专题06 立体几何中的球模型（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第四册

专题06 立体几何中的球模型 目录 典例详解 类型一、长方体、正方体的外接球 类型二、圆锥、圆台、棱台、圆柱、棱柱的外接球 类型三、墙角模型与对棱相等模型 类型四、侧棱相等或者侧棱垂直模型 类型五、二面角模型 类型六、两直接三角形共斜边模型 类型七、内切球模型 类型八、棱切球模型 压轴专练 类型一、长方体、正方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为 （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 例1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B．2 C． D． 变式1-1．（25-26高二上·上海·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________． 变式1-2．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 变式1-3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型二、圆锥、圆台、棱台、圆柱、棱柱的外接球 1、圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 2、柱体的外接球 （1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 （2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 3、台体的外接球 (1)圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 (2)棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 例2．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 变式2-2．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 变式2-3．（25-26高三上·贵州遵义·月考）圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 类型三、墙角模型与对棱相等模型 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 例3．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（2026·山西·二模）在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．（2025·河北沧州·模拟预测）在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（    ） A． B． C． D． 类型四、侧棱相等或者侧棱垂直模型 1、当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径 2、当侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球 3、不规则图形但是上下底平行，且上下底的外接圆圆心连线垂直于上下底。 例4．（25-26高二上·浙江·期中）已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若的余弦值为，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（2025·四川巴中·一模）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（   ） A． B． C． D． 变式4-2．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是______. 变式4-3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（    ） A．5 B． C． D． 类型五、二面角模型 1、当二面角为直角时，则找两个垂面的外接圆的圆心。构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径 (1)若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。） (2)若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 (3)若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径 2、当二面角不为直角时，依然需要找两个面外接圆的圆心、球心所在位置，计算难度比两垂面的复杂。 例5．（2026·福建·二模）已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．（2025·江西·二模）在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（2026·四川成都·模拟预测）三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____ 变式5-3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，，是边长为的正三角形，，则四面体的体积为__________． 类型六、两直接三角形共斜边模型 若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 例6．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 变式6-2．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得. 空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为______. 变式6-3．（25-26高二上·云南昭通·期末）在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 类型七、内切球模型 1、锥体的内切球 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 2、台体的内切球 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 例7．（2026高一·全国·专题练习）如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 变式7-1．（25-26高一下·海南海口·期中）已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 变式7-2．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 变式7-3．（25-26高一下·山东济宁·期中）一个圆台的上､下底面半径分别为，且，圆台轴截面为底角是的等腰梯形.若该圆台内有一个球，当球的体积最大时，球的表面积与圆台的侧面积比值为（    ） A． B． C． D． 类型八、棱切球模型 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径 例8．（25-26高三下·河北沧州·月考）球与棱长为2的正四面体的棱，，均相切，且和平面相切，则正四面体三个侧面，，截球的截痕长度共为（    ） A． B． C． D． 变式8-1．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 变式8-2．（25-26高三上·山东·期末）已知正四面体的棱长为a，其棱切球与PA、PC分别相切于M、N．则异面直线MN和PB之间的距离是（   ） A． B． C． D． 变式8-3．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一下·吉林长春·月考）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在三棱锥中，是的内心，底面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 4．（2026·四川自贡·三模）三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______. 5．（24-25高一下·山东威海·期末）已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______． 6．（2025·四川成都·一模）在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 7．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为______；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______． 8．（2026·四川遂宁·一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 9．（2027高三·全国·专题练习）已知在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8．若为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球的交线长为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 立体几何中的球模型 目录 典例详解 类型一、长方体、正方体的外接球 类型二、圆锥、圆台、棱台、圆柱、棱柱的外接球 类型三、墙角模型与对棱相等模型 类型四、侧棱相等或者侧棱垂直模型 类型五、二面角模型 类型六、两直接三角形共斜边模型 类型七、内切球模型 类型八、棱切球模型 压轴专练 类型一、长方体、正方体的外接球 （1）若正方体边长为，则它的外接球半径为 （2）若长方体的三边长分别为，则它的外接球半径为 例1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，因为正方体的体对角线等于外接球的直径， 即，得，球的体积公式为，代入可得：， 解得，所以. 变式1-1．（25-26高二上·上海·期中）长方体的8个顶点都在同一个球面上，且，，则球的表面积为___________． 【答案】 【分析】利用长方体的体对角线就是外接球直径，从而可求球的表面积. 【详解】    由题可得：， 因为长方体的外接球的一条直径是，所以外接球的半径为， 由球的表面积公式可得：， 故答案为： 变式1-2．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 变式1-3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体对角线长就是球的直径求出正方体的棱长，结合当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小，进而可得答案． 【详解】设正方体棱长为，则正方体对角线长就是球的直径， 球心O是正方体对角线中点， 由正方体对角线公式，解得． 因为点是棱的中点，当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小． 因为，，勾股定理，解得， 设截面圆半径为，则， 所以截面面积， 故选：C． 类型二、圆锥、圆台、棱台、圆柱、棱柱的外接球 1、圆锥的外接球 若圆锥的高为，底部半径为，母线长为，则圆锥的外接球半径 2、柱体的外接球 （1）圆柱的高为，底面半径为，则圆柱的外接球半径 （2）若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径，然后补成圆柱，按圆柱的外接球半径公式来算即可。 3、台体的外接球 (1)圆台的上底半径 ,下底半径，高为，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得它的外接球的半径 (2)棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公式。 例2．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据正四棱台及其外接球的性质，可知球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上，垂直于上下底面，结合已知条件求出上下底面的面积及，根据已知条件结合体积公式得出正四棱台的高，因为，设，根据勾股定理构造关于的方程，求出从而计算出值，根据求出外接球的表面积. 【详解】 如图所示，正四棱台的外接球半径，设， 根据正四棱台及其外接球的性质可知，球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上， 垂直于上下底面，且上下底面均为正方形，则 ，， ，， 设正四棱台的高为，则. 所以. 因为，设，则， 根据勾股定理. 所以外接球表面积. 故选：C. 变式2-1．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台的上，下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球表面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【详解】在正四棱台中，，，体积为，高为， 故， 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，所以球心与点重合， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 所以球心与点重合， 综上所述，，故，所以. 故选：C. 变式2-2．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 【答案】A 【分析】根据内切球和外接球球心重合，得到角之间的关系，继而可求外接球半径. 【详解】 因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到 所以外接球半径， ∵，∴ 因此圆锥外接球的表面积为48π. 故选：A. 变式2-3．（25-26高三上·贵州遵义·月考）圆台的上、下底面半径分别为、，且，母线，圆台的表面积为，若球为圆台的外接球，且球心在圆台内部，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据圆台的表面积公式和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台的高为，上、下底面圆的圆心分别为，圆台外接球的半径为， 圆台的表面积为， 解得，，则. 由图可知， 有，即， 解得，则， 所以外接球的表面积为. 故选：C 类型三、墙角模型与对棱相等模型 (1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 (2)图2为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 (3)若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方体或正方体的外接球半径。 例3．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将三棱锥补成长方体，再利用长方体的性质求出外接球的半径，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥补成长方体， 设，又， 则，，，将三式相加得， 因为三棱锥的顶点全在长方体的顶点上，所以长方体的外接球也是三棱锥的外接球， 由长方体的性质知，长方体的外接球球心在体对角线的中点处，且体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，则球的表面积为. 故选：D. 变式3-1．（2026·山西·二模）在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知将棱锥补全为长方体，分析得到该长方体的外接球即为棱锥的外接球，结合长方体与其外接球的特征及等面积法求点面距离. 【详解】把三棱锥补成下图中的长方体，则球心在长方形上， 所以，而，则， 在中，其中表示点到的距离， 所以点到平面的距离就是点到的距离. 变式3-2．（2025·河北沧州·模拟预测）在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求解，把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，进而可求解. 【详解】 设，取的中点，连接， 则､平面，所以平面， 且，所以的面积为， 则三棱锥的体积为，所以， 把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，如下图所示： 设长方体的长､宽､高分别为，球的半径为，则 所以，所以， 所以球的表面积为. 故选：A. 变式3-3．（2026·安徽马鞍山·二模）已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于每个相交面，利用点到面的距离公式，结合球的半径，求出交线圆弧的半径；再通过几何关系确定圆心角，最后将所有相交得到的曲线长度相加，得到总长度. 【详解】面是过的平面，截球所得截面圆的圆心为，半径为, 顶点都在球内（），在球外（）， 因此和各有一个交点，交线为两点间的圆弧, 上交点满足，得， 又（中），因此圆弧圆心角，弧长， 同理，面与对称，弧长， 是等边三角形，、各有一个交点，圆心角为， 弧长：， 到面的距离，截面圆半径，截面圆心为， 弧长：， . 类型四、侧棱相等或者侧棱垂直模型 1、当三棱锥棱锥的三条棱相等时，则在平面上的射影是的外接圆圆心，此时可以把三棱锥补成圆锥，按圆锥的求外接球的方法来求球的半径 2、当侧棱垂直于底面，则可以补全成柱体，然后找柱体的外接球 3、不规则图形但是上下底平行，且上下底的外接圆圆心连线垂直于上下底。 例4．（25-26高二上·浙江·期中）已知球的表面积为，球面上有，，，四点，，，与平面所成的角均为，若的余弦值为，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据外接球的表面积求出外接球半径为，过点作平面，垂足为，连接，由题设易得，，球心O在上，根据余弦定理可求得，再根据正弦定理、余弦定理及基本不等式求得，进而求得三棱锥的体积的最大值. 【详解】设球O的半径为， 由题意，得，所以， 过点作平面，垂足为，连接， 因为，，与平面所成的角均为， 所以，则，， 则球心O在上，如下图所示： 又，， 则，解得， 由，， 所以，则， 即， 由正弦定理，得，显然， 则， 即， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 则三棱锥的体积. 故选：A. 变式4-1．（2025·四川巴中·一模）已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，再根据勾股定理，建立方程，即可求解. 【详解】如图，点C在面APB内的射影为PM的中点，设PM的中点为N，则有平面， 平面，所以，可知， 又，， 则，，， ，M为AB的中点，则M为的外心， 所以三棱锥的外接球的球心在过M且垂直平面PAB的垂线上，则有， 过作的平行线，与相交于点，则有为矩形， 所以，， 设球到平面PAB的距离为t，球O的半径为R， 有，， 在和中，由勾股定理，得， 解得，所以， 所以球O的表面积为. 故选：B. 变式4-2．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是______. 【答案】 【分析】由的面积计算边，利用正弦定理得 外接圆的半径，最后利用勾股定理求得外接球的半径，进而得球的表面积. 【详解】由题意有：，所以， 又，所以， 所以（为外接圆半径），设外接圆的圆心为， 即，过点作平面，作的中垂线交于点，即， 所以点为三棱锥的球心，设外接球半径为， 所以， 所以此三棱锥外接球的表面积为, 故答案为：. 变式4-3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定球心O的位置，再利用几何法求出球心O到平面PBC的距离为，再利用等体积法求解即可. 【详解】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线， 取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线，则与的交点即为球心O， 在正中，，，得， 又，即， 则，，， 由余弦定理得，则， 过O作PE的垂线，垂足为G，由，， 因为，PA，平面，所以平面， 又平面PBC，则平面平面， 又平面平面，平面，因此平面PBC， 在中，， 所以球心O到平面PBC的距离为， 则三棱锥的体积为， 而，设点到平面的距离为， 由，得，解得， 则点到平面的距离为. 类型五、二面角模型 1、当二面角为直角时，则找两个垂面的外接圆的圆心。构造出两个外接圆圆心与球心所在的平面，然后利用勾股定理求求的半径 (1)若平面在外接球的轴截面上，不在外接球的轴截面，如图1，此时平面的外接圆圆心即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 。（此时我们不讨论P点在与的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB垂直于的情况。） (2)若平面在外接球的轴截面上，也在外接球的轴截面，如图2，的中点即是外接球的球心。在题目条件上的体现为 (3)若平面，都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心，它们与球心，的中点构成一个矩形，可求出长，再根据勾股定理，即可求出球的半径 2、当二面角不为直角时，依然需要找两个面外接圆的圆心、球心所在位置，计算难度比两垂面的复杂。 例5．（2026·福建·二模）已知三棱锥的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先找到的外接圆圆心位置，结合三棱锥的体积确定外接球半径及外接球球心的位置，并利用勾股定理建立关于的方程求解，最后用球的表面积公式计算求解. 【详解】 已知，，所以的面积. ，直角三角形外接圆圆心为斜边中点， 设中点为，则. 因为三棱锥体积，代入得，， 又，为中点，由等腰三角形三线合一得， 且 ， 因此平面，即在底面投影为. 设，球半径为，则. ，， 联立得，解得，因此. 即球的表面积. 变式5-1．（2025·江西·二模）在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明出，可知为球的直径，求出球的半径，利用球体的体积公式可求得球的体积. 【详解】因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 取线段的中点，连接、，则， 故为球的直径，故球的半径， 所以球的体积为 . 故选：C. 变式5-2．（2026·四川成都·模拟预测）三棱锥满足，，，，二面角的大小为.若三棱锥的所有顶点都在一个球面上，则这个球体的表面积为_____ 【答案】 【分析】设利用双曲线的定义确定点、的轨迹，作的中垂线，结合二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将点的坐标表示出来，设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程，求出球的半径，再用球的表面积公式计算结果. 【详解】在平面内，，以中点为原点，为轴正向， 过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系， 容易得到:点在双曲线上， 同理，在平面内，以中点为原点，为轴正向，过且垂直于的直线为轴建立直角坐标系，容易得到，点在双曲线上， 由，所以、两点在直线上的投影相同，记为， ∴设，则因为, 所以为平面的平面角,所以中，， 由余弦定理，，解得:，所以 又，所以重合，则， 所以的外接圆圆心分别为的中点，分别记为， 记为外接球球心，则平面平面， 则四点共面，且四边形中，， 因为，所以， ， 在中，. ∴三棱锥的外接球的表面积为. 变式5-3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，，是边长为的正三角形，，则四面体的体积为__________． 【答案】或 【分析】先确定球心在过底面外接圆的圆心并且与底面垂直的直线上，再分别计算球的半径，球到底面的距离及底面三角形外接圆的半径，进而在过及的中点所作的截面，则截面圆就是大圆，进而在三角形中，根据外接圆的半径及圆心到的距离，设，根据与平面同侧或异侧分两种情况讨论，再通过解三角形可得高，进而可得四面体的体积. 【详解】因为外接球的表面积为，所以，解得. 又因为是边长为的正三角形，所以其外接圆半径. 设球心到平面的距离为，所以，得. 因为是正三角形，所以球心在过三角形的外接圆心且垂直平面的直线上，如图： 设的中点为，因为，所以，同理， 而平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 过点作平面，垂足. 过作截面，则截面圆就是大圆，圆与交于点，即三角形的外接圆就是大圆. ①若球心和在平面的同侧,如图： 则，设的中点为，设， ，所以，. ,, 所以， 所以直角三角形中，， 所以，所以四面体的体积； ②若球心和在平面的异侧,如图： 此时， 所以直角三角形中，， 所以，所以四面体的体积； 综上所述，四面体的体积为或. 类型六、两直接三角形共斜边模型 若三棱锥中，则无论二面角为多少，三个心重合，这时则外接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 例6．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，判断点到三棱锥的距离都相等，得到外接球半径，代入求解即可. 【详解】 因为为等边三角形，所以. 在等腰中，，则. 在中，，，， 则，所以. 同理可得，. 取中点，连接，. 在中，有；在中，有， 则点到三棱锥的距离都相等，则点即为三棱锥的外接球的球心， 显然，的外接球的半径为. 所以球的表面积. 变式6-1．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【分析】取的中点，得到为外接球的球心，且，设，求得三棱锥的体积为，得到取得最大值，在中，利用余弦定理，求得的值，结合球的截面圆的性质，得到截面圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 变式6-2．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得. 空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为______. 【答案】 【分析】先找出的中点为四面体的外接球球心，再分析当截面时截面面积最小，求出截面面积即可. 【详解】如图，取的中点为， 由正方形的边长为2，则， 因此为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 则有，即， 当截面时，最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 此时， 所以截面面积最小值为. 故答案为：. 变式6-3．（25-26高二上·云南昭通·期末）在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中点到四面体的四个顶点、、、的距离相等，是四面体的外接球的球心，再求出球半径及表面积. 【详解】如图 设AC的中点为O，由矩形ABCD可知点O到四面体的每个顶点的距离都相等，为， 则点O即为四面体外接球的球心，所以四面体ABCD的外接球的半径为， 则四面体ABCD的外接球的表面积为． 故选：B. 类型七、内切球模型 1、锥体的内切球 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 2、台体的内切球 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 例7．（2026高一·全国·专题练习）如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 【答案】 【详解】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， ， ，， ， ， 三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面平面， ， 由， 得， ， ，解得， ， 四点共球，直径为， ， ，故． 变式7-1．（25-26高一下·海南海口·期中）已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 【答案】 【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，再计算对应圆台的侧面积，球的表面积，即可得答案. 【详解】设上底半径，下底半径 . 由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长 ， 圆台的高（为球的半径） 由勾股定理得： ， 因此球半径 ， 所以圆台侧面积， 球的表面积， 所以=. 变式7-2．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【答案】 【分析】首先根据正四面体表面积求出棱长，高，再通过几何关系求出大球半径（也可以使用等体积法）．中球，小球也可以看成是内接于正四面体的球，求出外切正四面体的高，根据相似关系，得到中球，小球半径，最终求出个球的表面积之和． 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体ABCD的表面积为，即，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为． 变式7-3．（25-26高一下·山东济宁·期中）一个圆台的上､下底面半径分别为，且，圆台轴截面为底角是的等腰梯形.若该圆台内有一个球，当球的体积最大时，球的表面积与圆台的侧面积比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆台内体积最大的球，对应于轴截面内面积最大的圆。设圆台的轴截面为等腰梯形，把问题转化为“等腰梯形内最大圆”的问题。先由已知条件求出圆台的高和母线长，再设球心在轴上，比较球心到底面、上底和腰的距离，求出最大半径，最后计算面积比。 【详解】设 则圆台轴截面的上、下底分别为 因为轴截面为底角是的等腰梯形，所以每条腰与下底所成角为， 上下底之差的一半为 故圆台的高为 母线长为 于是圆台的侧面积为 下面求圆台内最大球的半径， 在轴截面中建立坐标系，使下底所在直线为，对称轴为轴， 则右腰经过点，且斜率为，故其方程可写为 设最大圆的圆心为，半径为， 则圆心到底边的距离为，圆心到上底的距离为 圆心到右腰的距离为 因此 先考虑与的大小， 当时，半径随增大而增大， 当时，半径受腰限制而减小， 所以最大值在时取得，解得 即于是最大半径为 再考虑此时的最大半径与的关系， 当时， 说明最大球与下底及侧面相切，不与上底相切， 故球的表面积为 所求比值为 类型八、棱切球模型 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径 例8．（25-26高三下·河北沧州·月考）球与棱长为2的正四面体的棱，，均相切，且和平面相切，则正四面体三个侧面，，截球的截痕长度共为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过相似三角形求出球的半径和球心到侧面的距离，求出截面圆的半径，利用圆的周长公式求解即可. 【详解】设球与平面的切点为，与棱的切点为， 球与正四面体的棱，，均相切，且和平面相切， 球心在正四面体的高上， 设球的半径为，则， 设正四面体的棱长为，底面是正三角形， ， ， 则， 球与棱相切于， ，，， ， ，，， ，， 过球心作平面的垂线，交平面于点，连接， 则点在的底边的中线上，设的中点为，则，， ，，，， ， 正四面体三个侧面，，截球的截痕长度共为 . 变式8-1．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设AB，的中点分别为D，E，连接CD，OD，OE，， 设，则. 因为，所以. 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 变式8-2．（25-26高三上·山东·期末）已知正四面体的棱长为a，其棱切球与PA、PC分别相切于M、N．则异面直线MN和PB之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正四面体放置于正方体，根据正方体的性质求得异面直线MN和PB之间的距离. 【详解】将正四面体放置于正方体，如图所示， 正四面体的棱长为，则正方体的棱长为， 正四面体的棱切球，也即是正方体的内切球. 设分别是的中点， 则平面平面，平面，平面， 设分别是的中点，连接交于， 连接，交于，连接， 根据正方体的性质可知， 所以异面直线MN和PB之间的距离为. 故选：B 变式8-3．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出平面截球所得截面圆的圆心及半径，在三角形中，以中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，求出截面圆的方程，进而求出截面圆与三边的交点坐标，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】根据已知棱切球的球心就是正方体中心，半径. 如图，设与的交点为，过球心作平面的垂线，垂足为， 斜边上高，所以， 所以平面截球所得截面圆（圆心是）的半径， 如图，在矩形中，作，交于点， 在中，，，所以， 所以， 在三角形中，如图建立直角坐标系， 所以，，，截面圆， 圆与三角形各边的交点分别为，，，，， 所以三角形三边与正方体的棱切球（与12条棱都相切的球）的公共部分长度总和为. 联立，求得，， 直线方程为， 联立，求得， 同理求得， 所以， 所以三边与球体O公共部分的长度总和是. 1．（25-26高一下·吉林长春·月考）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积与体积公式求解即可. 【详解】因为，，则，故. 又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长. 设三棱锥的外接球半径为， 则，故. 因此该球的表面积为， 体积为. 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）在三棱锥中，是的内心，底面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，设是中点，则是的外心，过作的平行线，与平面垂直，则三棱锥的外接球的球心在此直线上，然后按在平面的两侧分类讨论求得外接球半径后可得表面积. 【详解】作于点，设是中点，则是的外心，过作的平行线，与平面垂直，则三棱锥的外接球的球心在此直线上，如图，设，， 在直角中，，则，分别与垂直，垂足分别为，则，， ，， ， 在平面上，若在平面同侧，则， 由得，解得，不合题意，舍去， 因此在平面两侧，， 由得，解得， 所以， 所以外接球表面积为， 故选：A.    3．（25-26高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱，，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 【答案】 【分析】分别取和的中心，易知外接球的球心为的中点，进而结合勾股定理求出半径，然后求出球的表面积. 【详解】如图，在正三棱柱中，设和的中心分别为，设的中点为， 所以为正三棱柱外接球的球心， 所以， 连接，延长交于点，所以为的中点， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以该球的表面积为. 4．（2026·四川自贡·三模）三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为______. 【答案】 【分析】由线面垂直关系证明平面，求底面的外接圆半径，进而根据几何关系求外接球的半径并计算球的表面积. 【详解】如图所示， 在中：，因此，即. 在中：，因此，即. 因为，且平面， 根据线面垂直判定定理可得：平面. 是边长为的等边三角形，由正弦定理， 其外接圆半径满足：，解得，即. 外接球球心在过外心、且垂直于平面的直线上，该直线平行于， 设球心到平面的距离为，由，得：， 即，已知，故，， 外接球半径满足： 由球的表面积公式，代入得：. 5．（24-25高一下·山东威海·期末）已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______． 【答案】/ 【分析】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为，由题意先求，利用正弦定理求，利用勾股定理求，进而得，利用余弦定理求，最后利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为， 所以，又，， 由正弦定理有， 过作平面，则，所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 即，化简整理有，解得， 所以， 所以， 故答案为：. 6．（2025·四川成都·一模）在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 7．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为______；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______． 【答案】 【分析】根据平面得为三棱锥的高，从而利用三棱锥的体积公式求解即可；根据线面垂直的性质定理得两两垂直，得到三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球，即可求球体半径，进而求其表面积. 【详解】因为平面，所以为三棱锥的高， 又，， 所以三棱锥的体积为； 由平面，平面，平面，则，，又，则，即两两垂直， 所以三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球， 所以外接球半径为， 故外接球O的表面积为. 故答案为：， 8．（2026·四川遂宁·一模）在三棱锥中，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球（顶点都在球面上）的体积为_______. 【答案】/ 【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，利用直角三角形的性质，得到，即为三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为，得到，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，分别连接， 因为平面，平面，所以， 又因为 是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，在直角中，可得， 所以，即为三棱锥的外接球的球心， 在直角中，，可得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：.    9．（2027高三·全国·专题练习）已知在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8．若为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是立体几何与平面几何的综合题，核心是先根据圆柱与内切球的相切关系求出圆柱的底面半径和高， 再确定截面与球面交线的位置，最后计算交线长度. 【详解】设球的半径为，则，而，所以． 如图，连接，，作于点，易知． 因为为的中点，所以，又为的中点，所以． 又，，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，且，，平面， 所以平面． 因为，，， 所以， 所以，所以． 易知平面与球的交线为一个圆，其半径为， 交线长为． 故选：. 10．（25-26高三下·湖北孝感·阶段检测）如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 【答案】B 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于不同高度的正四面体即可求解． 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心，延长AO交底面BCD于， 是等边三角形BCD的中心，过作交CD于，连接BF， 根据对称性，BF过点E， 则OE为正四面体内切球的半径， 正中，高，而，， 同理，所以， 所以， 解得，所以正四面体ABCD内切球的表面积为， 由图可知最大球内切于高的正四面体中， 最大球半径，故最大球表面积为， 进一步，可知中等球内切于高的正四面体中， 中等球半径，故中等球的表面积为， 最小球内切于高的正四面体中， 最小球半径，故最小球的表面积为， 所以九个球的表面积之和为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $