专题8 函数的单调性与奇偶性（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的单调性与奇偶性 【复习目标】 理解函数的单调性与奇偶性。 【考点1 函数的单调性】 1. 定义：设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个自变量的值，当时： （1）若恒有，则称函数在区间上是__________（填“增函数”或“减函数”），区间叫做函数的__________（填“单调递增区间”或“单调递减区间”）； （2）若恒有，则称函数在区间上是__________（填“增函数”或“减函数”），区间叫做函数的__________（填“单调递增区间”或“单调递减区间”）。 2. 单调性的几何意义：增函数的图像从左到右__________（填“上升”或“下降”），减函数的图像从左到右__________（填“上升”或“下降”）。 3. 常见函数的单调性（重点掌握）： （1）一次函数（）：单调性由斜率决定，与常数项无关；当时，在上是__________（增函数）；当时，在上是__________（减函数）。 （2）二次函数（）：对称轴为，单调性由开口方向（的符号）和对称轴共同决定；当时，图像开口向上，在上是__________（减函数），在上是__________（增函数）；当时，图像开口向下，在上是__________（增函数），在上是__________（减函数）。 （3）反比例函数（）：定义域为，单调性需分区间判断；当时，在和上分别是__________（减函数）；当时，在和上分别是__________（增函数）（注意：不能说在整个定义域内是增/减函数）。 4. 单调性的判断方法：定义法（取值→作差→变形→判断符号→下结论）、图像法。 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 4. 下列关于函数单调性的说法正确的是（ ） A. 增函数的图像一定是上升的 B. 函数在上是增函数 C. 函数在定义域内是减函数 D. 二次函数的单调性由开口方向和对称轴决定 5. 下列函数在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 6. 函数在上是__________函数，其图像从左到右__________. 7. 函数的对称轴为__________，单调递增区间是__________. 四、解答题 8. 已知函数，. (1) 判断函数的单调性，并利用定义证明； (2) 若，求实数的取值范围. 【考点2 函数的奇偶性】 1. 定义：设函数的定义域为，且关于__________对称（核心前提），对于任意，都有： （1）若恒有，则称函数是__________函数； （2）若恒有，则称函数是__________函数。 2. 奇偶性的几何意义： （1）偶函数的图像关于__________对称； （2）奇函数的图像关于__________对称。 3. 常见函数的奇偶性： （1）常数函数（为常数）：当时，是__________函数；当时，是__________函数（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）。 （2）一次函数（）：当时，是__________函数；当时，是__________函数。 （3）二次函数（）：当时，是__________函数；当时，是__________函数。 4. 奇偶性的判断方法：定义法（先判断定义域是否关于原点对称→再判断与的关系）、图像法。 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的奇偶性是（ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 二、多选题 4. 下列说法正确的是（ ） A. 定义域关于原点对称的函数一定是奇函数或偶函数 B. 奇函数的图像一定经过原点 C. 偶函数的图像关于y轴对称 D. 函数是偶函数 5. 下列函数中，是非奇非偶函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 6. 函数是__________函数，其图像关于__________对称. 7. （1）若函数（）是奇函数，则__________； （2）若函数（）是偶函数，则__________. 四、解答题 8. 已知定义域为的函数是奇函数. (1) 求的值； (2) 判断并证明的单调性. 1.（2025年湖北省技能高考第24题）武汉杨泗港长江大桥是目前世界跨度最大的双层悬索桥，其顶级的 “中国质量” 令外国人赞叹 “中国人把悬索桥玩出了新高度”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程为（其中为常数），当时，该方程是双曲余弦函数，给出双曲正弦函数，则下列结论错误的是（ ） A. 双曲正弦函数是奇函数 B. 双曲余弦函数是偶函数 C. D. 2.（2024年湖北省技能高考第28题）写出一个具有性质①②的函数= . ①+； ②在定义域R上是增函数. 3.（2021年湖北省技能高考第21题）若函数为奇函数，且在区间内为增函数，则的图像可能是（ ） 4.（2020年湖北省技能高考第22题）若函数为偶函数，且在区间内为增函数，则的图像可能是( ) 5.（2018年湖北省技能高考第23题）下列四个函数在其定义域内为减函数且为奇函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 6.（2017年湖北省技能高考第22题）下列四个函数中在定义域内为非奇非偶函数的个数是（ ） ①；②；③；④. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的单调性与奇偶性 【复习目标】 理解函数的单调性与奇偶性。 【考点1 函数的单调性】 1. 定义：设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个自变量的值，当时： （1）若恒有，则称函数在区间上是 增函数 （填“增函数”或“减函数”），区间叫做函数的 单调递增区间 （填“单调递增区间”或“单调递减区间”）； （2）若恒有，则称函数在区间上是 减函数 （填“增函数”或“减函数”），区间叫做函数的 单调递减区间 （填“单调递增区间”或“单调递减区间”）. 2. 单调性的几何意义：增函数的图像从左到右 上升 （填“上升”或“下降”），减函数的图像从左到右 下降 （填“上升”或“下降”）. 3. 常见函数的单调性（重点掌握）： （1）一次函数（）：单调性由斜率决定，与常数项无关；当时，在上是 增函数 （填“增函数”或“减函数”）；当时，在上是 减函数 （填“增函数”或“减函数”）. （2）二次函数（）：对称轴为，单调性由开口方向（的符号）和对称轴共同决定；当时，图像开口向上，在上是 减函数 （填“增函数”或“减函数”），在上是 增函数 （填“增函数”或“减函数”）；当时，图像开口向下，在上是 增函数 （填“增函数”或“减函数”），在上是 减函数 （填“增函数”或“减函数”）. （3）反比例函数（）：定义域为，单调性需分区间判断；当时，在和上分别是 减函数 （填“增函数”或“减函数”）；当时，在和上分别是 增函数 （填“增函数”或“减函数”）（注意：不能说在整个定义域内是增/减函数）. 4. 单调性的判断方法：定义法（取值→作差→变形→判断符号→下结论）、图像法. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【考点】常见函数的单调性 【答案】C 【解析】A选项是一次函数，，在上是减函数； B选项在上是减函数； C选项是二次函数，，对称轴为，在上是增函数； D选项，，在上是减函数.故选C. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【考点】二次函数的单调性 【答案】B 【解析】二次函数中，，对称轴为，开口向上，故单调递减区间是.故选B. 3. 已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【考点】函数的单调性（减函数的性质）与抽象函数不等式求解 【答案】 【解析】要解这个抽象函数不等式，需要利用减函数的核心性质： 对于定义在上的减函数，若，则；反之，若，则必有. 首先，验证两个自变量的取值范围，确保它们都属于： ：因为，所以，恒成立； ：判别式，且二次项系数为正，因此恒成立. 因此，定义域条件对所有实数都满足，只需利用单调性列不等式. 其次，利用减函数性质转化不等式 因为是上的减函数，且，根据减函数性质可得： ，解得. 因此，不等式的解集为，对应选项 C. 二、多选题 4. 下列关于函数单调性的说法正确的是（ ） A. 增函数的图像一定是上升的 B. 函数在上是增函数 C. 函数在定义域内是减函数 D. 二次函数的单调性由开口方向和对称轴决定 【考点】函数单调性的定义、几何意义及常见函数单调性 【答案】ABD 【解析】A选项，增函数的几何意义就是图像从左到右上升，正确； B选项，在上是增函数，正确； C选项，的定义域为，在和上分别是减函数，但在整个定义域内不是减函数（如，但），错误； D选项，二次函数的单调性由开口方向（的符号）和对称轴决定，正确.故选ABD. 5. 下列函数在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【考点】函数的单调性 【答案】AC 【解析】A.：一次函数，斜率为，在上为增函数； B.：二次函数，开口向下，对称轴为，在上为减函数； C.：幂函数，指数为，在上为增函数； D.：二次函数，开口向上，对称轴为，在上为减函数，在上为增函数，因此在上不单调. 因此在内为增函数的是AC. 三、填空题 6. 函数在上是__________函数，其图像从左到右__________. 【考点】一次函数的单调性及几何意义 【答案】减；下降 【解析】一次函数中，，故在上是减函数，图像从左到右下降. 7. 函数的对称轴为__________，单调递增区间是__________. 【考点】二次函数的对称轴及单调性 【答案】； 【解析】二次函数对称轴公式为，此处，，故对称轴为；，开口向上，单调递增区间为对称轴右侧，即. 四、解答题 8. 已知函数，. (1) 判断函数的单调性，并利用定义证明； (2) 若，求实数的取值范围. 【考点】函数单调性的定义与证明；利用函数单调性解不等式 【答案】(1) 在上单调递减；(2) 实数的取值范围是. 【解析】(1) 函数在上单调递减. 证明：设是上的任意两个实数，且. 分析符号：因为，所以； ，，故. 所以，因此，即. 由单调性定义可知，在上单调递减. (2) 解不等式 因为在上单调递减，所以 解；解；解 所以，不等式组的解集为：，区间表示为. 【考点2 函数的奇偶性】 1. 定义：设函数的定义域为，且关于 原点 对称（核心前提），对于任意，都有： （1）若恒有，则称函数是 偶 函数； （2）若恒有，则称函数是 奇 函数. 2. 奇偶性的几何意义： （1）偶函数的图像关于 y轴 对称； （2）奇函数的图像关于 原点 对称. 3. 常见函数的奇偶性：（填“奇”、“偶”、”既奇又偶”或“非奇非偶”） （1）常数函数（为常数）：当时，是 既奇又偶 函数；当时，是 偶 函数. （2）一次函数（）：当时，是 奇 函数；当时，是 非奇非偶 函数. （3）二次函数（）：当时，是 偶 函数；当时，是 非奇非偶 函数. 4. 奇偶性的判断方法：定义法（先判断定义域是否关于原点对称→再判断与的关系）、图像法. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【考点】函数奇偶性的判断（定义域关于原点对称） 【答案】B 【解析】A选项，，是奇函数； B选项，定义域为（关于原点对称），，是偶函数； C选项，，是奇函数； D选项，且，是非奇非偶函数.故选B. 2. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【考点】函数奇偶性的判断（定义域关于原点对称） 【答案】D 【解析】选项 A：定义域为，不关于原点对称，非奇非偶； 选项 B：定义域为，不关于原点对称，非奇非偶； 选项 C：，定义域为，不关于原点对称，非奇非偶； 选项 D：，定义域为，，为奇函数. 3. 函数的奇偶性是（ ） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【考点】函数奇偶性的判断 【答案】B 【解析】函数定义域为，关于原点对称；，故是奇函数.故选B. 二、多选题 4. 下列说法正确的是（ ） A. 定义域关于原点对称的函数一定是奇函数或偶函数 B. 奇函数的图像一定经过原点 C. 偶函数的图像关于y轴对称 D. 函数是偶函数 【考点】函数奇偶性的定义及几何意义 【答案】CD 【解析】A选项，定义域关于原点对称，但当与既不相等也不互为相反数时，是非奇非偶函数，错误； B选项，奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点（如），错误； C选项，偶函数的几何意义是图像关于y轴对称，正确； D选项，，，是偶函数，正确. 5. 下列函数中，是非奇非偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【考点】函数奇偶性的判断 【答案】ABD 【解析】A选项，定义域为，且，非奇非偶； B选项，且，非奇非偶； C选项，，既是奇函数又是偶函数； D选项，定义域为，不关于原点对称，是非奇非偶函数.故选ABD. 三、填空题 6. 函数是__________函数，其图像关于__________对称. 【考点】函数奇偶性的判断及几何意义 【答案】偶；y轴 【解析】函数定义域为，关于原点对称；，故是偶函数，偶函数图像关于y轴对称. 7. （1）若函数（）是奇函数，则__________； （2）若函数（）是偶函数，则__________. 【考点】一次函数的奇偶性及几何意义 【答案】0；0 【解析】（1）奇函数需满足，即，化简得，故；此时函数为（）是奇函数； （2）偶函数需满足，即，化简得，故；此时函数为（）是偶函数. 四、解答题 8. 已知定义域为的函数是奇函数. (1) 求的值； (2) 判断并证明的单调性. 【考点】奇函数的性质、函数单调性的定义证明. 【答案】(1) ；(2) 在上单调递减. 【解析】(1) 因为是定义在上的奇函数，所以. ; (2) 时，. 证明单调性：任取，且，则： 因为，所以，即；又，故，即.因此，在上单调递减. 1.（2025年湖北省技能高考第24题）武汉杨泗港长江大桥是目前世界跨度最大的双层悬索桥，其顶级的 “中国质量” 令外国人赞叹 “中国人把悬索桥玩出了新高度”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程为（其中为常数），当时，该方程是双曲余弦函数，给出双曲正弦函数，则下列结论错误的是（ ） A. 双曲正弦函数是奇函数 B. 双曲余弦函数是偶函数 C. D. 【考点】函数的奇偶性、双曲函数的定义 【答案】 【解析】首先，明确双曲函数的定义： 选项 A：判断双曲正弦函数的奇偶性 ，故是奇函数，A 正确。 选项 B：判断双曲余弦函数的奇偶性 ，故是偶函数，B 正确。 选项 C：验证 右边左边，故 C 正确。 选项 D：验证 右边 左边 显然，（除非），正确的恒等式为： 故 D 错误。 综上，错误的结论是。 2.（2024年湖北省技能高考第28题）写出一个具有性质①②的函数= . ①+； ②在定义域R上是增函数. 【考点】函数的运算性质与单调性 【答案】（，如， 均可） 【解析】性质①：满足的函数称为 “可加函数”，在上的连续解为（为常数）. 性质②：在上为增函数，需一次项系数. 因此只需取的正比例函数即可，比如，此题答案不唯一. 3.（2021年湖北省技能高考第21题）若函数为奇函数，且在区间内为增函数，则的图像可能是（ ） 【考点】奇函数的图像对称性与单调性 【答案】B 【解析】奇函数的图像关于原点对称，排除 A、D（图像关于 y 轴对称，为偶函数）. 在内为增函数，根据奇函数性质：奇函数在对称区间上的单调性一致，因此在内也为增函数. 选项 C：在内为减函数，不符合条件；选项 B：在和内均为增函数，且关于原点对称，符合条件. 4.（2020年湖北省技能高考第22题）若函数为偶函数，且在区间内为增函数，则的图像可能是( ) 【考点】偶函数的图像对称性与单调性 【答案】D 【解析】偶函数的图像关于 y 轴对称，排除 A、B（图像不关于 y 轴对称）. 在内为增函数：选项 C：在内为减函数，不符合条件；选项 D：在内为增函数，且关于 y 轴对称，符合条件. 5.（2018年湖北省技能高考第23题）下列四个函数在其定义域内为减函数且为奇函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 【考点】函数的奇偶性与单调性判断 【答案】C 【解析】选项 A：，是指数函数，非奇非偶，排除； 选项 B：，是奇函数，但在上为增函数，排除； 选项 C：，是一次函数，，为奇函数；且斜率为，在上为减函数，符合条件； 选项 D：，是三角函数，，为奇函数，但在定义域内不单调（有增有减，是周期函数），排除. 6.（2017年湖北省技能高考第22题）下列四个函数中在定义域内为非奇非偶函数的个数是（ ） ①；②；③；④. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【考点】函数奇偶性的判断 【答案】C 【解析】①：定义域为，，为偶函数； ②：定义域为，且，非奇非偶； ③：定义域为，，为奇函数； ④：定义域为，且，非奇非偶； 因此非奇非偶函数为②和④，共 2 个. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $