精品解析：黑龙江佳木斯市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 考试说明：本试卷由选择题和非选择题两部分组成，满分150分，考试时间120分钟. 1.答题前，考生务必将姓名、考号写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码. 2.选择题部分，每小题选出答案后，考生必须用2B铅笔涂卡，如需改动，用橡皮擦干净后，再另涂其它选项. 3.非选择题必须答题卡规定的区域内书写，规定区域外答题不得分. 4.保持答题卡清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】，故复数的虚部为. 2. 已知是不同的直线是不重合的平面，若则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，又因， 所以，因此. 3. 在中，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，显然为三角形的最大角，且， 由，故为锐角， 综上，为锐角三角形. 4. 设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】对于A，已知，假设与共线，则存在实数，使得， 即，由于与不共线，对应系数必须相等， 且 ，无解， 因此与不共线，可以作为基底，故A错误； 对于B，已知，假设与共线，则存在实数，使得， 即，由于与不共线，对应系数必须相等，且 ，无解， 因此与不共线，可以作为基底，故B错误； 对于C，已知，因为， 所以与共线，不可以作为基底，故C正确； 对于D，已知，假设与共线，则存在实数，使得， 即，由于与不共线，对应系数必须相等， 且，无解， 因此与不共线，可以作为基底，故D错误； 5. 设为单位向量，，向量的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求得正确答案. 【详解】依题意，向量在方向上的投影向量为. 6. 已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设正四棱台的高为，则，故. 7. 如图是水平放置的的直观图，其中 ，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直观图得到原图的形状和边长即可求解. 【详解】由直观图得到原图是一个直角三角形，且， ， ， 所以， 所以的周长为，故C正确. 8. 已知的内角的对边分别为，满足，且则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角变换公式可得，结合题设条件可得，从而可构建关于的方程，故可求的值. 【详解】因为，由正弦定理可得，而， 故 即， 所以， 由题设条件可知均不为直角，故，故， 而所以， 故， 而，解得，若，则均为负， 则都为钝角，这与为三角形内角矛盾，故， 而为三角形内角，故. 二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得部分分，错选不得分，全对得6分.3题 共18分） 9. 在正方体中，分别是棱的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线线平行、线面平行、面面平行的有关定理对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知：平面平面， 由于平面，所以平面，A选项正确. B选项，连接，根据正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以, 因为分别是的中点，所以， 所以，所以B选项正确. C选项，由于分别是的中点，所以， 由于平面,平面， 所以平面，C选项正确. D选项，由于，，， 所以与相交，所以面与平面相交，D选项错误. 10. 已知中，角、、的对边分别为、、，下列选项正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若，，，则或 C. 若，则为直角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合大角对大边定理以及充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用正弦定理可判断B选项；利用正弦定理可判断C选项；利用正弦定理结合图形可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得， 即“”“”， 若，由正弦定理可得，所以，即“”“”， 所以“”是“”的充要条件，A错； 对于B选项，若，，，由正弦定理得， 所以， 因为，则，故或，B对； 对于C选项，由及正弦定理可得， 即 ， 所以， 因为、、，所以，，所以，故， 即为直角三角形，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，，，则， 所以，故满足条件的有两个，D对. 11. 设向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量是 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式即可判断A；利用向量的模长公式及二次函数的性质即可判断B；利用向量共线的坐标表示即可判断C；利用向量的模长公式求出的值，进而即可判断D． 【详解】对于A，若与的夹角为钝角，则，解得，故A正确； 对于B， ，当且仅当时取到等号，即的最小值为，故B错误； 对于C，与共线的单位向量有两个，为，故C错误； 对于D，若，则，解得，故D正确． 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（每题5分，3题共15分） 12. 已知一个圆锥的母线长为6，侧面积 则此底面半径为___________. 【答案】1 【解析】 【详解】令圆锥的半径为，且母线，则侧面积，可得. 13. 已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题目可得另一个根为，原式可化为 ， 则，故. 14. 已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【详解】作出圆台和内切球的组合体的轴截面，设圆台的内切球的半径为，结合圆的性质，得到圆台的母线长为，结合梯形性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【点睛】如图所示，作出圆台和内切球的组合体的轴截面，圆台的母线与圆的切点为， 因为圆台的上底面半径为，下底面半径为， 根据圆的切线的性质，可得， 设圆台的内切球的半径为，可得 可得圆台的母线长为， 又由，可得，即， 所以圆台的内切球的表面积为. 四、解答题（共77分） 15. 回答下面两题 （1）若 求 . （2）已知，，，求和的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法计算公式求解. （2）首先根据向量数量积的运算律求，再代入向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 ，， . 【小问2详解】 ，得 ， 所以. 16. 已知中，角的对边分别为，，，，. （1）求； （2）若，角的平分线交于，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，又已知，因此可得； （2）由（1）知，分别求出，，再根据角平分线这一条件，建立三角形的面积关系，从而求出的长. 【小问1详解】 解：因为，，则由余弦定理可得， ，又， 所以，因此. 【小问2详解】 解：由（1）知，又， 所以，. 因为，所以， 又因为平分，所以， 因此， 解得. 17. 已知在正方体中是中点． （1）求证：平面； （2）设正方体棱长为，求三棱锥的表面积和体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）表面积为，体积为 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，即可得到，进而根据线面平行的判定即可得证； （2）根据正方体的结构特征即可求出三棱锥的表面积，再根据即可求出其体积． 【小问1详解】 在正方体中，是中点， 连接BD交AC于O，连接OE，显然O是的中点，则， 又平面，平面，所以 平面． 【小问2详解】 由，，两两垂直，且， 又 ， ，所以平面， 又 ，所以， 又正方体棱长为，即，， 则，， 则，则， 结合（1）得O是AC的中点，则， 所以三棱锥的表面积为； 体积为． 18. 记的内角的对边分别为且. （1）求； （2）若，的面积为求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，即可求解； （2）利用三角形的面积公式，结合题意，求得，再由余弦定理，求得，进而得到的周长. 【小问1详解】 解：由， 因为，可得， 因为，可得，所以，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 因为且，可得，解得， 又由余弦定理得， 所以，所以的周长为. 19. 已知的内角所对的边分别为向量,,且. （1）求角； （2）若,,求的面积； （3）若求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得,再由基本不等式可得最大值. 【小问1详解】 因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. 【小问2详解】 因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. 【小问3详解】 由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 考试说明：本试卷由选择题和非选择题两部分组成，满分150分，考试时间120分钟. 1.答题前，考生务必将姓名、考号写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码. 2.选择题部分，每小题选出答案后，考生必须用2B铅笔涂卡，如需改动，用橡皮擦干净后，再另涂其它选项. 3.非选择题必须答题卡规定的区域内书写，规定区域外答题不得分. 4.保持答题卡清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是不同的直线是不重合的平面，若则（ ） A. B. C. D. 3. 在中， ，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 设是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 设为单位向量，，向量的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是水平放置的的直观图，其中 ，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角的对边分别为，满足，且则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得部分分，错选不得分，全对得6分.3题 共18分） 9. 在正方体中，分别是棱的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面平面 10. 已知中，角、、的对边分别为、、，下列选项正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若，，，则或 C. 若，则为直角三角形 D. 若，，，则满足条件的三角形有两个 11. 设向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量是 D. 若，则 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（每题5分，3题共15分） 12. 已知一个圆锥的母线长为6，侧面积 则此底面半径为___________. 13. 已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 14. 已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 四、解答题（共77分） 15. 回答下面两题 （1）若 求 . （2）已知，，，求和的夹角的余弦值. 16. 已知中，角的对边分别为，，，，. （1）求； （2）若，角的平分线交于，求的长. 17. 已知在正方体中是中点． （1）求证：平面； （2）设正方体棱长为，求三棱锥的表面积和体积． 18. 记的内角的对边分别为且. （1）求； （2）若，的面积为求的周长. 19. 已知的内角所对的边分别为向量,,且. （1）求角； （2）若,,求的面积； （3）若求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $