湖南长沙市浏阳市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≠1 2．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列计算或化简正确的是（　　） A．2+4＝6 B．＝4 C．＝﹣3 D．＝3 4．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（　　） A．110° B．70° C．140° D．100° 5．（3分）如图，在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．AB＝AD B．BD＝2BC C．AC⊥BD D．AC＝BD 6．（3分）如图，在数轴上点A表示的数为a，则a的值为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知△ABC的三条边分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A+∠B＝∠C C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a2＝c2﹣b2 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC边于点E，F，若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．2 C． D．4 9．（3分）被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线BI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（　　） A．2 B． C． D． 10．（3分）如图，在长为5dm、宽为3dm、高为4dm的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．dm B．dm C．dm D．dm 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）化简的结果为　 　 ． 12．（3分）已知，菱形ABCD的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为　 　 ． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，0）和（0，2），则A、B两点间的距离是　 　 ． 14．（3分）如图，正六边形ABCDEF和正五边形EGHPQ的边CD，GH在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则∠DEG的度数为 　 　 ． 15．（3分）古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：S＝，S指三角形的面积，a，b，c是三角形各边长，p为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知△ABC的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得△ABC的面积为 　 　 ． 16．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）计算下方图形中x的值． 19．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE＝DF，求证：AE＝CF． 20．（8分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点B作AC的垂线； （2）如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线． 21．（8分）已知：，，求下列各式的值． （1）xy； （2）x2﹣2xy+y2； （3）x2﹣y2． 22．（9分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，点E是边BC上一点，且∠DEC＝∠B． （1）求证：四边形ABED是平行四边形； （2）求直线AD，BC之间的距离； （3）求直线AB，DE之间的距离． 23．（9分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）求四边形ABCD的面积； （3）若DE∥AC，CE∥BD，连接BE，求线段BE的长． 24．（10分）矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF＝　 　 ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长？ （2）观察图3和图4， ①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形； ②设BA′＝x，当x的取值范围是　 　 时，四边形AEA′F是菱形． 25．（10分）我们约定：无理数的被开方数T（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“整数区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以，所以的“整数区间”为（1，2），的“整数区间”为（﹣2，﹣1）．请解答下列问题： （1）的“整数区间”是　 　 ；的“整数区间”是　 　 ； （2）若无理数（a为正整数）的“整数区间”为（﹣3，﹣2），且的“整数区间”为（3，4），求的值； （3）实数x，y，m满足关系式：，试求出的“整数区间”． 湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≠1 【分析】根据二次根式有意义的条件计算即可． 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴x﹣1≥0， ∴x≥1， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0． 2．（3分）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断． 【解答】解：＝2，A不是最简二次根式， 是最简二次根式，B是最简二次根式， ＝，C不是最简二次根式， ＝，D不是最简二次根式， 故选：B． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 3．（3分）下列计算或化简正确的是（　　） A．2+4＝6 B．＝4 C．＝﹣3 D．＝3 【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【解答】解：A、2与4不能合并，所以A选项错误； B、原式＝2，所以B选项错误； C、原式＝|﹣3|＝3，所以C选项错误； D、原式＝＝3，所以D选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 4．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（　　） A．110° B．70° C．140° D．100° 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知∠A+∠C＝140°求出∠A的度数，再利用邻角互补的性质计算∠B的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°． ∵∠A+∠C＝140°， ∴． ∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．（3分）如图，在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（　　） A．AB＝AD B．BD＝2BC C．AC⊥BD D．AC＝BD 【分析】已知四边形ABCD是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【解答】解：已知四边形ABCD是平行四边形． 选项A：AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定▱ABCD为矩形，故A项不符合题意． 选项B：BD＝2BC， 仅由BD＝2BC，无法推出平行四边形ABCD中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定▱ABCD为矩形，故C项不符合题意． 选项D：AC＝BD， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD ∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 6．（3分）如图，在数轴上点A表示的数为a，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先利用勾股定理求出BA＝BD＝，然后得到点A表示的数． 【解答】解：如图，在数轴上点A表示的数为a， 在直角三角形BCD中，由勾股定理得：BD＝， ∴BA＝ BD＝， ∴点A表示的数为， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，实数与数轴，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键． 7．（3分）已知△ABC的三条边分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A+∠B＝∠C C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a2＝c2﹣b2 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴∠C＝180°×＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； B、∵∠A+∠B＝∠C， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵a＝3，b＝4，c＝5，32+42＝52， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵a2＝c2﹣b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和是180°是解题的关键． 8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC边于点E，F，若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．2 C． D．4 【分析】首先证△BOF≌△DOE，由此可得出S阴影＝S矩形ABCD，则可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝4， ∴∠BAD＝90°，OD＝OB，AD∥BC， ∴∠ODE＝∠OBF， 在△EOD和△FOB中， ， ∴△EOD≌△FOB（ASA）； ∴S△BOF＝S△DOE； ∴S阴影＝S△BOF+S△COF＝S△BOC＝S矩形ABCD＝AB•AD＝×2×4＝2， 故选：B． 【点评】此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及矩形面积的求法，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 9．（3分）被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在如图的基础上，运用“出入相补”原理完成的：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线BI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】先证明Rt△ABC≌Rt△DBI（HL）得S△ABC＝S△DBI，设AC＝a，BC＝b，AB＝c，由勾股定理得a2+b2＝c2，进而得S正方形ACFG+S△AHJ＝S△DEJ，S正方形ACFG＝4，即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，点D在直线HI上，∴AB＝BD，BC＝BI，∠ACB＝∠DIB＝90°， ∴Rt△ABC≌Rt△DBI（HL）， ∴S△ABC＝S△DBI， 设AC＝a，BC＝b，AB＝c， 由勾股定理得，a2+b2＝c2， 即S正方形ACFG+S正方形BCHI＝S正方形ABDE， S正方形ACFG+S△ABC+S△AHJ+S四边形AJIB＝S△BID+S△DEJ+S四边形AJIB， ∴S正方形ACFG+S△AHJ＝S△DEJ， ∴S正方形ACFG＝S△DEJ﹣S△AHJ＝6﹣2＝4， 即a2＝4， ∴a＝2，即AC＝2， 故选：A． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 10．（3分）如图，在长为5dm、宽为3dm、高为4dm的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．dm B．dm C．dm D．dm 【分析】根据长方体展开图，分三种情况进行讨论，利用勾股定理求出每种情况的路程，最后进行比较即可． 【解答】解：①如图所示， ； ②如图所示， ； ③如图所示， ； ∵ ∴最短路程为， 故选：B． 【点评】本题主要考查了最短路径问题，几何体展开图，勾股定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）化简的结果为　3　 ． 【分析】根据二次根式的性质进行解答即可． 【解答】解：＝＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质＝|a|是解题的关键． 12．（3分）已知，菱形ABCD的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为　8　 ． 【分析】根据菱形的性质推出另一条对角线长． 【解答】解：由菱形的面积等于两条对角线的积的一半， 可得另一条对角线长为＝8； 故答案为：8． 【点评】主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握两条对角线的积的一半或是边长乘以高． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，0）和（0，2），则A、B两点间的距离是　　 ． 【分析】先由A、B坐标求得OA＝3，OB＝2，再由勾股定理求解即可． 【解答】解：由题意可得：OA＝3，OB＝2， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查两点间的距离，正确进行计算是解题关键． 14．（3分）如图，正六边形ABCDEF和正五边形EGHPQ的边CD，GH在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则∠DEG的度数为 　48°　 ． 【分析】根据多边形内角和公式，分别求出正五边形和正六边形的内角度数，即可得∠EDG和∠EGD的度数，再根据三角形的内角和定理即可得出答案． 【解答】解：由条件可知五边形每个内角度数为， ∴∠EGH＝108°，∠EGD＝72°， 同理正六边形ABCDEF每个内角度数为120°， ∴∠EDC＝120°，∠EDG＝60°， ∴∠DEG＝180°﹣60°﹣72°＝48°， 故答案为：48°． 【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理和是解题的关键． 15．（3分）古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：S＝，S指三角形的面积，a，b，c是三角形各边长，p为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知△ABC的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得△ABC的面积为 　　 ． 【分析】直接利用海伦﹣秦九韶公式列式计算即可． 【解答】解：∵a＝2，b＝3，c＝4， ∴p＝＝， ∴△ABC的面积为＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 16．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为　1.5　 ． 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长 【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴AD＝BD， ∵∠AFB＝90°， ∴DF＝AB＝2.5， ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝4， ∴EF＝DE﹣DF＝1.5， 故答案为：1.5． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【分析】先根据算术平方根、有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【解答】解： ＝3+1﹣+4 ＝3+1﹣+1+4 ＝． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（6分）计算下方图形中x的值． 【分析】根据四边形内角和是360°以及邻补角的定义进行计算即可． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD， ∴∠DAB+∠B+∠C+∠D＝360°， ∵∠B＝80°，∠C＝120°，∠D＝75°， ∴∠DAB＝360°﹣80°﹣120°﹣75°＝85°， ∴∠BAE＝180°﹣85°＝95°， 即x＝95． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握四边形内角和是360°以及邻补角的定义是正确解答的关键． 19．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE＝DF，求证：AE＝CF． 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD＝BC，推出AF∥EC，AF＝EC，根据平行四边形的判定推出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC， ∴AF∥EC， ∵BE＝DF， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 20．（8分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点B作AC的垂线； （2）如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线． 【分析】（1）作直线BD，根据菱形的性质可知，直线BD即为所求． （2）结合菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF，则直线BF即为所求． 【解答】解：（1）如图1，作直线BD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC， 则直线BD即为所求． （2）如图2，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DF∥BC， ∴∠AFE＝∠BCE，∠FAE＝∠CBE， ∵点E为线段AB的中点， ∴AE＝BE， ∴△AEF≌△BEC（AAS）， ∴AF＝BC， ∴四边形ACBF为平行四边形， ∴BF∥AC， 则直线BF即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（8分）已知：，，求下列各式的值． （1）xy； （2）x2﹣2xy+y2； （3）x2﹣y2． 【分析】（1）根据x、y的值可以计算出xy的值； （2）根据x、y的值可以计算出x﹣y的值，然后将所求式子变形，再将x﹣y的值代入计算即可； （3）根据x、y的值可以计算出x﹣y和x+y的值，然后将所求式子变形，再将x﹣y和x+y的值代入计算即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴xy＝（+）×（﹣）＝3﹣2＝1； （2）∵，， ∴x﹣y＝2， ∴x2﹣2xy+y2 ＝（x﹣y）2 ＝（2）2 ＝8； （3）∵，， ∴x﹣y＝2，x+y＝2， ∴x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝2×2 ＝4． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 22．（9分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，点E是边BC上一点，且∠DEC＝∠B． （1）求证：四边形ABED是平行四边形； （2）求直线AD，BC之间的距离； （3）求直线AB，DE之间的距离． 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得出AB∥DE，进而证明四边形ABED是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出BE＝AD＝3，DE＝AB＝4，进而求出CE＝2，然后在Rt△CDE中根据勾股定理求解即可． （3）根据平行四边形的面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠B， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形； （2）解：∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE＝AD＝3，DE＝AB＝4， ∵BC＝5， ∴CE＝2， ∵∠C＝90°， ∴CD＝， 即AD，BC之间的距离为2； （3）解：∵四边形ABED是平行四边形，BE＝AD＝3，∠C＝90°，CD＝2， ∴四边形ABED的面积＝BE•CD＝3×2＝6， ∵DE＝AB＝4， ∴直线AB，DE之间的距离＝． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（9分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）求四边形ABCD的面积； （3）若DE∥AC，CE∥BD，连接BE，求线段BE的长． 【分析】（1）由等边三角形的性质得OA＝OB＝AB＝4，再由平行四边形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD＝4，则AC＝BD＝8，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得∠BAD＝90°，再由勾股定理求出AD的长，然后由矩形面积公式列式计算即可； （3）过点E作EH⊥BC的延长线于点H，证明四边形DECO是平行四边形，∠ECH＝∠DBC，得CE＝OD＝4，再由矩形的性质得BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，进而由含30°角的直角三角形的性质得EH＝CE＝2，则CH＝2，得BH＝BC+CH＝6，然后由勾股定理求出BE的长即可． 【解答】（1）证明：∵△AOB是等边三角形，AB＝4， ∴OA＝OB＝AB＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝4， ∴AC＝BD＝8， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴AD＝＝＝4， ∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝4×4＝16； （3）解：如图，过点E作EH⊥BC的延长线于点H， 则∠EHC＝90°， ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形DECO是平行四边形，∠ECH＝∠DBC， ∴CE＝OD＝4， 由（1）可知，四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝4，∠ABC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ECH＝∠DBC＝30°， ∴EH＝CE＝2， ∴CH＝＝＝2， ∴BH＝BC+CH＝6， ∴BE＝＝＝4， 即线段BE的长为4． 【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 24．（10分）矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF． （1）当A′与B重合时（如图1），EF＝　5　 ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长？ （2）观察图3和图4， ①利用图4，证明四边形AEA′F是菱形； ②设BA′＝x，当x的取值范围是　3≤x≤5　 时，四边形AEA′F是菱形． 【分析】（1）由于矩形对折，于是EF＝AD＝5；根据折叠的性质得到DC＝AB＝3，A′F＝AD＝5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可计算出A′C＝4，设AE＝t，则BE＝3﹣t，EA′＝t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3﹣t）2+12＝t2，解得t＝，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可计算出EF； （2）①根据折叠的性质得到EA＝EA′，FA＝FA′，∠AEF＝∠A′EF，根据平行线的性质可得∠A′EF＝∠AFE，则有∠A′FE＝∠A′EF，于是A′E＝A′F，易得AE＝EA′＝A′F＝FA，根据菱形的判定即可得到结论． ②当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′＝BA＝3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′＝5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形； 【解答】解：（1）当A′与B重合时，如图1，把矩形对折，所以EF＝AD＝5． 故答案为：5； 如图2，DC＝AB＝3，A′F＝AD＝5， 在Rt△A′CF中，A′C＝＝4， 设AE＝t，则BE＝3﹣t，EA′＝t， 在Rt△EBA′中，BA′＝BC﹣A′C＝5﹣4＝1， ∵BE2+BA′2＝EA′2， ∴（3﹣t）2+12＝t2，解得t＝， 在Rt△AEF中，AE＝，AF＝5， ∴EF＝＝； （2）①如图4，∵△AEF沿EF折叠到△A′EF， ∴EA＝EA′，FA＝FA′，∠AEF＝∠A′EF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AF∥EC， ∴∠A′EF＝∠AFE， ∴∠A′FE＝∠A′EF， ∴A′E＝A′F， ∴AE＝EA′＝A′F＝FA， ∴四边形AEA′F是菱形． ②当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′＝BA＝3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′＝5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形， 故答案为：3≤x≤5； 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，折痕垂直平分对应点的连线段．也考查了矩形的性质、勾股定理以及菱形的判定与性质． 25．（10分）我们约定：无理数的被开方数T（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“整数区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以，所以的“整数区间”为（1，2），的“整数区间”为（﹣2，﹣1）．请解答下列问题： （1）的“整数区间”是　（4，5）　 ；的“整数区间”是　（﹣6，﹣5）　 ； （2）若无理数（a为正整数）的“整数区间”为（﹣3，﹣2），且的“整数区间”为（3，4），求的值； （3）实数x，y，m满足关系式：，试求出的“整数区间”． 【分析】（1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得x+y﹣2026≥0、2026﹣x﹣y≥0，得出x+y＝2026，进而得出2x+3y﹣m＝0、3x+4y﹣2m＝0，两式相减可得m＝x+y＝2026，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵42＝16＜19＜52＝25，52＝25＜26＜62＝36， ∴，， ∴的“整数区间”是（4，5），的“整数区间”是（﹣6，﹣5）； 故答案为：（4，5）；（﹣6，﹣5）； （2）由条件可知， ∴22＜a＜32，即4＜a＜9， ∵的“整数区间”为（3，4）， ∴， ∴32＜a+3＜42，即9＜a+3＜16， ∴6＜a＜13， ∴6＜a＜9， ∵a为正整数， ∴a＝7或a＝8， 当a＝7时，； 当a＝8时，． 综上所述，的值为或3． （3）∵， ∴x+y﹣2026≥0、2026﹣x﹣y≥0， ∴x+y＝2026， ∴， ∵， ∴2x+3y﹣m＝0、3x+4y﹣2m＝0， 两式相减得x+y﹣m＝0，即x+y＝m＝2026， ∴， ∵452＝2025＜2026＜462＝2116， ∴， ∴的“整数区间”是（45，46）． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、非负数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $