专题06 因数与倍数（知识梳理+高频易错题）（讲义）-2025-2026学年小升初数学总复习·核心考点·经典题型冲刺特训（通用版）

2026年小升初数学总复习·核心考点·经典题型冲刺特训（通用版） 专题06 因数与倍数（知识梳理+高频易错题） 一、因数与倍数的意义。 1、在整数除法中，如果商是整數而没有余数,我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 二、2,3，5的倍数的特征。 1、2的倍数的特征:个位上是0、2、4、6、8。 2、3的倍数的特征:各个数位上数字的和是3的倍数。 3、5的倍数的特征：个位上是0或5。 三、奇数和偶数。 1、在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数,不是2的倍数的数叫做奇数。 2、最小的奇数是1，最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。 四、质数、合数与分解质因数。 1、质数:一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(素数)。 2、合数:一个数，如果除了1和它本身外还有其他的因数,这样的数叫做合数。 3、质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数都叫做这个合数的质因数。 4、分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 5、互质数:只有公因数1的两个数叫做互质数。 五、公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数。 1、公因数和最大公因数:几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。 2、公倍数和最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。 一、选择题 1．三个质数的倒数和为，那么这三个质数的和为（    ）。 A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】解答这道题需明确：只有1和它本身两个因数的自然数，且质数的倒数是分子为1的分数。三个质数的倒数相加，通分后的分母是这三个质数的乘积。将分母1001分解为三个质数的乘积，是解题的关键。对分母1001分解质因数，得到三个质数；再验证这三个质数的倒数和是否等于；最后计算这三个质数的和。 【解答】将1001分解质因数： 所以。 验证：写出7、11、13三个质数的倒数，并求和。 与题目中的倒数和一致，所以三个质数为7、11、13。 所以这三个质数的和为31。 故答案为：B 【点睛】已知三个质数的倒数和，分母即为三个质数的乘积，优先对分母分解质因数可快速确定质数。 2．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 【答案】D 【分析】连续偶数之间的差值为2，已知三个连续偶数中最大的是A，那么中间的偶数是（A－2），最小的偶数是A－2－2＝A－4。 【解答】A－2－2＝A－4 因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（A－4）。 故答案为：D 3．1949×1950×1951×…×2013的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有（    ）个连续的零。 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】一个就有一个零，的个数决定算式结果零的个数。而算式中2的个数多于5的个数，因此末尾零的个数由5的个数决定。需要计算从1949到2013的所有整数中因数5的总个数，通过找出5的倍数、25的倍数、125的倍数等，并分层计算它们的数量。 【解答】乘积末尾连续零的个数等于因数2和因数5配对个数的最小值。计算因数5的总个数： 5的倍数：最小为1950，最大为2010，共13个（1950、1955、1960、1965、1970、1975、1980、1985、1990、1995、2000、2005、2010），每个至少有1个因数5。 25的倍数：最小为1950，最大为2000，共3个（1950、1975、2000），每个是25的倍数，额外多1个因数5（因为25＝5×5，作为5的倍数时已计入1个）。 125的倍数：2000是125的倍数（125×16＝2000），额外多1个因数5（因为125＝5×5×5，作为5和25的倍数时已计入2个）。 因数5总个数＝13＋3＋1＝17。 2的倍数（含至少1个2）： （个） 2的倍数已经远大于17（4、8、16、32的倍数不需要再进行统计），所以末尾连续零的个数为17个。 故答案为：C 【点睛】计算乘积末尾0的个数，核心逻辑是“抓少的因数”：因为每1个0对应1对“2×5”，而连续整数中因数2的数量通常远多于因数5，因此只需统计质因数5的总个数（分层统计5、25、125等倍数的数量），即可直接得到末尾0的个数。 4．105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等，则总人数一定能被每排的人数整除，即每排的人数是105的因数，再根据“不能少于10人，也不能多于30人”，选择合适的情况即可。 【解答】105的因数有：1、3、5、7、15、21、35、105；符合题意的有：15人、21人。 所以105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有2种。 故答案为：B 5．如果a是一个不为0的自然数，那么a和的最小公倍数是它们最大公因数的（    ）倍。 A．a B． C． D．1 【答案】C 【分析】相邻的两个自然数互质，互质的两个数最小公倍数是它们的乘积，最大公因数是1，据此分析即可。 【解答】a和的最小公倍数是； a和的最大公因数是1； ÷1＝ 故答案为：C 6．以下说法中，正确的是（    ）。 A．增长率可以超过100%。 B．圆柱的体积是圆锥的3倍。 C．质数都是奇数，合数都是偶数。 D．小亮所在班级的平均身高是152cm，小亮的身高不可能低于152cm。 【答案】A 【分析】A．一般来讲，出勤率、成活率、发芽率、及格率、合格率、正确率、达标率能达到100%，增长率能超过100%；出米率、出粉率、出油率达不到100%。据此分析解答。 B．等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，据此分析解答。 C．一个非0数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数，据此分析解答。 D．平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数；平均数比这组数中最小的要大，比最大的要小，据此分析解答。 【解答】A．比如某商品原价100元，现价300元； 增长率为： （300−100）÷100×100% ＝200÷100×100% ＝2×100% ＝200% 增长率可以超过100%，原题干说法正确。 B．圆柱体积是与它等底等高圆锥体积的3倍，原题干说法错误。 C．2是质数，2是偶数；9是合数，9是奇数；质数不一定都是奇数，合数不一定都是偶数，原题干说法错误。 D．小亮所在班级的平均身高是152cm，小亮的身高可能低于152cm，也可能高于152cm，原题干说法错误。 正确的是增长率可以超过100%。 故答案为：A 【点评】本题考查增长率、圆柱与圆锥体积关系、质数合数奇偶性、平均数的概念，需要准确理解这些数学知识的内涵和条件限制。 7．一个正方体六个面上分别标有数字“1～6”，抛起这个正方体落下后，（    ）朝上的可能性最小。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】D 【分析】数量越多出现的可能性就越大，数量越少出现的可能性就越小，数量相等出现的可能性相同。 奇数：个位上是1、3、5、7、9的数；偶数：个位上是0、2、4、6、8的数； 质数：只有1和它本身两个因数的数；合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数； 据此先判断1～6中奇数、偶数、质数、合数的个数，再比较数量的多少即可判断可能性大小。 【解答】A．1～6中，奇数有1、3、5共3个； B．1～6中，偶数有2、4、6共3个； C．1～6中，质数有2、3、5共3个； D．1～6中，合数有4和6共2个； 因为3＞2，所以合数的数量最少。 所以合数朝上的可能性最小。 故答案为：D 8．两个班学生参加劳动，分别按4人、6人、7人分组，结果都留1人，这两个班的学生至少有（    ）人。 A．43 B．29 C．85 【答案】C 【分析】根据题意，两个班的总人数分别按4人、6人、7人分组，结果都留1人，说明总人数减去1后是4、6、7的公倍数，因此先求4、6、7的最小公倍数，再加1，即是这两个班的学生最少人数。 【解答】 4、6、7的最小公倍数是：2×2×3×7＝84 84＋1＝85（人） 这两个班的学生至少有85人。 故答案为：C 9．古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（    ）。 A．16 B．20 C．28 D．36 【答案】C 【分析】根据“完全数”的概念，先找出选项中数的所有因数，再将除了本身之外的因数相加，和本身比较即可。 【解答】A．16所有的因数为1、2、4、8、16，除本身16以外，还有1、2、4、8四个因数，1＋2＋4＋8＝15，所以16不是完全数。 B．20所有的因数为1、2、4、5、10、20，除本身20以外，还有1、2、4、5、10五个因数，1＋2＋4＋5＋10＝22，所以20不是完全数。 C．28所有的因数为1、2、4、7、14、28，除本身28以外，还有1、2、4、7、14五个因数，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 D．36所有的因数为1、2、3、4、6、9、12、18、36，除本身36以外，还有1、2、3、4、6、9、12、18八个因数，1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，所以36不是完全数。 故答案为：C 10．如果正方形的边长是质数，那么正方形的面积一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．合数 【答案】C 【分析】质数是一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。合数是一个大于1的自然数，除了能被1和它本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。正方形面积＝边长×边长。已知正方形边长是质数，设边长为a（a为质数），则正方形面积为a×a＝a2。因为a是质数且a＞1，所以a2的因数有1、a、a2，除了1和它本身a2外，还有因数a。 【解答】设边长为a（a为质数）。 正方形面积：a×a＝a2 a是质数且a＞1，a2的因数有1、a、a2，除了1和它本身a2外，还有因数a。 所以a2是合数，即正方形的面积一定是合数。 故答案为：C 11．如果A×16＝B（A、B都是不为0的自然数），那么A和B的最大公因数是______，最小公倍数是______。（    ） A．A，B B．B，A C．16，A D．16，B 【答案】A 【分析】已知A×16＝B，所以A和B存在倍数关系。存在倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。据此解答。 【解答】由A×16＝B得B÷A＝16，即A和B存在倍数关系，且B＞A，所以A和B的最大公因数是A，最小公倍数是B。 故答案为：A 12．a和b是两个大于0的整数，a是b的4倍，a和b的最小公倍数是（    ）。 A．2 B．b C．4 D．a 【答案】D 【分析】求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题。 【解答】由a是b的4倍可知，a与b为倍数关系且a＞b，所以a和b最小公倍数是a。 故答案为：D 13．625□是一个四位数，在□里填上一个数字，使这个四位数同时是2、3的倍数。方框里应填（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】A．如果□里填1，即这个四位数是6251，个位上是1，不是2的倍数，不符合题意； B．如果□里填2，即这个四位数是6252，个位上是2，是2的倍数；6＋2＋5＋2＝15，同时是3的倍数，符合题意； C．如果□里填3，即这个四位数是6253，个位上是3，不是2的倍数，不符合题意； D．如果□里填4，即这个四位数是6254，个位上是4，是2的倍数；6＋2＋5＋4＝17，不是3的倍数，不符合题意。 故答案为：B 14．下列各组数中，每个数既是奇数又是合数的一组是（    ）。 A．4，6，81 B．9，27，19 C．9，15，27 D．5，7，10 【答案】C 【分析】自然数中，是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫奇数，由此可判断一个数是奇数还是偶数； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数；一个数如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫合数；据此可判断一个数是质数还是合数。 【解答】A．4，6，81中，4和6是偶数，不符合条件； B．9，27，19中，19是质数不是合数，不符合要求； C．9，15，27既是奇数又是合数，符合要求； D．5，7，10中，10是偶数，不符合要求。 故答案为：C 15．下面四个盒子里各有六张数字卡片，分别从这些盒子中任意摸出一张，摸到最小质数可能性最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。最小的质数是2。 每个盒子里各有六张数字卡片。可能性大小的判断，从2的数量上分析。2的数量最多的，摸到的可能性最大，2 的数量最少的，摸到的可能性最小，2的数量相等的，摸到的可能性一样。找出各个选项中卡片上是2的张数较多的，即可解答。 【解答】A、2张2。 B、4张2。 C、3张2。 D、1张2。 4＞3＞2＞1，每个盒子里各有六张数字卡片，B选项中2的张数最多，摸到最小质数可能性最大。 故答案为：B 16．有一条绳子，长是4分米和6分米的最小公倍数，平均截成11段，每段长（    ）分米。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出4和6的最小公倍数，每段绳子的长度＝绳子的总长度÷平均截成的段数，据此解答。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数：2×2×3＝12 12÷11＝（分米） 所以，每段长分米。 故答案为：A 17．当x是（    ）时，3x＋5的结果一定是奇数。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】D 【分析】奇数和偶数的运算性质：奇数×偶数＝偶数；偶数＋奇数＝奇数，据此解答。 【解答】3x＋5的结果一定是奇数，5是奇数，则3x一定是偶数； 3是奇数，3x是偶数，则x一定是偶数。 当x是偶数时，3x＋5的结果一定是奇数。 故答案为：D 18．要使四位数23□5能被3整除，方框里最大是（    ）。 A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；据此解答。 【解答】如果□内最大填9：2＋3＋9＋5＝19；19不能被3整除，□内最大不能填9。 如果□内最大填8：2＋3＋8＋5＝18；18能被3整除，□内最大填8。 要使四位数23□5能被3整除，方框里最大是8。 故答案为：C 二、填空题 19．对于一个自然数，用与这个数互质且大于2的最小自然数替换这个数，称为一次“互质替换”，在黑板上任意写出一个大于2025的自然数，反复进行“互质替换”，最多经过______次“互质替换”首次出现3。 【答案】2 【分析】明确“互质替换”的含义。根据不同类型自然数判断“互质替换”的情况，确定最多经过的“互质替换”次数 【解答】根据“互质替换”的定义，每次替换得到的数是与原数互质且大于 2 的最小自然数。我们要找大于2的自然数，首先考虑3。 第一步：判断何时替换结果为3。如果当前的数不是3的倍数，那么它与3的公因数只有 1，即它们互质。因为3是大于2的最小自然数，所以替换后的结果就是3。如果当前的数是3的倍数，那么它与3的公因数至少有3，即它们不互质。所以替换后的结果一定不是 3。 第二步：分析替换过程。 情况一：如果在黑板上写出的数不是3的倍数。根据第一步的分析，经过1次“互质替换”，得到的数就是3。 情况二：如果在黑板上写出的数是3的倍数。第一次替换：因为原数是3的倍数，所以替换后的数与原数互质，那么这个替换后的数一定不是3的倍数（否则它们就有公因数3）；第二次替换：因为第一次替换后的数不是3的倍数，根据第一步的分析，它与3互质，所以第二次替换得到的数就是3。 第三步：得出结论，无论起始数是多少，只要它是3的倍数，最多经过2次替换就能得到 3；如果它不是3的倍数，经过1次替换就能得到3。 题目要求“最多”经过多少次，且起始数大于2025，找到大于 2025 且是 3 的倍数的数，例如 2028，所以最多经过2次。 20．我们约定，自然数中能被3整除的数称为“三合数”，不能被3整除的数称为“三素数”，从1到20的自然数中任取一个“三合数”与一个“三素数”相乘得到84个乘积，则这84个乘积的和为______。 【答案】9261 【分析】先找出1到20的自然数里所有的“三合数”和“三素数”。三合数有：3、6、9、12、15、18；三素数有：1、2、4、5、7、8、10、11、13、14、16、17、19、20。所有乘积的和＝3×1＋3×2＋…＋3×20＋…＋18×19＋18×20，根据乘法分配律的逆运算，分别求出所有“三合数”与“三素数”的和，再相乘。 【解答】由分析可知，这84个乘积的和列式为： 3×1＋3×2＋…＋3×20＋…＋18×19＋18×20 ＝3×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20）＋…＋18×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20） ＝（3＋6＋9＋12＋15＋18）×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20） ＝63×147 ＝9261 这84个乘积的和为9261。 21．用0、1、2、3、4、5这6个数中选择4个组成没有重复数字的四位偶数，将这些偶数从小到大排列起来，第66个是______。 【答案】3054 【分析】组成的数是四位偶数，且数字不重复。偶数的个位必须是0、2或4；四位数的千位不能是0。按照从小到大的顺序，先确定千位数字。依次计算千位是1、千位是2的符合条件的数各有多少个，通过累加个数，判断第66个数的千位数字是多少。在确定千位数字后，再判断百位数字从小到大的顺序组成的四位偶数个数，确定第66个数字的百位数是多少，具体推断解答。 【解答】千位为1时，个位上有0，2，4三种选择，百位上有4种选择，十位上有3种选择，组成的四位偶数有： 4×3×3＝36（个），36＜66； 千位上为2时，个位上有0，4两种选择，百位上有4种选择，十位上有3种选择，组成的四位偶数有： 4×3×2＝24（个） 36＋24＝60（个） 60＜66 千位上是3时，个位上有0，2，4三种选择，百位上有4种选择，十位上有3种选择，组成的四位偶数有： 4×3×3＝36（个） 36＋60＝96（个） 60＜66＜96，第66个数字的千位上是3，并且是千位上是3的第6个偶数，百位是0时，个位有2，4两种选择，十位有3种选择，所以偶数个数有3×2＝6（个），所以是百位上是0的最大偶数，即3054，即第66个是3054。 22．小明在期中考试时，语文得79分，常识得90分，数学考得最好。已知小明的三科平均分是个偶数，那么小明数学得______分。 【答案】95 【分析】总数＝平均数×份数；奇数×偶数＝偶数，则总分是偶数；奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数等一偶数。所以数学分数一定是奇数，数学考得最好，则数学分数大于90分；并且总分数是3的倍数，3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此即可求解。 【解答】三科平均分是个偶数，语文得79分，是奇数，常识得90分，是偶数，则数学成绩是奇数，且大于90分。 大于90的奇数有：91，93，95、97、99。 如果数学成绩得91分：79＋90＋91＝260；2＋6＋0＝8，8不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不是91分。 如果数学成绩得93分：79＋90＋93＝262；2＋6＋2＝10，10不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不是93分。 如果数学成绩得95分：79＋90＋95＝264；2＋6＋4＝12，12能被3整除，符合题意，所以数学成绩可能是95分。 如果数学成绩得97分：79＋90＋97＝266；2＋6＋6＝14，14不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不可能是97分。 如果数学成绩得99分：79＋90＋99＝268；2＋6＋8＝16，16不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不可能是99分。 小明数学得95分。 23．一个分母是最小质数的真分数，分子增加4倍得到一个分数，分母加上8得到另一个分数，那么这两个分数的和是______。 【答案】//2.6 【分析】分数的分母是最小质数的真分数，即分母是2，再根据真分数的意义“分子小于分母”可知原分数是； 原分数的分子增加4倍，则新分子是4＋1＝5，分母不变，可得出第一个新分数是； 原分数的分母加上8，则分母变成2＋8＝10，分子不变，即第二个新分数是； 把两个新分数相加，求出和即可。 【解答】＋ ＝＋ ＝ 24．在1~20各数中，既是奇数，又是合数的数是（ ）和（ ）。 【答案】9 15 【分析】奇数：末尾是1、3、5、7、9的数是奇数；合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数。 【解答】1~20中，奇数有1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。 合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20。 在1~20个数中，既是奇数，又是合数的数是9和15。 25．在中，（ ）和（ ）是（ ）的因数。在中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 【答案】3 6 18 27 3 9 【分析】在除法中，被除数是倍数，除数与商是被除数的因数，在乘法中，两个乘数是积的因数，积是两个乘数的倍数。 【解答】在中，6和3是18的因数。在中，27是3和9的倍数。 【点睛】 26．10以内所有质数的积，减去既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数，差是（ ）。 【答案】90 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数； 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解答】10以内所有质数为：2、3、5、7， 10以内所有质数的积为2×3×5×7＝210 既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数的个位为0，1＋2＝3，则这个最小三位数为120； 210－120＝90 则10以内所有质数的积，减去既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数，差是90。 27．甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是（ ）月（ ）日。 【答案】3 18 【分析】根据题意可知，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。他们于2019年1月5日这一天在图书馆相遇，那么距离下一次他们一起到图书馆相遇的天数应该是6、8、9的最小公倍数。即找到6天，8天，9天的最小公倍数，即可知道他们一起到图书馆是几天之后，用1月5日加上这个天数即可求得下一次他们一起到图书馆相遇的时间。 【解答】6＝2×3； 8＝2×2×2； 9＝3×3； 2×2×2×3×3＝72（天） 31－5＝26（天） 2019÷4＝504……3，则2019年是平年，2月有28天。 26＋28＝54（天） 72－54＝18（天） 即下一次他们一起到图书馆相遇是3月18日。 28．用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米，要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸（ ）张。 【答案】6 【分析】用每张长12厘米，宽8厘米，要把它们拼成一个正方形，正方形的边长既是12的倍数也是8的倍数，要拼成最小的正方形，就是边长是12和8的最小公倍数，求出边长看每边有几个长，几个宽，就得出一共几张这样的长方形纸。 【解答】12的倍数有：12，24，36，48，60…，8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56…，12和8的最小公倍数是24，即拼成的最小的正方形的边长是24厘米， 24÷12＝2（张） 24÷8＝3（张） 需要张数：2×3＝6（张） 至少需6张这样的长方形纸。 29．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有______种。 【答案】960 【分析】（1）确定（a＋b）和（c＋d）为奇数的条件：根据奇数和偶数的运算性质：奇数×奇数＝奇数，偶数×任何数＝偶数，奇数×偶数＝偶数。因此（a＋b）×（c＋d）为奇数，需（a＋b）和（c＋d）均为奇数。又因为奇数＋偶数＝奇数，所以a、b中一个为奇数一个为偶数，c、d中一个为奇数一个为偶数。 （2）计算选2个奇数和2个偶数的组合数：1~9中奇数有5个（1、3、5、7、9），偶数有4个（2、4、6、8）。从5个奇数中选2个的组合数为种，从4个偶数中选2个的组合数为种。 （3）计算选出的4个数的排列方式：对于每组这样的4个数，分配它们到a、b、c、d使得a和b一奇一偶、c和d一奇一偶。 总分配方式为4！＝4×3×2×1＝24种。 其中，a和b同为奇数或同为偶数的分配方式：若a和b同为奇数，则从2个奇数中分配a和b有2！＝2×1＝2种方式；从2个偶数中分配c和d有2！＝ 2×1＝2种方式，共2！×2！＝2×2＝4种；同理a和b同为偶数也有4种，共8种。 因此，a和b一奇一偶的分配方式有24−8＝16种。 （4）计算总取法数：10×6×16＝960种。 【解答】根据分析可知：a、b中一个为奇数一个为偶数，c、d中一个为奇数一个为偶数。 从5个奇数中选2个的组合数为（种）， 从4个偶数中选2个的组合数为（种）， 选出的4个数的排列方式：用使得a和b一奇一偶、c和d一奇一偶总分配方式，减去a和b同为奇数或同为偶数的分配方式，即24−8＝16（种） 总取法数：10×6×16＝960（种） 因此，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有960种。 【点睛】本题核心是利用“奇数×奇数＝奇数”的性质，将问题转化为“选取2奇2偶并分配到两组‘一奇一偶’的和中”，需结合组合数（选数）、分配方式（分组）和排列数（组内顺序）综合计算。 30．在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是__________。 【答案】258，259，260 【分析】分别能被3和7整除的最小两个连续自然数是6和7，下一个连续自然数是8。3和7的最小公倍数是21，所以考虑8加上21的整数倍所得的数能被13整除。因为要求的三个连续自然数在200至300之间，所以只有21×12＋8＝260能被13整除，那么258、259、260这三个连续自然数依次分别能被3、7、13整除。 【解答】根据分析： 21×12＋8 ＝252＋8 ＝260 260÷13＝20，能被13整除，符合题意； （260－1）÷7 ＝259÷7 ＝37，能被7整除，符合题意； （259－1）÷3 ＝258÷3 ＝86，能被3整除，符合题意。 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是258，259，260。 31．在0，1，2，4，7这五个数字中，选出三个组成同时是2，3的倍数的三位数中最小的数是______。 【答案】102 【分析】要组成同时是2和3的倍数的三位数，且最小。2的倍数要求个位数字是偶数（0、2、4），3的倍数要求各位数字之和是3的倍数。从数字0、1、2、4、7中选出三个不同的数字，满足数字和是3的倍数，且个位为偶数，然后组成三位数，比较大小找出最小值。 【解答】首先，找出所有可能的三个数字组合，其数字和是3的倍数： （0，1，2）：和＝3 （0，2，4）：和＝6 （0，2，7）：和＝9 （1，4，7）：和＝12 对于每个组合，组成个位是偶数的三位数（百位不能为0）： 组合（0，1，2）：可能数有102，120，210，其中最小为102 组合（0，2，4）：可能数有204，240，402，420，其中最小为204 组合（0，2，7）：可能数有270，702，720，其中最小为270 组合（1，4，7）：可能数有174，714，其中最小为174 所有可能数排序：102，120，174，204，210，240，270，402，420，702，714，720。最小值为102。 验证102：个位2是偶数，是2的倍数；数字和1＋0＋2＝3，是3的倍数，满足条件。 在0，1，2，4，7这五个数字中，选出三个组成同时是2，3的倍数的三位数中最小的数是102。 32．将1至2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数123456789…20142015，这个多位数除以9，余数是（ ）。 【答案】0 【分析】要确定“1至2015依次写出的多位数”除以9的余数，需利用“一个数除以9的余数等于其所有数位数字和除以9的余数”这一特性；同时，连续9个自然数的数字和一定是9的倍数（比如1至9的数字和为45，是9的倍数），因此可通过“分组（每9个自然数为一组）并计算剩余部分数字和”来简化计算。 【解答】分组计算组数与余数： 因为连续9个自然数的数字和是9的倍数，所以“223组连续9个自然数”的数字和除以9的余数为0。 剩余前8个数的数字和为： 这部分数字和除以9的余数也为0。 所以多位数123456789…20142015除以9的余数是0。 【点睛】本题旨在利用“一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数”，结合“连续9个自然数数字和是9的倍数”，分组简化计算，快速得余数。 33．在一个四位数31□0中的方框里填一个数字，使它能同时被2、3、5整除，□里最多有________种填法。 【答案】3 【分析】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位数字是0或5。此时个位数字是0，符合2和8的倍数特征，所以只需要看能否被3整除即可；首先将3、1、0相加，然后再看加几（0至9）是3的倍数即可。 【解答】3＋1＋0 ＝4＋0 ＝4 4＋2＝6，6是3的倍数，所以3120能被2、3、5整除； 4＋5＝9，9是3的倍数，所以3150能被2、3、5整除； 4＋8＝12，12是3的倍数，所以3180能被2、3、5整除； 在一个四位数31□0中的方框里填一个数字，使它能同时被2、3、5整除，□里最多有3种填法。 34．有六个水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。香蕉有（ ）千克。 【答案】17 【分析】先求出所有水果的总质量，因为苹果重量是梨的5倍，所以苹果和梨的总质量是6的倍数（梨的质量看作1份，苹果是5份，总共6份），用总质量除以6，根据余数判断香蕉的质量，最后再根据苹果的重量是梨的5倍进一判断即可。 【解答】1＋3＋12＋21＋17＋35＝89（千克） 89÷6＝14……5 分别看各箱质量除以6的余数，1÷6余1，3÷6余3，21÷6余3，12÷6余0，17÷6余5，35÷6余5。 17除以6的余数、35除以6的余数与总质量除以6的余数相同。 （89-17）÷6 ＝72÷6 ＝12（千克） 有一筐水果是12千克可以是梨，其余是苹果，符合苹果的重量是梨的5倍。 （89-35）÷6 ＝54÷6 ＝9（千克） 没有一筐或几筐水果的和是9千克，不符合苹果的重量是梨的5倍。 所以，香蕉有17千克。 35．一次宴会后，要求男、女宾客不同桌，但每桌都按要求尽量坐满。如果要求8人一桌，则共需15桌；如果要求9人一桌则恰好坐满，如果要求10人一桌，则男宾客比女宾客多3桌。那么这次宴会中女宾客有______人。 【答案】45 【分析】每桌都是8人，如果最后两桌坐男女各1人，男、女总人数最少（15－2）×8＋1＋1＝13×8＋1＋1＝104＋1＋1＝106（人）；让15桌都坐满，人数最多为15×8＝120（人）。总人数范围为106~120人。 每桌9人，恰好全部坐满，说明男、女宾客数都是9的倍数，那么总人数也是9的倍数，在106~120中只有108和117，所以共有108人或117人。 每桌10人，男宾客比女宾客多3桌，这样男、女至少相差（3－1）×10＋1＝2×10＋1＝20＋1＝21（人），最多相差9＋3×10＝9＋30＝39人。相差量在21~39人，同时差量也是9的倍数，只能是27或36。 根据和与差具有相同的奇偶性，得到两种情况：总宾客人数是奇数117人，相差27人；或者宾客总人数为偶数108人，相差36人。 若男、女宾客共108人，男宾客比女宾客多36人，得到男宾客有（108＋36）÷2＝144÷2＝72人，女宾客有（108－36）÷2＝72÷2＝36人。如果8人一桌，男宾客有72÷8＝9桌，女宾客有36÷8＝4（桌）……4（人），即有5桌。共9＋5＝14桌，不满足条件。 若男、女宾客共117人，男宾客比女宾客多27人。得到男宾客有（117＋27）÷2＝72（人），女宾客有（117－27）÷2＝90÷2＝45（人）。如果8人一桌，男宾客有72÷8＝9桌，女宾客有45÷8＝5（桌）……5（人），即有6桌。共9＋6＝15桌，满足条件。 【解答】每桌都是8人： （15－2）×8＋1＋1 ＝13×8＋1＋1 ＝104＋1＋1 ＝106（人） 15桌都坐满：15×8＝120（人） 总人数范围为106~120人。 每桌9人，恰好全部坐满，总人数是9的倍数，所以共有108人或117人。 每桌10人，男、女至少相差： （3－1）×10＋1 ＝2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（人） 最多相差： 9＋3×10 ＝9＋30 ＝39（人） 相差量在21～39人，差量也是9的倍数，只能是27或36。 （108＋36）÷2 ＝144÷2 ＝72（人） （108－36）÷2 ＝72÷2 ＝36人。 72÷8＝9桌，36÷8＝4（桌）……4（人），4＋1＝5（人），9＋5＝14（桌），不满足条件。 （117－27）÷2 ＝90÷2 ＝45（人） （117＋27）÷2 ＝144÷2 ＝72（人） 72÷8＝9（桌），45÷8＝5（桌）……5（人），5＋1＝6（桌），9＋6＝15（桌），满足条件。 所以这次宴会中女宾客有45人。 【点睛】本题需先确定人数范围，运用倍数关系计算男女生人数的差量。核心是通过不同桌数要求锁定总人数范围，结合倍数和男女生桌数差推导女宾客人数。 三、解答题 36．把108个连续正偶数之和分解质因数，得到A3×B2×C2×D的形式，那么这108个连续正偶数中最小的数至少是多少？ 【答案】68 【分析】先设最小的正偶数为k，那么这108个连续正偶数依次为k，k＋2，k＋4，……，k＋（108－1）×2，整理出这个和。 为了要将和分解为A3×B2×C2×D的形式，所以先对求和公式化简后，结合分解质因数的形式，因为要找最小的数至少是多少，所以根据质因数的要求，确定C和D的最小值，进而得到最小的正偶数k。 【解答】解：设这108个连续正偶数中最小的数为k，那么这108个连续正偶数依次为k，k＋2，k＋4，……，k＋（108－1）×2。 k＋k＋2＋k＋4＋……＋k＋（108－1）×2 ＝（2k＋214）×108÷2 ＝（k＋107）×2×2×3×3×3 ＝22×33×（k＋107） ＝A3×B2×C2×D 当C和D最小时，C＝5，D＝7 k＋107＝52×7＝25×7＝175 即k＝68 答：这108个连续正偶数中最小的数至少是68。 【点睛】分析质因数分解形式时，要注意各质因数的要求，逐一匹配条件。 37．一个自然数在900和1300之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。 【答案】997，1102，1207 【分析】先找到同时满足被3除余1、被5除余2、被7除余3的最小自然数52，再通过加上3、5、7的最小公倍数105的倍数，确定在900到1300之间的数。 【解答】被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，… 被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，… 被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，… 共同最小数：52 满足条件的数为：52＋105k（k为自然数，105是3、5、7的最小公倍数）。 需满足900≤52＋105k≤1300，从1开始代入k，找到符合这个不等式的范围的值，可得： 当k＝9时： 52＋105×9 ＝52＋945 ＝997 当k＝10时： 52＋105×10 ＝52＋1050 ＝1102 当k＝11时： 52＋105×11 ＝52＋1155 ＝1207 验证：997、1102、1207均满足被3除余1、被5除余2、被7除余3，且在900到1300之间。 答：符合条件的数为997，1102，1207。 【点睛】解题关键在于先找到同时满足被3除余1、被5除余2、被7除余3的最小自然数52，再通过加上3、5、7的最小公倍数105的倍数，确定符合范围的数。 38．A、B、C、D、E是从小到大排列的五个不同整数，用其中每两个数相加，可以得到十个和，这十个和中不相同的有八个：分别是17、22、25、28、31、33、36与39，求这五个整数的平均数。 【答案】14.2 【分析】A＋B最小，A＋C次小，D＋E最大，C＋E次大，所以有A＋B＝17，D＋E＝39，A＋C＝22，C＋E＝36，由此可知：B＝C－5，D＝C＋3，可以看出，B、D同奇同偶，所以B＋D是偶数；在已知条件中，剩下的偶数只有28，于是B＋D＝28，由于B＋D＝C－5＋C＋3＝28，所以，A、B、C、D、E即可求出，再根据平均数＝总数量÷总份数，问题即可解决。 【解答】因为A＋B最小，A＋C次小，D＋E最大，C＋E次大 所以有，A＋B＝17，D＋E＝39，A＋C＝22，C＋E＝36 由此可知：B＝C－5，D＝C＋3 可以看出，B、D同奇同偶，所以B＋D是偶数 在已知条件中，剩下的偶数只有28，于是B＋D＝28 由于B＋D＝C－5＋C＋3＝28 所以C＝15 于是A＝7，B＝10，D＝18，E＝21 五个数的平均数为： （7＋10＋15＋18＋21）÷5 ＝71÷5 ＝14.2 答：这五个整数的平均数是14.2。 【点睛】关键是理解平均数的意义，掌握平均数的求法。 39．一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。 例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383－357＝26。26能被13整除，因此383357是“十三数”。 （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由。 （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”。 ①求证：任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差。 【答案】（1）3253不是；254514是；见详解 （2）①见详解； ②7878 【分析】（1）3253的末三位数是253，末三位以前的数字是3，判断它们的差能否被13整除即可；254514的末三位数是514，末三位以前的数字组成的数是254，判断它们的差能否被13整除即可； （2）①用表示任意一个四位“间同数”，则这个四位数可以表示为，化简后结果为，由此可知任意一个四位“间同数”都是101的倍数，即任意一个四位“间同数”都能被101整除； ②由上可知，任意一个四位“间同数”可以表示为，因为这个四位数能被13整除，而101不能被13整除，说明一定是13的倍数，即两位数一定是13的倍数，那么这个两位数最小是13，最大是91，最大值与最小值的差为101×（91－13），据此解答。 【解答】（1）3253：253－3＝250 250÷13≈19.23 因为3253的末三位与末三位以前的数字组成的数的差不能被13整除，所以3253不是“十三数”。 254514：514－254＝260 260÷13＝20 因为254514的末三位与末三位以前的数字组成的数的差能被13整除，所以254514是“十三数”。 （2）①假设四位间同数为（，）。 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 因为是101的倍数，所以任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②分析可知，四位“间同数”为，且这个数一定是13的倍数，因为101不能被13整除，所以一定是13的倍数。 13×1＝13 13×2＝26 13×3＝39 13×4＝52 13×5＝65 13×6＝78 13×7＝91 由上可知，最小为13，最大为91。 101×（91－13） ＝101×78 ＝7878 答：满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差是7878。 【点睛】本题主要考查“十三数”与“间同数”，分析题意理解这两种数的特征，并可以用含有字母的式子表示出任意一个四位“间同数”是解答题目的关键。 40．阅读材料。 材料一： 一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N－1）除余1，被（N－2）除余1……，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼数（N取最大）”。 例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼数”。 材料二： 设N，（N－1），（N－2），……，3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼数”可以表示为kn＋1（n为正整数）。 例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼数”可以表示为60n＋1（n为正整数）。 解答下列问题： （1）若31是“明N礼数”，直接写出N的值； （2）求出最小的“明四礼数”； （3）一个“明四礼数”与“明五礼数”的和为170，求出这两个数。 【答案】（1）3； （2）13； （3）“明四礼数”是49，“明五礼数”是121或“明四礼数”是109，“明五礼数”是61 【分析】（1）根据材料1新定义即可求解； （2）根据材料2设“明四礼数”是12m＋1，当m＝1时，即可求解； （3）4、3、2的最小公倍数是12，5、4、3、2的最小公倍数是60，设“明四礼数”是12m＋1，“明五礼数”是60n＋1，根据已知条件“明四礼数”与“明五礼数”的和为170，列出等式，根据m和n是正整数讨论即可。 【解答】（1）31÷5＝6……1 31÷4＝7……3 31÷3＝10……1 31÷2＝15……1 即31（被5除余1，被4除余3），被3除余1，被2除余1，那么31为“明三礼数”，即N为3。 答：若31是“明N礼数”，N的值为3。 （2）4、3、2的最小公倍数是12，设“明四礼数”是12m＋1，当m＝1时， 12×1＋1 ＝12＋1 ＝13 即最小的“明四礼数”为13。 13÷5＝2……3 13÷4＝3……1 13÷3＝4……1 13÷2＝6……1 满足“明四礼数”的要求。 答：最小的“明四礼数”为13。 （3）4、3、2的最小公倍数是12，5、4、3、2的最小公倍数是60。 设“明四礼数”是12m＋1，“明五礼数”是60n＋1。 因为“明四礼数”与“明五礼数”的和为170，所以12m＋1＋60n＋1＝170 化简得：12m＋60n＝168 12×（m＋5n）＝168 12×（m＋5n）÷12＝168÷12 m＋5n＝14 又m和n是正整数，所以m＝4，n＝2或m＝9，n＝1。 ①当m＝4，n＝2时， 12×4＋1 ＝48＋1 ＝49 60×2＋1 ＝120＋1 ＝121 ②当m＝9，n＝1时， 12×9＋1 ＝108＋1 ＝109 60×1＋1 ＝60＋1 ＝61 答： “明四礼数”是49，“明五礼数”是121或“明四礼数”是109，“明五礼数”是61。 【点睛】解答本题的关键是能够理解题意，利用最小公倍数的方法来求解。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学总复习·核心考点·经典题型冲刺特训（通用版） 专题06 因数与倍数（知识梳理+高频易错题） 一、因数与倍数的意义。 1、在整数除法中，如果商是整數而没有余数,我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 二、2,3，5的倍数的特征。 1、2的倍数的特征:个位上是0、2、4、6、8。 2、3的倍数的特征:各个数位上数字的和是3的倍数。 3、5的倍数的特征：个位上是0或5。 三、奇数和偶数。 1、在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数,不是2的倍数的数叫做奇数。 2、最小的奇数是1，最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。 四、质数、合数与分解质因数。 1、质数:一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(素数)。 2、合数:一个数，如果除了1和它本身外还有其他的因数,这样的数叫做合数。 3、质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数都叫做这个合数的质因数。 4、分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 5、互质数:只有公因数1的两个数叫做互质数。 五、公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数。 1、公因数和最大公因数:几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。 2、公倍数和最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。 一、选择题 1．三个质数的倒数和为，那么这三个质数的和为（    ）。 A．30 B．31 C．32 D．33 2．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 3．1949×1950×1951×…×2013的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有（    ）个连续的零。 A．15 B．16 C．17 D．18 4．105名同学参加团体操比赛，如果要求每排人数必须相等并且不能少于10人，也不能多于30人。符合条件的队列一共有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果a是一个不为0的自然数，那么a和的最小公倍数是它们最大公因数的（    ）倍。 A．a B． C． D．1 6．以下说法中，正确的是（    ）。 A．增长率可以超过100%。 B．圆柱的体积是圆锥的3倍。 C．质数都是奇数，合数都是偶数。 D．小亮所在班级的平均身高是152cm，小亮的身高不可能低于152cm。 7．一个正方体六个面上分别标有数字“1～6”，抛起这个正方体落下后，（    ）朝上的可能性最小。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 8．两个班学生参加劳动，分别按4人、6人、7人分组，结果都留1人，这两个班的学生至少有（    ）人。 A．43 B．29 C．85 9．古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（    ）。 A．16 B．20 C．28 D．36 10．如果正方形的边长是质数，那么正方形的面积一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．合数 11．如果A×16＝B（A、B都是不为0的自然数），那么A和B的最大公因数是______，最小公倍数是______。（    ） A．A，B B．B，A C．16，A D．16，B 12．a和b是两个大于0的整数，a是b的4倍，a和b的最小公倍数是（    ）。 A．2 B．b C．4 D．a 13．625□是一个四位数，在□里填上一个数字，使这个四位数同时是2、3的倍数。方框里应填（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 14．下列各组数中，每个数既是奇数又是合数的一组是（    ）。 A．4，6，81 B．9，27，19 C．9，15，27 D．5，7，10 15．下面四个盒子里各有六张数字卡片，分别从这些盒子中任意摸出一张，摸到最小质数可能性最大的是（    ）。 A． B． C． D． 16．有一条绳子，长是4分米和6分米的最小公倍数，平均截成11段，每段长（    ）分米。 A． B． C． D． 17．当x是（    ）时，3x＋5的结果一定是奇数。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 18．要使四位数23□5能被3整除，方框里最大是（    ）。 A．2 B．6 C．8 D．9 二、填空题 19．对于一个自然数，用与这个数互质且大于2的最小自然数替换这个数，称为一次“互质替换”，在黑板上任意写出一个大于2025的自然数，反复进行“互质替换”，最多经过______次“互质替换”首次出现3。 20．我们约定，自然数中能被3整除的数称为“三合数”，不能被3整除的数称为“三素数”，从1到20的自然数中任取一个“三合数”与一个“三素数”相乘得到84个乘积，则这84个乘积的和为______。 21．用0、1、2、3、4、5这6个数中选择4个组成没有重复数字的四位偶数，将这些偶数从小到大排列起来，第66个是______。 22．小明在期中考试时，语文得79分，常识得90分，数学考得最好。已知小明的三科平均分是个偶数，那么小明数学得______分。 23．一个分母是最小质数的真分数，分子增加4倍得到一个分数，分母加上8得到另一个分数，那么这两个分数的和是______。 24．在1~20各数中，既是奇数，又是合数的数是（ ）和（ ）。 25．在中，（ ）和（ ）是（ ）的因数。在中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 26．10以内所有质数的积，减去既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数，差是（ ）。 27．甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是（ ）月（ ）日。 28．用大小相等的长方形纸，每张长12厘米，宽8厘米，要拼成一个正方形，最少需要这种长方形纸（ ）张。 29．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个互不相同的数，分别记为a，b，c，d，则（a＋b）×（c＋d）是奇数的取法有______种。 30．在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是__________。 31．在0，1，2，4，7这五个数字中，选出三个组成同时是2，3的倍数的三位数中最小的数是______。 32．将1至2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数123456789…20142015，这个多位数除以9，余数是（ ）。 33．在一个四位数31□0中的方框里填一个数字，使它能同时被2、3、5整除，□里最多有________种填法。 34．有六个水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。香蕉有（ ）千克。 35．一次宴会后，要求男、女宾客不同桌，但每桌都按要求尽量坐满。如果要求8人一桌，则共需15桌；如果要求9人一桌则恰好坐满，如果要求10人一桌，则男宾客比女宾客多3桌。那么这次宴会中女宾客有______人。 三、解答题 36．把108个连续正偶数之和分解质因数，得到A3×B2×C2×D的形式，那么这108个连续正偶数中最小的数至少是多少？ 37．一个自然数在900和1300之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。 38．A、B、C、D、E是从小到大排列的五个不同整数，用其中每两个数相加，可以得到十个和，这十个和中不相同的有八个：分别是17、22、25、28、31、33、36与39，求这五个整数的平均数。 39．一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。 例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383－357＝26。26能被13整除，因此383357是“十三数”。 （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由。 （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”。 ①求证：任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差。 40．阅读材料。 材料一： 一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N－1）除余1，被（N－2）除余1……，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼数（N取最大）”。 例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼数”。 材料二： 设N，（N－1），（N－2），……，3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼数”可以表示为kn＋1（n为正整数）。 例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼数”可以表示为60n＋1（n为正整数）。 解答下列问题： （1）若31是“明N礼数”，直接写出N的值； （2）求出最小的“明四礼数”； （3）一个“明四礼数”与“明五礼数”的和为170，求出这两个数。 学科网（北京）股份有限公司 $