山西晋中市平遥县第三中学校2026届高三第二学期第四次月考数学试卷

2026届高三第二学期第四次月考 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z＝﹣2+3i在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（3，﹣2） 2．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则A∩B＝（　　） A．{1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 3．已知命题1，则命题p的否定是（　　） A．∀x∉N，ex＞sinx+1 B．∃x∈N，ex≤sinx+1 C．∀x∉N，ex≤sinx+1 D．∀x∈N，ex＞sinx+1 4．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是（　　） A． B． C． D． 5．已知sin（α﹣β）＝3cos（α+β），tanαtanβ＝2，则tan（α﹣β）＝（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 6．在的展开式中，含x3项的系数为（　　） A．240 B．﹣240 C．80 D．﹣80 7．在平面内，BC＝2，D为BC的中点，动点A满足，动点M满足，则的最大值为（　　） A．2 B． C．4 D． 8．已知函数f（x）＝sinx，存在x1，x2，满足，令m＝|x1﹣x2|min，若g（x）＝f（3x）+3f（x），则g（x）在x∈[0，m]上的最大值为（　　） A． B． C． D．1 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题正确的是（　　） A．两个变量x，y的相关系数为r，若|r|越小，则x与y之间的线性相关程度越弱 B．设随机变量ξ∼N（2，1），若P（ξ＞3）＝p，则 C．若，且Y＝2X﹣1，则D（Y）＝6 D．已知x，y之间的关系满足y＝cekx，设z＝lny，若x，z之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则c＝e 10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（　　） A．若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC B．若，则△ABC是锐角三角形 C．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形 D．若△ABC为锐角三角形，且sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为8 11．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，AB＝4，AA1＝3，A1B1＝2，则（　　） A．OB1∥面CDD1C1 B．正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 C．正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为 D．正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1存在内切球 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．对任意实数a＞0且a≠1，函数y＝ax﹣3+1的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则　 　 ． 13．已知函数f（x）＝x3+x+asinx+3，且f（m）＝5，则f（﹣m）＝ 　 　 ． 14．设P为椭圆上一点，F1，F2为焦点，∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝θ，θ∈，则椭圆离心率的最大值为 　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）LABUBU的爆火，是一场关于设计、营销、文化融合与消费心理的多重胜利，但这也只是中国IP全球化浪潮的一个缩影．某大学生社团为了解该校学生对LABUBU的喜爱情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 女生 40 60 100 男生 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析该校学生对LABUBU喜爱情况是否与性别有关联； （2）现从女生样本中按对LABUBU是否喜欢，用按比例分配的分层随机抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调研．记抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为X，求E（X）的值． 参考公式及数据，其中n＝a+b+c+d． α 0.1 0.05 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 7.879 10.828 16．（15分）已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若f′（x）为函数的导函数，记bn＝f′（an），求数列的前n项和Tn． 17．（15分）如图，在矩形CDEF中，CD＝1，DE＝2，A，B分别是DE，CF的中点，点P，Q分别是对角线AC，BE上的动点（不包括端点），且CP＝BQ＝a，将四边形ABCD沿AB翻折，使平面ABCD⊥平面ABFE． （1）求证：BD⊥平面AEC； （2）求线段PQ的长（用a表示）； （3）当线段PQ的长最小时，求平面PQA与平面AEC夹角的余弦值． 18．（17分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点F．已知平面内点A（1，﹣2），点，把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点F． （1）求点F的坐标； （2）抛物线W的顶点为坐标原点O，焦点为F，过点D（0，﹣1）的直线l交抛物线W于M，N两点． （i）当直线l的方向向量是时，求经过M，N，A三点的圆的圆心T的坐标； （ii）点E（﹣1，1）不在直线l上，直线ME交抛物线W于另一点Q，求证：直线NQ过定点． 19．（17分）已知函数f（x）＝x﹣e﹣x﹣tln（x+1）+1（x≥0）． （1）当t≤2时，讨论f（x）的单调性； （2）当t＜0时，证明：对任意正数m，n，均有f（m+n）＜f（m）+f（n）； （3）设a，b，c是任意三角形的三边长，若一定存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，求t的取值范围． 参考答案 1． 单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D D B D B C 2． 多项选择题 9 10 11 ACD ACD AC 三．填空题 12．． 13．1． 14．． 四．解答题 15．解：（1）零假设H0：学生对LABUBU喜爱情况与性别无关联， 则， 所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为假设不成立， 即认为该校学生对LABUBU喜爱情况与性别有关联； （2）女生样本中，喜欢LABUBU的有40人，不喜欢的有60人， 所以，根据按比例分配的分层随机抽样法，喜欢的人抽取2人，不喜欢的抽取3人， 从这5人中随机抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为X的可能取值为1，2，3， 所以X～H（3，3，5）， 所以E（X）． 16．解：（1）已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且， 当n＝1时，， 因为正项数列{an}，所以a1＝1， 由，得， 两式相减得， 即， 因为an＞0，所以an﹣an﹣1＝1（n≥2）， 故{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， 则数列{an}的通项公式an＝1+（n﹣1）×1＝n； （2）若f′（x）为函数的导函数，记bn＝f′（an）， 则，则， 所以， 即． 17．解：（1）证明：在矩形CDEF中，CD＝1，DE＝2，点A，B分别是DE，CF的中点， 所以四边形ABCD和EFBA是全等的正方形，所以BD⊥AC，AE⊥AB， 因为平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE＝AB，AE⊂平面ABFE， 所以AE⊥平面ABCD， 因为BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD， 又因为BD⊥AC，AE∩AC＝A，AE，AC⊂平面AEC， 所以BD⊥平面AEC； （2）以B为原点，BA，BF，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（0，0，0），A（1，0，0），E（1，1，0），F（0，1，0），C（0，0，1），D（1，0，1）， 则，，， 因为CP＝BQ＝a， 所以，， 则， 所以， 所以线段PQ的长为； （3）因为， 所以当时，线段PQ最短， 此时P，Q分别为线段AC，BE的中点，，， 则， 设n＝（x，y，z）是平面PQA的一个法向量， 则， 令x＝1，则y＝z＝1， 所以平面PQA的一个法向量为（1，1，1）， 由（1）知，为平面AEC的一个法向量， 则， 所以平面PQA与平面AEC夹角的余弦值为． 18．解：（1）由A（1，﹣2），，可得， ， 设F（x，y），则， 所以点F的坐标为（0，1）； （2）（i）由题意得抛物线W：x2＝4y，直线l的方程为， 联立，得x2﹣5x+4＝0，解得x＝1，x＝4， 不妨设， 设M，N，A三点所在圆的圆心为T（x0，y0），则|TM|＝|TN|＝|TA|， 由|TA|＝|TN|，得，解得， 由|TM|＝|TA|，得，解得， 所以圆心T的坐标为； （ii）证明：设M（2m，m2），N（2n，n2），m≠n， 所以， ， 代入D（0，﹣1），得mn＝1，所以， 设lME与W另一交点为Q（2q，q2）， 因为kME＝kMQ，所以， 所以， ， 则（﹣x﹣4y）m2+（2﹣2y）m+（x+4）＝0， 则所以 故直线NQ过定点（﹣4，1）． 19．解：（1）已知f（x）＝x﹣e﹣x﹣tln（x+1）+1（x≥0）， 对其求导得， 当t≤2时，x＝0时，f′（0）＝2﹣t≥0， 当x＞0时，， 令g（x）＝（x+1）（1+e﹣x）﹣t， g′（x）＝1﹣xe﹣x， 令h（x）＝1﹣xe﹣x， h′（x）＝﹣xe﹣x+xe﹣x＝e﹣x（x﹣1），令h′（x）＝0，解得x＝1， 当0＜x＜1，h′（x）＜0，g′（x）单调递减， 当x＞1，h′（x）＞0，g′（x）单调递增， g′（x）min＝g′（1）＝10， 即g（x）在（0，+∞）单调递增， 即g（x）＞g（0）＝2﹣t≥0，又x+1＞0， 则0， 所以f（x）在[0，+∞）上单调递增； （2）证明：令g（x）＝f（m+x）﹣f（m）﹣f（x），x＞0， 则g（0）＝f（m）﹣f（m）﹣f（0）＝0， 对g（x）求导得g'（x）＝f'（m+x）﹣f'（x）， 由（1）知，则f'（m， 所以， 因为t＜0，x＞0，m＞0，所以，又e﹣（m+x）＜e﹣x， 所以g'（x）＜0， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，则g（x）＜g（0）＝0， 即f（m+x）﹣f（m）﹣f（x）＜0，所以f（m+n）＜f（m）+f（n）； （3）由题设，对任何x＞0，f（x）＞0需恒成立， 而，其中x＞0，若f′（0）＝2﹣t＜0， 则由局部保号性可得存在x0＞0，使得∀x∈（0，x0），总有f′（x）＜0， f（x）在（0，x0）为减函数，故∀x∈（0，x0），f（x）＜f（0）＝0，矛盾； 故t≤2，由（1）结论可得f（x）在（0，+∞）上单调递增， 设a，b，c是任意三角形的三边长， 不妨设a≤b≤c，则a+b＞c， 当t≤0时，由（2）中结论可得f（a）+f（b）＞f（a+b）， 而f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（a+b）＞f（c），故f（a）+f（b）＞f（c）， 而f（a）≤f（b）≤f（c），故f（a），f（b），f（c）构成三角形三边， 当0＜t≤2，考虑函数s（x）＝f（2x）﹣2f（x），x＞0， 此时s（x）＝2e﹣x﹣e﹣2x+2tln（x+1）﹣tln（2x+1）﹣1， 1， 故当x＞2时，s（x）＞0，即f（2x）＞2f（x）， 当c＞2时，令v（λ）＝f（λc）﹣2f（c），0＜λ＜2， 则由（1）的讨论可得f（λc）在（0，2）上为增函数， 且v（0）＝f（0）﹣2f（c）＝﹣2f（c）＜0，而v（2）＝f（2c）﹣2f（c）＞0， 故存在0＜λ0＜2，使得f（λc）＝2f（c）， 此时c，c，λc可为三角形三边，当f（c），f（c），f（λc）不为三角形三边， 综上，t≤0， 1 学科网（北京）股份有限公司 $