第06讲：计数原理【十二题型】训练-2026届高考数学三轮冲刺

第06讲：计数原理 【题型归纳】 · 题型一：捆绑法 · 题型二：插空法 · 题型三：特殊元素法 · 题型四：间接法 · 题型五：隔板法 · 题型六：定序问题 · 题型七：平均（部分）分组问题 · 题型八：不平均分组问题 · 题型九：特殊位置法 · 题型十：染色问题 · 题型十一：排数问题 【题型探究】 题型一：捆绑法 【典例1】．（2026·重庆渝中·三模）给某班级星期一上午排课，一共 5 节课，语数外各一节，体育课两节（两节体育课相同），要求两节体育课必须相邻， 则不同的排课种数有（    ） A．48 B．60 C．24 D．12 【答案】C 【详解】采用捆绑法，将两节相邻的体育课视为一个整体.此时需排列的元素为语文、数学、外语、体育整体，共4个元素. 4个元素的全排列数为.由于两节体育课为相同课程，内部无需再排列. 因此，不同的排课种数为24. 【变式1】．（2026·吉林延边·三模）春节期间四位同学回母校看望两位老师，看望结束合影留念，若两位老师相邻，则不同的排法种数共有（    ） A．240 B．300 C．360 D．480 【答案】A 【分析】把两位老师捆绑在一起，看成一个元素，进行全排列，结合排列数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，把两位老师捆绑在一起，看成一个元素，进行全排列， 则不同的排法种数共有种. 【变式2】．（25-26高二下·江苏南京·期中）甲､乙等5名同学站成一排，其中甲､乙相邻且甲在乙的左边，不同的排法种数是__________.（用数字填空） 【答案】24 【详解】因为要求甲、乙相邻，且甲固定在乙的左侧，所以可直接将甲、乙看作1个整体，甲乙内部顺序固定，只有1种排列方式。 此时相当于一共个元素进行全排列，排列数为， 因此不同排法种数为24. 题型二：插空法 【典例2】．．（25-26高二下·山西临汾·期中）某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（    ） A．960种 B．1056种 C．3600种 D．5040种 【答案】B 【详解】体育课排在下午共种排法；因数学与物理不相邻，分两类： 第一类：数学与物理有一科在下午，另一科在上午与其他科排列，共种排法； 第二类：数学与物理均在上午且不相邻，先在语文、英语、化学、生物中选一科排在下午共种排法，再把剩下3科排在上午共种排法，在它们中间及两端共4个空位安排数学与物理，共种排法，由分步乘法计数原理共种； 所以共 种排法．故选B． 【变式1】．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 【答案】B 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 【变式2】．（25-26高二下·山东青岛·期中）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有________种排法． 【答案】72 【详解】先排三个唱歌节目，有种；再将两个舞蹈节目插入其中的两个间隙，有种， 所以不同排法种数是. 题型三：特殊元素法 【典例3】．．（25-26高二下·湖北武汉·期中）育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【答案】C 【详解】将5名同学按和分组分别有种和种分法， 再将含有同学甲的一组安排到或服务点，最后安排另两组，安排方法有种， 所以不同的安排方法共有种. 【变式1】．（2026·辽宁抚顺·二模）现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个参演，又不在最后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】A 【详解】若甲在第三个参演，则不同的参演顺序有种； 若甲不在第三个参演，则不同的参演顺序有种. 根据分类加法计数原理可知，不同的参演顺序共有种. 【变式2】．（2026·湖南长沙·一模）甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】若甲是第一名，则剩下名同学名次排列共有种，若甲是第二名，则剩下名同学名次排列共有种， 所以人名次排列的所有可能情况共有种. 题型四：间接法 【典例4】．．（2026·广东茂名·二模）某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】因为从天中选天，共有种．而周一和周二同时被选的选法，共有种． 因此，满足条件的方案为种． 【变式1】．（2026·湖南浙江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 【答案】36 【分析】利用甲乙不相邻问题，去掉甲乙不相邻且乙丙相邻的情况即可. 【详解】5人中甲乙不相邻的排列数为种，其中甲乙不相邻，且乙丙相邻的排列数为， 所以所求不同的排法种数为. 【变式2】．（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 【答案】10 【详解】已知甲负责第一关，从剩余4人中选2人去第四关，共种选法，剩下2人全排列去第二、三关，共种排法，总方案数为 6 × 2 = 12， 不符合条件（乙丙同关卡）的情况：因为第二、三关都只有1个位置，乙丙只能同时在第四关，此时剩下2人全排列去第二、三关，共种， 因此符合条件的方案数为 12 − 2 = 10 . 题型五：隔板法 【典例5】．．（2026·河南·模拟预测）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 【答案】B 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，． 【变式1】．（2026·广东·模拟预测）某校计划将12个完全相同的社会实践名额分配给高三年级的3个班级，要求一班至少分配1个名额，二班至少分配2个名额，三班至少分配3个名额，则不同的分配方案数为____________． 【答案】 【详解】先安排1个名额给二班，安排2个名额给三班， 再将剩余9个名额利用隔板法分为三个部分，这三个部分对应到三个班级即可， 用2个隔板将剩余9个名额分为三个部分均有名额的分法有种. 前面一组分到一班，第二个部分分到二班，第三个部分分到三班. 所以不同的分配方案数为 【变式2】．（25-26高三下·重庆·阶段检测）为营造安心舒适的学习环境，助力高三学子圆梦高考，重庆市第二外国语学校计划在五月底举行考前趣味活动.现已知年级领导为高三23个班级共准备了50份完全相同的奖品，若每班至少获得2个奖品，有______种不同的奖品分配方法. 【答案】 【详解】先给每个班提前分1份奖品，总共分掉份，剩余奖品数为 再将剩余27份相同奖品分给23个班，每班至少再分1份，使用隔板法 题型六：定序问题 【典例6】．．（25-26高二下·湖北武汉·期中）小明桌子上有本不同的数学书，本相同的物理书，现将这本书依次全部取走，则不同的取书顺序有（   ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】步骤：先假设所有书都不同，如果本书全不同，那么取书顺序的总数是， 步骤：考虑相同书的重复情况，因为有本相同的物理书，这本书的顺序交换不会产生新的取法，所以需要除以这本书的排列数， 所以，不同的取书顺序有． 【变式1】．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 【变式2】．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ） A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 【答案】B 【详解】若与相邻，则需将其捆绑并排列，再将四个元素排列，共有种， 因为在之前和在之后各占一半，故符合题意的不同的游览顺序共有种. 故选：B 题型七：平均（部分）分组问题 【典例7】．．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）哈尔滨市第六中学校开展爱国主义教育实践活动，计划周日组织高一年级一班至六班前往731部队罪证陈列馆、哈尔滨烈士纪念馆两处场馆进行参观．现要求每个场馆分配3个班级，同时派2名教师带队，每名教师负责一个场馆的带队工作，请问一共有（   ）种不同的安排方法？ A．20 B．40 C．80 D．120 【答案】B 【分析】先把6个班级平均分成两组，再分配到两个场馆，再把两位老师每个场馆分配一个即可. 【详解】先把6个班级平均分成两组，再分配到两个场馆，再把两位老师每个场馆分配一个， 则有种不同的安排方法. 【变式1】．（2026·四川宜宾·三模）在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【分析】根据分组分配问题，先求出无限制条件的方法数，再求出安排甲、乙在同一个岗位的方法数，进而求解. 【详解】因为4个人分配到3个不同的岗位，且每个岗位至少1名， 所以必有一个岗位2人，另2个岗位各一人，共有种方法. 若安排甲、乙在同一个岗位，为2人组，而丙、丁各为一人一组， 3个小组全排列到3个不同的岗位，共有种方法， 所以安排甲、乙不在同一个岗位有种方法. 故选：C 【变式2】．（2026·江苏扬州·模拟预测）某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 【答案】540 【详解】法一：将6本书按2，2，2分成3份，共有种； 将6本书按1，1，4分成3份，共有种； 将6本书按1，2，3分成3份，共有种； 分配给3个人，共有：种； 法二：总的分配方式(不考虑每人至少一本，每种书有3种选择)为种， 减去“指定1个人没有得到书”的情况总和(选1个没得到书的人，剩余2人分书)： 种(包含恰有2人没得到书的情况)， 加上“有2个人没得到书”的情况(选2个没得到书的人，剩余1人分书)：种， 故由容斥原理计算：共种． 题型八：不平均分组问题 【典例8】．．（2026·山东泰安·三模）若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．240 B．540 C．630 D．1080 【答案】B 【分析】根据不同元素的分组分配问题求解，先分组，再分配. 【详解】先对6张互不相同的优惠券分组，再分配. 按“”分组后再分配，不同的分法种数为； 按“”分组后再分配，不同的分法种数为； 按“”分组后再分配，不同的分法种数为. 所以不同的分法种数为. 【变式1】．（2026·河北·三模）将含甲、乙在内的7名志愿者分成三个小组，要求每个小组至少一人，有且仅有两个小组的人数相等. （1）则所有不同的分组方法有________种（用数字作答）； （2）若甲、乙两名志愿者不在同一个小组，则不同的分组方法有________种（用数字作答）. 【答案】 196 141 【详解】（1）由题意可知，分组的人数分配情况共有以下三类：，，. 当人数分配为时，分组方法有种； 当人数分配为时，分组方法有种； 当人数分配为时，分组方法有种； 故所有不同的分组方法有种. （2）考虑其对立事件，即甲、乙两名志愿者在同一小组的情况： ①若分配方案为，甲、乙必在5人组， 此时从剩余5人中选3人进入该组，共有种； ②若分配方案为，若甲、乙在2人组，则该组已满， 只需将余下5人分成两组，有种； 若甲、乙在3人组，则需从余下5人中选1人，其余4人均分为两组，有种； 故此方案下甲、乙同组的方法数为种； ③若分配方案为，甲、乙不可能在1人组，必在其中一个3人组， 从剩余5人中选1人加入该组，余下4人分成两组，共有种； 故甲、乙在同一小组的分组方法有种， 则甲、乙不在同一小组的分组方法有种. 【变式2】．（2026·福建·二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 【答案】 【详解】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有与, 当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组,存在与两种分配情况, 此时,; 当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组,存在与两种分配情况, 此时,;. 题型九：特殊位置法 【典例9】．．（2026·江苏·模拟预测）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 【答案】C 【详解】若选派的四人中甲乙仅有其中一人， 则选派方案的种数为， 若选派的四人中甲乙均有， 则选派方案的种数为， 综上，不同的选派方案的种数为. 【变式1】．（2026·湖南湘潭·三模）现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 【答案】D 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 【变式2】．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（   ） A．504种 B．1080种 C．1224种 D．2304种 【答案】C 【详解】根据题意，从6名男生和4名女生中选派4人，所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，可分为男女或男女， ①当男女，共有， 先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法， 由分步计数原理得，共有种选派方案； ②当男女，共有， 先安排编程主持人，剩下的3人全排列，有种选法， 由分步计数原理得，共有种选派方案， 再由分类计数原理得，共有种不同的选派方案. 题型十：染色问题 【典例10】．．（25-26高二下·广东·期中）某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有______种不同的颜色搭配方案. 【答案】260 【详解】第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选， 若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选； 若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选， 所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案. 【变式1】．（25-26高二下·江苏淮安·月考）用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，则不同的涂色方法种数为______． 【答案】260 【详解】由题意可得要给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色， 且有邻边的区域颜色不能相同，最多可用4种不同颜色，最少可用2种不同颜色： 第一种情况，若用4种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 此时有种不同的涂色方法； 第二种情况，若用3种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 则或颜色相同，此时有种不同的涂色方法； 第三种情况，若用2种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 则，颜色相同，此时有种不同的涂色方法； 综上：不同的涂色方法种数为种. 【变式2】．（25-26高二下·河南周口·月考）如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有_____ 种不同的种植方法． 【答案】84 【详解】方法一：设k种种子排成环形的n个区域种植不同的方法数为， 若先考虑排成一行的区域种植且相邻区域种植不同种子，则方法数应为， 若首尾区域种植不同种子时，把首尾区域粘在一起成一个环状时满足条件： 若首尾区域种植相同种子时，把首尾区域粘在一起成一个环状时不满足条件， 此方法数需从种方法中被减掉，所以， 依题意，易得，则， 即． 方法二：① 相同的花，则有种； ②不同的花，则有种， ∴共有种. 题型十一：排数问题 【典例11】．．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【答案】240 【分析】利用相邻问题及不相邻问题列式求解. 【详解】将两个2绑在一起视为一个数，与作全排列，再在形成的5个间隙中插入3个0， 所以不同密码个数为. 【变式1】．（2026·吉林白山·模拟预测）从0，1，2，3，4中取两个数字，从5，6，7，8，9中取出两个数字，可组成___________个没有重复数字的奇数. 【答案】1064 【详解】情况1：个位是来自第一组（0，1，2，3，4）的奇数（即个位为1或3，共2种选择） 再分两小类： 子情况1a：第一组另一个取到0： 第一组取法：（个位）（取0）种；第二组取2个：种； 排前三位：0不能放首位，首位有2种选择，剩余两位全排列，共种排法； 总数：. 子情况1b：第一组另一个不取0： 第一组取法：（个位）种；第二组取2个：种； 前三位无特殊限制，全排列共种排法； 总数：，情况1总个数： 情况2：个位是来自第二组（5，6，7，8，9）的奇数（即个位为5，7，9，共3种选择） 再分两小类： 子情况2a：第一组取出的两个数含0： 第二组取法：（个位）种；第一组取法：（取0后再取1个非0）种； 排前三位：0不能放首位，共种排法； 总数：. 子情况2b：第一组取出的两个数不含0： 第二组取法：（个位）种；第一组取法：种； 前三位全排列共种排法； 总数：，情况2总个数：. 将两类相加：. 【变式2】．（25-26高三下·河南·月考）将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为______．（用数字回答） 【答案】16 【详解】当首位是1时，前三张可以是1，2，3或1，3，5，剩余两张随机排列，共有种； 当首位是2时，前三张必为2，3，4，剩余两张随机排列，共有种； 当首位是3时，前三张为3，2，1或3，4，5，剩余两张随机排列，共有种； 当首位是4时，前三张为4，3，2，剩余两张随机排列，共有种； 当首位是5时，前三张为5，4，3或5，3，1，剩余两张随机排列，共有种， 由分类计数原理得，共有种不同的排法. 【高考达标】 一、单选题 1．（2026·山东济南·二模）如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理及排列数公式计算求解. 【详解】由题意可得顶点标注只能为或，其余情况不满足题意. 若顶点标注，则标注在中点处，此时有， 若顶点标注，则只能标注在之间的边的中点，此时有种， 所以不同的标注方法有种. 2．（2026·吉林·三模）2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（    ） A．120 B．96 C．72 D．36 【答案】C 【详解】首先指导老师有3个位置可以排，剩余4人有种排法， 根据分步乘法计数原理，得指导老师不在两端的不同排法总数为. 3．（2026·云南玉溪·模拟预测）我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将 人按分组，分甲单独一组、甲和他人一组两类，分别用组合排列算出对应方法数，结合甲不参加围棋苑的限制排除不合情况，两类相加得到总方法数为. 【详解】五名同学参加四个社团，每个社团至少一人，必为分组，分两类讨论： ①甲单独一组：从其余人中选人成组，有种. 甲不参加围棋苑，有种选择，剩余组全排列. 方法数为. ②甲与另一人成组：选同伴有种，四组分到四社团，排除甲组去围棋苑. 方法数为. 总计方法数为. 4．（2026·辽宁朝阳·三模）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（   ） A．30种 B．90种 C．150种 D．180种 【答案】C 【分析】先得到分配方案有或，分两种情况，结合排列组合知识得到答案 【详解】由已知可得5个人分三个班，每班至少1人，则可能的分配方案有或， 若分配方案为，则分配方案有种， 若分配方案为，则分配方案有种， 则不同分配方式共有种． 5．（2026·河南许昌·三模）甲、乙、丙、丁共4名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，4人的名次排列可能情况有（   ） A．4种 B．8种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】由题意知，甲、乙都不是冠军，故冠军从丙、丁中选择，共2种， 乙不是最差的，故乙不是第4名和第1名，剩余可选第2或第3名，共2种， 剩下的2人全排列，共种， 总情况为：种． 6．（2026·山东枣庄·三模）中国空间站主要由天和核心舱，问天试验舱，梦天试验舱三个舱构成.某次实验需要4名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去天和核心舱，则不同的安排方法的种数为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据有几个人去天和核心舱进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若有个人去天和核心舱，则这个人是甲， 此时安排方法有种. 若有个人去天和核心舱，除了甲以外，还要再选人， 此时安排方法有种. 所以总的方法有种. 7．（2026·重庆·模拟预测）某单位将12个表彰名额分配给甲､乙､丙､丁四个部门，其中甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额，则不同的分配方案共有（    ） A．15种 B．19种 C．25种 D．46种 【答案】C 【详解】方法一（常规法）：因为甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额， 所以先给四个部门各分配2个名额，剩 个名额未分配，接下来分配这4个名额. 第一类，当甲不增加名额时，还剩4个名额分配给乙､丙､丁， 当4个名额分配给乙､丙､丁中的任意一个部门时，有种分法； 当4个名额分配给乙､丙､丁中的两个部门时，若一个部门有1个名额，另一个部门有3个名额，有种分法，若这两个部门都有2个名额，有种分法； 当4个名额分配给乙､丙､丁这三个部门，且两个部门各分配1个名额，另一个部门分配2个名额时，有种分法. 所以第一类共有 种方案. 第二类，当甲再增加1个名额时，还剩3个名额分配给乙､丙､丁， 当3个名额分配给乙､丙､丁中的任意一个部门时，有种分法； 当3个名额分配给乙､丙､丁中的两个部门，且一个部门有1个名额，另一个部门有2个名额时，有种分法； 当3个名额分配给乙､丙､丁这三个部门，且三个部门各分配1个名额时，有1种分法. 所以第二类共有 种方案. 综上，不同的分配方案共有种. 方法二（隔板法）：第一类，当甲分配2个名额时，先给乙､丙､丁三个部门各分配1个名额，还剩7个名额分配给乙､丙､丁三个部门，且每个部门至少1个名额， 在7个名额形成的6个空隙中插入2块隔板，有种方案； 第二类，当甲分配3个名额时，先给乙､丙､丁三个部门各分配1个名额，还剩6个名额分配给乙､丙､丁三个部门，且每个部门至少1个名额， 在6个名额形成的5个空隙中插入2块隔板，有种方案. 综上，不同的分配方案共有种. 8．（2026·河北雄安·模拟预测）某党校派了名讲师到个单位去讲党课，每个单位只能安排一位讲师授课，而每位讲师至少要去一个单位且至多只能去两个单位，则不同的选派方法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，必有一位讲师去两个单位，另外两个单位各去一位讲师. 第一步：先将个单位按分成三组，共有种方法； 第二步：再把三名讲师分配到三个小组，有种分配方法， 故共有种选派方法. 9．（2026·河南·模拟预测）“水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块.甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，则不同的体验方法一共有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．81种 【答案】A 【详解】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验， 则必有1名游客选择2个主题，其余2人各选择1个主题，则体验方法的总数为种. 10．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（   ） A．18种 B．36种 C．42种 D．72种 【答案】C 【分析】按照“赛道引导”工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】安排“赛道引导”工作的人数分为两类， 第一类，“赛道引导”工作仅安排1人，因为甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加“赛道引导”项工作有种方法， 再安排“物资补给、医疗保障、终点服务”项工作，若“终点服务”工作安排两人，则有种方法， 若“终点服务”工作安排一人，则有种方法， 所以“赛道引导”工作仅安排1人共种方法， 第二类，“赛道引导”工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 二、填空题 11．（2026·吉林·三模）在的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为______． 【答案】90 【分析】先确定每行的结构，再通过列的约束条件，建立方程求解符合条件的行数组合，最后结合排列组合计算总填法数. 【详解】第一行有6种填法，第二行也有6种填法，其中一种填法与第一行完全相同，此时第三行和第四行的数字唯一确定； 如果第二中的数与第一行中的数字完全相反，则第三行有6种填法，第四行由第三行完全确定； 第二行剩下4种填法都是有两个位置与第一行相同， 另外两个位置与第一行相反，此时第三行和第四行有2种填法，故总的填法数为． 12．（2026·山东泰安·模拟预测）某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种． 【答案】24 【详解】 方法一：记三种花分别为，，．4个角有2个格相邻（），边上中间8个格有3个格相邻（），中间4个格有4个格相邻（）．方格具有对称性，且，，等价，所以分为与（与）先行讨论． ①4个边上都为1种花色，且只能为1种花色，所以图中共有2种花色，此时共有种种植方案． ②一组对角为，一组对角为，花色并无影响，故可将其视为4个的小块． （i）的两个小块为同一种花色，如，共3种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案． （ii）的两个小块为不同种花色，如，共6种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案． 综上所述，共有种种植方案． 方法二：记三种花分别为，，，所有组合如下：                                                     共有种． 13．（2026·贵州黔西南·二模）某非遗工坊有剪纸、木雕、陶艺、刺绣、编织五项技艺展示，需安排阿珍、阿明、阿华、阿杰、阿丽五位传承人各负责一项.若阿明不负责陶艺且阿丽只能负责剪纸或刺绣，则不同的安排方法有__________种. 【答案】36 【详解】从阿珍、阿华、阿杰中选一个人负责陶艺，有3种选择， 从剪纸或刺绣中选一个让阿丽负责，有2种选择， 则剩余3个人各自从剩下三个项目中选择一个，共有种， 故总的安排方法有. 14．（2026·甘肃陇南·三模）已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______； 【答案】/ 【分析】本题采用全概率公式求解，先按第一次取球的三种情况（取个新球）计算各自概率，再分别计算每种情况下第二次取个新球的条件概率，最后将各情况的概率与对应条件概率相乘后求和，得到第二次取到个新球的总概率． 【详解】第一次取到0个新球的概率为， 第一次取到1个新球的概率为， 第一次取到2个新球的概率为， 所以第二次所取出的球都是新球的概率 ； 15．（2026·河南信阳·模拟预测）已知一袋中装有标号为1，2，3，4的卡片各一张，现每次从中取出一张，记下号码后再放回袋中，当四种号码的卡片都被取出过时即停止抽取．则恰好取7次卡片后停止抽取的概率为__________. 【答案】 【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回， 进行次一共有种不同的取法， 恰好取次卡片时停止，说明前次出现了种号码且第次出现第种号码， 种号码出现的次数分别为、、或、、或、、， 种号码分别出现、、次且次时停止的取法有种； 种号码分别出现、、次且次时停止的取法有种； 种号码分别出现、、次且次时停止的取法有种； 故恰好取次卡片后停止抽取的概率为：. 16．（2026·上海杨浦·模拟预测）将复旦附中顶呱呱七个字打乱，要求“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，构成一个新的七字排列词，则这样的七字排列词的个数为__________． 【答案】72 【详解】 要使“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，则排列方式必为这两组字交替排列. 由于“复旦附中”有4个字，“顶呱呱”有3个字，故排列形式必为 A B A B A B A， 其中A为“复旦附中”中的字，B为“顶呱呱”中的字. “复旦附中”四个字的全排列有种；“顶呱呱”三个字的全排列有种. 根据乘法原理，总排列数为. 17．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊五人一起去电影院看电影，他们选了一排的连续5个座位，座位号分别为1，2，3，4，5，若要求甲坐在偶数号位置上，且乙和丙相邻而坐，则不同的坐法共有______种. 【答案】16 【分析】先安排甲，再安排乙和丙，进而利用计数原理求解即可. 【详解】若甲坐2号位，则乙和丙可以坐3，4号位或4，5号位，乙丙内部有2种排法，剩余两人有2种排法， 共有种坐法； 若甲坐4号位，则乙和丙可以坐1，2号位或2，3号位，同样有种坐法. 故不同的坐法共有种. 18．（2026·陕西商洛·二模）某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答） 【答案】36 【详解】当小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时： 当相同的兴趣课为“围棋”时，有种， 当相同的兴趣课不是“围棋”时，有种， 所以小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时，共有24种. 当小胡和小张两位同学所选的兴趣课没有相同时，有， 所以两位同学不同的选课方案有 19．（2026·青海西宁·二模）2024年春节期间，某省电视台组织记者开展“新春走基层”活动，并将含甲、乙、丙在内的6位记者派往3个城市进行新闻采访，要求每位记者只去1个城市，每个城市至少安排1位记者，且甲、乙、丙3人中恰有2人分配到同一城市，则不同的分配方法共有_________种.(用数字作答) 【答案】342 【分析】首先分配甲乙丙中的两人，再根据城市进行分配人员即可. 【详解】从甲、乙、丙3人中选2人作为同城市的一组，选法共 种. 因为要求恰有2人同城市，所以单独的1人不能和这2人同城市： 给2人组选1个城市，共3种选择； 给单独的1人选剩余2个城市中的1个，共2种选择，因此安排方法共 种. 因此第三个城市至少安排1名剩余记者： 剩余3名记者每人都可任意选3个城市，总安排数为 种； 减去所有记者都不去空城市的情况 种，符合要求的安排共 种. 总分配方法为：种. 20．（2026·广东江门·二模）甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______． 【答案】125 【分析】先求出甲、乙各自从指定的个景点中选2个游玩的选法种数，再求出各自从除广州塔外的个景点中选2个游玩的选法种数，相减可得结论. 【详解】甲、乙两名游客各自从指定的个景点中选2个游玩的选法种数为， 甲、乙两名游客各自从除广州塔外的个景点中选2个游玩的选法种数为， 所以甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为． 21．（2026·陕西咸阳·三模）某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有___________种． 【答案】 【详解】由于智能编程功能的必须分配给甲组，则其余4款AI助手可以分成两组分给乙组和丙组， 有种分配方法，或者有种分配方法， 所以共有种分配方法. 22．（2026·天津和平·二模）现对8只不同的实验产品进行测试，其中有3只不合格品、5只合格品，若每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止，则最后1只不合格品恰好在第4次测试时被发现的不同情形种数为__________；在最后一只不合格品正好在第4次测试时被发现的条件下，第2次测得合格品的概率为__________. 【答案】 90 【详解】①最后只不合格品恰好在第次测试时被发现，要求第次为不合格品，前次有只不合格品、只合格品. 总情形数：. ②设事件：最后一只不合格品在第次测出，事件：第次测得合格品，，满足的情形：第次不合格，第次合格，第、次为不合格品，，故. 23．（2026·广东清远·二模）某科技公司有研发，芯片制造，软件编程三类项目，每个项目各有8个任务名额，现要将这些名额全部分配给两个团队，每个团队每类项目至少分得一个任务名额．若团队所得到的三类任务名额的个数的乘积与团队所得到的三类任务名额的个数的乘积相等，则这样的分配方法有_____种． 【答案】19 【详解】法1：团队分配到的名额分别为，，，团队分配到的名额为，，， 其中，，，，，均为正整数， 则，，. 因为团队所得到的三类任务名额的个数的乘积与团队所得到的三类任务名额的个数的乘积相等， 所以，即， 化简得， 所以， 因此该等式右边为的倍数，则等式左边是的倍数. 若，，均不为4，则它们只能从，，，，，这几个数中取值， 要使为的倍数，则乘积中必须含有，而以上几个数中只有和中含有因数2， 因此必须至少同时取到两个偶数（或）. 若取两个和一个，则，解得，非整数，不合题意； 若取两个和一个，则，解得，非整数，不合题意； 若取一个、一个和一个，则，解得，与均不为矛盾，不合题意. 因此，，，中必有一个4存在. 若，则，所以，则， 化简得，又，，且，为正整数， 所以满足的，共有组，即，，，，，，； 同理，当和当时，也各有组， 以上类分法中均有，，被重复计算次， 所以满足的分法共有种. 法2：设团队三类任务名额数分别为,,， 则团队三类任务名额数分别为，其中． 由题知，， 若,,均不为4，则,,中有两个数大于一个数小于4或者两个数小于4一个数大于4， 由对称性，不妨考查,均小于,大于4，则，， 则， 所以，当时，则， 因为，等式不成立； 当时，则，因为， 此时，则，又，不合题意； 当时，则， 因为，此时， 若时，则，此时， 若，此时， 若，则，此时，均不合题意； 所以,,中至少有一个为4，不妨设，则， 由，可得，则， 当时，只有1种情况， 当为1,4,7或2,4,6或3,4,5的一个排列时，各有6种情况． 综上，符合条件的分配方法种数为19种． 24．（2026·江西上饶·二模）如图，甲从到，乙从到，两人每次都只能向上或者向右走一格，两个人的线路有交点，即认为路线相交；否则认为路线不相交．如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路．那么不同的孤立路总计对数为_________． 【答案】 【详解】首先计算总的路径的对数： 甲从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法， 乙从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法， 根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径对． 再计算有相交路径的对数：（等价转换思路）有相交的路径可以理解为过交点后， 甲乙交换线路分别到达目的地，这样就等价于甲从到，乙从到的路径对数： 甲从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法， 乙从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法， 所以相交路径共有对，因此不同的孤立路一共有：对． 25．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将一个大正方形分割为25个完全相同的小正方形，图中部分小正方形内已标有数字或“△”，其中数字表示与该小正方形有公共边或公共顶点的小正方形内所填“△”的个数，图中每个空白的小正方形内只能填1个“△”或不填，则满足要求的填法有_____种． 【答案】160 【详解】记图中灰色小正方形内是否填“△”不确定，白色小正方形内不填“△”． 根据题意知标有数字“0”的小正方形的相邻5个小正方形不能填“△”，第一列中标有数字“2”的小正方形相邻5个小正方形内要填2个“△”，而其中一个小正方形内已填有1个“△”，故可分为第一列中标有数字“2”的正上方填“△”与正下方填“△”两类. 第一类：当第一列中标有数字“2”的正上方填“△”时，通过分析标有数字“4”的相邻小正方形不填“△”的位置，可知有如下5种填法； 第二类：当第一列中标有数字“2”的正下方填“△”时，可考虑分析标有数字“4”的相邻小正方形内不填“△”的位置，可知有如下5种填法． 另外，4个灰色的小正方形内填“△”的方法有种，所以满足条件的填法有种． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲：计数原理 【题型归纳】 · 题型一：捆绑法 · 题型二：插空法 · 题型三：特殊元素法 · 题型四：间接法 · 题型五：隔板法 · 题型六：定序问题 · 题型七：平均（部分）分组问题 · 题型八：不平均分组问题 · 题型九：特殊位置法 · 题型十：染色问题 · 题型十一：排数问题 【题型探究】 题型一：捆绑法 【典例1】．（2026·重庆渝中·三模）给某班级星期一上午排课，一共 5 节课，语数外各一节，体育课两节（两节体育课相同），要求两节体育课必须相邻， 则不同的排课种数有（    ） A．48 B．60 C．24 D．12 【变式1】．（2026·吉林延边·三模）春节期间四位同学回母校看望两位老师，看望结束合影留念，若两位老师相邻，则不同的排法种数共有（    ） A．240 B．300 C．360 D．480 【变式2】．（25-26高二下·江苏南京·期中）甲､乙等5名同学站成一排，其中甲､乙相邻且甲在乙的左边，不同的排法种数是__________.（用数字填空） 题型二：插空法 【典例2】．．（25-26高二下·山西临汾·期中）某班一天上午有5节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生物及体育这7门课的课程表，每门学科各一节课，要求数学课与物理课不相邻（上午第五节与下午第一节不算相邻），且体育课排在下午，则不同排法有（    ） A．960种 B．1056种 C．3600种 D．5040种 【变式1】．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 【变式2】．（25-26高二下·山东青岛·期中）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有________种排法． 题型三：特殊元素法 【典例3】．．（25-26高二下·湖北武汉·期中）育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【变式1】．（2026·辽宁抚顺·二模）现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个参演，又不在最后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有（    ） A．60种 B．72种 C．96种 D．120种 【变式2】．（2026·湖南长沙·一模）甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这人名次排列的所有可能情况共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型四：间接法 【典例4】．．（2026·广东茂名·二模）某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式1】．（2026·湖南浙江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 【变式2】．（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 题型五：隔板法 【典例5】．．（2026·河南·模拟预测）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 【变式1】．（2026·广东·模拟预测）某校计划将12个完全相同的社会实践名额分配给高三年级的3个班级，要求一班至少分配1个名额，二班至少分配2个名额，三班至少分配3个名额，则不同的分配方案数为____________． 【变式2】．（25-26高三下·重庆·阶段检测）为营造安心舒适的学习环境，助力高三学子圆梦高考，重庆市第二外国语学校计划在五月底举行考前趣味活动.现已知年级领导为高三23个班级共准备了50份完全相同的奖品，若每班至少获得2个奖品，有______种不同的奖品分配方法. 题型六：定序问题 【典例6】．．（25-26高二下·湖北武汉·期中）小明桌子上有本不同的数学书，本相同的物理书，现将这本书依次全部取走，则不同的取书顺序有（   ）种 A． B． C． D． 【变式1】．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【变式2】．（2026·安徽合肥·一模）国庆假期，某人计划去五个不同的景点游览．在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序共有（   ） A．18种 B．24种 C．48种 D．60种 题型七：平均（部分）分组问题 【典例7】．．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）哈尔滨市第六中学校开展爱国主义教育实践活动，计划周日组织高一年级一班至六班前往731部队罪证陈列馆、哈尔滨烈士纪念馆两处场馆进行参观．现要求每个场馆分配3个班级，同时派2名教师带队，每名教师负责一个场馆的带队工作，请问一共有（   ）种不同的安排方法？ A．20 B．40 C．80 D．120 【变式1】．（2026·四川宜宾·三模）在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【变式2】．（2026·江苏扬州·模拟预测）某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 题型八：不平均分组问题 【典例8】．．（2026·山东泰安·三模）若将6张互不相同的优惠券分给3名消费者，每名消费者至少分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．240 B．540 C．630 D．1080 【变式1】．（2026·河北·三模）将含甲、乙在内的7名志愿者分成三个小组，要求每个小组至少一人，有且仅有两个小组的人数相等. （1）则所有不同的分组方法有________种（用数字作答）； （2）若甲、乙两名志愿者不在同一个小组，则不同的分组方法有________种（用数字作答）. 【变式2】．（2026·福建·二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 题型九：特殊位置法 【典例9】．．（2026·江苏·模拟预测）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（    ） A． B． C． D．48 【变式1】．（2026·湖南湘潭·三模）现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 【变式2】．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）某校举办校园科技节，需从6名男生和4名女生中选派4人，分别担任编程、航模、机器人、实验四项不同活动的主持人，要求所选派的4人中至少有2名女生，且女生不主持编程活动，每项活动由1人主持，则不同的选派方案有（   ） A．504种 B．1080种 C．1224种 D．2304种 题型十：染色问题 【典例10】．．（25-26高二下·广东·期中）某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有______种不同的颜色搭配方案. 【变式1】．（25-26高二下·江苏淮安·月考）用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，则不同的涂色方法种数为______． 【变式2】．（25-26高二下·河南周口·月考）如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有_____ 种不同的种植方法． 题型十一：排数问题 【典例11】．．（2026·上海闵行·二模）小闵同学打算将“20260407”中的8个数字“”进行排列得到密码.如果排列时要求两个“2”相邻且三个“0”不相邻，那么小闵可以设置的不同密码的个数为______. 【变式1】．（2026·吉林白山·模拟预测）从0，1，2，3，4中取两个数字，从5，6，7，8，9中取出两个数字，可组成___________个没有重复数字的奇数. 【变式2】．（25-26高三下·河南·月考）将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为______．（用数字回答） 【高考达标】 一、单选题 1．（2026·山东济南·二模）如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．60种 D．72种 2．（2026·吉林·三模）2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（    ） A．120 B．96 C．72 D．36 3．（2026·云南玉溪·模拟预测）我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁朝阳·三模）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（   ） A．30种 B．90种 C．150种 D．180种 5．（2026·河南许昌·三模）甲、乙、丙、丁共4名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，4人的名次排列可能情况有（   ） A．4种 B．8种 C．种 D．种 6．（2026·山东枣庄·三模）中国空间站主要由天和核心舱，问天试验舱，梦天试验舱三个舱构成.某次实验需要4名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去天和核心舱，则不同的安排方法的种数为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 7．（2026·重庆·模拟预测）某单位将12个表彰名额分配给甲､乙､丙､丁四个部门，其中甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额，则不同的分配方案共有（    ） A．15种 B．19种 C．25种 D．46种 8．（2026·河北雄安·模拟预测）某党校派了名讲师到个单位去讲党课，每个单位只能安排一位讲师授课，而每位讲师至少要去一个单位且至多只能去两个单位，则不同的选派方法的种数为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河南·模拟预测）“水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块.甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，则不同的体验方法一共有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．81种 10．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（   ） A．18种 B．36种 C．42种 D．72种 二、填空题 11．（2026·吉林·三模）在的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为______． 12．（2026·山东泰安·模拟预测）某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种． 13．（2026·贵州黔西南·二模）某非遗工坊有剪纸、木雕、陶艺、刺绣、编织五项技艺展示，需安排阿珍、阿明、阿华、阿杰、阿丽五位传承人各负责一项.若阿明不负责陶艺且阿丽只能负责剪纸或刺绣，则不同的安排方法有__________种. 14．（2026·甘肃陇南·三模）已知某盒中装有个大小、质地一致的乒乓球，其中有个新球（从未被使用过）个旧球，第一次比赛时从此盒中任取个球来使用，赛后仍将两球放回盒中，第二次比赛时再从此盒中任取个球使用．第二次比赛时取出的个球都是新球的概率为______； 15．（2026·河南信阳·模拟预测）已知一袋中装有标号为1，2，3，4的卡片各一张，现每次从中取出一张，记下号码后再放回袋中，当四种号码的卡片都被取出过时即停止抽取．则恰好取7次卡片后停止抽取的概率为__________. 16．（2026·上海杨浦·模拟预测）将复旦附中顶呱呱七个字打乱，要求“复旦附中”四个字互不相邻，“顶呱呱”三个字互不相邻，构成一个新的七字排列词，则这样的七字排列词的个数为__________． 17．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊五人一起去电影院看电影，他们选了一排的连续5个座位，座位号分别为1，2，3，4，5，若要求甲坐在偶数号位置上，且乙和丙相邻而坐，则不同的坐法共有______种. 18．（2026·陕西商洛·二模）某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答） 19．（2026·青海西宁·二模）2024年春节期间，某省电视台组织记者开展“新春走基层”活动，并将含甲、乙、丙在内的6位记者派往3个城市进行新闻采访，要求每位记者只去1个城市，每个城市至少安排1位记者，且甲、乙、丙3人中恰有2人分配到同一城市，则不同的分配方法共有_________种.(用数字作答) 20．（2026·广东江门·二模）甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、五仙门发电厂旧址这6个景点中选2个游玩，则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为______． 21．（2026·陕西咸阳·三模）某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有___________种． 22．（2026·天津和平·二模）现对8只不同的实验产品进行测试，其中有3只不合格品、5只合格品，若每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止，则最后1只不合格品恰好在第4次测试时被发现的不同情形种数为__________；在最后一只不合格品正好在第4次测试时被发现的条件下，第2次测得合格品的概率为__________. 23．（2026·广东清远·二模）某科技公司有研发，芯片制造，软件编程三类项目，每个项目各有8个任务名额，现要将这些名额全部分配给两个团队，每个团队每类项目至少分得一个任务名额．若团队所得到的三类任务名额的个数的乘积与团队所得到的三类任务名额的个数的乘积相等，则这样的分配方法有_____种． 24．（2026·江西上饶·二模）如图，甲从到，乙从到，两人每次都只能向上或者向右走一格，两个人的线路有交点，即认为路线相交；否则认为路线不相交．如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路．那么不同的孤立路总计对数为_________． 25．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将一个大正方形分割为25个完全相同的小正方形，图中部分小正方形内已标有数字或“△”，其中数字表示与该小正方形有公共边或公共顶点的小正方形内所填“△”的个数，图中每个空白的小正方形内只能填1个“△”或不填，则满足要求的填法有_____种． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $