增区间； 当时，令，得， 由可得，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为. 综上：当时，的减区间为； 当时，的增区间为，减区间为. （3）由（2）知，且需满足，， 要证，即证，即证， 因为，所以， 由在上为减函数，只需证， 由，即证， 令， 则 ， 由，得，，所以， 所以在上为增函数，所以， 所以，所以. 例2．（2026·北京昌平·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再结合直线的垂直关系求解即可； （2）根据题意，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，研究函数最小值即可求得答案； （3）设，结合题意得，即可将问题转化为证明：对任意，，再构造函数证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以. 所以.   因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 所以. （2）解：. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 设，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又.                                  所以的最小值为， 所以的取值范围为. （3）证明：由（2）可知当时，函数有两个不同的极值点， 不妨设.      所以是方程的两个解. 即，. 所以. 设，则. 所以，即，所以.   所以. 所以. 所以要证，只需证：对任意，， 设，则， 令，则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 所以在上单调递增.   所以. 所以，即成立. 所以. 例3．（25-26高三上·广东深圳·月考）用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. (1)证明：若，则为函数； (2)若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. (3)若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)是函数，证明见解析 (3)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）求出、根据函数定义可得答案； （2）根据可证明是函数； （3）法1，（i）转化为有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点，利用导数判断出的单调性结合图象可得答案；（ii）由题意，由（2）知，得且两式相乘得证.法2（i）利用导数判断出的单调性求出最小值可得答案；（ii）不妨设，即证，根据在上单调递减只需证，构造，再利用导数判断出的单调性求出最值可得答案. 【详解】（1）由可得， 因，而， 即成立， 故为函数； （2）是函数.证明如下： 因.要证明，即证. 不妨设，只需证， 令，则需证. 考虑函数， ， 则函数为上的增函数， 当时，，即 ∴函数是函数； （3）法1， （i）有两个不同的零点等价于 方程有两个不同的解. 又.令，则. 因为函数是上的增函数， 所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点. ，当时，；当时，. 则在上单调递减，在上单调递增.故. 当时，时，. 故若直线与函数的图象有两个不同交点， 则. 又因为，是上的增函数， 故得，故实数的取值范围为. （ii）由题意，则. 由（2）知， 故且两式相乘得： ，故得证. 法2 （i）函数的定义域为. 对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为. 当时，，当时，. 因为函数有两个零点，故只需，解得. 故的取值范围是. （ii）不妨设，要证，即证. 因为在上单调递减，所以只需证. 又因为，所以只需证， 即证，令， 对求导，得 令，， 对求导得， 所以在上单调递增. ，故. 故在上单调递增，. 即，所以，所以， 即. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) . (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题； （ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【详解】（1）当时，，则 ， ，切线方程为 ，即. （2）（ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 变式2．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【答案】(1)无最大值，最小值为； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数知识可得函数的最值； （2）由题可得，要证，即证，然后通过研究：单调性可完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为． 令，解得；令，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以无最大值，最小值为； （2），． 因为有两个不同的极值点，所以，． 欲证，即证，又， 所以原式等价于①. 由，, 得②. 由①②知原问题等价于求证， 即证． 令，则，上式等价于求证． 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即． 变式3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，且，证明：． 【答案】(1)的增区间是，减区间是. (2)证明见解析 【分析】（1）直接求导，求得导函数的零点，即可讨论出的单调性； （2）先把等式变形为题干函数的形态得，再分别证明左右两个不等式，注意构造函数的技巧以及多次求导. 【详解】（1）由题可知，而在上是减函数，是增函数， 在上单调递减，又， 时，单调递增；时，单调递减． 所以的增区间是，减区间是. （2）由题意得， 即，亦即． 设，则由，得，且． 不妨设，则即证， 先证：. 由及的单调性知，． 令， 则． ， ，即在上单调递增，故， ，取，则． 又，则． 又，且在上单调递减， ，即． 下证：． （ⅰ）当时，由，得； （ⅱ）当时，令， 则 ． 记，则． 又在上为减函数， 在上单调递减，在上单调递增， 单调递减，从而，在单调递增． 又， 对于，则， 所以时，，故在上单调递增，， 故时，，． 又， 从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以． 又， 对函数，， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 由，所以． 显然， 所以，即． 取，则． 又，则． 结合，以及在上单调递增， 得到，从而． 综上所述，. 考点二 利用导数研究双变量问题 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)若存在，使得，求证：. 【答案】(1)； (2)单调递减区间为，单调递增区间为； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数，利用导数求出单调区间. （3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）依题意，的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）函数，求导得， 则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，， 由，得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且，则， 若存在，使得，则， 当时，，满足； 当时，，此时或， 当时，，不等式显然成立； 当时，要证，即证明，而，在上单调递增， 因此要证明，即证明，又，即证明. 令函数， 求导得，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即，函数在上单调递增， 因此，即在区间上恒成立，则， 由，得， 由函数在上单调递增，得，即， 所以. 例2．（2026·湖南·一模）已知函数和的定义域均为，其中. (1)求的极值. (2)若，使得. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1)当时，函数无极值；当时，函数的极小值是，无极大值. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数，分和两种情况讨论的单调性，从而得到其极值； （2）（i）当时，由得，构造函数，利用导数分析其单调性，可得的取值范围，从而得到的取值范围；（ii）利用的几何意义，得，对不等式进行放缩，并构造函数，，利用导数分析其单调性，并得到其最小值，从而证得. 【详解】（1），. 当时，，函数在上单调递增，既无极大值也无极小值； 当时，令，得. 若，，函数单调递减；若，，函数单调递增. 所以函数在处取得极小值，极小值是，无极大值. 综上所述，当时，函数无极值； 当时，函数的极小值是，无极大值. （2）（i）当时，由得，即， 令，则. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 因时，， 所以且，即或， 所以的取值范围是. （ii）设方程的正实数根为，则， 即点为直线上一点，表示点到原点的距离， 显然，该距离不小于原点到直线的距离， 即，即， 不妨设，，则， 所以函数在上单调递减，则，即. 又，则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 例3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调性； （2）首先根据函数解析式的形式，将条件变形，将问题转化为证明，其中，根据所设函数，，证明，再结合函数的单调性，即可证明左边，再将右边转化为证明. 【详解】（1）因为，在定义域内单调递增，，得， 且时，当时， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）. 令，，设，则. 故问题等价于证明：. 不妨设，则. 先证明左边：. 证明：设，. 则， 因为，设 于是. 所以在上单调递增，故，从而在上单调递减，所以，即. 又，且，所以. 又因为，，且在上单调递增， 所以，故. 再证明右边不等式：. 证明：有，可得，，所以. 令，，，其中，. 当时，显然有. 下面讨论的情形. 因为，易知当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 记，，则. 记，则 . 记，则 ， 所以在上单调递增，得，所以，故在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，故，得证. 【变式训练】 变式1．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导后参变分离，将问题转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的图象与性质求解； （2）要证，转化要证，即证.再构造函数，证明，令，运用导数研究单调性，进而得到最值.再构造函数，同理得到最值，进而得到即可； （3）先借助导数，运用方程实数根个数，求出的大致范围，化简，进而将要证的不等式进行转化， 即证，再转化为证明，最后换元，令，即证.构造函数，借助导数进行证明即可. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 在上恒成立，即在上恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）当时，，， 所以要证，即证，即证. 构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立. 再构造函数，证明， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上所得，所以， 又等号不同时成立，（取等号的条件是，取等号的条件是） 所以，即. （3）先求出的大致范围，. 由题意知是方程的两个不同的根. 设，则方程有两个不同的正实数根， 所以，解得. 再化简， ，则， 所以. 由，得， 所以要证，即证，即证，即证， 即证，即证. 令，即证. 令， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以不等式成立. 变式2．（24-25高三上·天津南开·期末）已知函数. (1)求曲线在其零点处的切线方程； (2)若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）， （ii） 【分析】（1）先求出函数零点，利用导数的的几何意义求出零点处的切线方程； （2）（i）利用导数判断函数单调性，对分类讨论求解；（ii）利用比值换元法求解. 【详解】（1）令得，且， 零点处切线的斜率为，切点的坐标为， 故零点处的切线方程为； （2）（i）由得， 设，则， ①    当时，，单调递减，则方程至多有一个解； ②    当时，当时，，单调递增；    当时，，单调递减； 若方程有两个解，则，解得， 设，则， 所以在单调递减，从而，即. 所以，又， 所以时，方程有两个解. （ii）由得,所以，， 设，则有，即，， 由得，即， 设，则， 设，则， 设，则， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以存在唯一的，使得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 变式3．（24-25高三上·四川德阳·阶段检测）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个不同的零点，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性进而确定极值； （2）（i）求导，根据导数判断函数单调性与极值情况，结合零点存在定理可得参数范围；（ii）设，根据，，可得，即可将不等式转化为，设，即，则需证，构造函数，，求导可得函数的单调性与最值，即可得证. 【详解】（1）由已知，则，， ，， 令，即， 令，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值为，无极小值； （2）（i）由，， 则，， 当时，恒成立，即函数在上单调递减，与有两个零点矛盾，不成立； 当时，令，则，令，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 若函数有两个不同的零点，， 则， 设，， 则， 即在上单调递减，且， 则当时，， 又，， 当时，， 由零点存在性定理可知，此时函数有两个不同的零点. 综上所述，若函数有两个不同的零点，，则； （ii）设，则， 又，， 两式做差可得， 即，则，所以若证， 即证，即证， 设，即，则只需证， 设，， 则， 所以在上单调递增， 则，即， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $