第2节　利用导数研究函数的单调性课件-2027届高三数学一轮复习

第2节　利用导数研究函数的单调性 课标解读　1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.3.能够利用导数解决与函数单调性有关的问题. 1.函数的单调性与其导数的关系 条件 导数的符号 函数的单调性 函数f(x)在区间(a,b)内可导 f'(x)>0   不等式中不带“=”  f(x)在(a,b)内　　　　　　　  f'(x)<0   不等式中不带“=”  f(x)在(a,b)内　　　　　　　  单调递增 单调递减 微思考 “函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件? 提示 充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0. 2.利用导数求函数单调区间的步骤 (1)求函数的定义域; (2)求f(x)的导数f'(x); (3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间. 常用结论 1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(或递减),可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间内恒成立,而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立,“=”不能少,必要时还需对“=”进行检验. 2.若函数f(x)在(a,b)内存在单调递增区间,则当x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间,则当x∈(a,b)时,f'(x)<0有解. 3.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,其图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,图象就比较“平缓”. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(　) (2)函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0.(　　) (3)若函数f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≤0,且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(　　) (4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.(　　) √ × 解析 应为f'(x)≥0. √ √ 2.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2　　B.e　　C.e-1　　D.e-2 C 解析 由题意可知f'(x)=aex-0在区间(1,2)内恒成立,即a在区间(1,2)内恒成立.设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e,则0<,即a≥e-1.故选C. 3.(多选题)(人A选二教材例题改编)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列判断正确的是(　　) A.在区间(-2,1)内,f(x)单调递增 B.在区间(2,3)内,f(x)单调递减 C.在区间(4,5)内,f(x)单调递增 D.在区间(3,5)内,f(x)单调递减 BC 解析 在区间(-2,1)内,当x∈(-2,-)时,f'(x)<0,当x∈(-,1)时,f'(x)>0,故f(x)在区间(-2,-)内单调递减,在区间(-,1)内单调递增,A错误;在区间(3,5)内,当x∈(3,4)时,f'(x)<0,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,故f(x)在区间(3,4)内单调递减,在区间(4,5)内单调递增,C正确,D错误;在区间(2,3)内,f'(x)<0,所以f(x)单调递减,B正确.故选BC. 4.(人A选二教材例题改编)函数f(x)=sin x-x在(0,π)内的单调递减区间是　　　　.  (0,π) 解析 由于f(x)=sin x-x,所以f'(x)=cos x-1,因为x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)内单调递减,即函数的单调递减区间是(0,π). 考点一　不含参函数的单调性 例1　(1)(2025·山东威海模拟)已知函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间 为(　　) A.(0,) B.(-∞,) C.(0,) D.(,+∞) A 解析 因为f(x)=,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=, 令f'(x)>0,得ln(2x)<,所以0<2x<,即0<x<,所以f(x)的单调递增区间为(0,).故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·河北保定期中)函数f(x)=的单调递减区间为(　　) A.(-∞,3) B.(-∞,4) C.(-∞,3)和(3,4) D.(-∞,3)和(3,5) C 解析 由题意得f'(x)=,令f'(x)=<0,得x<4,且x≠3,所以函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,3)和(3,4).故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　确定不含参数的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意两点,一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集符号连接,要用“逗号”或“和”隔开. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](2025·山东泰安模拟)已知函数f(x)=sin x+(-x)cos x,则f(x)在(0,2π)内的单调递增区间为(　　) A.(0,) B.(,π) C.(π,) D.(,2π) B 解析 由函数f(x)=sin x+(-x)cos x,可得f'(x)= (x-)sin x,令f'(x)=0,可得x=或x=π,令f'(x)>0,即(x-)sin x>0,解得<x<π,所以函数f(x)的单调递增区间为(,π).故选B. 考点一 考点二 考点三 考点二　含参函数的单调性 例2　(2025·湖北七(州)市二模节选)已知函数f(x)=2ax+(2-a)ln x+.当a<0时,讨论f(x)的单调性. 考点一 考点二 考点三 解 f(x)=2ax+(2-a)ln x+的定义域为(0,+∞),f'(x)=,因为a<0,由f'(x)==0,解得x1=,x2=- ①当a=-2时,f'(x)=0恒成立,所以f(x)无单调递增区间,单调递减区间为(0,+∞). ②当a<-2时,>-,令f'(x)>0,得x∈(-);令f'(x)<0,得x∈(0,-)∪(,+∞),所以f(x)的单调递增区间为(-),单调递减区间为(0,-),(,+∞). 考点一 考点二 考点三 ③当-2<a<0时,<-,令f'(x)>0,得x∈(,-);令f'(x)<0,得x∈(0,)∪(-,+∞),所以f(x)的单调递增区间为(,-),单调递减区间为(0,), (-,+∞). 综上,当a=-2时,f(x)无单调递增区间,单调递减区间为(0,+∞); 当a<-2时,f(x)的单调递增区间为(-),单调递减区间为(0,-),(,+∞); 当-2<a<0时,f(x)的单调递增区间为(,-),单调递减区间为(0,), (-,+∞). 考点一 考点二 考点三 规律方法　分类讨论解含参函数单调性的注意点 (1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间; (2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点; (3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等; (4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2025·山东菏泽一模节选)已知函数f(x)=aex-x,求f(x)的单调区间. 解 f'(x)=aex-1. 当a≤0时,f'(x)<0恒成立,此时f(x)在R上单调递减; 当a>0时,令f'(x)=0,则x=-ln a, 令f'(x)<0,解得x<-ln a,则f(x)的单调递减区间是(-∞,-ln a); 令f'(x)>0,解得x>-ln a,则f(x)的单调递增区间是(-ln a,+∞). 综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,-ln a),单调递增区间为(-ln a,+∞). 考点一 考点二 考点三 考点三　函数单调性的应用 考向1　比较大小或解不等式 例3　(1)(2025·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)=sin x+ex-e-x,若a=f(-2),b=f(), c=f(ln 2),则下列选项正确的是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a A 考点一 考点二 考点三 解析 由f(x)=sin x+ex-e-x,得f'(x)=cos x+ex+e-x.因为ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立, 而cos x∈[-1,1],所以f'(x)=cos x+ex+e-x>0,即f(x)在R上单调递增. 因为-2<=ln <ln 2, 所以f(-2)<f()<f(ln 2),即a<b<c.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·湖南邵阳二模)已知函数f(x)=3x3-sin x+x,则满足f(x)+f(4-3x)<0的x的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(2,+∞) D.(-∞,2) C 解析 f(x)=3x3-sin x+x的定义域为R.因为f(-x)=-3x3+sin x-x=-f(x),所以f(x)为奇函数. 又f'(x)=9x2-cos x+1≥0, 所以f(x)在R上单调递增, 所以f(x)+f(4-3x)<0, 即f(x)<-f(4-3x)=f(3x-4), 所以x<3x-4,解得x>2,即x的取值范围是(2,+∞).故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用导数比较大小或解不等式的方法 (1)若要比较的函数值对应的解析式已知,可先通过导数的符号判断函数的单调性,再根据自变量的大小关系确定函数值的大小.若自变量的取值不在同一单调区间内,需先利用函数的奇偶性、对称性等性质将其转化到同一单调区间,再进行比较. (2)在解不等式时,一方面要利用导数确定函数的单调性,另一方面需巧妙地将常数转化为某点的函数值,并注意定义域对变量的约束条件. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)(2025·河北承德高三期末)已知函数f(x)=-x3-ax2-(a2+1)x, 则(　　) A.f(1.10.9)>f(0.90.9)>f(ln 0.9) B.f(ln 0.9)>f(0.90.9)>f(1.10.9) C.f(1.10.9)>f(ln 0.9)>f(0.90.9) D.f(ln 0.9)>f(1.10.9)>f(0.90.9) B 解析 由题意得f(x)的定义域为R,f'(x)=-x2-ax-(a2+1),因为Δ=-3a2-4<0,所以f'(x)<0恒成立,所以f(x)是减函数.又ln 0.9<ln 1=0<0.90.9<0.90=1=1.10<1.10.9,由f(x)的单调性可知,f(ln 0.9)>f(0.90.9)>f(1.10.9).故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2026·山西阳泉模拟)设f(x)=-x2+2x-2(ex-1+e1-x),则使得f(x+1)<f(2x-2)的x的取值范围是　　　　　.  (1,3) 解析 将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度,所得图象对应的函数即为g(x), 则g(x)=f(x+1)=-x2+1-2(ex+e-x),易知g(-x)=g(x),所以g(x)是定义在R上的偶函数,g'(x)=-2x-2(ex-e-x),当x≥0时,ex≥1≥e-x,所以g'(x)=-2x-2(ex-e-x)≤0, 所以函数g(x)在[0,+∞)内单调递减, 又f(x+1)<f(2x-2)可化为f(x+1)<f(2x-3+1),即g(x)<g(2x-3), 所以|x|>|2x-3|,即x2>(2x-3)2,即3x2-12x+9<0,解得1<x<3,所以x的取值范围是(1,3). 考点一 考点二 考点三 考向2　根据单调性求参数 例4　[一题多变]若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,则a的取值范围是(　　) A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.[3,e2+1] D.[3,e2-1] B 解析 因为f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内单调递增,所以f'(x)=2x-a+0在区间(1,e)内恒成立,即a≤2x+在区间(1,e)内恒成立,令g(x)=2x+(1<x<e),则g'(x)=2->0,所以g(x)在(1,e)内单调递增,又g(1)=3,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].故选B. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](改变单调区间)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x的单调递减区间是(,1)”,则实数a的值等于　　　　.  3 解析 依题意,不等式f'(x)=2x-a+<0的解集为(,1),即2x2-ax+1<0的解集为(,1),因此方程2x2-ax+1=0的两实数根是和1,解得a=3. 考点一 考点二 考点三 [变式2](改为存在单调递增区间)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内存在单调递增区间”,则a的取值范围是　　　　　　　　.  (-∞,2e+) 解析 依题意,f'(x)=2x-a+>0在区间(1,e)内有解,即a<2x+在区间(1,e)内有解,令g(x)=2x+(1<x<e),则g'(x)=2->0,所以g(x)在(1,e)内单调递增,又g(e)=2e+,所以a<2e+,即实数a的取值范围是 (-∞,2e+). 考点一 考点二 考点三 [变式3](改为在区间内不单调)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)内不单调”,则实数a的取值范围是　 .  (3,2e+) 解析 由本例知,当f(x)在区间(1,e)内单调递增时,a≤3;又f(x)在区间(1,e)内单调递减时,应有f'(x)≤0在区间(1,e)内恒成立,即a≥2x+在区间(1,e)内恒成立,解得a≥2e+,因此当f(x)在区间(1,e)内不单调时,a的取值范围是3<a<2e+ 考点一 考点二 考点三 规律方法　根据函数单调性求参数的值或取值范围的类型及解法 已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),f(x)中含参数 转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到 已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),I中含参数 先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式(组)求解 已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或单调递减)区间 转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解 已知函数f(x)在区间I上不单调 方法一:转化为f'(x)=0在I上有解,求解后注意验证; 方法二:运用补集思想,先求f(x)在区间I上单调时参数的取值范围,再取其补集 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 C 解析 由题意可知f'(x)=aex-0在区间(1,2)内恒成立,即a在区间(1,2)内恒成立.设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,2)内恒成立,所以函数g(x)=xex在区间(1,2)内单调递增,所以g(x)>g(1)=e, 则0<,即a≥e-1.故选C. 考点一 考点二 考点三 $